Exo7. Applications linéaires continues, normes matricielles. Exercices de Jean-Louis Rouget. Retrouver aussi cette fiche sur

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Dimension: px
Commencer à balayer dès la page:

Download "Exo7. Applications linéaires continues, normes matricielles. Exercices de Jean-Louis Rouget. Retrouver aussi cette fiche sur www.maths-france."

Transcription

1 Exo7 Applicatios liéaires cotiues, ormes matricielles Exercices de Jea-Louis Rouget. Retrouver aussi cette fiche sur Exercice * * très facile ** facile *** difficulté moyee **** difficile ***** très difficile I : Icotourable O muit E = R[X] de la orme défiie par : P E, P = Sup. Vérifier brièvemet que est ue orme sur E. P!, N. 2. Soit f l edomorphisme de E défii par P E, f P = XP. Démotrer que l applicatio f est cotiue sur E, et détermier f. Correctio [5854] Exercice 2 ** O muit E = l C le C-espace vectoriel des suites borées de la orme = sup u. N O cosidère les edomorphismes et C de l C défiis par : u E, u = v où N, v = u + u et u E, Cu = w où N, w = + k= u k. Motrer que et C sot cotius sur E, et calculer leur orme. Correctio [5855] Exercice 3 *** I O muit E = C [,],R de la orme défiie par f E, f = f t dt. O pose T : E E et o admet que T est u edomorphisme de E. f T f : [,] R x x f t dt. Démotrer que T est cotiu sur E, et détermier T. 2. Vérifier que la bore supérieure est pas atteite. Correctio [5856] Exercice 4 ** O muit E = M R de la orme N défiie par A E, NA = Sup a i, j o admet que N est ue i orme sur E. Soit f l applicatio de E das R défiie par A E, f A = TrA. Démotrer que l applicatio f est cotiue sur E,N et détermier f. Correctio [5857] Exercice 5 *** Détermier s = Sup AB A B, A,B M C \ 2 quad est

2 ., 2. 2, 3.. Correctio [5858] Exercice 6 * Ue orme sur M R 2, est-elle écessairemet ue «orme trois barres»? Correctio [5859] Exercice 7 ** Soit N ue orme sur M R. Motrer qu il existe k > tel que A,B M R 2, NAB kanb. Correctio [586] Exercice 8 ** Existe-t-il ue orme N sur M R 2 telle que A,B M R 2, NAB = NANB. Correctio [586] Exercice 9 *** O pose X = x i i M, R, X = i= x i et X = Max i x i. Détermier les ormes sur M R respectivemet associées aux ormes et de M, R. O otera et ces ormes. Correctio [5862] Exercice **I Pour X = x i i M, R, o pose = i= x2 i. Pour A S R, o ote ρa le rayo spectral de A c est-à-dire ρa = Max λ, λ SpA. Motrer que A S R, A 2 = ρa où A 2 = Sup AX 2, X M, R \. Correctio [5863] Retrouver cette fiche et d autres exercices de maths sur exo7.emath.fr 2

3 Correctio de l exercice P k k!. Soit P E. Si o pose P = + k= a kx k, il existe N tel que k >, a k =. Doc P = Sup Max a k, k existe das R. P E, P. Soit P E. P = k N, a k k N, a k = P =. Soiet P E et λ R. λp = Max λa k, k = λ Max a k, k = λ P. Soiet P = k a k X k et Q = k b k X k deux polyômes. Pour k N, a k + b k a k + b k P + Q et doc P + Q P + Q. est ue orme sur E. 2. P E, f P = P et doc P E \, f P P =. O e déduit que Sup f P P, P E \ =. Ceci motre tout à la fois que f est cotiue sur E, et f =. f est cotiue sur E, et f =., k N = Correctio de l exercice 2 La liéarité de est claire et de plus est u edomorphisme de E car si u est ue suite borée, u l est ecore. Plus précisémet, u E, N, u u + u + 2 et doc u E, u 2. Ceci motre que est cotiu sur E et 2. Esuite, si u est la suite défiie par N, u = alors u est u élémet o ul de E tel que = et u = 2. E résumé, u E \, u 2, u E \, u = 2. O e déduit que est cotiu sur E, et = 2. La liéarité de C est claire et C est u edomorphisme de E car si u est borée, Cu l est ecore. Plus précisémet, u E, N, Cu + k= = et doc u E, Cu. Par suite T est cotiue sur E et T. Esuite, si u est la suite défiie par N, u = alors u est u élémet o ul de E tel que = et Cu =. E résumé, u E \, Cu, u E \, Cu =. O e déduit que C est cotiu sur E, et C =. Correctio de l exercice 3 3

4 . Soit f E. T f = T f x dx = x f t dt f t dt x f t dt dx dx dx = f dx = f. Ceci motre que f E \, T f f. Ceci motre que T est cotiu sur E, et que T. Pour N et x [,], posos f x = x. Pour N, f = x dx = [ x+ + ] = +, puis pour x [,], T f x = x t dt = + x+ et doc T f = T f x dx = + x+ dx = + O e déduit que N, T T f f = E résumé, N, + +2 T et doc T =. T est cotiu sur E, et T =. +2 = Supposos qu il existe f E \ tel que T f = f. O e déduit que chaque iégalité écrite au début de la questio est ue égalité et e particulier x f t dtdx = f t dt dx ou ecore f t dt x f t dt dx =. Par suite, x [,], f t dt x f t dt = foctio cotiue, positive, d itégrale ulle puis e dérivat la derière iégalité, x [,], f x = et fialemet f =. Ceci est ue cotradictio et doc T est pas atteite. Correctio de l exercice 4 L applicatio f est liéaire de E,N das R,. Soit A = a i, j i, j E. f A = TrA i= i= a i, j a i,i i= NA = NA. Ceci motre déjà que f est cotiue sur E,N et que f. De plus, si A = I, f A NA = =. Doc f est cotiue sur E, N et f =. Correctio de l exercice 5 A = a i, j i, j M R, A = Max a i, j, i, j. Soiet A = a i, j i, j et B = b i, j i, j. Posos AB = c i, j i, j où i, j [[,]] 2, c i, j = a i,kb k, j. Pour i, j [[,]] 2, c i, j a i,k b k, j A B = A B, 4

