Plan du cours. 1 Jeux à deux joueurs à somme nulle. 4 Théorème du MINIMAX en stratégies mixtes. 3 stratégies mixtes

Transcription

1 Pla du cours Cours 8 : Alicatios ratiques de la rograatio liéaire Christohe Gozales LIP6 Uiversité Paris 6, Frace 1 Jeux à deux joueurs à soe ulle 2 Théorèe du MINIMAX e stratégies ures 3 stratégies ixtes 4 Théorèe du MINIMAX e stratégies ixtes Jeux à deux joueurs Cours 8 : Alicatios ratiques de la rograatio liéaire 2/23 Exele de jeu à deux joueurs Théorie des jeux théorie des jeux = étude des situatios (les jeux) où des agets (les joueurs) ot à choisir des stratégies stratégies = résultat (aieet, gai) our chaque joueur les résultats déedet des stratégies jouées ar tous les joueurs Jeu à deux joueurs U jeu das lequel il y a que 2 agets Exele : le dilee des risoiers Deux criiels résués : Boie et Clyde iterrogés séaréet ar la olice = 3 cas : 1 ils iet tous les deux = as de reuve = faible eie (1 a) 2 ils avouet tous les deux = eie lus forte (8 as) 3 l u des deux avoue tadis que l autre ie = eies = 0 a our l u et 10 as our l autre Problèe : Que vot faire, que doivet faire, les risoiers? Cours 8 : Alicatios ratiques de la rograatio liéaire 3/23 Cours 8 : Alicatios ratiques de la rograatio liéaire 4/23

2 Fore orale d u jeu à deux joueurs Défiitio de la fore orale jeu à deux joueurs = tableau de gais atrice de jeu = atrice des gais liges = stratégies du 1er joueur coloes = stratégies du 2èe joueur Exele : le dilee des risoiers tous deux iet = eies d 1 a tous deux avouet = eies de 8 as l u avoue, l autre ie = eies resectives = 0 a et 10 as Boie \ Clyde Nier Avouer Nier (-1,-1) (-10,0) Avouer (0,-10) (-8,-8) Cours 8 : Alicatios ratiques de la rograatio liéaire 5/23 Exele de jeu à deux joueurs à soe ulle Jeu à deux joueurs à soe ulle Défiitio d u jeu à deux joueurs à soe ulle Jeu our lequel la soe des aieets est toujours égale à 0 stratégies des joueurs Fore orale d u jeu à deux joueurs à soe ulle atrice des gais coe das le jeu à 2 joueurs classique ais o écrit que le gai du 1er joueur (celui des liges) gai du 2èe joueur = gai du 1er joueur Cours 8 : Alicatios ratiques de la rograatio liéaire 6/23 Jeu à deux joueurs à soe ulle : fore géérale 3 boites : Noire, Rouge, Verte joueur II : réartit 2 ièces de 1 e etre les 3 boites joueur I : choisit 1 boite et gage so coteu Matrice de jeu : joueur I \ joueur II NN RR VV NR NV RV N R V Cours 8 : Alicatios ratiques de la rograatio liéaire 7/23 joueur I \ joueur II 1 2 j 0 1 g 1,1 g 1,2 g 1,j0 g 1, 2 g 2,1 g 2,2 g 2,j0 g 2, i 0 g i0,1 g i0,2 g i0,j 0 g i0, g,1 g,2 g,j0 g, les gais g i,j déedet des stratégies i et j des joueurs g i,j = gai du joueur I g i,j = gai du joueur II Cours 8 : Alicatios ratiques de la rograatio liéaire 8/23

3 Stratégie des joueurs Les joueurs choisisset leurs stratégies à l isu l u de l autre joueur I : stratégie i 0 = gai iiu = i g i 0,j joueur rudet = redre ce gai le lus élevé ossible critère MAXIMIN stratégie du joueur I : stratégie i telle que ax secod joueur : stratégie j 0 = erte axiale = i g i,j ax g i,j 0 joueur rudet = redre cette erte la lus etite ossible critère MINIMAX stratégie du joueur II : stratégie j telle que i ax g i,j Cours 8 : Alicatios ratiques de la rograatio liéaire 9/23 Théorèe du iiax e stratégies ures (2/2) ax g i,j i i ax g i,j : 3 boites : Noire, Rouge, Verte joueur II : réartit 2 ièces de 1 e etre les 3 boites joueur I : choisit 1 boite et gage so coteu joueur I \ joueur II NN RR VV NR NV RV i N R V ax Cours 8 : Alicatios ratiques de la rograatio liéaire 11/23 Théorèe du iiax e stratégies ures (1/2) Théorèe du iiax e stratégies ures Déostratio : i, j, j, ax i g i,j g i,j ax i g i,j ax g i,j i g i,j i ebre de gauche = costate = ax g i,j ax g i,j i i ax g i,j CQFD Cours 8 : Alicatios ratiques de la rograatio liéaire 10/23 Stratégies ixtes / stratégies ure (1/3) les joueurs e euvet être certais d obteir lus que ce qu ils euvet s assurer VON NEUMANN : e oyee euvet-ils s assurer lus? = cocet de stratégie ixte stratégie ixte joueur I : = 1 2. joueur II : q = q 1 q 2. q = stratégie ixte du joueur I, i = roba de jouer la stratégie i q = stratégie ixte du joueur II, q j = roba de jouer la stratégie j Cours 8 : Alicatios ratiques de la rograatio liéaire 12/23

