PHY124, année 0405 COURS D'ÉLECTROCINÉTIQUE

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1 PHY4, année 45 COUS D'ÉLECTOCINÉTIQUE

2 Ce ors, dsponble sr le web à l adresse http ://marpx.np3.fr/alo/my-web/ele/ele.html, est l œvre de Sylvan Tsserant, de l Unversté de Marselle, q a donné l atorsaton de l tlser. Il est rappelé qe la forntre d n polyopé va a-delà des oblgatons stattares des ensegnants, et qe es derners ne saraent être tens por responsables des fates de frappe et nexattdes d texte. Il est pls qe vvement reommandé de partper de façon atve ax ors et TD por assmler et ensegnement. Le polyopé n est q n otl, la référene por le programme de l examen est le onten d ors et des TD.. Corant ontn. égmes transtores 3. égmes snsoïdax statonnares Conten

3 ELECTONIQUE DE SE appels d életronétqe Sylvan TISSENT Unversté de la Méerranée Eole Spérere d Ingéners de Lmny - Département d nformatqe 3

4 S. Tsserant ESIL appels d életronétqe - 3

5 Los de base vertssement : L'objet de e haptre n'est pas de démontrer rgoresement tos les résltats spposés onns de l'életronétqe. Il s'agt pltôt d'n ade-mémore rappelant les prnpales los tlsées por la mse en éqaton des rts életrqes. I. Dpôle életronétqe On appelle dpôle életronétqe tot système relé à l'extérer par dex ondters nqement. Le omportement d'n dpôle est aratérsé par dex granders életrqes dales : la tenson et le orant. La tenson ax bornes d'n dpôle représente la dfférene de potentel (t) entre les dex bornes d dpôle. La tenson s'exprme en olt (). dpôle (t) (t) v (t) v (t) Fgre Le orant traversant n dpôle orrespond a déplaement de harges életrqes sos l'effet d hamp életrqe ndt par la dfférene de potentel ax bornes d dpôle. tot nstant le orant entrant par ne borne d'n dpôle est égal a orant sortant par l'atre borne. L'ntensté (t) de e orant mesre le débt des harges életrqes q traversent ne seton de ondter : (t) dq(t) L'ntensté s'exprme en mpère (). Le orant életrqe est ne grander orentée. Conventonnellement le sens postf orrespond a sens de déplaement des harges postves. dpôle (t) (t) (t) (t) Fgre S. Tsserant ESIL appels d életronétqe - 3 3

6 Il exste dex possbltés por le hox des sens onventonnels de la tenson et d orant. Selon qe et sont de même sens o non nos avons : dpôle Conventon générater dpôle Conventon réepter Fgre 3 En régme statonnare, ndépendant d temps, l exste ne relaton entre l'ntensté traversant le dpôle et la tenson entre ses bornes. Cette relaton pet éventellement fare ntervenr des paramètres extérers (températre, élarement, hamp magnétqe, et ). Cette relaton pet se mettre sos la forme () o (). Les graphes obtens sont appelés aratérstqes statqes : () : aratérstqe statqe orant-tenson d dpôle () : aratérstqe statqe tenson-orant d dpôle Un dpôle est passf s son ntensté de ort-rt et sa tenson en rt overt sont nlles : ses aratérstqes statqes passent par l'orgne. Il est atf dans le as ontrare. Un dpôle est lnéare s : o ( α ( α β β ) α ( ) β ( ) α ( ) β ( ) ) I. Pssane életrqe reçe par n dpôle Consdérons n dpôle paror par n orant rlant de vers. Pendant n ntervalle de temps δt, ne harge δq δt "entre" en ave ne énerge potentelle δe et "sort" en ave ne énerge δe : S. Tsserant ESIL appels d életronétqe - 3 4

7 dpôle δe δe v v δq δq Fgre 4 L'énerge életrqe reçe par le dpôle orrespond à la dfférene entre l'énerge potentelle apportée en et emportée en : δ E δe δe (v v ) δt La pssane életronétqe nstantanée reçe par le dpôle a don por expresson : p (t) (v v ) Dans la onventon réepter la qantté p(t) (t) (t) représente la pssane életrqe nstantanée reçe par le dpôle. éproqement dans la onventon générater elle représente la pssane délvrée a reste d rt par le dpôle. I.3 Los de Krhhoff On appelle rt o résea életrqe n ensemble de dpôles relés entre ex par des fls ondters parfats. Un nœd est n pont d rt relé à dex dpôles o pls. Une branhe de résea est la parte de rt omprse entre dex nœds. Une malle est n parors fermé de branhes passant a pls ne sele fos par n nœd donné. Les dex los de Krhhoff permettent l'analyse des réseax életrqes. Lo des nœds : En tot nœd d'n rt, et à tot nstant, la somme des orants q arrvent est égale à la somme des orants q sortent. Il s'agt d'ne onséqene de la onservaton de la harge életrqe. arrvent partent Fgre 5 S. Tsserant ESIL appels d életronétqe - 3 5

