COURS DE MECANIQUE - VIBRATIONS. 1ère année. Catherine POTEL, Philippe GATIGNOL. Chapitre 6. VIBRATIONS - OSCILLATEURS HARMONIQUES

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1 A note que l numéottion des pgphes doptée ici est clquée su celle du cous ol fin de fcilite le suivi du cous mgistl mis ne épond ps u nomes de pésenttion usuelles d'un document écit. CURS DE MECANIQUE - VIBRATINS èe nnée Ctheine PTEL Philippe GATIGNL Chpite 6. VIBRATINS - SCILLATEURS HARMNIQUES Univesité du Mine - UFR Sciences et Techniques Ctheine Potel Philippe Gtignol Univesité du Mine Le Mns Ctheine Potel Philippe Gtignol Univesité du Mine Le Mns

2 Chpite 6 : Vibtions - scillteu hmonique Chpite 6 : Vibtions - scillteu hmonique Les points impotnts de ce chpite sont : Distinction ente mouvement libe/mouvement focé égime tnsitoie/égime pemnent féquence pope/féquence de ésonnce/féquence d'ecittion égime péiodique/citique/pseudo-péiodique I INTRDUCTIN Génélités Une vibtion est le mouvement d'un système mécnique qui este voisin d'un étt de epos. Un tel mouvement peut - soit ête povoqué p une ecittion : on ple los de vibtions focées ; - soit ête le ésultt d'une ction imposée à un instnt donné (telle que déplce le système de s position de epos ou lui impose une impulsion initile) : on ple los d'oscilltions libes. En génél les systèmes mécniques pésentent de l'motissement et les vibtions libes décoissent u cous du temps pou deveni plus ou moins insignifintes. Au contie les vibtions focées subsistent tnt qu'il y ecittion. Un système mécnique non moti possède des vibtions libes pticulièes qui ont l pticulité d'ête péiodiques p ppot u temps : c'est ce que l'on ppelle les vibtions popes. Les féquences coespondntes sont les féquences popes du système. Le mouvement libe le plus génél pou un système est une combinison de ces vibtions popes : ce n'est ps en génél un mouvement péiodique. Rppel : Une fonction f est péiodique de péiode T si et seulement si : D f f + T = f. (6.) ( ) ( ) Eemples : les fonctions sinus et cosinus sont péiodiques de péiode π l fonction tngente est péiodique de péiode π. Nous llons développe ces idées généles p l'étude du cs pticulie fondmentl de l'oscillteu à un seul degé de libeté. Nous étudieons tou à tou les mouvements libes de cet oscillteu qund il n'est ps moti puis vec de l'motissement. Nous étudieons ensuite les vibtions focées de cet oscillteu en distingunt à nouveu le cs non moti et le cs moti. n mett en pticulie en évidence le phénomène de ésonnce. Ctheine Potel Univesité du Mine - Le Mns Un eemple ptique d'un tel oscillteu est celui de l suspension d'un véhicule utomobile. Schémtistion Beucoup de mécnismes comme une voitue (figue 6.) peuvent se mene à un système msse-essot dont on étudie les vibtions. ) sol inégl V F Ctheine Potel Univesité du Mine - Le Mns ) b) c èe étpe : ps d'motissement oscilltions libes non moties ème étpe : vec motissement oscilltions libes moties 3ème étpe : vibtions focées oscilltions focées moties ou non Figue 6. : Etpes de schémtistion d'un mécnisme p un système msse-essot Le déplcement de l oue dû à l'inéglité du sol et à l vitesse d'vncement de l voitue peut s'epime comme un déplcement imposé dépendnt du temps povoqunt insi une oscilltion focée du mécnisme de suspension. n ve comment epime cette ecittion en fonction du temps t. L'ppliction du Pincipe Fondmentl de l Dynmique pemet d'obteni une éqution difféentielle du second ode à coefficients constnts vec ou sns second membe que l'on ésout pou obteni l loi hoie chechée : & + b & + c = (6.-) ou & + b & 3 + c = f (t) vec ( bc). (6.-b) L'eemple du mouvement du pendule ciculie étudié u chpite 4 III. conduit à l'éqution θ + g θ = (6.3) qui est de l fome (6.-) vec b =.