5 et doc, AB A B. Aisi, A,B M C \ 2 AB, A B. De plus, pour A = B = i, j, A = B = puis A B = A = et doc. Ceci motre que Sup AB A B, A,B M C \ 2 =. A B A B = E particulier, est pas ue orme sous-multiplicative. A = a i, j i, j M R, A = i, j a i, j. Avec les otatios précédetes, AB = i, j i, j c i, j = i, j a i,k b k, j i,k b k, j a a i, j b k,l = A B. i, j,k,l = a i,k b k, j i, j,k Doc A,B M R \ 2 AB, A B. De plus, pour A = B = E,, o a A B = E, et doc A B A B =. Ceci motre que Sup AB A B, A,B M C \ 2 =. E particulier, est ue orme sous-multiplicative. A = a i, j i, j M R, A 2 = i, j a 2 i, j. Avec les otatios précédetes, AB 2 2 = i, j c 2 i, j = a i, j 2 i,k = a i, j 2 i,k b 2 k, j i, j b 2 l, j l= a i,k b k, j 2 iégalité de CAUCHY-SCHWARZ = i, j,k,l a 2 i,kb 2 l, j = i,k a 2 i,k Doc A,B M R \ 2 AB, 2 A 2 B 2. De plus, pour A = B = E,, o a A B = E, et doc A B 2 A 2 B 2 =. Ceci motre que Sup AB 2 A 2 B 2, A,B M C \ 2 = b 2 l, j j,l = A 2 B 2 E particulier, 2 est ue orme sous-multiplicative. Correctio de l exercice 6 Ue «orme trois barres» sur M R est écessairemet sous-multiplicative. L exercice précédet motre qu il existe des ormes sur M R qui e sot pas sous-multiplicatives par exemple. Doc ue orme sur M R est pas écessairemet ue «orme trois barres». 5

6 Correctio de l exercice 7 Soit N ue orme sur M R. D après l exercice 5, est ue orme sous-multiplicative. Puisque M R est u espace vectoriel de dimesio fiie sur R, N et sot des ormes équivaletes. Par suite, il existe deux réels strictemet positifs α et β tels que α N β. Pour A,B M R 2, NAB β AB β A B β α 2 NANB et le réel k = β est u réel strictemet positif tel que A,B M α 2 R 2, NAB knanb. Remarque. Le résultat précédet sigifie que N = K N est ue orme sous-multiplicative car pour A,B M R 2, N AB = k 2 NAB k 2 NANB = k NA k NB = N AN B. Correctio de l exercice 8 No, car si A = E, et B = E 2,2 alors AB = puis NAB < NANB. Correctio de l exercice 9 Pour. Soiet A = a i, j i, j M R puis X = x i i M, R. AX = i= i, j x j a i= x j a i, j x j Max = x j a i, j i= a i, j, j i= = Max C j, j X, e otat C,..., C les coloes de la matrice A. Doc, A M R, A Max C j, j. Soit alors j [[,]] tel que C j = Max C j, j. O ote X le vecteur coloe dot toutes les composates sot ulles sauf la j -ème qui est égale à. X est u vecteur o ul tel que AX = i= a i, j = Max C j, j X. E résumé, X M, R \, AX X Max C j, j, 2 X M, R \, AX X = Max C j, j. O e déduit que A M R, A = Max C j, j. Pour. Soiet A = a i, j i, j M R puis X = x i i M, R. Pour i [[,]], AX i = Max a i, j x j a i, j X a i, j, i a i, j x j X = Max L k, k X, e otat L,..., L les liges de la matrice A. Doc, A M R, A Max L i, i. Soit alors i [[,]] tel que L i = Max L i, i. O pose X = ε i i où j [[,]], ε j est u élémet de, tel que a i, j = ε j a i, j par exemple, ε j = a i, j a i, j si a i, j et ε j = si a i, j =. 6

7 AX = Max a i, jε j = a i, j ε j, i a i, j = L i = Max L i, i X. E résumé, X M, R \, AX X Max L i, i, 2 X M, R \, AX X Max L i, i. O e déduit que A M R, A = Max L i, j. Aisi, e otat C,..., C et L,..., L respectivemet les coloes et les liges d ue matrice A, A M R, A = Max C j, j et A = Max L i, i. Correctio de l exercice Soit D = diagλ i i D R. Pour X = x i i M, R, DX 2 = i= λ i 2x2 i ρd 2 i= x2 i = ρd, De plus, si λ est ue valeur propre de D telle que λ = ρd et X est u vecteur propre associé, alors DX 2 = λx 2 = λ X 2 = ρd X 2. E résumé X M, R \, DX 2 ρd, 2 X M, R \, DX 2 X 2 = ρd. O e déduit que D D R, D 2 = ρd. Soit alors A S R. D après le théorème spectral, il existe P O R et D = diagλ i i D R tel que A = PD t P. De plus ρa = ρd. Pour X M, R, AX 2 = PD t PX 2 = D t PX 2 car P O R Y M, R, PY 2 = Y 2 = DX 2 où o a posé X = t PX. Maiteat l applicatio X t PX = X est ue permutatio de M, R car la matrice t P est iversible et doc X décrit M, R si et seulemet si X décrit M, R. De plus, pour tout vecteur coloe X, X 2 = t PX 2 =. O e déduit que AX 2, X M, R \ = DX 2 X 2, X M, R \ et e particulier, A 2 = D 2 = ρd = ρa. A S R, A 2 = Sup AX 2, X M, R \ = ρa. Remarque. L applicatio A ρa est doc ue orme sur S R et de plus cette orme est sous-multiplicative. 7

Planche n o 19. Applications linéaires continues, normes matricielles. Corrigé

Planche n o 19. Applications linéaires continues, normes matricielles. Corrigé Planche n o 19. Applications linéaires continues, normes matricielles. Corrigé n o 1 *I : 1 Soit P E. Si on pose P = + a k X k, il existe n N tel que k > n, a k =. Donc P = { k= P k } Sup k!, k N = Max{

Plus en détail

* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable

* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable Exo7 Topologie Exercices de Jea-Louis Rouget Retrouver aussi cette fiche sur wwwmaths-fracefr * très facile ** facile *** difficulté moyee **** difficile ***** très difficile I : Icotourable Exercice **

Plus en détail

Exo7. Déterminants. = 4(b + c)(c + a)(a + b). c + a c + b 2c Correction. b + a 2b b + c. Exercice 2 ** X a b c a X c b b c X a c b a X

Exo7. Déterminants. = 4(b + c)(c + a)(a + b). c + a c + b 2c Correction. b + a 2b b + c. Exercice 2 ** X a b c a X c b b c X a c b a X Exo7 Détermiats Exercices de Jea-Louis Rouget Retrouver aussi cette fiche sur wwwmaths-fracefr * très facile ** facile *** difficulté moyee **** difficile ***** très difficile I : Icotourable T : pour

Plus en détail

Séries entières. Chap. 09 : cours complet.