8 La lo des nœds pet enore s'érre sos la forme svante : En tot nœd d'n résea la somme algébrqe des orants est nlle. Lo des malles : Le long de tote malle d'n résea életrqe, à tot nstant, la somme algébrqe des tensons est nlle. C ( - ) ( - C ) (? - ) Fgre 6 I.4 ssoatons de dpôles On dstnge dex types d'assoaton de dpôles. Les dpôles pevent être onnetés en sére, ls sont alors tos traversés par la même ntensté. Ils pevent être onnetés en parallèle, ls sont alors tos soms à la même tenson. I.4.a ssoaton sére n Fgre 7 Chaqe dpôle est traversé par la même ntensté et la tenson ax bornes d dpôle éqvalent est égale à la somme des tensons partelles : (t) n k k (t) S. Tsserant ESIL appels d életronétqe - 3 6

9 I.4.b ssoaton parallèle n Fgre 8 Les dpôles sont soms à la même tenson. Le orant total q traverse l'ensemble des dpôles est égal à la somme des orants ndvdels : (t) n k k (t) I.5 ésstanes I.5.a Lo d'ohm (t) (t) Fgre 9 S. Tsserant ESIL appels d életronétqe - 3 7

10 La tenson ax bornes d'ne résstane est donnée par la lo d'ohm : (t) (t) (en onventon réepter) La résstane s'exprme en Ohm (Ω). La pssane nstantanée reçe par ne résstane a por expresson : p Cette pssane est tojors postve : ne résstane se omporte tojors omme n réepter. S la résstane est onstante le dpôle est lnéare. I.5.b ssoatons de résstanes I - I Fgre Consdérons n rt fermé omportant n générater de tenson et N résstanes en sére. Selon la lo des malles nos povons érre : N I Par défnton la résstane éqvalente est telle qe : I, don : N S. Tsserant ESIL appels d életronétqe - 3 8

11 Consdérons N résstanes en parallèle. Comme elles- sont somses à la même tenson, hane est parore par n orant : G I La qantté G / est appelée ondtane (nté : Semens (S) o anennement mho). La lo des nœds nos donne : N I N G I I Par défnton de la ondtane éqvalente nos avons : N N G G I.6 Sores de tenson et de orant I.6.a Sores de tenson déales et réelles Un générater de tenson déal délvre ne tenson ndépendante d orant débté : ste e v v Cette tenson est la fore életromotre (f.e.m.) d générater. - e e Fgre La résstane nterne d'n générater de tenson déal est nlle, e q n'est généralement pas le as por n générater réel. Un générater réel est modélsé par n générater déal en S. Tsserant ESIL appels d életronétqe - 3 9

12 sére ave sa résstane nterne. En onventon générater, la aratérstqe statqe tensonorant d générater de tenson réel devent : e r. La résstane nterne ndt ne hte de tenson. e - r e - r Fgre On dstnge dex types de sore de tenson. Une sore ndépendante, o atonome, est ne sore dont la valer de la f.e.m. est onstante et ne dépend pas d rt. Une sore ommandée, ontrôlée, o lée est ne sore dont la valer de la f.e.m. dépend d'ne qantté externe à la sore, par exemple ne tenson o ne ntensté d rt. Un générater de tenson déal est n exemple de dpôle polarsé : le sgne de la f.e.m. (o f..e.m.) est ndépendant de el d orant. Selon les as l fontonne omme générater o réepter. En effet, en notaton générater p représente la pssane délvrée a reste d rt par la sore de tenson. ns : s > p > sore générater s < p < sore réepter I.6. Sores de orant déales et réelles Un générater de orant déal débte n orant dont l'ntensté est ndépendante de la tenson ax bornes d générater : S ste La fgre 3 montre le symbole d'ne sore de orant déale et sa aratérstqe oranttenson. La résstane nterne d'ne sore de orant déale est nfne. Por n générater réel on tent ompte de sa résstane nterne, en le modélsant par ne sore déale de orant en S. Tsserant ESIL appels d életronétqe - 3

13 parallèle ave sa résstane nterne r. En onventon générater, la aratérstqe statqe orant-tenson d générater de orant réel est don : S. r S S Fgre 3 S r S - r Fgre 4 Comme por les sores de tenson on dstnge les sores de orant ndépendantes et les sores de orant ommandées q dépendent d'ne grander életrqe d rt. I.7 Dpôles non polarsés Il exste des dpôles se omportant en réepter qelqe sot le sens de passage d orant. Ils sont s non polarsés. En onventon réepter p représente la pssane reçe par le dpôle. Un dpôle non polarsé et tojors réepter, nos devons don avor : p > C'est-à-dre q'en onventon réepter, la tenson et le orant sont tojors de même sgne : S. Tsserant ESIL appels d életronétqe - 3

14 e e por > por < ave e > Un dpôle non polarsé est représenté de la manère svante : e e -e Fgre 5 Por q'n orant traverse le réepter non polarsé l fat qe la tenson à ses bornes sot égale en valer absole à la f..e.m., don : < e I.8 Prnpe de sperposton Lorsq'l ne ontent qe des dpôles lnéares, la réponse (orant et tenson dans haqe branhe) d'n résea omportant plsers sores ndépendantes (de tenson et/o de orant) est égale à la somme des réponses qe l'on obtendrat en onsdérant séparément hane de es sores. Por hane des sores ndépendantes, on étde la réponse d rt les atres sores ndépendantes étant "étentes". Par ontre, les sores ommandées restent tojors atves. Le prnpe de sperposton est ne onséqene drete de la lnéarté d résea. Une sore de tenson déale "étente" est remplaée par n ort-rt (e ). Une sore de orant déale "étente" est remplaée par n rt overt ( S ). Consdérons n rt omportant n dpôles dont N sores de tenson o de orant ndépendantes. L'état életrqe de e rt, o sa réponse, pet être aratérsé par l'ensemble des ntenstés des orants traversant haqe dpôle et des tensons ax bornes de ex- : { k, v k } k, n r S. Tsserant ESIL appels d életronétqe - 3