3 Chpite 6 : Vibtions - scillteu hmonique Chpite 6 : Vibtions - scillteu hmonique II SCILLATINS LINEAIRES LIBRES NN AMRTIES. Définitions scilltions libes Si un système bndonné à lui-même utou d'une sitution d'équilibe stble évolue ensuite de pt et d'ute de cet étt on ple los d'oscilltions libes. L'étt instntné du système est cctéisé p l'évolution d'une gndeu physique mesuble (déplcement () t ou ngle θ () t ) qui end compte de l'éct du système p ppot à l position d'équilibe. scilltions non moties Si pendnt l duée des mesues les phénomènes de dissiption de l'énegie sous fome de chleu (fottements) povoquent une diminution de l'mplitude des oscilltions inféieue à l sensibilité des ppeils de mesue on peut qulifie les oscilltions de non moties. où ω c = (6.8) est l pulstion pope (ou pulstion ntuelle) et l péiode pope. π T = (6.9) ω L solution généle de l'éqution (6.7) est de l fome (figue 6.) t = A cos ω t + ϕ (6.) 5 A () ( ) t où btg est l loi hoie du mouvement A son mplitude (de même dimension que ) ω l pulstion pope (en d.s ) et ϕ l phse (en d). scillteu linéie L'éqution difféentielle qui égit l'évolution de l gndeu cctéistique () t (ou θ ) est linéie. -5 Remques. T Figue 6. Les gndeus A et ϕ sont des constntes déteminées à pti des conditions initiles. Rppel : Fonction linéie (dns ) L'ppliction f de dns est linéie si et seulement si ( ) f ( + ) = f ( ) + f ( ) (6.4-) et λ f ( λ ) = λ f ( ) (6.4-b) ce qui peut se ésume p ( ) ( λ λ ) f ( λ + λ ) = λ f ( ) + λ f ( ). (6.5) Eemple de fonction linéie : ( ) Eemple de fonction non linéie : ( ) f =. f = + b.. Fome de l'éqution du mouvement L'éqution du mouvement comme on v le voi dns l suite de ce est de l fome & + c = (6.6) que l'on écit péféentiellement & + ω = (6.7) () t est l gndeu physique mesuble mis si un ngle est mesué il est d'usge d'utilise une lette gecque telle θ et l'éqution (6.7) s'écit los & θ + ω θ = (6.) ce qui ne chnge ien à l génélité de l'eposé qui pécède. L'éqution (6.7) est bien linéie (voi définitions (6.4) ou (6.5)) : si les fonctions () t et () t sont solutions de cette éqution ( ) églement solution de l'éqution. λ λ l fonction λ + λ est L solution (6.) de l'éqution (6.7) peut églement s'écie () t = A cos ( ω t ϕ) (6.-) () t = A sin ( ω t + ϕ ) (6.-b) ou encoe () t = A 3 sin ( ω t ϕ 3). (6.-c) Quelle que soit l'écitue l solution est bien en définitive toujous l même mis pioi les constntes A A A et A 3 ne sont ps égles ente elles tout comme les constntes ϕ ϕ ϕ et ϕ 3 ne le sont ps non plus. Il convient de note de plus qu'écie ± ϕ i n'est qu'une Ctheine Potel Univesité du Mine - Le Mns Ctheine Potel Univesité du Mine - Le Mns

4 Chpite 6 : Vibtions - scillteu hmonique Chpite 6 : Vibtions - scillteu hmonique question d'hbitude qui n' ucune incidence su le ésultt finl puisque les guments ϕ i sont lgébiques et modulo π. Rppel. 3. Retou su le pendule ciculie ( t + π ) = sin( ω t) ( t π ) = ω ( t + π ) = cos( ω t) ( t π ) = cos( t) Ce système déjà été étudié u chpite 4 III. e z e A e y y e y e l θ T Figue 6.3 P y M cos ω (6.3-) cos ω (6.3-b) sin ω (6.3-c) sin ω ω. (6.3-d) y Le système de l figue 6.3 est constitué d'un fil inetensible et sns msse de longueu M = l à lquelle est ccochée une msse m considéée comme ponctuelle u point M. L tige est en liison pivot sns fottements d'e ( e z ) vec le bâti. L position du fil est epéée p l'e fisnt un ngle θ vec l'e (figue 6.3). Le epèe R = ( e e ) y e z est gliléen l'ccélétion de l pesnteu étnt telle que g = g e. Les conditions initiles sont les suivntes : à t = le point M est lncé u point A (θ=) vec une cetine vitesse v = l θ & ( θ & > p eemple). Système étudié : { point M } le. Inventie des foces : - Action de l gvité : { ϖ M} = ( MP) vec m g cosθ P = m g e = m gsin θ. (6.4) B - Action du fil su M : { fil M} = ( MT) vec T = T e T >. (6.5) L ésultnte des ctions mécniques est donc R et M = P + (6.6-) ( ) T soit ( et M) Résultnte dynmique : m g cosθ T R = m gsin θ. (6.6-b) B Le vecteu position M est donné p ses composntes su l bse = ( e e ) L vitesse du point M p ppot u epèe R s'écit ( R ) V M / B y e z : M = l e. (6.7) d M = d t / B (6.8) soit en ppliqunt l fomule de chngement de bse de déivtion d M V( M / R ) = + Ω ( B / B ) M (6.9) d t / B V M / R = + θ& e z l e & = l θ e. (6.) soit ( ) ( ) y L'ccélétion du point M p ppot u epèe R s'écit d V ( ) ( M / R ) Γ M / R = d t / B (6.) soit en ppliqunt l fomule de chngement de bse de déivtion d V ( ) ( M / R ) Γ M / R = + Ω( B / B ) V( M / R ) (6.) d t / B soit Γ( M / R ) = l && θe y + θ& e ( ) z l θ & e y (6.3) Γ M / R = l θ& e + l && θe y. (6.4) d'où ( ) L ésultnte dynmique du point M p ppot u epèe R s'écit donc : d M / R = m l θ& e + m l && θe y. (6.5) ( ) PFD pou le point mtéiel R ( et M) = d( M / R ) (6.6) soit en pojection su e et su e y m g cosθ T = m l θ& (6.7-) m gsin θ = m l && θ. (6.7-b) L'éqution du mouvement (6.7-b) s'écit encoe l & θ + g sin θ =. (6.8) Ctheine Potel Univesité du Mine - Le Mns Ctheine Potel Univesité du Mine - Le Mns

5 Chpite 6 : Vibtions - scillteu hmonique Chpite 6 : Vibtions - scillteu hmonique Dns le cs des petits ngles (petites oscilltions) sin θ θ (6.9) vec θ epimé en din. Cette ppoimtion est ppelée ppoimtion hmonique. L'éqution (6.8) s'écit los compte tenu de (6.9) l & θ + g θ = (6.3) qui est de l fome (6.6) vec = l et c = g et se met péféentiellement sous l fome && θ + ω θ = (6.3-) où ω = g l. (6.3-b) L'éqution du mouvement (6.3-) est dite linéisée. En ésumé le poblème à ésoude (poblème bien posé) compend à l fois l'éqution du mouvement et les conditions initiles soit & θ + ω θ = t θ( ) = θ& ( ) = θ& t =. Solution de l'éqution du mouvement linéisée (poblème 6.3) (6.3-) (6.3-c) D'pès l'éqution (6.) l solution de l'éqution du mouvement (6.3-) s'écit θ() t = A cos ( ω t + ϕ) (6.3) les constntes A et ϕ étnt déteminées p les conditions initiles (6.3-c). L'usge de l'éqution (6.3) et de l déivée p ppot u temps θ & () t = A ω sin ( ω t + ϕ) (6.33) pemet d'epime les conditions initiles (6.3-c) sous l fome : θ( ) = = A cosϕ à t = (6.34-) θ& ( ) = θ& = A ω sin ϕ. (6.34-b) L'éqution (6.34-) conduit - soit à A = (solution physiquement inintéessnte puisque conduisnt à θ () t = t ) - soit à ϕ = π ( π). Le choi ϕ = π (6.35-) et son epot dns l'éqution (6.34-b) conduisent à A = θ ω (6.35-b) ce qui conduit finlement à θ& θ& θ() t = cos ( ω t + π ) = sin( ω t) ω ω. (6.36) Ctheine Potel Univesité du Mine - Le Mns Remques. Le choi ϕ = π uit conduit à A = + θ & ω dont les epots dns l'éqution (6.3) donnent θ& θ& θ() t = + cos ( ω t π ) = sin( ω t) ω ω ésultt identique à l'epession (6.36). Le choi de l solution (6.-b) () t = A sin ( ω t + ϕ ) conduit à () t = A ω cos ( ω + ϕ ) et u conditions initiles à t = θ (6.37-) θ & t (6.37-b) θ θ& ( ) ( ) = = A sin ϕ = θ& = A ω cosϕ. (6.38-) (6.38-b) L'éqution (6.38-) conduit - soit à A = (solution physiquement inintéessnte puisque conduisnt à θ () t = t ) - soit à ϕ = ( π). Le choi ϕ = (6.39-) et son epot dns l'éqution (6.38-b) conduisent à A = θ ω (6.39-b) ce qui conduit finlement à θ& θ() t = sin( ω t) ω (6.4) qui n'est ute que l solution (6.36). De même que pécédemment le choi ϕ = π uit conduit à A = θ & ω dont les epots dns l'éqution (6.37-) donnent θ& θ& θ() t = sin ( ω t π) = sin( ω t) ω ω ésultt identique à l'epession (6.4). Conclusion. Le choi de l fome de l solution n'est qu'une question d'hbitude et ne chnge bien évidemment ps le ésultt finl puisque le poblème bien posé (6.3) une solution unique). Ctheine Potel Univesité du Mine - Le Mns

6 Chpite 6 : Vibtions - scillteu hmonique Chpite 6 : Vibtions - scillteu hmonique 4. Cs impotnt du essot linéie Système étudié : { point M } le. z y ) Ressot hoizontl k (t) M (t) T M l l l e e T M g ) b) c) Figue 6.4 : Système msse / essot hoizontl. Ressot ) ni tendu ni compimé b) tendu c) compimé Un essot linéie de msse négligeble de ideu k et de longueu libe l est ttché à l'une de ses etémités u point à un bâti (figue 6.4). L position d'une msselotte de msse m ttchée à son ute etémité M et supposée ponctuelle en ce point est epéée p son bscisse (t). Cette msselotte peut se déplce sns fottements su un pln hoizontl (non epésenté). A l'instnt t = l msselotte est éctée d'une distnce ves l doite ( > ) et lâchée sns vitesse initile. Au cous du temps l msselotte oscille de pt et d'ute de s position à l'équilibe ce qui étie ou compime le essot. L'ction d'un essot linéie su un objet est de l fome (voi chpite 3 III.) T = k ( l ) e (6.4) où k est l ideu du essot (epimée en N.m ) et l est s