Nous avons placé nos idéaux bien plus haut que les plus hauts des idéaux. (Francis Blanche)

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1 1 Unversté Claude Bernard Lyon I Agrégaton de Mathématques : Algèbre & géométre Année Anneaux Z/nZ Nous avons placé nos déaux ben plus haut que les plus hauts des déaux. (Francs Blanche) A ne pas rater Z est euclden, donc prncpal ; théorème de Bézout et lemme chnos (y comprs la récproque, vor c-dessous) ; pett théorème de Fermat/Euler/Lagrange (a ϕ(n) = 1 mod n s a n = 1) et Wlson. nversbles de Z/nZ, nombre et structure de groupe, (Z/pZ) est cyclque, applcaton aux carrés de Z/pZ : vor Perrn, Cours d algèbre ; automorphsmes de Z/nZ (comme groupe, pus comme anneau) ; vor [Perrn] ; quelques applcatons de la réducton modulo un nombre premer ; l évocaton de RSA semble presque oblgatore. Extrats de rapports du jury (recuells sur le ste de la préparaton de Rennes) 2008 : Cette leçon classque demande toutefos une préparaton mnuteuse. Ben maîtrser le lemme chnos et sa récproque. Dstnguer clarement proprétés de groupes addtfs et d anneaux. Connaître les automorphsmes, les dempotents : On attend la descrpton des sous-groupes addtfs de Z/nZ. Attenton en général s d n, Z/dZ n est pas un sous-ensemble de Z/nZ. La descrpton des éléments nversbles pour la structure multplcatve dot être connue. La structure des groupes abélens de type fn dot être connue, l y a deux présentatons dstnctes (dvseurs élémentares ou va les p-sylow) ; l faut savor passer de l une à l autre : Certanes dentfcatons rendent les exposés confus, vore faux : Z/nZ dentfé au sous-ensemble {0, 1, 2,..., n 1} de Z. Dans ces leçons, la lo de récprocté quadratque est souvent proposée, mas ( les canddats ne proposent aucune applcaton et ne savent pas calculer le symbole 2 p). Par alleurs l faut fare très attenton à l extenson dans laquelle on travalle. En bref, on assste souvent à une sute de calculs ncompréhensbles. Il faudrat connaître les déaux de Z/nZ. Il serat bon de ne pas donner des résultats tels que la caractérsaton des nombres de Carmchaël s l on ne peut : en exhber un et savor (au mons) qu l en exste une nfnté. À l énoncé d un résultat, l est toujours utle de se poser la queston de la récproque. Ans, certans canddats ont retrouvé (découvert?) avec l ade du jury le plus souvent la récproque du lemme chnos : Pour le codage RSA, l serat utle de connaître la talle des nombres premers ntervenant et une méthode de calcul de a k mod N effcace : l exponentaton rapde : Le jury reste perplexe [... ] quand un canddat montre l rréductblté des polynômes cyclotomques en passant dans le corps Z/pZ, mas ne sat pas explquer l mportance du chox de p premer : Un homomorphsme d anneaux envoe, par défnton, l élément unté de A sur celu de B. On peut alors trouver sans dffculté tous les homomorphsmes d anneaux de Z/mnZ dans Z/mZ Z/nZ.