15 Nos povons aller N états partels en onsdérant hane des N sores en serve sele les atres étant "étentes" : r j j j {, v } por j, N k k k, n Le prnpe de sperposton permet d'érre la réponse omplète à partr des états partels : sot : v k k N j N j r j k v N j j k j r k, n I.9 Théorèmes de Thévenn et de Norton I.9.a Théorème de Thévenn Un résea lnéare, ne omprenant qe des sores ndépendantes de tenson, de orant et des résstanes, prs entre dex bornes se omporte omme n générater de tenson E en sére ave ne résstane. La f.e.m. E d générater éqvalent est égale à la tenson exstant entre les dex bornes onsdérées lorsqe le résea est en rt overt. La résstane est elle d rt v des dex bornes lorsqe totes les sores sont étentes. I.9.b Théorème de Norton De même on pet remplaer tot résea lnéare, ne omportant pas de sores ommandées, prs entre dex de ses bornes par ne sore de orant I en parallèle ave ne résstane. L'ntensté I est égale a orant de ort-rt, les dex bornes étant relées par n ondter parfat. La résstane est elle d rt v des dex bornes lorsqe totes les sores sont étentes. S. Tsserant ESIL appels d életronétqe - 3 3

16 I.9. Eqvalene entre représentatons de Thévenn et Norton L'applaton respetve des théorèmes de Thévenn et Norton permet de montrer l'éqvalene de dex rts svants : E - I Fgre 6 ave : E I I. Théorème de Mllman Consdérons le rt svant : Fgre 7 Por hane des branhes nos povons érre : S. Tsserant ESIL appels d életronétqe - 3 4

17 3 3 3 Sot enore : En sommant es relatons l vent : Or nos avons : 3, don : o Ce résltat se généralse à n nombre qelonqe de branhes : n k k n k k k n k k n k k k G G La tenson a nœd est la moyenne des tensons ax bornes de tos les dpôles pondérée par les ondtanes respetves. S. Tsserant ESIL appels d életronétqe - 3 5

18 S. Tsserant ESIL appels d életronétqe - 3 6

19 égmes transtores Dans e haptre nos étdons la réponse de qelqes rts lnéares à ertanes stmlatons. Cela va nos permettre de revor la mse en éqaton de es systèmes et la résolton d'éqatons dfférentelles lnéares d premer o seond ordre. Nos verrons ans apparaître dex régmes de fontonnement d'n rt le régme permanent et le régme transtore. II. Composants de stokage d'énerge Dans le haptre préédent nos avons étdé le omportement statqe de rts ne omprenant qe des sores et des résstanes. Nos ntrodsons dex éléments dont les aratérstqes orant-tenson font ntervenr des relatons dfférentelles o ntégrales. II..a Condensater Un ondensater est n dpôle q emmagasne ne harge életrqe q proportonnelle à la tenson q l est applqée : q(t) la harge q étant portée par l'armatre. C (t) C [ v (t) v (t)] q -q Fgre Le oeffent de proportonnalté C est appelé apaté d ondensater. L'nté est le Farad noté F. D'atre part la varaton par nté de temps de la harge q est égale à l'ntensté d orant traversant le ondensater : S. Tsserant ESIL appels d életronétqe - 3 7

20 d q(t) (t) d (t) C La harge et don la tenson d'n ondensater ne pevent pas varer de manère nfnment rapde. La harge et la tenson d'n ondensater sont don tojors des fontons ontnes par rapport a temps. Cette aratérstqe est tle por la détermnaton de onons ntales. La pssane nstantanée reçe par n ondensater pet s'érre : p(t) (t) (t) d (t) C (t) d (t) C Callons l'énerge reçe par le ondensater pendant n ntervalle de temps t : t W p(x) dx C t d (t) dx dx C [ (t) ()] C (t) S nos spposons qe le ondensater est ntalement déhargé, nos retrovons l'expresson de l'énerge életrostatqe stokée dans n ondensater : W C q q C II..b ssoatons de ondensaters Consdérons l'assoaton de n ondensaters de apatés C k,n en sére : C C C C 3 n 3 n Fgre Chan de es ondensaters est traversé par la même ntensté. Nos povons érre por haqe ondensater ne relaton entre ette ntensté et la tenson à ses bornes : S. Tsserant ESIL appels d életronétqe - 3 8

21 Ck d k k [, n] où k représente la tenson ax bornes d k-ème ondensater. Par défnton le ondensater éqvalent à la sére est tel qe : Ce q nos donne : d C ave n k k Don : n k d C k C n k Ck d n k d k C n k n k Ck Ck Por ne assoaton de ondensaters en sére, l'nverse de la apaté éqvalente est égale à la somme des nverses des apatés. Consdérons mantenant l'assoaton de n ondensaters de apatés C k,n en parallèle : 3 n C C C 3 C n Fgre 3 S. Tsserant ESIL appels d életronétqe - 3 9