Séries entières. Chap. 09 : cours complet. Séries etières Chap 9 : cours complet Rayo de covergece et somme d ue série etière Défiitio : série etière réelle ou complee Théorème : lemme d Abel Théorème : itervalle des valeurs positives où ue série

Plus en détail

* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable T : pour travailler et mémoriser le cours

* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable T : pour travailler et mémoriser le cours Exo7 Logique, esembles et applicatios Exercices de Jea-Louis Rouget Retrouver aussi cette fiche sur wwwmaths-fracefr * très facile ** facile *** difficulté moyee **** difficile ***** très difficile I :

Plus en détail

Développement d une fonction en série entière. Exemples et applications

Développement d une fonction en série entière. Exemples et applications Développemet d ue foctio e série etière Exemples et applicatios Das ce chapitre, K désigera R ou C B(; R) désigera la boule ouverte de cetre et de rayo R > 1 Gééralités Défiitio 1 Soit f ue applicatio

Plus en détail

Notations Soit I un intervalle de R. Soit f une fonction définie sur I, à valeurs dans R. Notons représentative de f dans un repère du plan.

Notations Soit I un intervalle de R. Soit f une fonction définie sur I, à valeurs dans R. Notons représentative de f dans un repère du plan. Foctio réciproque d'ue octio cotiue, d'ue octio dérivable FNCTIN RECIPRQUE D'UNE FNCTIN CNTINUE, D'UNE FNCTIN DERIVABLE EXEMPLES N SE LIMITERA AUX FNCTINS NUMERIQUES DEFINIES SUR UN INTERVALLE DE R Notatios

Plus en détail

SESSION DE 2004 CA/PLP

SESSION DE 2004 CA/PLP SESSION DE 4 CA/PLP CONCOURS EXTERNE Sectio : MATHÉMATIQUES SCIENCES PHYSIQUES COMPOSITION DE MATHÉMATIQUES Durée : 4 heures L usage des calculatrices de poche est autorisø (coformømet au directives de

Plus en détail

1 Programme de l agrégation interne

1 Programme de l agrégation interne Séries umériques Programme de l agrégatio itere Partie 0b : Séries de ombres réels ou complexes Séries à termes positifs La série coverge si et seulemet si la suite des sommes partielles est borée Étude

Plus en détail

CONCOURS COMMUN POLYTECHNIQUE EPREUVE SPECIFIQUE-FILIERE MP MATHEMATIQUES 1

CONCOURS COMMUN POLYTECHNIQUE EPREUVE SPECIFIQUE-FILIERE MP MATHEMATIQUES 1 SESSION 2005 CONCOURS COMMUN POLYTECHNIQUE EPREUVE SPECIFIQUE-FILIERE MP MATHEMATIQUES PREMIER EXERCICE a. T (x + y dxdy = = ( y= (x + y dy y= x dx = ((x + 2 ( x2 + x2 2 dx = T (x + y dxdy = 4 3. [xy +

Plus en détail

Master 1ère année spécialité IMIS et Mathématiques Contrôle continu de "Processus Stochastiques"

Master 1ère année spécialité IMIS et Mathématiques Contrôle continu de Processus Stochastiques Master ère aée spécialité IMIS et Mathématiques Cotrôle cotiu de "Processus Stochastiques" 8 octobre 00 - Durée h Calculatrices et documets autorisés Exercice Jacques va tous les jours à so travail e emprutat

Plus en détail

SUITES ET FONCTIONS. 1. Espaces vectoriels normés réels ou complexes

SUITES ET FONCTIONS. 1. Espaces vectoriels normés réels ou complexes SUITES ET FONCTIONS. Espaces vectoriels ormés réels ou complexes.. Normes et distaces. Exercice... F Soit E l espace vectoriel des foctios de classe C sur [a, b], o pose Nf = fc + f où c [a, b], f désigat

Plus en détail

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 16 octobre 2015 Enoncés 1

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 16 octobre 2015 Enoncés 1 [http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 6 octobre 25 Eocés Exercice [ 43 ] [Correctio] O pose ) k+ s = et u = l e s ) k k= a) Éocer le théorème des séries spéciales alterées, e faire la preuve. b) Prouver

Plus en détail

SAINT-CYR. MATHEMATIQUES 1 - Epreuve commune Options M, P, T, TA

SAINT-CYR. MATHEMATIQUES 1 - Epreuve commune Options M, P, T, TA SESSION 993 SAINT-CYR MATHEMATIQUES - Epreuve commue Optios M, P, T, TA PREMIÉRE PARTIE ) Les polyômes L 0,, L sot + polyômes de R [X] qui est de dimesio + Pour vérifier que la famille (L i ) 0 i est ue

Plus en détail

I - Caractérisation des matrices symétriques définies positives

I - Caractérisation des matrices symétriques définies positives SESSION Cocours commu Cetrale MATHÉMATIQUES FILIERE MP IA - I - Caractérisatio des matrices symétriques défiies positives IA Soiet N et A S (R O sait que toutes les valeurs propres de A sot réelles Supposos

Plus en détail

Septembre 2011 CPI 317. Exercices. Agnès Bachelot

Septembre 2011 CPI 317. Exercices. Agnès Bachelot Septembre 2 CPI 37 Exercices Agès Bachelot Table des matières - Séries Numériques.......................................... 3 - Séries à termes positifs.................................... 3-2 Séries quelcoques......................................

Plus en détail

Etude de la fonction ζ de Riemann

Etude de la fonction ζ de Riemann Etude de la foctio ζ de Riema ) Défiitio Pour x réel doé, la série de terme gééral,, coverge si et seulemet si x >. x La foctio zeta de Riema est la foctio défiie sur ], [ par : ( x > ), = x. Remarque.

Plus en détail

Feuille 2 : dérivabilité, théorème de Rolle et des accroissements finis, étude des variations

Feuille 2 : dérivabilité, théorème de Rolle et des accroissements finis, étude des variations UPMC 1M001 Aalyse et algèbre pour les scieces 013-014 Feuille : dérivabilité, théorème de Rolle et des accroissemets fiis, étude des variatios Les eercices sas ( ) sot des applicatios directes du cours.

Plus en détail

On peut représenter la situation par un arbre : On a donc p(b 1 B 2)= p(b 1) p (B ) = 3 4 = 3.