2 2 Applcatons (à peu près autant de développements possbles) Réducton mod p et applcaton à l rréductblté des polynômes ; polynômes cyclotomques et racnes de l unté : rréductblté comme applcaton du pont précédent ; vor auss Demazure, Cours d algèbre, 4.1 ; théorème de Drchlet fable ; noter que les facteurs premers p de Φ d (10) sont les nombres dont la longueur du développement décmal de 1/p est d (avec p d = 1) ; algorthme RSA ; vor par exemple [Demazure], ; test de prmalté de Mller-Rabn : [Demazure], et (utlse (Z/nZ) ) ; transformaton de Fourer dscrète/rapde : [Demazure], chap. 4 ; peut-être [Peyré]? sommes de Gauss et récprocté quadratque : vor la leçon Racnes de l unté et [Demazure], 5.2 ; ce pont et le précédent ont l ntérêt d utlser des Z/NZ avec N non premer ; (très jol, mas pas de source publée) théorème de Frobenus-Zolotarev et récprocté quadratque : vor le court texte de J.-C. Raoult, fr/documentaton/docs/quadratque.pdf. théorème des deux carrés : pour p premer, p 1 [4], l exste u, v Z tels que p = u 2 +v 2 ; attenton au hors-sujet : pour coller ce théorème à la leçon, l faut explquer que Z[] est prncpal (car euclden), s ben que ses quotents sont des analogues des Z/nZ ; on dot alors décder, pour p premer, s l déal (p) = pz[] est premer,.e. s le quotent Z[]/(p) Z[X]/(p, X 2 + 1) F p [X]/(X 2 + 1) est ntègre, ce qu revent à savor s 1 a une racne dans F p ; c est le cas SSI p 1 [4], et alors p n est pas premer dans Z[], et une factorsaton de p donne une relaton p = u 2 +v 2 ; plus anecdotque : développement décmal de 1/p. Questons 1. Quels sont les déaux de Z/nZ? les quotents de Z/nZ? 2. Quels sont les éléments nlpotents de Z/nZ? 3. Quand a-t-on Z/nZ Z/aZ Z/bZ? 4. Pour p 1 [4], donner une racne carrée explcte de 1 dans Z/pZ. 5. Quels sont les carrés dans Z/pZ? dans Z/p α Z? dans Z/nZ? Vor [Demazure], On donne p premer et a (Z/pZ). Quelle est la sgnature de Z/pZ Z/pZ, x ax? Comme 0 est fxe, la sgnature est la même que celle de la restrcton à F p. S σ est la permutaton de {1,..., p 1} ndute par la multplcaton par a, la sgnature de σ est : x y σ(x) σ(y) x y x y ax ay x y ap(p 1)/2 a (p 1)/2 mod p.

3 3 Varante : Dans F p, tous les cycles de a sont de longueur e, l ordre de a, car a k x = x donne e k. Par sute, la sgnature de a est : ( 1) p 1 e (e 1) = ( 1) p 1 e, et on conclut en remarquant que 2 p 1 e p 1 e a (p 1)/2 = 1 a est un carré dans F p Quels sont les automorphsmes de corps de F q? 8. Quand est-ce que (Z/nZ) est cyclque? 9. Quelle est la longueur de la pérode du développement décmal de 1/81? de 1/9801? 10. (a) Montrer que le développement décmal de 1/n est pérodque, et détermner sa longueur. (b) Montrer que le nombre de pérodes possbles de k/n, pour k premer à n, est l ndce de 10 dans Z/nZ. (c) Quels sont tous les nombres dont le dévelopement décmal a pour pérode 6? I À propos du plan 1 Sous-groupes et déaux de Z/nZ Lemme Sot n Z. Tout sous-groupe de Z/nZ est un déal. Pour tout dvseur d de n, l exste un unque sous-groupe d ndce d dans Z/nZ, le quotent par ce sous-groupe est somorphe à Z/dZ. Sot H un sous-groupe de Z/nZ. Notons π : Z Z/nZ la projecton canonque. L mage récproque π 1 (H) est un sous-groupe de Z, donc l est de la forme dz pour d Z convenable. Comme la classe de 0 appartent à H, son mage récproque Ker π = nz est ncluse dans dz, s ben que d dvse n. Par surjectvté de π, on a : H = π(π 1 (H)) = dz/nz : c est un déal de Z/nZ. L applcaton Z dz/nz, k dk est surjectve. Son noyau est mz, où m = n/d. Par sute, le groupe H = dz/nz est somorphe à Z/mZ. Enfn, on vérfe 1 que, comme anneaux : (Z/nZ)/(dZ/nZ) Z/dZ. Remarque : Comme Z/nZ n est pas ntègre (sauf s n est premer), ce n est pas un anneau prncpal ben que ses déaux soent monogènes. 2 Ade-mémore : nversbles de Z/nZ 1. (Z/pZ) Z/(p 1)Z. 2. (1 + p) pk = 1 + l p k+1, avec l premer à p. 3. Par sute, 1 + p est d ordre p α 1 dans Z/p α Z. 4. La projecton naturelle ndut 1 Z/p α 1 Z = 1 + p Z/p α Z Z/pZ k = 1 + l 2 k+2, avec l mpar, donc l ordre de 5 dans (Z/2 α Z) est 2 α (Z/2Z) {1} ; (Z/4Z) Z/2R ; (Z/2 α Z) Z/2 Z/2 α 2 Z (où α 3)? 7. Complément : Aut(Z/nZ) (Z/nZ) en tant que groupes. 8. Applcaton : groupes d ordre pq. 1 De façon générale, s J I sont deux déaux d un anneau R, alors (R/J)/(I/J) A/I. Pour le montrer, vérfer que le morphsme naturel R (R/J)/(I/J) a pour noyau I.