22 Chaqe ondensater est soms à la même d.d.p. et est traversé par n orant k : k Ck L'ntensté d orant total devant traverser le ondensater éqvalent est égale à la somme de es orants don : d d C n k k n n d C k C k k Ck Por ne assoaton de ondensaters en parallèle, la apaté éqvalente est égale à la somme des apatés. II.. to-ndtane o self Dans ne bobne o ato-ndtane le flx nstantané est proportonnel a orant parorant elle- : Φ L. Le oeffent L est appelé oeffent d'ato-ndton d rt. Il s'exprme en Henry (H). Lorsqe le orant vare, l apparaît dans la self ne f..e.m. (q s'oppose à la varaton d orant) : e(t) d Φ(t) L d(t) La fgre svante montre le symbole qe nos tlsons por ne self et sa modélsaton en onventon réepter : Fgre 4 ette modélsaton orrespond l'éqaton : (t) v (t) v(t) d(t) L S. Tsserant ESIL appels d életronétqe - 3

23 L'ntensté traversant ne bobne ne pet pas varer de manère nfnment rapde. L'ntensté dans ne bobne est don ne fonton ontne d temps. Cette aratérstqe est tle por la détermnaton de onons ntales. La pssane nstantanée reçe par ne self s'ért : p(t) (t) (t) d (t) L (t) d (t) L En ntégrant sr n ntervalle de temps t, nos retrovons l'expresson de l'énerge életromagnétqe stokée dans ne bobne : W L Φ II..d ssoatons de bobnes Consdérons l'assoaton de n bobnes en sére : L L L L 3 n 3 n Fgre 5 Chaqe self est traversée par le même orant et est somse à ne tenson k : k (t) Lk d(t) La tenson ax bornes de l'ensemble est égale à la somme des tensons partelles, don : d(t) (t) L (t) n k d (t) k (t) n k Lk L n k Lk S. Tsserant ESIL appels d életronétqe - 3

24 Por ne assoaton de bobnes en sére l'ndtane éqvalente est égale à la somme des ndtanes. Consdérons l'assoaton de n bobnes en parallèle (fg. 6). Chaqe self est somse à la même tenson et est traversée par n orant k, tel qe : (t) Lk d k (t) L'ntensté totale est égale à la somme des ntenstés partelles don : (t) n k k (t) d (t) (t) L n k d k (t) n k (t) Lk L n k Lk 3 n L L L 3 L n Fgre 6 II. Charge d'n ondensater a travers d'ne résstane Consdérons le rt shématsé sr la fgre 7. l'nstant t nos fermons l'nterrpter. Nos spposons q'à et nstant la harge ntale d ondensater est nlle : q(t). tot nstant t > nos povons érre : C ( ) ( C ) (t) ave la relaton entre la harge et l'ntensté : q(t) C S. Tsserant ESIL appels d életronétqe - 3

25 d q(t) (t) C q C Fgre 7 Nos obtenons don l'éqaton dfférentelle svante : d q(t) q(t) C Tote solton de ette éqaton dfférentelle d premer ordre pet s'érre omme la sperposton d'ne solton partlère de l'éqaton omplète et de la solton générale de l'éqaton sans seond membre. Comme solton partlère de l'éqaton omplète, nos povons onsdérer le régme statonnare (ndépendant d temps) : d q(t) q(t) C ésolvons l'éqaton dfférentelle sans seond membre : d q(t) q(t) C d q(t) q(t) C q(t) k e t / C La solton générale s'ért don : q(t) C t k e / C Cherhons la solton vérfant la onon ntale : t q(t ) C k k C S. Tsserant ESIL appels d életronétqe - 3 3

26 Nos avons don : q(t) C (t) t / (t) τ e ( e t / τ ) / ( e t τ ) ave τ C Les fgres 8 et 9 donnent l'allre de l'évolton temporelle de la tenson ax bornes d ondensater et de l'ntensté. (t) τ Fgre 8 t (t) τ Fgre 9 t S. Tsserant ESIL appels d életronétqe - 3 4

27 II.3 Etablssement d'n orant à travers ne bobne Consdérons le rt présenté sr la fgre svante : L Fgre Nos spposons q'ntalement l'nterrpter est overt et q'an orant ne rle : (t). l'nstant t nos fermons l'nterrpter. Por t > nos povons érre : Ce q nos donne l'éqaton dfférentelle : d(t) L (t) d(t) L (t) Nos retrovons ne éqaton dfférentelle d premer ordre, dont la solton générale de l'éqaton sans seond membre s'ért : d(t) L (t) (t) k e t / τ ave τ L Comme solton partlère de l'éqaton omplète nos povons herher le régme statonnare, sot : Ce q nos donne por la solton omplète : S. Tsserant ESIL appels d életronétqe - 3 5

28 (t) k e t / τ La onstante k est défne par la onon ntale : k - / Ce q nos donne : (t) L ( e t / τ ) ave τ II.4 Déharge d'n ondensater à travers ne bobne et ne résstane Nos onsdérons le rt LC svant : L C q Fgre Nos spposons q'ntalement le ondensater est hargé et q'l ne rle an orant (nterrpter overt) : q(t) q et (t). ve notre hox d'orentaton d sens postf por le orant, nos avons : q(t) d(t) L (t) C d q(t) (t) Ce q nos donne l'éqaton dfférentelle svante : d q(t) d q(t) L C C q(t) S. Tsserant ESIL appels d életronétqe - 3 6