On peut représenter la situation par un arbre : On a donc p(b 1 B 2)= p(b 1) p (B ) = 3 4 = 3. T ale S Correctio Exercices type bac de Probabilités. Mars Exercice : Ue ure cotiet au départ 0 boules blaches et 0 boules oires idiscerables au toucher. O tire au hasard ue boule de l ure : Si la boule

Plus en détail

Racine nième Corrigés d exercices

Racine nième Corrigés d exercices Racie ième Corrigés d eercices Page 9 : N 8, 8, 8, 86, 88, 89, 9, 9, 9, 97 Page 6 : N, Page 6 : N Page 67 : N 8 Page 6 : N N 8 page 9 6 6 6 6 6 ( ) = = = = = = = = ( ) = = = = = = ( ) 8 = 8 = = = = = =

Plus en détail

f(t)dt = 0. On pose a = min f et b = max f. 0 1 + x 2 dx = 3 + 1 7 π. 2) En déduire un encadrement de π (meilleur que celui d'archimède).

f(t)dt = 0. On pose a = min f et b = max f. 0 1 + x 2 dx = 3 + 1 7 π. 2) En déduire un encadrement de π (meilleur que celui d'archimède). #4 Itégrale de Riema Khôlles - Classes prépa Thierry Sageaux, Lycée Gustave Eiel Exercice Soit f ue foctio cotiue sur [, ] telle que Motrer que f ab f(t)dt = O pose a = mi f et b = max f Exercice x ) Motrer

Plus en détail

* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable. k n) X k (1 X) n k.

* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable. k n) X k (1 X) n k. Exo7 Suites et séries de foctios Exercices de Jea-Louis Rouget Retrouver aussi cette fiche sur wwwmaths-fracefr * très facile ** facile *** difficulté moyee **** difficile ***** très difficile I : Icotourable

Plus en détail

Cours de Mathématiques. Intégrale de Lebesgue et Probabilités H. DOSS

Cours de Mathématiques. Intégrale de Lebesgue et Probabilités H. DOSS Uiversité Paris Dauphie Départemet MIDO Cours de Mathématiques Itégrale de Lebesgue et Probabilités H. DOSS Table des matières 1 Espaces de probabilité et Itégratio 1 1.1 Présetatio..............................

Plus en détail

2 Exercice 15 : les intégrales de Wallis

2 Exercice 15 : les intégrales de Wallis Exercice sur les itégrles Exercice 5 : les itégrles de Wllis O pose si xdx ) Clculer I et I ) Motrer que l suite ( ) coverge 3) Etblir ue formule de récurrece etre et 4) Motrer que le produit ( + ) + est

Plus en détail

Définition d une norme

Définition d une norme Définition d une norme Définition E est un K-ev. L application N : E R + est une norme sur E ssi 1. x E, N(x) = 0 x = 0. 2. k K, x E, N(k.x) = k N(x). 3. x, y E, N(x + y) N(x) + N(y) Notation N,. Propriété

Plus en détail

Centre Régional des Métiers de l Éducation et de la Formation MARRAKECH

Centre Régional des Métiers de l Éducation et de la Formation MARRAKECH R O Y A U M E D U M A R O C Miistère de l Educatio Natioale et de la Formatio Professioelle Cetre Régioal des Métiers de l Éducatio et de la Formatio Académie Régioale de l Éducatio et de la Formatio Marrakech-Tesift

Plus en détail

* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable T : pour travailler et mémoriser le cours

* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable T : pour travailler et mémoriser le cours Exo7 Comparaiso des suites Exercices de Jea-Louis Rouget. Retrouver aussi cette fiche sur www.maths-frace.fr * très facile ** facile *** difficulté moyee **** difficile ***** très difficile I : Icotourable

Plus en détail

Partie I : Résultats généraux sur les matrices stochastiques - Illustrations

Partie I : Résultats généraux sur les matrices stochastiques - Illustrations 8-8- JFC p EM LYON S JF COSSUTTA Lycée Marceli BERTHELOT SAINT-MAUR jea-fracoiscossutta@waadoofr PROBLÈME Partie I : Résultats gééraux sur les matrices stochastiques - Illustratios Remarque Das la suite

Plus en détail

E(X i ) par linéarité de l espérance.

E(X i ) par linéarité de l espérance. Statistiques appliquées. L3 Iterrogatio Questios de cours. 3 poits 1) Eocer le théorème cetral limite (1 pt). Si (X ) est ue suite de v.a. idépedates et de même loi, admettat des momets d ordre u et deux

Plus en détail

CONCOURS COMMUN POLYTECHNIQUE (ENSI) FILIERE MP MATHEMATIQUES 1

CONCOURS COMMUN POLYTECHNIQUE (ENSI) FILIERE MP MATHEMATIQUES 1 SESSION 22 CONCOURS COMMUN POLYTECHNIQUE ENSI FILIERE MP MATHEMATIQUES EXERCICE : ormes équivaletes. Soit f E. f est de classe C sur [,]. Doc la foctio f est cotiue sur le segmet [,] et par suite la foctio

Plus en détail

Équations différentielles - Cours no 6 Approximation numérique

Équations différentielles - Cours no 6 Approximation numérique Équatios différetielles - Cours o 6 Approximatio umérique 1 Itroductio De très ombreux problèmes scietifiques sot mis e équatio à l aide d u système d équatios différetielles ẋt) = ft, xt)) voir par exemple

Plus en détail

Exercices de Khôlles de Mathématiques, second trimestre

Exercices de Khôlles de Mathématiques, second trimestre Exercices de Khôlles de Mathématiques, secod trimestre Lycée Louis-Le-Grad, Paris, Frace Igor Kortchemski HX 2-2005/2006 Exercices particulièremet itéressats : - Exercices 2., 2.2 - Exercice 3. - Exercice

Plus en détail

Exo7. Les rationnels, les réels. Exercices de Jean-Louis Rouget. Retrouver aussi cette fiche sur

Exo7. Les rationnels, les réels. Exercices de Jean-Louis Rouget. Retrouver aussi cette fiche sur Exo7 Les ratioels, les réels Exercices de Jea-Louis Rouget. Retrouver aussi cette fiche sur www.maths-frace.fr * très facile ** facile *** difficulté moyee **** difficile ***** très difficile I : Icotourable

Plus en détail

CORRIGÉ : MATH 2 ; MP ; Mines-ponts_2015

CORRIGÉ : MATH 2 ; MP ; Mines-ponts_2015 CORRIGÉ : MATH ; MP ; Mies-pots_05 A Norme d opérateur d ue matrice ) est u espace vectoriel ormé de dimesio fiie et S est u fermé boré de, c est doc u compact de L applicatio x Mx est u edomorphisme de

Plus en détail

Le théorème du point xe. Applications

Le théorème du point xe. Applications 49 Le théorème du point xe. Applications 1 Comme dans le titre de cette leçon, le mot théorème est au singulier, on va s'occuper du théorème du point xe de Picard qui a de nombreuses applications. Le cas