4 4 3 Idempotents Confesson d un membre du jury : la préconsaton connaître les dempotents est exagérée. Mas l est bon d avor déjà rencontré ce vocabulare, you know, just n case... Idempotents en général Sot R un anneau untare, commutatf ou pas. On a prncpalement tros exemples en tête : Z/nZ, K[X]/(P ) où K est un corps et P K[X] et les matrces carrées M n (K). Un dempotent de R est un élément e tel que e 2 = e. Idée clé : Dans les matrces, les dempotents sont exactement les projecteurs. Ils servent à décomposer l espace en produts d espaces plus petts à casser en morceaux, pourrat-on dre. On remarque une évdence : s e 2 = e, alors (1 e) 2 = 1 e. Les dempotents vont par pares. En termes de projecteurs, l échange de e = p et 1 e = Id p correspond à l échange du noyau et de l mage ou, de façon équvalente, à l échange des valeurs propres 0 et 1. Lemme Sot R un anneau et e = e 2 un dempotent central (qu commute à tous les éléments de R) et f = 1 e. () L ensemble er = {er, r R} est un déal de R et un anneau pour la restrcton des opératons de R ; le neutre de la multplcaton est e. () Les applcatons R er fr, r (er, fr) et er fr R, (u, v) u + v sont des somorphsmes. Applcaton : lemme chnos Le lemme chnos est un somorphsme entre deux anneaux. Pour le démontrer, on peut défnr le morphsme naturel Z/abZ Z/aZ Z/bZ (facle), montrer qu l est njectf (ça résulte de l dentté de Bezout ou du lemme de Gauss) et en dédure qu l est surjectf par cardnalté. Il est plus constructf d exhber le morphsme nverse, ce qu utlse plus ou mons explctement des dempotents fourns par le lemme de Bezout. La remarque-clé est la suvante : sot (a, b) Z 2 deux enters premers entre eux. Sot (u, v) Z 2 tels que au+bv = 1. Alors (les classes de) bv et au = 1 bv sont des dempotents de Z/abZ. En effet, on a par exemple : (bv) 2 = bv(1 au) = bv uv ab = au mod ab, le reste en résulte. Examnons l anneau er, où e est la classe de bv dans R = Z/abZ. L applcaton Z er, qu à x Z assoce la classe de bv x modulo ab, est un morphsme d anneaux surjectf (vérfer!). Son noyau est az car ab bvx équvaut à a vx, ou encore à a x en remarquant que a et v sont premers entre eux. On a donc un somorphsme Z/aZ er. (Attenton, Z/aZ n est pas, à proprement parler, un sous-anneau de Z/nZ.) Ans, s a et b sont premers entre eux, on a en notant R = Z/abZ et e = bv : Z/abZ = R er (1 e)r Z/aZ Z/bZ. Dans le plan, ne pas oubler la récproque (et sa preuve). On a souvent à utlser ce lemme de façon répétée dans Z/a 1 a r Z avec les a premers entre eux deux à deux. Analoge avec le lemme des noyaux Plaçons-nous sur K[X], où K est un corps. On fxe un espace vectorel E et un endomorphsme ϕ de E. Sot A et B deux polynômes premers entre eux. Le lemme des noyaux (verson basque) s écrt : Ker AB(ϕ) = Ker A(ϕ) Ker B(ϕ). Qutte à restrendre ϕ à Ker AB(ϕ), ce qu sufft pour la preuve, on peut supposer que AB(ϕ) est nul. Chosssons deux polynômes U et V tels que AU + BV = 1. La clé du lemme, c est de constater que BV (ϕ) (resp. AU(ϕ)) est le projecteur sur Ker A(ϕ) parallèlement à Ker B(ϕ) (resp. sur Ker B(ϕ) parallèlement à Ker A(ϕ)) c est très facle à vérfer.