29 Il s'agt d'ne éqaton dfférentelle lnéare d seond ordre. Por résodre ette éqaton l fat herher les ranes de l'éqaton aratérstqe assoée : Celle- a por dsrmnant : L C x C x C 4 L C La valer de la résstane por laqelle e dsrmnant est nl est appelée résstane rtqe : L C Nos povons enore érre le dsrmnant sos la forme : C L 4 C C ( ) Les soltons de l'éqaton dfférentelle sont dfférentes selon le nombre et le type des ranes de l'éqaton aratérstqe. er as : L'éqaton aratérstqe admet ne rane doble réelle : r L L C τ ave τ L C L'éqaton dfférentelle admet alors por solton : Ce q nos donne por l'ntensté : q(t) ( µ λ r t t) e (t) d q(t) ( λ µ r λ r t r t) e Les onstantes λ et µ sont défnes par les onons ntales : S. Tsserant ESIL appels d életronétqe - 3 7

30 q(t ) µ q (t ) ( λ µ r) λ µ r q L C Nos obtenons don por la solton globale : q(t) q q (t) τ t e τ t e t / τ t / τ ave τ L C q(t) τ Fgre t (t) τ Fgre 3 t S. Tsserant ESIL appels d életronétqe - 3 8

31 Les fgres et 3 llstrent l'allre de l'évolton temporelle de la harge d ondensater et de l'ntensté a travers de la self. L'ntensté est maxmale por t τ. ème as : > L'éqaton aratérstqe a alors dex ranes réelles dstntes : r ± ± L de même sgne ar : r r > L C Ces dex ranes sont don négatves. Nos notons lers valers absoles : q vérfent : α ± α ± α L L C τ Les soltons de l'éqaton dfférentelle se mettent alors sos la forme : Ce q nos donne por l'ntensté : (t) q(t) λ λ α t e λ α α t α e λ α e α Les paramètres λ et λ - sont défns par les onons ntales : e t t q(t ) λ λ q (t ) λ α λ α Ce q nos donne : λ α α q α α q et λ α α S. Tsserant ESIL appels d életronétqe - 3 9

32 Sot en reportant dans les expressons de la harge et de l'ntensté : q q(t) α α α α q (t) α α α ( α t α α t e e ) α ( t α t e e ) Les fgres 4 et 5 llstrent l'évolton temporelle de es fontons. q(t) τ t Fgre 4 ( τ L C ) (t) τ t Fgre 5 ( τ L C ) S. Tsserant ESIL appels d életronétqe - 3 3

33 3 ème as : < L'éqaton aratérstqe admet dex ranes omplexes onjgées : r ± ± j L Notons α et ω les valers absoles des partes réelle et magnare de es ranes : ave : r ± α ± j ω, α ω L L L C 4 L τ α La solton générale de l'éqaton dfférentelle s'ért alors : q(t) λ e r t λ e r t λ e α t e jω t λ e α t e jω t e α t os( ω t ϕ) Ce q nos donne por l'ntensté : (t) e α t [ α os( ω t ϕ) ω sn ( ω t ϕ)] Les onstantes et ϕ sont détermnées par les onons ntales : q(t ) osϕ q (t ) ( α osϕ ω sn ϕ) Ce q nos donne : tan ϕ α ω et q osϕ Sot en reportant dans les expressons de la harge q et d orant : S. Tsserant ESIL appels d életronétqe - 3 3

34 q α t q(t) e os( ωt ϕ) osϕ ω q α t (t) e sn ωt os ϕ Les fgres 6 et 7 montrent l'évolton temporelle de es qanttés. On observe des osllatons amortes. q(t) τ t Fgre 6 ( τ L C ) (t) τ t Fgre 7 ( τ L C ) S. Tsserant ESIL appels d életronétqe - 3 3

35 Nos povons omparer les tros régmes de déharge qe nos venons de renontrer. La fgre 8 llstre es tros as por dfférentes valers de la résstane, ave ne même apaté et ne même ndtane : - orbe blee : - orbe roge : - orbe verte :.75. Nos avons hos omme nté de temps τ LC. Nos onstatons qe la déharge la pls rapde est obtene ave la résstane rtqe. Por ne résstane pls grande la déharge est pls lente. Por ne résstane pls pette, l fat attendre qelqes osllatons avant d avor totalement déhargé le ondensater. Fgre 8 II.4 Commentare sr le hox des onons ntales Nos avons v qe la résolton des éqatons dfférentelles fat apparaître des onstantes q dovent être détermnées à s appyant sr les onons ax lmtes, en général les onons ntales. Lorsqe le rt omporte n ondensater, nos povons tlser la ontnté de sa tenson o de sa harge. Celle- ne pet en effet pas varer de manère nfnment rapde, ela néessterat n orant nfn. Lorsqe le rt omporte ne bobne, nos povons tlser la ontnté de l ntensté q la traverse. Nos savons en effet q ne self-ndtane s oppose a varaton d ntensté. S. Tsserant ESIL appels d életronétqe