longueu libe (ou à vide) (figue 6.4). Il convient de note que le signe - devnt k u second membe de l'éqution (6.4) est toujous pésent que le essot soit en tction ou en compession. Ainsi dns le cs de l figue 6.4-b le essot est étié l > donc k ( ) l < et T = k ( l ) e est bien diigé ves l guche. Dns le cs de l figue 6.4-c le essot est compimé l < donc k ( l ) > et ( ) T = k l e est bien diigé ves l doite. Inventie des foces : (6.4) - Action de l gvité : { ϖ M} = ( MP) - Action du essot : { } ( ) vec P = m g e y. (6.43) essot M = MT vec l'ction T donnée p l'éqution T k ( l ) e - Action du pln : { pln M} = ( M N) vec =. (6.4) N = N e y et N >. (6.44) L ésultnte des ctions mécniques est donc R (6.45-) soit ( et M) Résultnte dynmique : ( et M) = P + T + N ( l ) k R = m g + N. (6.45-b) B Le vecteu position M est donné p ses composntes su l bse = ( e e e ) L vitesse du point M p ppot u epèe R ( B) d M V( M / R) = soit ( ) B y z : M = e. (6.46) = s'écit (6.47-) d t / B V M / R = & e. (6.47-b) L'ccélétion du point M p ppot u epèe R s'écit d V ( ) ( M / R) Γ M / R = d t (6.48-) / B Γ M / R = && e. (6.48-b) soit ( ) L ésultnte dynmique du point M p ppot u epèe R s'écit donc : d( M / R ) = m && e. (6.49) PFD pou le point mtéiel R ( et M) = d( M / R ) (6.5) soit en pojection su e et su e y Ctheine Potel Univesité du Mine - Le Mns Ctheine Potel Univesité du Mine - Le Mns

7 Chpite 6 : Vibtions - scillteu hmonique Chpite 6 : Vibtions - scillteu hmonique ( l ) k = m & (6.5-) m g + N =. (6.5-b) L'éqution du mouvement (6.5-b) s'écit encoe m & + k l =. (6.5) ( ) Ecite sous l fome (6.5) l'éqution du mouvement n'est plus de l fome (6.6) soit & + c = puisqu'il y ici un second membe : m & + k = k l. Remquons tout d'bod qu'à l'équilibe l'éqution (6.5) s'écit pou = (position d'équilibe) et donc pou & = = l. (6.53) z y k position d'équilibe (t) M =l Figue 6.5 X (t) e e T M Ctheine Potel Univesité du Mine - Le Mns g Cette méthode se systémtiquement employée p l suite. Le chngement de vible X = (6.54) v pemette d'epime l'éqution du mouvement (6.5) en fonction de l vible X () t dont l'oigine est l position d'équilibe du système étudié (figue 6.5) et insi obteni une éqution sns second membe. Le epot de = X + = X + l et de s déivée seconde & = X& dns l'éqution du mouvement (6.5) pemet d'obteni finlement m X & + k X = (6.55) écite péféentiellement sous l fome X & + ω X = (6.56-) vec pulstion pope du système. ω k = (6.56-b) m Ainsi p eemple si l msse m ugmente l pulstion pope ω diminue. Il convient de note qu'il eiste dns l ntue bon nombe de systèmes dont les compotements s'ppentent en pemièe ppoimtion à des systèmes à degé de libeté (bnche d'be oscillnt sous l'effet du vent p eemple). Une modélistion plus fine consisteit à modélise un tel système vec un ensemble de msses épties ce qui ugmenteit le nombe de degés de libeté et sot du cde de ce cous. En ésumé le poblème à ésoude (poblème bien posé) compend à l fois l'éqution du mouvement et les conditions initiles soit X& + ω X = t X( ) = X& ( ) = t =. Solution de l'éqution du mouvement (poblème 6.56) (6.56-) (6.56-c) D'pès l'éqution (6.) l solution de l'éqution du mouvement (6.56-) s'écit X() t = A cos ( ω t + ϕ) (6.57) les constntes A et ϕ étnt déteminées p les conditions initiles (6.56-c). L'usge de l'éqution (6.57) et de l déivée p ppot u temps X & () t = A ω sin ( ω t + ϕ) (6.58) pemet d'epime les conditions initiles (6.56-c) sous l fome : X( ) = = A cosϕ à t = (6.59-) X& ( ) = = A ω sin ϕ. (6.59-b) L'éqution (6.59-b) conduit - soit à A = (solution physiquement inintéessnte puisque conduisnt à X() t = t ) - soit à ϕ = ( π). Le choi ϕ = (6.6-) et son epot dns l'éqution (6.59-) conduisent à A = (6.6-b) ce qui conduit finlement à X() t = cos( ω t) (6.6-) soit en fisnt usge de l eltion (6.54) () t = X() t + l = l + cos( ω t). (6.6-b) Remque. Le choi ϕ = π uit conduit à A = dont les epots dns l'éqution (6.57) donnent X() t = cos( ω t + π) = cos( ω t) ésultt identique à l'epession (6.6-). Ctheine Potel Univesité du Mine - Le Mns