4 Stratégies ixtes / stratégies ure (2/3) { 1 si i = stratégie ure du joueur I : = vecteur uité, i.e., i i0 = 0 si i i 0 { 1 si j = j0 stratégie ure du joueur II : q = vecteur uité, i.e., q j = 0 si j j 0 Eseble de stratégies ixtes P = {eseble { des stratégies } ixtes du 1er joueur} = : i 0 et i = 1 Q = {eseble des stratégies ixtes du 2èe joueur} = q : q j 0 et q j = 1 Cours 8 : Alicatios ratiques de la rograatio liéaire 13/23 Miiax et axii e stratégies ixtes Stratégies ixtes / stratégies ure (3/3) Pr({i, j}) = roba que le joueur I joue i et le joueur II joue j Les joueurs jouet idéedaet = esérace athéatique de gai du joueur I le joueur I joue la stratégie le joueur II joue la stratégie q G = atrice du jeu Esérace de gai = i q j g i,j = T Gq Pr({i, j}) = i q j à artir de aiteat : les joueurs veulet otiiser leur esérace de gai Cours 8 : Alicatios ratiques de la rograatio liéaire 14/23 Théorèe du Miiax e stratégies ixtes Miiax et axii e stratégies ixtes MAXIMIN = ax P i q Q T Gq MINIMAX = i q Q ax P T Gq MAXIMIN = esérace de gai iiale du joueur I MINIMAX = esérace de erte axiale du joueur II Théorèe du iiax (vo Neua) Das tout jeu à deux joueurs à soe ulle, le iiax et le axii e stratégies ixtes sot égaux, i.e., ax i P q Q T Gq = i ax q Q P T Gq E stratégies ures, MAXIMIN MINIMAX Cours 8 : Alicatios ratiques de la rograatio liéaire 15/23 Cours 8 : Alicatios ratiques de la rograatio liéaire 16/23

5 Déostratio du théorèe du iiax (1/6) Déostratio : déostratio de ax P i q Q T Gq i q Q ax P T Gq : = idetique à la déo du théorèe e stratégies ures G T i = lige i de la atrice du jeu G j = coloe j de la atrice du jeu Motros que ce qu u joueur eut s assurer e esérace cotre les stratégies ures de l adversaire, il eut aussi l assurer cotre les stratégies ixtes, i.e., Déostratio du théorèe du iiax (2/6) Soit ue stratégie ixte quelcoque Déostratio de i q Q T Gq = i T G j : stratégie ure = stratégie ixte articulière = i q Q T Gq i T G j Réciroqueet : si j, T G j µ alors : q, T Gq = T G j q j = [ T G j] q j µq j = µ ax i P q Q T Gq = ax i P T G j = i ax q Q GT i q de êe : ax P T Gq = ax GT i q Cours 8 : Alicatios ratiques de la rograatio liéaire 17/23 Déostratio du théorèe du iiax (3/6) Résué du trasaret récédet : Soit ue stratégie ixte quelcoque alors : i q Q T Gq = i T G j et ax P T Gq = vrai quel que soit doc : ax i P q Q T Gq = ax P ax GT i q i T G j i q Q ax P T Gq = i q Q ax GT i q Cours 8 : Alicatios ratiques de la rograatio liéaire 19/23 Cours 8 : Alicatios ratiques de la rograatio liéaire 18/23 Déostratio du théorèe du iiax (4/6) Déostratio ar l absurde de MINIMAX MAXIMIN : Suosos que MAXIMIN < MINIMAX Soit α tel que MAXIMIN < α < MINIMAX Or MAXIMIN = ax P doc stratégie ixte, doc telle que j, T G j α T G j α j doc le systèe T 1 = 1 i 0 i i T G j (cf. trasaret récédet) i T G j < α est icoatible où 1 = vecteur de taille costitué uiqueet de 1 Cours 8 : Alicatios ratiques de la rograatio liéaire 20/23

6 Déostratio du théorèe du iiax (5/6) T G j α j T 1 = 1 i 0 i T G α T 1 1 T 1 1 T I 0 T ( G) α T ( 1 ) 1 T 1 1 T ( I ) 0 où I = atrice idetité et α = vecteur costitué de α Rael : théorèe de l alterative u et u seul des éocés suivats est vrai : 1 il existe v tel que v T A c T 2 il existe x 0 tel que Ax = 0 et c T x < 0 A = [ G 1 1 I ] et c T = [ α T T ] = tel que T A c T = x 0 tel que Ax = 0 et c T x < 0 Cours 8 : Alicatios ratiques de la rograatio liéaire 21/23 Théorèe du Miiax e stratégies ixtes Déostratio du théorèe du iiax (6/6) A = [ G 1 1 I ] et c T = [ α T T ] y 0 x = z z 0 0 tel que Ax = 0 et ct x < 0 d 0 c T x = α T y z + z < 0 = systèe Ax = Gy 1 z + 1 z I d = 0 y 0, z 0, z 0, d 0 = systèe α T y + z z > 0 Gy + 1 z 1 z + I d = 0 y 0, z 0, z 0, d 0 = Gy 1 (z z ) 1 α T y = q t.q. Gq 1 α T q = 1 α = α = G i q α i = cotradictio de otre hyothèse de déart Cours 8 : Alicatios ratiques de la rograatio liéaire 22/23 Théorèe du iiax (vo Neua) Das tout jeu à deux joueurs à soe ulle, le iiax et le axii e stratégies ixtes sot égaux, i.e., ax i P q Q T Gq = i ax q Q P T Gq = théorèe de dualité Cours 8 : Alicatios ratiques de la rograatio liéaire 23/23