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37 égme permanent snsoïdal III. Granders aratérstqes des sgnax pérodqes Une grander physqe (orant, tenson, et.) est e pérodqe s elle reprend dentqement la même valer à ntervalles de temps égax. Pérode T : temps mnmal néessare por retrover la même valer de la fonton. Fréqene F : nverse de la pérode. F aler nstantanée o (t) : la fonton elle-même. aler maxmale I : ampltde o valer de rête (ne valer nstantanée partlère) T aler moyenne I : T I (t) T La valer moyenne d'n orant pérodqe est égale à l'ntensté d orant ontn q fornrat la même harge (q I T) pendant ne pérode. aler effae I eff : I eff T T (t) S nos omparons à l'énerge dsspée par effet Jole dans ne résstane pendant ne pérode : W T Jole (t) I eff T nos observons qe la valer effae d'n orant pérodqe est l'ntensté d'n orant ontn q fornrat dans ne résstane le même effet Jole pendant ne pérode. S. Tsserant ESIL appels d életronétqe

38 égme permanent snsoïdal (.C.) On parle de régme permanent snsoïdal lorsqe l'évolton temporelle des sgnax orrespond à des snsoïdes. La forme générale d'n sgnal snsoïdal est don : (t) I sn ( ωt ϕ) appelons qelqes défntons : Phase nstantanée : ωt ϕ Phase à l'orgne o déphasage : ϕ Plsaton : Pérode : Fréqene : ω T π ω ν T ω π Callons les valers moyenne et effae : T I sn ( ωt ϕ) T I T T I I os[ ( ωt ϕ)] I sn ( ωt ϕ) T T eff I eff I III. eprésentatons d'ne grander snsoïdale Por falter les alls l est possble de fare appel à dex représentatons des granders snsoïdales. Ces dex représentatons onsstent à assoer à ne grander snsoïdale n veter tornant dans n plan. La projeton de e veter sr n des dex axes pet alors donner aès à la grander onsdérée. La représentaton pet être graphqe, l s'agt de la représentaton de Fresnel. Elle pet être analytqe. En effet à tot veter on pet assoer n nombre omplexe dont la parte réelle est égale à ne omposante de e veter et la parte magnare à l'atre omposante dans n repère orthonormé. S. Tsserant ESIL appels d életronétqe

39 III..a eprésentaton de Fresnel Le veter de Fresnel assoé à n sgnal snsoïdal est n veter tornant dont la vtesse anglare est égale à la plsaton d sgnal. La norme de e veter est égale à l'ampltde d sgnal et l'angle polare est à tot nstant égal à la phase nstantanée d sgnal. La valer algébrqe d sgnal est donnée par la projeton d veter tornant sr l'axe vertal. (t) I ωt ϕ (t) I sn ( ωt ϕ) Fgre Lorsq'on ne ompose qe des sgnax de même pérode, on ne s'ntéresse en fat q'ax déphasages relatfs. Il n'est don pas néessare de fare torner la fgre. On se ontente d'n veter fxe ayant por norme l'ampltde d sgnal et por angle polare son déphasage. I ϕ Notaton : I I ϕ Fgre Intéressons nos à la somme de dex fontons snsoïdales de même fréqene : Il vent : Y(t) y (t) y y (t) a y (t) a (t) sn ( ωt ϕ sn ( ωt ϕ ) a ) a (sn ωt osϕ (sn ωt osϕ osωt sn ϕ ) osωt sn ϕ ) S. Tsserant ESIL appels d életronétqe

40 Y(t) (a osϕ a osϕ ) sn ωt (a sn ϕ a sn ϕ ) osωt Nos povons ntrodre dex paramètres réels > et φ, tels qe : ave : a osϕ a osϕ osφ a sn ϕ a sn ϕ sn φ a a a a (osϕ a ϕ ϕ φ sn a sn tan a osϕ a osϕ osϕ sn ϕ sn ϕ ) a a a a os( ϕ ϕ ) En reportant dans l'expresson de Y(t) nos obtenons : Y(t) (sn ωt osφ osωt sn φ) sn ( ωt φ) Nos arons p rasonner dretement sr la fgre 3 et à partr de elle- retrover l'ampltde et le déphasage φ d veter somme des dex veters représentant les fontons y et y. a ϕ - ϕ ϕ ϕ φ a Fgre 3 Nos avons v dans le haptre préédent qe la mse en éqaton de ertans dpôles fat ntervenr la dérvaton o l'ntégraton. Essayons de vor omment pevent se tradre es opératons dans la représentaton de Fresnel. Consdérons ne fonton snsoïdale : Dérvons ette fonton : d y(t) y(t) a sn ( ωt ϕ) a ω os( ωt ϕ) a ω sn ( ωt ϕ π / ) S. Tsserant ESIL appels d életronétqe

41 La dérvée orrespond à la mltplaton de l'ampltde par la plsaton ω et se trove en qadratre avane par rapport a sgnal. De même ntégrons la fonton : a a y (t) os( ωt ϕ) sn ( ωt ϕ π / ) ω ω La prmtve orrespond à la dvson de l'ampltde par la plsaton ω et se trove en qadratre retard par rapport a sgnal. La fgre 4 résme la représentaton graphqe de es dex opératons. aω ϕ π/ a ϕ ϕ π/ a/ω Fgre 4 III..b Notaton omplexe tote fonton snsoïdale d'ampltde a et de phase nstantanée ω t ϕ nos povons fare orrespondre n nombre omplexe défn par : y(t) a [os( ωt ϕ) j sn ( ωt ϕ)] a e j( ω t ϕ) a e jϕ e jω t où j représente l'magnare pr : j - (notaton de physen). Dérvons ette fonton omplexe par rapport à t : d y(t) jϕ j ω a e jω t e j ω y(t) S. Tsserant ESIL appels d életronétqe