8 Chpite 6 : Vibtions - scillteu hmonique Chpite 6 : Vibtions - scillteu hmonique e e g l b) Ressot veticl M M position d'équilibe (t) X (t) M ) b) c) Figue 6.6 : Système msse / essot veticl ) essot seul ni tendu ni compimé b) système à l'équilibe c) système u cous de son mouvement Un essot de msse négligeble de ideu k et de longueu libe l est suspendu p son etémité à un point fie d'un bâti oigine d'un e veticl diigé ves le bs comme le monte l figue 6.6. L position d'une msselotte de msse m ttchée à son ute etémité M et supposée ponctuelle en ce point est epéée p son bscisse (t). A l'instnt t = l msselotte est éctée d'une distnce ves le bs ( > ) et lâchée sns vitesse initile. De mnièe généle l'étude des vibtions d'un système commence souvent p l echeche de l position d'équilibe ce qui pemet ensuite d'effectue un chngement de vible pou étudie le mouvement du système utou de l position d'équilibe. Avec l'hbitude les équtions sont souvent écites de mnièe systémtique. i) Recheche de l position d'équilibe Système étudié : { point M } le. Inventie des foces : - Action de l gvité : { ϖ M} = ( MP) vec P = m g e. (6.6) - Action du essot : { essot M} = ( MT) vec l'ction T donnée p l'éqution (6.4) pou l position d'équilibe = T = k ( l ) e. (6.63) L ésultnte des ctions mécniques est donc R ( et M) = P + T (6.64-) soit R ( et M) = [ m g k ( l )] e. (6.64-b) Pincipe Fondmentl de l sttique : R ( et M) = (6.65) soit m g k ( l ) = ; m g d'où = l +. (6.66) k ii) Eqution du mouvement Système étudié : { point M } Inventie des foces : (6.4) le. - Action de l gvité : { ϖ M} = ( MP) - Action du essot : { } ( ) vec P = m g e. (6.67) essot M = MT vec l'ction T donnée p l'éqution ( l ) e T = k. (6.68) L ésultnte des ctions mécniques est donc R ( et M) = P + T (6.68-) soit R ( et M) = [ m g k ( l )] e. (6.68-b) Résultnte dynmique : Le vecteu position M est donné p ses composntes su l bse = ( e e e ) B y z : M = e (6.69) et l'ccélétion du point M p ppot u epèe R s'écit Γ M / R = && e. (6.7) ( ) L ésultnte dynmique du point M p ppot u epèe R s'écit donc : d( M / R ) = m && e. (6.7) PFD pou le point mtéiel soit en pojection su e R ( et M) = d( M / R ) (6.7) ( l ) = m & m g k & d'où m & + k = m g + k l. (6.73) Ctheine Potel Univesité du Mine - Le Mns Ctheine Potel Univesité du Mine - Le Mns

9 Chpite 6 : Vibtions - scillteu hmonique Chpite 6 : Vibtions - scillteu hmonique De même que pécédemment écite sous l fome (6.73) l'éqution du mouvement n'est plus de l fome (6.6) soit & + c = puisqu'il y ici un second membe. Le chngement de vible X = (6.74) v pemette d'epime l'éqution du mouvement (6.73) en fonction d'une vible dont l'oigine est l position à l'équilibe. Le epot de = X + = X + l + m g k et de s déivée seconde & = X& dns l'éqution du mouvement (6.73) pemet d'obteni finlement m X & + k X = (6.75) écite péféentiellement sous l fome X & + ω X = (6.76-) vec pulstion pope du système. ω k = (6.76-b) m Avec l'hbitude ce gene d'éqution est écit de mnièe ssez systémtique mis il ne fut ps oublie que l'éqution difféentielle du mouvement l fome (6.75) uniquement qund l gndeu cctéistique X () t est éféencée p ppot à l position d'équilibe. En ésumé le poblème à ésoude (poblème bien posé) compend à l fois l'éqution du mouvement et les conditions initiles soit X& + ω X = t X( ) = X& ( ) = t =. 5. Cs pticulie de l ottion utou d'un e fie (S) θ G P e e y y Figue 6.7 B e z g e (6.76-) (6.76-c) Le solide bsg de l figue 6.7 est en liison pivot sns fottements vec un bâti (non epésenté) d'e e j ce qui le met en ottion utou de cet e. L e z position du cente de msse G est epéée p l'e y fisnt un ngle θ vec l'e y. Le epèe R = ( e e ) y e z est gliléen le epèe R = b Bg vec B = ee e e y z j est lié u solide bsg et l'ccélétion de l pesnteu est telle que g = g e y. P nticiption su le cous de mécnique du solide de VAS l'ppliction du Pincipe Fondmentl de l Dynmique u solide bsg pou les moments u point conduit à M ( et S) e = C& θ (6.77) où ( et S) M est le moment u point du toseu des ctions mécniques etéieues s'eeçnt su le solide bsg et C est le moment d'inetie de bsg p ppot à ee z j (unité kg.m ). D e z e C e θ A y e e y Figue 6.8 R M P y B y z Ce gene d'éqution déjà été obtenu u Chpite 4 III/ los de l'étude du pendule ciculie pou un point mtéiel M (figue 6.8). Le moment dynmique est donné p δ( M / R ) = m && θ e z (6.78-) et le moment u point du toseu des ctions mécniques etéieues p M ( et M) = m g sin θe z (6.78-b) ce qui conduit à m g