5 5 La verson complète (ndspensable pour la décomposton de Dunford), c est d ajouter que les projecteurs sur chacun des noyaux est un polynôme en ϕ. Interprétons tout cela en termes de modules. On peut consdérer E comme un K[X]-module, où l acton de P K[X] sur v E est donnée par : P v = P (ϕ)(v). Supposer que l on a AB(ϕ) = 0, cela revent à dre que E est en fat un K[X]/(AB) module. Mas le lemme chnos démontré c-dessus se démontre sans modfcaton pour K[X] (l ngrédent essentel, l dentté de Bezout, est dsponble). Avec e = BV, on a donc : K[X]/(AB) = R er (1 e)r K[X]/(A) K[X]/(B). (L somorphsme K[X]/(A) er est ndut par P BV P.) Ans, la décomposton donnée par le lemme des noyaux est la trace de la décomposton de l anneau donnée par le lemme chnos dans le R-module E, au sens où Ker A(ϕ) = Im BV (ϕ) = er E. La décomposton en sous-espaces caractérstques a l nterprétaton suvante. On écrt le polynôme caractérstque P de ϕ dans E comme produt de facteurs rréductbles : P = r =1 P α. Pour tout, on note Q = P/P α et on chost U, V tels que P U + Q V = 1. Par récurrence sur r, on a alors une décomposton de l unté, en notant e = Q V : 1 = e e r mod P. Elle ndut une décomposton comme produt d anneaux : R = K[X]/(P ) e 1 R e r R, où e R K[X]/(P α ). Par le théorème de Cayley-Hamlton (P (ϕ) = 0), le K[X]-module E ndut une structure de K[X]/(P )-module. La décomposton précédente de R = K[X]/(P ) ndut une décomposton lnéare E = e 1 E e r E, où e E = Im Q V (ϕ) = Ker P α (ϕ). À ce ttre, la décomposton en sous-espaces caractérstques est une manfestaton du lemme chnos. Idempotents de Z/nZ Sot p premer et α N. On montre que les dempotents de Z/p α Z sont 0 et 1. 2 On procède par récurrence sur α. Comme Z/pZ est un corps, c est clar pour α = 1. Sot α 2 et e Z tel que e 2 = e mod p α. Alors p dvse e ou (1 e). Qutte à remplacer e par 1 e, on peut supposer que e = pe, e Z. On a donc e (1 pe ) = 0 mod p α 1. Mas d évdence, p α 1 et 1 pe sont premers entre eux, s ben que p α 1 dvse e. En d autres termes, e = 0 mod p α. Sot n Z, dsons n > 0. On décompose n en produt de facteurs premers, n = r lemme chnos précédent donne un somorphsme r Z/nZ Z/p α Z, x (x ) =1,...,r =1 =1 pα défn par la famlle des classes modulo p α d un élément de Z/nZ. S e = e 2 Z/nZ, chacun des e satsfat auss e = e 2 Z/pα Z, donc e vaut 0 ou 1. On a donc 2 r dempotents paramétrés par les partes I {1,..., r}, correspondant à autant de projectons sur des déaux qu sont auss des anneaux somorphes à Z/ I pα Z. La sute donne deux applcatons de l arthmétque élémentare à la cryptographe. Merc à Chrstophe Delaunay pour les nfos. 2 Argument heurstque : un autre dempotent donnerat une décomposton non trvale de Z/p α Z comme produt d anneau : on la connaîtrat déjà! Mas, méfance avec ce genre d arguments.... Le

6 6 II Cryptographe à clé publque : le protocole RSA Alce et Bob veulent échanger des messages secrets. Voc un protocole : 1. Préparatfs chez Alce : Alce chost deux (grands) nombres premers p et q ; Alce calcule n = pq et ϕ(n) = (p 1)(q 1) ; Alce chost un enter e (encodage) nversble modulo ϕ(n) ; Alce calcule, avec l algorthme d Euclde étendu, d (décodage) et f tels que Alce puble (n, e) (la clé publque). 