42 La dérvaton orrespond à ne mltplaton par j ω. Callons la prmtve de ette fonton omplexe : y(t) jϕ jω t a e e j ω L'ntégraton se transforme en ne dvson par j ω. y(t) j ω Nos verrons dans les prohans paragraphes qe l'tlsaton de la notaton omplexe permet de smplfer la résolton des éqatons dfférentelles en régme permanent snsoïdal. III.3 Impédanes omplexes On appelle mpédane d'n dpôle lnéare passf (résstane, apaté o self) la grander omplexe Z(jω) q rele dans la représentaton omplexe la dfférene de potentel a orant : (t) dpôle (t) (t) Z(j ω) (t) Fgre 5 ve les notatons svantes por l'mpédane omplexe : Z (j ω) j X Z j e ϕ et son nverse : Y Z j X Z G j Y jϕ e La parte réelle de l'mpédane est appelée résstane. La parte magnare X de l'mpédane est appelée réatane. La grander Z est appelée modle de l'mpédane. La grander ϕ représente le déphasage de l'ntensté (t) par rapport à la tenson (t). La grander Q X / est appelée fater de qalté d dpôle. La grander Y /Z est appelée admttane d dpôle. La parte réelle G de l'admttane est appelée ondtane. La parte magnare de l'admttane est appelée sseptane. S. Tsserant ESIL appels d életronétqe - 3 4

43 Consdérons l'mpédane des tros dpôles de base. ésstane pre : (t) v (t) v(t) (t) En notaton omplexe : (t) U e jω t (t) (t) Fgre 6 Don : Z (jω) Condensater parfat : q C d q(t) (t) q(t) C (t) En notaton omplexe : jω t (t) U e (t) d (t) C Fgre 7 (t) d (t) C jω C U e jω t jωc (t) Don : ZC (jω) jπ / e jcω Cω Indtane pre : L Fgre 8 d(t) (t) L En notaton omplexe : jω t (t) I e jω t (t) L jω I e L jω (t) Don : jπ / ZL (jω) jlω Lω e S. Tsserant ESIL appels d életronétqe - 3 4

44 III.4 ssoatons d'mpédanes III.4.a Un exemple Consdérons n rt LC soms à ne extaton snsoïdale v(t) sn ωt. Etdons le orant (t), lorsqe le régme permanent est attent : L v(t) - C Fgre 9 Nos povons érre la tenson ax bornes d générater et ax bornes des tros dpôles en sére : d(t) q(t) v (t) (t) L ave (t) C Ce q nos donne omme éqaton dfférentelle : d q(t) d(t) L (t) (t) v(t) o C d (t) L d (t) C (t) d v(t) La solton d'ne telle éqaton est la sperposton d'ne solton de l'éqaton sans seond membre (le régme transtore) et d'ne solton partlère de l'éqaton omplète (le régme permanent). Nos avons v qe saf por les soltons de l'éqaton sans seond membre tendent totes rapdement vers n orant nl. Comme v(t) est ne fonton snsoïdale de plsaton ω, on pet hosr ne solton partlère de l'éqaton omplète de la forme : (t) I sn ( ωt ϕ). Nos povons résodre l'éqaton dfférentelle en tlsant la notaton omplexe : v(t) e jω t (t) I e jϕ e jω t S. Tsserant ESIL appels d életronétqe - 3 4

45 L'éqaton devent : Sot : v(t) L'mpédane pet être notée : (t) j L ω v(t) C ω Z(jω) (t) ave Z (jω) j L ω C ω Z (j ω) j X(j ω) ave X(jω) L ω C ω où X(jω) est la réatane d rt. Notons Z le modle de l'mpédane : Z X L ω C ω Nos povons réérre la relaton entre la tenson et l'ntensté sos la forme : e jωt I e jϕ e jωt ( j X) Mltplons han des dex membres par son onjgé, nos obtenons : I ( X ) I Z Ce q nos permet d'érre por l'ampltde de l'ntensté : I Z D'atre part, por détermner le déphasage de l'ntensté par rapport à la sore de tenson, nos avons : Don : ϕ e j (osϕ j sn ϕ) I ( j X) L ω X C ω tan ϕ et os ϕ Z S. Tsserant ESIL appels d életronétqe

46 emarqons qe os ϕ don -π/ ϕ π/. L'mpédane d rt LC vare ave la plsaton. Elle est mnmale por la plsaton propre d rt : Z por L ω sot ω C ω mn L C L'ntensté est alors en phase ave la sore de tenson. La orbe -dessos montre la varaton de l'ampltde de l'ntensté (o sa valer effae) por ne tenson donnée en fonton de la plsaton de la sore. Nos avons n phénomène de résonane à ω. I ω ω Fgre Callons por qelle plsaton nos avons : Z 'est-à-dre X (jω) L ω ± C ω Il nos fat résodre : L C ω ± C ω Cette éqaton a por dsrmnant : C 4 L C > Les soltons sont don de la forme : S. Tsserant ESIL appels d életronétqe