sin θ = m & θ (6.79) l quntité ( m ) cctéistique de l éptition de msse du système étnt ppelée moment d'inetie du point M p ppot à l'e ( e z ) Losque le solide étudié n'est ps un point mtéiel le moment d'inetie n'est plus simplement le poduit de l msse du point M p le cé de l distnce u cé ente le point M et l'e de ottion (voi I.6). Définition : on ppelle pendule composé le système oscillnt fomé p un objet solide quelconque susceptible d'oscille sous le seul effet de son poids utou d'un e fie schémtisnt une liison pivot pfite (sns fottements). Le toseu des ctions etéieues est donc l somme du toseu des ctions de l gvité { ω S} et du toseu des ctions du bâti { bâti S} et S = ω S + bâti S. (6.8) soit { } { } { } En posnt G = (figue 6.7) le moment u point des ctions mécnique etéieues s'écit M { et S} = G P + M { bâti S} Ctheine Potel Univesité du Mine - Le Mns Ctheine Potel Univesité du Mine - Le Mns

10 Chpite 6 : Vibtions - scillteu hmonique Chpite 6 : Vibtions - scillteu hmonique M = cosθ mg + M = + M B B B B mgsin θ B soit { et S} sin θ d'où en fisnt usge de l'éqution (6.77) m g sin θ= C & θ soit C & θ + m g sin θ =. (6.8) Dns le cs des petites oscilltions (ppoimtion hmonique) sinθ θ et l'éqution (6.8) devient C & θ + m g θ = (6.8) écite péféentiellement sous l fome & θ + ω θ = (6.83-) vec L ω m g =. (6.83-b) C L'éqution (6.83) est à svoi etouve et non à ppende p coeu! En ésumé le poblème à ésoude (poblème bien posé) compend à l fois l'éqution du mouvement et les conditions initiles soit 6. Clcul de moments d'inetie & θ + ω θ = t θ( ) = θ θ& ( ) = θ& t =. Ce pgphe est tité p nticiption su le cous de mécnique du solide. ) Intoduction e z Figue 6.9 L (6.83-) (6.83-c) Le solide de l figue 6.9 est constitué d'un disque de gnd dimète et d'un e de plus fible dimète le tout pouvnt toune utou de e z. n considèe qute nneu identiques (donc de même msse) que l'on dispose de deu mnièes difféentes (figue 6.) ; su l figue 6.-) ils sont collés su l fce vnt du disque et su l figue 6.-b) ils sont fiés su l'e du disque. e z e z Figue 6.-) Figue 6.-b) Si l'on veut fie toune chcun des deu systèmes l'epéience monte qu'il fud dépense beucoup plus d'énegie pou communique une vitesse de ottion donnée u système (figue 6.-) qu'u système (figue 6.-b) los que chcun des deu systèmes l même msse. n peut donc en conclue que l distnce de l msse p ppot à l'e est un élément impotnt dns l'étude de l dynmique des systèmes. b) Moment d'inetie p ppot à une doite A d d A d i A i Figue 6. ( ) Soit une doite b g (figue 6.). Si l'on désigne p d i les b g p ppot à b g on b g p ppot à b g p : distnces des points A i du solide S définit le moment d'inetie de S b g= Dns le cs d'une seule msse (figue 6.8) ( ) Iz Remques : Un moment d'inetie est toujous positif. Dimension : I = ML unité : kg. m. I S m d S = m. i i i. (6.84) Soit K un point quelconque. n considèe l bse B = de e e i ssociée u epèe b R = K Bg ce epèe n'étnt ps nécessiement lié à S est - l'e ( e ) - l'e ( e y ) - l'e ( ) K le moment d'inetie ( S) K le moment d'inetie ( S) K le moment d'inetie ( S) e z y z b g. P hbitude losque l doite ( ) I est noté A I est noté B I est noté C. - n pou se epote u tbleu de l figue 6. pou connîte les éléments d'inetie en un point et les centes de msse de quelques solides homogènes. Ctheine Potel Univesité du Mine - Le Mns Ctheine Potel Univesité du Mine - Le Mns

11 Chpite 6 : Vibtions - scillteu hmonique Théoème de Huygens : Le moment d'inetie d'un solide p ppot à une doite est égl à l somme du moment d'inetie p ppot à cette doite de l msse du solide concentée u cente de msse G et du moment d'inetie du solide p ppot à l doite pllèle pssnt p G. G ( ) ( G ) Figue 6.3 bg md y Cente (6.85) Le système de l figue 6.4 est constitué d'une tige pesnte homogène S de msse m de longueu l. Le cente de msse G est donc situé à une distnce l du point. L tige est en liison pivot sns fottements d'e e z vec le bâti. L y l z G ( g y ) position de l tige est epéée p l'e fisnt un ngle θ vec l'e (figue 6.4). - D'pès le tbleu 6. et vec les nottions employées dns ce tbleu (figue 6.5) I = I y = Ml. (6.86) z Figue Dns le cs pésent et vec les nottions employées (figue 6.4) le moment d'inetie p ppot à l'e G z noté I G z s'écit en fisnt usge de l