2. Bob veut écrre un message à Alce : ed + fϕ(n) = 1 ; Bob transforme son message en un enter m n avec un codage entendu 3 ; Bob calcule M = m e [n] (le message codé) et l envoe à Alce par téléphone, sans précauton partculère. 3. Alce reçot le message codé M : pour le tradure, elle calcule A d = (m e ) d = m de = m [n]. Dans ce protocole, le seul secret est la factorsaton de n, c est-à-dre p et q. Ce secret est conservé par Alce : même Bob n est pas capable de décoder le message qu l envoe. La sécurté de cet algorthme provent de ce que la factorsaton de n est un problème réputé dffcle plus précsément, de grande complexté algorthmque,.e. qu prend un temps dérasonnable, auss dffcle que le calcul de ϕ(n). Mse en garde : Il peut y avor des pèges s on chos p et q au hasard. Plus précsément, s p 1 et q 1 n ont pas de grand facteur premers, ls sont asément factorsables et, par sute, n l est également. (Pourquo?) (Je ne sas pas.) III Protocole de Dffe-Helman, logarthme dscret et baby steps gant steps 1 Protocole de Dffe-Helman Alce et Bob décdent de partager un secret, ce qu leur permettra d élaborer un code pour échanger des messages. 1. Alce et Bob chosssent ensemble un grand nombre premer p, et trouvent un générateur g du groupe cyclque (Z/pZ) ; tout cec peut être publc ; 2. Alce chost un nombre n A au hasard, 1 n A p 1, calcule et envoe P A à Bob ; P A = n A g [p], 3 Par exemple, l tradut chacune des 26 lettres et des 6 symboles de ponctuaton en un nombre comprs entre 0 et 31, et l découpe son message en mots de k lettres : son message est donc une sute d enters ayant k chffres en base 32.

7 7 3. Bob chost un nombre n B au hasard, 1 n B p 1, calcule et envoe P B à Alce ; 4. Alce calcule n A P B = n A n B g [p] ; 5. Bob calcule n B P A = n A n B g [p]. P B = n B g [p], Au blan, Alce et Bob partagent n A n B g comme secret. 2 Problème du logarthme dscret L dée de ce protocole est la suvante : connassant g et n, l est très facle de calculer g n envron log(n) multplcatons ; connassant g et y, on pense qu l est dffcle de trouver n tel que g n = y. C est le problème du logarthme dscret. Pour le résoudre, on peut calculer g, g 2, g 3,... jusqu à trouver g n = y. Cette méthode naïve demander n opératons, ce qu est très coûteux s n est de l ordre de grandeur de p. 3 Baby steps, gant steps Il y a cependant une méthode smple qu demande envron 2 p multplcatons, ce qu est ben meux. Rappelons que g est un générateur de (Z/pZ) ; on donne y (Z/pZ) et on cherche n tel que g n = y [p] : on calcule q = p, et on écrt n = lq + r, avec 0 r < q et 0 l q ; on a donc : (g q ) l = yg r [p] ; on calcule et on stocke (g q ) 0, (g q ) 1,..., (g q ) q les pas de géant ; on calcule yg 0, yg 1, yg 2,... les pas de bébé jusqu à obtenr une collson ; on a alors : yg r = (g q ) l [p] ; on a enfn : n = lq + r. IV Une devnette cryptologque pour votre neveu de 8 ans Alce, qu habte à Wonderland, veut envoyer un cols à Bob, qu habte à Morane. Or, tous les facteurs de la régon sont corrompus : s on envoe un cols non cadenassé, ls en prennent le contenu. Le problème, c est que Bob n a pas la clé du ou des cadenas d Alce. Comment peut-on procéder? Réponse : Alce envoe un cols cadenassé à Bob. Bob ajoute un cadenas au cols et renvoe le tout à Alce. Alce enlève son cadenas et renvoe le cols à Bob. Bob peut ouvrr le cols, qu est protégé par son seul cadenas.