Plus en détail

* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable T : pour travailler et mémoriser le cours

* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable T : pour travailler et mémoriser le cours Exo7 Valeurs absolues. Partie etière. Iégalités Exercices de Jea-Louis Rouget. Retrouver aussi cette fiche sur www.maths-frace.fr * très facile ** facile *** difficulté moyee **** difficile ***** très

Plus en détail

CONCOURS COMMUN 2010

CONCOURS COMMUN 2010 CONCOURS COMMUN DES ECOLES DES MINES D ALBI, ALES, DOUAI, NANTES Epreuve de Mathématiques (toutes filières PREMIER PROBLEME Partie I Soit R D et + > D ], [ ], + [ l( + + 3 3 + o(3 et doc f( + 3 3 + o(3

Plus en détail

Problème 1 : continuité uniforme

Problème 1 : continuité uniforme SESSION 0 CAPES EXTERNE MATHÉMATIQUES Problème : cotiuité uiforme f est pas uiformémet cotiue sur I si et seulemet si ε > 0/ η > 0, x,y I / x y η et fx fy > ε Soit f ue foctio -lipschitziee sur I avec

Plus en détail

Exo7. Espaces euclidiens. Exercices de Jean-Louis Rouget. Retrouver aussi cette fiche sur

Exo7. Espaces euclidiens. Exercices de Jean-Louis Rouget. Retrouver aussi cette fiche sur Exo7 Espaces euclidies Exercices de Jea-Louis Rouget. Retrouver aussi cette fiche sur www.maths-frace.fr * très facile ** facile *** difficulté moyee **** difficile ***** très difficile I : Icotourable

Plus en détail

Chapitre 3 : Fonctions d une variable réelle (1)

Chapitre 3 : Fonctions d une variable réelle (1) Uiversités Paris 6 et Paris 7 M1 MEEF Aalyse (UE 3) 2013-2014 Chapitre 3 : Foctios d ue variable réelle (1) 1 Lagage topologique das R Défiitio 1 Soit a u poit de R. U esemble V R est u voisiage de a s

Plus en détail

ESPACES VECTORIELS NORMÉS DE DIMENSION FINIE NORMES USUELLES, ÉQUIVALENCE DES NORMES

ESPACES VECTORIELS NORMÉS DE DIMENSION FINIE NORMES USUELLES, ÉQUIVALENCE DES NORMES ESPACES VECTORIELS NORMÉS DE DIMENSION FINIE NORMES USUELLES, ÉQUIVALENCE DES NORMES SOMMAIRE. Normes sur u espace vectorel E 2.. Défto d'ue orme. Cter l'égalté tragulare reversée. 2.2. Normes usuelles

Plus en détail

CONCOURS COMMUN 2001

CONCOURS COMMUN 2001 CONCOURS COMMUN 2 DES ECOLES DES MINES D ALBI, ALES, DOUAI, NANTES Epreuve de Mathématiques toutes filières PARTIE A PROBLEME A Soit a R + Pour t >, g a t e a l t Quad t ted vers par valeurs supérieures

Plus en détail

Correction CCP maths 1 MP

Correction CCP maths 1 MP mai 4 Avertissemet : Il subsiste certaiemet quelques coquilles... Exercice : ue itégrale double Correctio CCP maths MP Pour calculer cette itégrale, o effectue le chagemet de variable e coordoées polaires

Plus en détail

Introduction aux tests statistiques

Introduction aux tests statistiques Itroductio aux tests statistiques Philippe Boeau 27 septembre 2006 Chapitre 1 Élémets de probabilités Exercice 1 O ote E l esemble des etiers aturels iférieurs ou égaux à 12 et A (respectivemet B et C)

Plus en détail

SAINT-CYR. MATHEMATIQUES 1 - Epreuve commune Options M, P, T, TA PREMIERE PARTIE

SAINT-CYR. MATHEMATIQUES 1 - Epreuve commune Options M, P, T, TA PREMIERE PARTIE SESSION 99 SAINT-CYR MATHEMATIQUES - Epreuve commue Optios M, P, T, TA PREMIERE PARTIE a Pour x R et N, u x Doc, N, u Comme la série de terme gééral coverge, la série de foctios de terme gééral u coverge

Plus en détail

Mots de longueur donnée à base de P lettres, et fonction génératrice

Mots de longueur donnée à base de P lettres, et fonction génératrice Mots de logueur doée à base de lettres, et foctio géératrice Cosidéros les mots de logueur à base de lettres, avec etier positif. ) Combie existe-t-il de tels mots? La première lettre du mot est l ue des

Plus en détail

Correction du devoir surveillé de mathématiques n o 5

Correction du devoir surveillé de mathématiques n o 5 Correctio du devoir surveillé de mathématiques o 5 Exercice 1 1. Soit g la foctio défiie sur R par g(x) = (x 1)e x. (a) Détermier les ites de g e et +. Limite e. O a ue forme idétermiée. E développat,

Plus en détail

Polynômes de Bernstein

Polynômes de Bernstein Polyômes de Berstei Sergei Nataovic Berstei est é e 1880 et est mort e 1968. 1) Défiitio. Soit f ue foctio défiie et cotiue sur [0, 1] à valeurs das. Pour etier aturel o ul doé, le -ième polyôme de Berstei

Plus en détail

SESSION Concours ENSAM - ESTP - EUCLIDE - ARCHIMEDE. Epreuve de Mathématiques B PSI. Exercice I

SESSION Concours ENSAM - ESTP - EUCLIDE - ARCHIMEDE. Epreuve de Mathématiques B PSI. Exercice I SESSION 9 Cocours ENSAM - ESTP - EUCLIDE - ARCHIMEDE E3A Epreuve de Mathématiques B PSI Exercice I ) rga) 3 < 4 et doc A / GL 4 R) Par suite, est valeur propre de A ) Soit U Puisque la somme des coefficiets

Plus en détail

x deux caractères de G. Le produit xx est défini par la formule : PREMIeRE COMPOSITION DE MATHEMATIQUES

x deux caractères de G. Le produit xx est défini par la formule : PREMIeRE COMPOSITION DE MATHEMATIQUES 74 Écoles Normales Supérieures Ulm et Lyo optio M lère compositio 1/6 PREMIeRE COMPOSITION DE MATHEMATIQUES (Sujet commu ENS : ULM et LYON) DURÉE : 6 heures Lc cadidat peut traiter l ue quelcoque des parties

Plus en détail

Concours de l Iscae. Épreuve Commune de Mathématiques (2015)