47 ω ± C ± C L C 4 L C Nos ne onservons qe les soltons postves, 'est-à-dre : C ω C ω C 4 L C L C C 4 L C L C On défnt le fater de qalté d rt LC omme : Q ω ω ω Ce fater de qalté aratérse la larger de la résonane. Celle- est d'atant pls étrote qe le fater de qalté est grand. En reportant les expressons des tros plsatons nos obtenons por le fater de qalté : Q L C III.4.b Notaton omplexe et los de base Grâe à la notaton omplexe totes les los de base (nœds, malles, assoaton en sére, assoaton en parallèle, sperposton, Norton, Thévenn, Mllman, et.) q ont été obtenes por les réseax de résstanes en régme ontn restent valables en régme permanent snsoïdal, les mpédanes joant le rôle des résstanes. C'est-à-dre q'l est possble d'érre les éqatons régssant l'étde d'n rt sans passer par les éqatons dfférentelles. eprenons l'exemple préédent. emplaçons haqe dpôle par son mpédane, nos povons modélser le rt omme ndqé sr la fgre. En proédant à partr de e shéma omme nos savons le fare en régme ontn, nos povons érre : v(t) Z (t) ZL (t) Z C (t) S. Tsserant ESIL appels d életronétqe

48 Z Z L v - Z C Fgre Nos retrovons la même relaton qe dans le paragraphe préédent : v(t) Z (t) ave Z Z ZL ZC j L ω C ω III.5 Pssane en régme snsoïdal III.5.a Pssane moyenne Nos avons v q'en onventon réepter la pssane reçe par n dpôle s'ért : p (t) (t) (t) Fgre En régme snsoïdal, la tenson et l'ntensté sont des fontons snsoïdales de même plsaton. Notons ϕ le déphasage de la tenson par rapport à l'ntensté. Un hox de l'orgne des temps nos permet don d'érre : (t) I sn ωt (t) U sn ( ωt ϕ) S. Tsserant ESIL appels d életronétqe

49 (t) (t) T/ T Fgre 3 Callons la pssane nstantanée : p(t) U I sn ωt sn ( ωt ϕ) U I [osϕ os(ωt ϕ)] La pssane nstantanée apparaît don omme la somme d'n terme onstant et d'ne fonton snsoïdale de fréqene doble. Le terme onstant est la pssane moyenne reçe par le dpôle sr ne pérode : T P < p > p(t) U I osϕ T Cette qantté est également appelée pssane atve. p(t) <p> T/ T Fgre 4 S. Tsserant ESIL appels d életronétqe

50 débt de e haptre nos avons allé la valer effae d'ne fonton snsoïdale. En tlsant e résltat nos avons por la tenson et l'ntensté : U I eff eff U I Nos povons don réérre la pssane atve sos la forme : P U I osϕ eff Ce q'on ért enore sos la forme d prodt de la pssane apparente S et d fater de pssane λ : P S λ ave : S U I Ueff Ieff λ osϕ eff Por essayer d'appréhender ne onséqene onrète de ette déomposton, onsdérons n sager onsommant ne pssane moyenne P. Le résea d'almentaton életrqe dot fornr ne pssane spérere por ompenser les pertes dans la lgne. Nos povons érre ette perte sos la forme : P L L I eff où L représente la résstane de la lgne. Callons le rapport P L /P : PL P L I eff Ueff Ieff osϕ L Ueff Ieff osϕ L P U eff os ϕ Por mnmser les pertes l'opérater dot don essayer de : - mnmser la résstane de la lgne (vos l'arez devné); - agmenter U eff (d'où l'tlsaton de lgnes hate tenson); - avor n fater de pssane ass grand qe possble en valer absole. S. Tsserant ESIL appels d életronétqe

51 III.5.b Pssane omplexe La pssane nstantanée n'étant pas ne fonton snsoïdale sa représentaton omplexe n'est pas atorsée. Nos ntrodsons totefos ne pssane omplexe défne par : P * jϕ U I e U I (osϕ j sn ϕ) Cet abs nos permet de retrover la pssane atve et la pssane apparente. On note généralement P et Q les partes réelle et magnare de la pssane omplexe : ave : P e P Q Im P S P P P j Q U I osϕ U I U I sn ϕ j S e ϕ pssane atve pssane réatve pssane apparente III.5. daptaton d'mpédane Consdérons ne sore de tenson snsoïdale réelle modélsée par sa f.e.m. e(t) et son mpédane nterne Z. Ce générater est onnetée à ne harge d'mpédane Z. Qelle dot être ette mpédane por qe la pssane reçe par ette harge sot maxmale? Z e - Z jω t e(t) E e Z Z j X j X Fgre 5 Callons la pssane omplexe reçe par la harge : S. Tsserant ESIL appels d életronétqe

52 * I Z Z P Or : ) X (X ) ( E Z Z E I Z Z e(t) (t) Nos povons don aller la pssane atve : ) X (X ) ( E P e P Dérvons ette expresson par rapport à X : [ ] ) X (X ) ( E ) X (X X P Don : X X X P La pssane atve est alors égale à : ) ( E P Dérvons par rapport à : 3 3 ) ( E ) ( ) ( E ) ( E P Don : P La pssane moyenne reçe par la harge est don maxmale s son mpédane est égale a onjgé de l'mpédane de la sore : Z * Z S. Tsserant ESIL appels d életronétqe - 3 5

53 Il y a alors adaptaton d'mpédane. La pssane maxmale vat alors : E P max 8 E eff 4 La pssane reçe par la harge est égale à la pssane dsspée dans la sore. S. Tsserant ESIL appels d életronétqe - 3 5

54 S. Tsserant ESIL appels d életronétqe - 3 5