eltion (6.86) Cône ceu Boule (pleine) ( Sphèe (ceuse) Pllélépipède ectngle Cente Cente Eemple. Cylinde plein g (figue 6.3) Figue 6.4 Cente b où G est l doite pllèle à et pssnt p G et d est l distnce ente et G cylinde ceu bg I S = I G S + I m G 44 3 θ Cente Théoème de Huygens pou les moments d'inetie d N.B. : les solides "ceu" sont supposés d'épisseu négligeble. Toe ceu n emque qu'il est possible de déduie de ce tbleu d'utes ésultts : Ainsi l tige s'obtient en fisnt dns le cylinde plein l plque en fisnt dns le pllélépipède ectngle etc... Secteu ciculie Demi-sphèe (ceuse) Qut de cecle mtéiel Qut de plque elliptique Cente Cente de msse G Solide homogène de msse M d) Eléments d'inetie Cente de msse et éléments d'inetie u point de quelques solides homogènes usuels Cente de msse G Solide homogène de msse M Chpite 6 : Vibtions - scillteu hmonique Eléments d'inetie de quelques solides homogènes usuels Eléments d'inetie c) ) ( I Gz = ml. (6.87) et e z étnt égle à l le moment d'inetie p ) ( ) L distnce ente les es G e z ppot à l'e e z s'écit p usge du théoème de Huygens (6.85) ( ) l ml l = I z = I Gz + m = ml + m 4 3 Figue 6. (6.88) quntité notée C.! Losque l'on cheche un élément d'inetie en un ute point que le point il fut utilise le théoème de Huygens ( II.6.d). Ctheine Potel Univesité du Mine - Le Mns L'usge de l eltion (6.77) pemet los d'écie m l && M {et S} e z = θ. 3 Ctheine Potel (6.89) Univesité du Mine - Le Mns

12 Chpite 6 : Vibtions - scillteu hmonique Chpite 6 : Vibtions - scillteu hmonique 7. Le essot spil et le fil de tosion b) Le fil de tosion Le essot spil et le fil de tosion sont deu eemples de pièces mécniques pouvnt eece un moment de ppel (communément ppelé couple de ppel et noté C ) su le système uquel ils sont liés fonction de l'ngle de ottion θ utou d'un e de ottion. Ils sont cctéisés p une constnte de tosion pouvnt ête ppelée ideu (p nlogie vec l ideu des essots en tnsltion étudiés jusqu'à pésent dns ce cous) et notée K. ) Le essot spil L figue 6.6- epésente un essot spil. Essentiellement utilisé dns l'ppeillge de pécision (montes ppeils e électiques...) et inventé p Chistin Huygens (69- z 695) en 675 (figues 6.6-b et c) un essot spil est composé d'un ubn de section ectngulie ou ciculie B Figue 6.6- encsté à une etémité B et solidie à l'ute etémité d'un e (e ) pependiculie u pln d'enoulement. z l e z Figue 6.7 Le fil de tosion qunt à lui est un fil ectiligne pouvnt ête contint en ottion utou de son e e z (tosion). S ideu K (en N.m.d ) est donnée p K = G I l (6.9) où G I et l désignent espectivement le module de Coulomb du mtéiu constitunt le fil le moment polie de l section doite 4 ( I = π D 3 pou une section ciculie de dimète D ) et l longueu du fil. c) Couple de ppel Dns l suite le teme "essot" ou "essot spil" désigne indifféemment le essot spil ou le fil de tosion. Dns les deu cs si θ désigne l'ngle u epos de l tosion (libe de toute continte) l tosion d'un ngle θ utou de l'e (e z ) povoque un couple de ppel C (coespondnt à l pojection su le vecteu e z de l'ction du essot su le système uquel il est lié) tel que C = M ( essot système) e z = K ( θ θ ). (6.9) Figue 6.6-b : Blncie vec essot spil. Gvue etite de PRIVAT-DESCHANEL et FCILLN Dictionnie génél des sciences techniques et ppliquées 883 Figue 6.6-c : Rélistion du mécnisme de l pemièe monte à essot spil (tel qu'imginé p Huygens) p Isc Thuet l'un des meilleus hologes de Pis en S ideu K (en N.m.d et non en N.m comme dns le cs des essots en tnsltion pécédemment étudiés) est donnée p K = E I q l (6.9) où E I q et l désignent espectivement le module d'young du mtéiu constitunt le 4 essot le moment qudtique de l section doite ( I q = πd 64 pou une section ciculie 3 de dimète D et I q = b h pou une section ectngulie de lgeu b et d'épisseu h ) et l longueu du essot. Ctheine Potel Univesité du Mine - Le Mns Il convient de bien note l'nlogie de l'epession (6.9) du couple de ppel vec l'epession (6.4) de l'ction d'un essot en tnsltion de ideu k et de longueu à vide l su un système : R ( essot système) = k ( l ) e. (6.93) Si le essot spil est de msse négligeble p ppot u systèmes uquels il est lié s fonction se éduit à tnsmette les effots mécniques notmment son couple de ppel. d) Eemple de mise en éqution d'un poblème Le système de l figue 6.8- est constitué d'une tige sns msse en liison vec un bâti p l'intemédiie d'une liison pivot sns fottement d'e e e z j son e de ottion étnt soumis u couple de ppel d'un essot spil ou d'un fil de tosion de constnte de tosion K (supposé sns msse). Le toseu des ctions du bâti su l tige peut donc s'écie : Ctheine Potel Univesité du Mine - Le Mns