Concours de l Iscae. Épreuve Commune de Mathématiques (2015) Mohiieddie Beayad Cocours de l Iscae Épreuve Commue de Mathématiques (5) Voici l éocé de l épreuve commue de Mathématiques du cocours d etrée à l ISCAE de l aée 5, aisi que l itégralité du corrigé. Les

Plus en détail

Groupe orthogonal d'un espace vectoriel euclidien de dimension 2, de dimension 3

Groupe orthogonal d'un espace vectoriel euclidien de dimension 2, de dimension 3 1 Groupe orthogoal d'u espace vectoriel euclidie de dimesio, de dimesio Voir le chapitre 19 pour l'étude des espaces euclidies et des isométries. État doé u espace euclidie E de dimesio 1, o rappelle que

Plus en détail

1 Convergence simple et convergence uniforme

1 Convergence simple et convergence uniforme Mster Métiers de l Eseigemet, Mthémtiques - ULCO, L Mi-Voi, 0/03 ANALYSE Fiche de Mthémtiques 5 - Suites et séries de foctios Soiet E et F deu espces métriques quelcoques et (f ) ue suite d pplictios de

Plus en détail

Fonctions convexes. Prologue

Fonctions convexes. Prologue Foctios covexes Prologue Ce chapître développe les propriétés des foctios covexes f C E R défiies sur ue partie covexe C d u espace de dimesio fiie E. Si, fodametalemet, la covexité est ue propriété uidimesioelle

Plus en détail

Examen du 12 juin durée : 3h

Examen du 12 juin durée : 3h Master de Mathématiques Aalyse Foctioelle Exame du 1 jui 13 1 - durée : 3h Le seul documet autorisé est u résumé mauscrit du cours de trois pages maximum. Les téléphoes portables et les calculatrices e

Plus en détail

Produit scalaire. Exercices

Produit scalaire. Exercices Produit scalaire Exercices -3 Exercices de base Formes biliéaires symétriques Soit ϕ l applicatio de 3 3 das telle que : ϕ(u,u ) = xx + xy + x y + yy + xz + x z + 3zz a Motrer que ϕ est ue forme biliéaire

Plus en détail

BTS BIOCHIMIE & ANALYSES BIOLOGIQUES 2001

BTS BIOCHIMIE & ANALYSES BIOLOGIQUES 2001 Exercice 1 : ( 12 poits ) Les parties A et B peuvet être traitées idépedammet l ue de l autre. O se propose d étudier l évolutio e foctio du temps des températures d u bai et d u solide plogé das ce bai.

Plus en détail

Estimation par vraisemblance

Estimation par vraisemblance Chapitre 4 Estimatio par vraisemblace Le procédé de costructio des estimateurs par isertio a été itroduit das le chapitre 2. L objectif de ce chapitre est d étudier ue autre méthode de costructio, basée

Plus en détail

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 10 juillet 2014 Enoncés 1. Exercice 6 [ 02475 ] [correction] Si n est un entier 2, le rationnel H n =

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 10 juillet 2014 Enoncés 1. Exercice 6 [ 02475 ] [correction] Si n est un entier 2, le rationnel H n = [http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 1 juillet 14 Eocés 1 Nombres réels Ratioels et irratioels Exercice 1 [ 9 ] [correctio] Motrer que la somme d u ombre ratioel et d u ombre irratioel est u ombre irratioel.

Plus en détail

Terminale S (2014-2015) Suites numériques

Terminale S (2014-2015) Suites numériques Termiale S (04-05) Suites umériques Raisoemet par récurrece. Itroductio E Mathématiques, u certai ombre de propriétés dépedet d u etier aturel. Par exemple, la ( + ) somme des etiers aturels de à est égale

Plus en détail

Corrigé de Mathématique éco HEC

Corrigé de Mathématique éco HEC Corrigé de Mathématique éco HEC EXERCICE Hypothèses. M 3 R est l espace vectoriel des matrices carrées d ordre 3 à coefficiets réels. A M 3 R : s A 3 A,j, s A 3 A,j, s 3 A 3 somme des coefficiets des liges

Plus en détail

REDUCTION DES ENDOMORPHISMES ET DES MATRICES Exercices

REDUCTION DES ENDOMORPHISMES ET DES MATRICES Exercices REDUCTION DES ENDOMORPHISMES ET DES MATRICES Exercices EXERCICE 1 : Soit E u espace vectoriel et u L(E) tel que u u +u = 0 Motrer que Sp (u) {0, 1, } EXERCICE : 1) Soit A ue matrice carrée telle que A

Plus en détail

et arctanx + arctan 1 x = sgn(x)π 2. 3. Application à la statue de la liberté : haute de 46 mètres avec un piédestal de 47 mètres.

et arctanx + arctan 1 x = sgn(x)π 2. 3. Application à la statue de la liberté : haute de 46 mètres avec un piédestal de 47 mètres. Eo7 Foctios circulaires et hyperboliques iverses Correctios de Léa Blac-Ceti. Foctios circulaires iverses Eercice Vérifier arcsi + arccos π et arcta + arcta sgπ. Idicatio Correctio Vidéo [00075] Eercice

Plus en détail

STATISTIQUE : ESTIMATION

STATISTIQUE : ESTIMATION STATISTIQUE : ESTIMATION Préparatio à l Agrégatio Bordeaux Aée 202-203 Jea-Jacques Ruch Table des Matières Chapitre I. Estimatio poctuelle 5. Défiitios 5 2. Critères de comparaiso d estimateurs 6 3. Exemples

Plus en détail

CONCOURS DE RECRUTEMENT D ELEVES PILOTE DE LIGNE. Partie I

CONCOURS DE RECRUTEMENT D ELEVES PILOTE DE LIGNE. Partie I CONCOURS DE RECRUTEMENT D ELEVES PILOTE DE LIGNE ANNEE 14 EPREUVE DE MATHEMATIQUES Partie I Questio 1 : Explicatio 1 : I GL R et I GL R mais I I = / GL R. Doc GL R est pas u sous-espace vectoriel de M,

Plus en détail

x k, 2 : x k 1 n x x 1

x k, 2 : x k 1 n x x 1 SMIA/S3 ANALYSE 3 AALAMI IDRISSI et EZEROUALI Chapitre 5 FONCTIONS DE IR DANS IR p I) NOTIONS DE TOPOLOGIE SUR IR 1) Normes sur IR : a) Défiitio: O appelle orme sur toute applicatio x x de das telle que

Plus en détail

LEÇON N 20 : Racines n-ièmes d un nombre complexe. Interprétation géométrique. Applications.

LEÇON N 20 : Racines n-ièmes d un nombre complexe. Interprétation géométrique. Applications. LEÇON N 20 : Racies -ièmes d u ombre complexe. Iterprétatio géométrique. Applicatios. Pré-requis : Représetatio d u ombre complexe das le pla R 2 mui d u repère orthoormé direct ; Formes trigoométrique

Plus en détail

LES SUITES. u n = 1 n, pour n 1. u n = n 3

LES SUITES. u n = 1 n, pour n 1. u n = n 3 LES SUITES. Défiitio.. Défiitio Ue suite umérique est ue foctio de das, défiie à partir d'u certai rag 0. La otatio (u ) désige la suite e tat qu'objet mathématique et u désige l'image de l'etier (appelé

Plus en détail

ESPACES VECTORIELS APPLICATIONS LINEAIRES

ESPACES VECTORIELS APPLICATIONS LINEAIRES SPACS VCTORILS APPLICATIONS LINAIRS xercices Les exercices précédés de ce symbole e serot pas traités e classe (U corrigé sera mis sur le site) XRCIC : O ote M3 l espace vectoriel des matrices carrées

Plus en détail

Sup Galilée - Maths pour l Ingénieur Corrigé du Partiel du 19 Novembre 2008

Sup Galilée - Maths pour l Ingénieur Corrigé du Partiel du 19 Novembre 2008 Sup Galilée - Maths pour l Igéieur Corrigé du Partiel du 9 Novembre 008 Étude d ue suite récurrete Soit u 0 ]0, [ O cosidère la suite (u ) défiie par u + u 3 u ) Justifier que la suite u est borée O motre

Plus en détail

* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable

* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable Eo7 Séries etières Eercices de Jea-Louis Rouget Retrouver aussi cette fiche sur wwwmaths-fracefr * très facile ** facile *** difficulté moyee **** difficile ***** très difficile I : Icotourable Eercice

Plus en détail

x +1 + ln. Donner la valeur exacte affichée par cet algorithme lorsque l utilisateur entre la valeur n =3.

x +1 + ln. Donner la valeur exacte affichée par cet algorithme lorsque l utilisateur entre la valeur n =3. EXERCICE 3 (6 poits ) (Commu à tous les cadidats) Il est possible de traiter la partie C sas avoir traité la partie B Partie A O désige par f la foctio défiie sur l itervalle [, + [ par Détermier la limite

Plus en détail

Quelques inégalités classiques

Quelques inégalités classiques Quelques iégalités classiques O se propose de motrer, sous forme d exercices, quelques iégalités classiques. Les preuves de ces iégalités e écessitet que quelques coaissaces élémetaires.. Exercices classiques

Plus en détail

Théorème de Rolle dans le cas complexe.

Théorème de Rolle dans le cas complexe. Théorème de Rolle das le cas complexe. Das ce problème o se propose de prouver l aalogue complexe suivat du théorème de Rolle : Théorème. Soiet a et b deux ombres complexes disticts et u etier. Soit P

Plus en détail

APPLICATIONS LINEAIRES Exercices

APPLICATIONS LINEAIRES Exercices EXERCICE : APPLICATIONS LINEAIRES Exercices ) Motrer que l applicatio f : f : est liéaire x, y, z x z, y z ) Soit ue matrice AM et soit f l applicatio qui à toute matrice X M associe la matrice Y défiie

Plus en détail

Corrigé de CCP 2015 Math PC

Corrigé de CCP 2015 Math PC Corrigé d CCP 5 Math PC Problèm : Aalys t probabilités Parti I : Aalys..a. Pour N, f st dérivabl sur R + t, pour t, f (t) = t t ( t).! f st doc croissat sur [; ], décroissat sur [; + [ t f () = = lim f

Plus en détail

Exercices d oraux de la banque CCP Corrigés BANQUE PROBABILITÉS

Exercices d oraux de la banque CCP Corrigés BANQUE PROBABILITÉS Exercices d oraux de la baque CCP 204-20 - Corrigés BANQUE PROBABILITÉS EXERCICE 96 (a La variable aléatoire X est régie par ue loi biomiale E effet, expérieces idetiques et idépedates (car les tirages

Plus en détail

Corrigé : EM Lyon 2005

Corrigé : EM Lyon 2005 Corrigé : EM Lyo 5 Optio écoomique Eercice :. Par défiitio de E, la famille (I,J,K) est ue famille géératrice de E. Cette famille est-elle libre? O cherche tous les réels a, b et c tels que : ai +bj +ck

Plus en détail

Planche n o 6. Séries numériques. Corrigé

Planche n o 6. Séries numériques. Corrigé Plache o 6 Séries umériques Corrigé Exercice o Pour, o pose u l ère solutio u l ++, u existe + + + l + +O +O O Comme la série de terme gééral,, coverge série de Riema d exposat α >, la série de terme gééral

Plus en détail

Centres étrangers Enseignement spécifique. Corrigé

Centres étrangers Enseignement spécifique. Corrigé EXERCICE 1 Partie A Cetres étragers 13. Eseigemet spécifique. Corrigé 1) La durée de vie moyee d ue vae est l espérace de la variable aléatoire T. O sait que l espérace de la loi expoetielle de paramètre

Plus en détail

Promenades aléatoires : vers les chaînes de Markov

Promenades aléatoires : vers les chaînes de Markov AME Dossier : Matrices et suites 545 romeades aléatoires : vers les chaîes de Markov ierre Griho (*) Cet article propose ue mise e perspective de la otio de promeade ou de marche aléatoire itroduite das

Plus en détail

Calculs de limites, développements limités, développements asymptotiques

Calculs de limites, développements limités, développements asymptotiques Eo7 Calculs de limites, développemets limités, développemets asymptotiques Eercices de Jea-Louis Rouget Retrouver aussi cette fiche sur wwwmaths-fracefr * très facile ** facile *** difficulté moyee ****

Plus en détail

Travaux dirigés de transports et transferts thermiques

Travaux dirigés de transports et transferts thermiques Travaux dirigés de trasports et trasferts thermiques Aée 015-016 Araud LE PADELLEC alepadellec@irap.omp.eu page page 3 P r é s e t a t i o Tous les exercices de trasports et de trasferts thermiques qui

Plus en détail

Feuille d exercices: Calcul matriciel.

Feuille d exercices: Calcul matriciel. Feuille d exercices : Calcul matriciel : Exercice 2 3 ) Soit A = 0 0, motrer que A est la matrice das la 2 6 base caoique de R 3 d ue projectio dot o precisera le oyau et l image 2) Doer la matrice das

Plus en détail

Université de Picardie Jules Verne 2006-2007 Faculté de Mathématiques et d Informatique

Université de Picardie Jules Verne 2006-2007 Faculté de Mathématiques et d Informatique Uiversité de Picardie Jules Vere 006-007 Faculté de Mathématiques et d Iformatique Licece metio Mathématiques - Deuxième aée - Semestre 4 Probabilités Elémetaires Exame du ludi 4 jui 007 Durée h00 Documet

Plus en détail

Chapitre 2. Rappels sur les suites arithmétiques et les suites géométriques

Chapitre 2. Rappels sur les suites arithmétiques et les suites géométriques Chapitre Rappels sur les suites arithmétiques et les suites géométriques Nous allos ici rappeler les différets résultats sur les suites de ombres réels qui sot des suites arithmétiques ou des suites géométriques

Plus en détail

Correction HEC III 2007

Correction HEC III 2007 HEC III 7 Voie Écoomique Correctio Page Correctio HEC III 7 Voie écoomique La correctio comporte 9 pages. Eercice. Par dé itio est ue valeur propre de t si et seulemet si est ue valeur propre de T: Et

Plus en détail

Chapitre 16 : Espaces vectoriels

Chapitre 16 : Espaces vectoriels PCSI Préparatio des Khôlles -4 Chapitre 6 : Espaces vectoriels Exercice type Soit E=R[X] et F ={P E, P(X)=XP (X)+P()}, motrer que F est u sous-espace vectoriel de E. : O a bie F E. Si P =est le polyôme

Plus en détail

Concours Communs Polytechniques - Session 2011 Corrigé de l épreuve d analyse- Filière MP

Concours Communs Polytechniques - Session 2011 Corrigé de l épreuve d analyse- Filière MP Cocours Commus Polytechiques - Sessio 11 Corrigé de l épreuve d aalyse- Filière MP Séries etières, équatios différetielles et trasformée de Laplace Corrigé par M.TRQI http://alkedy.1.m Eercice 1 1. La

Plus en détail

Université Joseph Fourier, Grenoble. Séries numériques. Luc Rozoy, Bernard Ycart

Université Joseph Fourier, Grenoble. Séries numériques. Luc Rozoy, Bernard Ycart Uiversité Joseph Fourier, Greoble Maths e Lige Séries umériques Luc Rozoy, Berard Ycart Disos-le tout et, ce chapitre est pas idispesable : d ailleurs, vous e verrez pas vraimet la différece avec les suites.

Plus en détail

Estimations et intervalles de confiance

Estimations et intervalles de confiance Estimatios et itervalles de cofiace Estimatios et itervalles de cofiace Résumé Cette vigette itroduit la otio d estimateur et ses propriétés : covergece, biais, erreur quadratique, avat d aborder l estimatio

Plus en détail

Partie I - Suites et intégrales

Partie I - Suites et intégrales SESSION 16 Cocours commu Cetrale MATHÉMATIQUES. FILIERE MP I.A - Étude d ue itégrale à paramètres Partie I - Suites et itégrales I.A - 1 Soit φ : [, + [ ], + [ R de sorte que pour tout réel x, fx = Φx,t.

Plus en détail

Chapitre 1 : Les notions de base

Chapitre 1 : Les notions de base Chapitre : Les otios de base Itroductio I Comparer des gradeurs A) Les pourcetages B) Taux de variatio, coefficiet multiplicateur, idice C) Importace du ses de la comparaiso ) Raisoemet sur les taux de

Plus en détail

1 Topologies, distances, normes

1 Topologies, distances, normes Université Claude Bernard Lyon 1. Licence de mathématiques L3. Topologie Générale 29/1 1 1 Topologies, distances, normes 1.1 Topologie, distances, intérieur et adhérence Exercice 1. Montrer que dans un

Plus en détail

Modélisation stochastique

Modélisation stochastique Uiversité de Lorraie Master 2 IMOI 2014-2015 Modélisatio stochastique Madalia Deacou 2 Table des matières Itroductio 5 1 Simulatio de variables aléatoires 7 1.1 Itroductio............................ 7

Plus en détail

Calculs de ζ(2) = n 2. 1 n. 1) 1er calcul de. . En voici. n 2. De nombreux développements en série de Fourier fournissent la valeur de 1. un exemple.

Calculs de ζ(2) = n 2. 1 n. 1) 1er calcul de. . En voici. n 2. De nombreux développements en série de Fourier fournissent la valeur de 1. un exemple. Clculs de ζ er clcul de u exemple De ombreux développemets e série de Fourier fourisset l vleur de E voici Soit f l foctio défiie sur R à vleurs ds R, π-périodique telle que x [ π, π], fx x y fx 6 5 4

Plus en détail

Exercices d oraux de la banque CCP 2014-2015 - Corrigés BANQUE ALGÈBRE

Exercices d oraux de la banque CCP 2014-2015 - Corrigés BANQUE ALGÈBRE Exercices d orux de l bque CCP 4-5 - Corrigés BANQUE ALGÈBRE EXERCICE 59 extbf Si P, degfp degp P degp et e prticulier, fp Pr cotrpositio, P E, [fp P ] Doc le oyu de l edomorphisme f est {} Pr suite f

Plus en détail

Filière Sciences de Matières Physiques (SMP4) Module Mathématiques : Analyse (S4) Cours d Analyse

Filière Sciences de Matières Physiques (SMP4) Module Mathématiques : Analyse (S4) Cours d Analyse UNIVERSITÉ MOHAMMED V - AGDAL Faculté des Scieces Départemet de Mathématiques Filière Scieces de Matières Physiques (SMP4) Module Mathématiques : Aalyse (S4) Cours d Aalyse Séries umériques Suites et Série

Plus en détail

MATHEMATIQUES 2. Fonctions de matrices

MATHEMATIQUES 2. Fonctions de matrices SESSION 2004 EPREUVE SPECIFIQUE FILIERE MP MTHEMTIQUES 2 Durée : 4 heures Les calculatrices sot iterdites * * * NB : Le cadidat attachera la plus grade importace à la clarté, à la précisio et à la cocisio

Plus en détail

Exercices - Variables aléatoires discrètes : corrigé. Variables discrètes finies - Exercices pratiques

Exercices - Variables aléatoires discrètes : corrigé. Variables discrètes finies - Exercices pratiques Variables discrètes fiies - Exercices pratiques Exercice - Loi d u dé truqué - L2/ECS -. X pred ses valeurs das {,..., 6}. Par hypothèse, il existe u réel a tel que P (X k) ka. Maiteat, puisque P X est

Plus en détail