13 Chpite 6 : Vibtions - scillteu hmonique Chpite 6 : Vibtions - scillteu hmonique X L = Y M Z C (6.94) B { } où C est le couple de ppel eecé p le essot su l tige. z y θ M Figue 6.8- y n intoduit les epèes suivnts : - epèe fie R = e e e = B e j c h lié u bâti et y z supposé gliléen. - epèe R = e e e = B e j c h lié à l tige. y z Au epos l tige fit un ngle θ vec l'e e et l'ensemble est soumis u chmp de pesnteu teeste g = ge. Le couple de ppel C eecé p le essot spil su l tige losque celle-ci est éctée d'un ngle oienté θ= ee e j est donné p C = K ( θ θ ). (6.95) z y θ M bille Figue 6.8-b y Une bille de msse m ssimilée à une msse ponctuelle est mintennt fiée à l'etémité M de l tige située à une distnce "" de son ute etémité (figue 6.8-b). n note Σ l'ensemble constitué de l tige et de l bille. A l'équilibe l tige M fit un ngle θ vec l'e e e j. Système étudié : le système Σ constitué de l tige et de l bille. Inventie des ctions mécniques etéieues : - Action de l gvité : { ϖ M} = ( MP) vec P = m g e. (6.96) - Action du bâti : { } X = Y Z L M C B Moment u point des ctions mécniques etéieues eecées su le système Σ ( et Σ) = M ( ϖ Σ) + M ( bâti Σ) M (6.97-) m g cosθ L M et Σ = M P + M bâti Σ = m gsin θ + M B B B C soit ( ) ( ) d'où ( et Σ) L M = M. (6.97-b) B m g sin θ +C Pincipe Fondmentl de l sttique M ( et Σ) = (6.98-) soit en pojection su l'e e z et en epotnt l'epession (6.95) du couple de ppel C pou θ = θ m g sin θ K ( θ θ ) = ; m g d'où θ θ = sin θ. (6.98-b) K Il convient de note que d'pès l'éqution (6.98-b) θ θ <. L position d'équilibe donc lieu pou θ < θ du fit que l'ction de l gvité su l bille eece une ction qui compime le essot spil ce qui ppoche l tige de l veticle. Pincipe Fondmentl de l dynmique L'usge de l'éqution (6.77) povennt de l'ppliction du PFD pou les moments u point conduit à losque l tige est éctée d'un ngle θ de l'e M ( et Σ) e = & θ z m (6.99) où m epésente le moment d'inetie de l msse ponctuelle m p ppot à l'e ee z j. P suite en epotnt les équtions (6.97-b) et (6.95) dns l'éqution (6.99) l'éqution du mouvement s'écit m & θ = m g sin θ K ( θ θ ) m &. (6.) soit θ & + m g sin θ + K ( θ θ ) = Ctheine Potel Univesité du Mine - Le Mns Ctheine Potel Univesité du Mine - Le Mns

14 Chpite 6 : Vibtions - scillteu hmonique Chpite 6 : Vibtions - scillteu hmonique Etude des petits mouvements utou de l position d'équilibe θ = θ e) Pendule de Pohl Le chngement de vible Θ = θ θ (6.) et un développement limité de l fonction sin θ utou de θ = θ vont pemette d'epime l'éqution du mouvement (6.) en fonction d'une vible dont l'oigine est l position à l'équilibe. Le epot de θ = Θ + θ et de s déivée seconde & θ = Θ& dns l'éqution du mouvement (6.) pemet d'écie m Θ & + m g sin ( Θ + θ) + K ( Θ + θ θ ) = (6.-) soit en epotnt l'epession (6.98-b) de θ θ mg ( Θ + θ ) + K Θ sin θ = m Θ & + mg sin K. (6.-b) Le développement à l'ode de sin ( θ + Θ) s'écit en ppliqunt l fomule de Tylo h ( + h) = f ( ) + h f ( ) + f" ( ) + K sin ( + Θ) sin θ + Θcosθ f (6.3-) θ (6.3-b) et son epot dns l'éqution (6.-b) conduisent à m Θ & + ( mg cosθ + K) Θ = Un pendule de Pohl est un oscillteu hmonique constitué d'un disque en ottion utou de son cente elié à un essot spil qui tend à mene le disque ves s position d'équilibe. Le dispositif de l figue 6.9 (distibué p l société Leybold Didctic GmbH) compote insi un pointeu plcé su le disque qui pemet de suive les oscilltions et de mesue les mplitudes d'un petit moteu elié u essot spil qui impose une ecittion sinusoïdle et foce insi les oscilltions à une féquence justble p l'utilisteu et d'un fein électomgnétique pemettnt de égle l'effet d'motissement (p counts de Foucult). soit Θ & + ω Θ = m g cosθ + K où ω =. m (6.4-) (6.4-b) Not Bene. Même en écivnt l'éqution du mouvement en fonction d'une vible dont l'oigine est l position à l'équilibe θ = θ contiement u cs des oscillteus étudiés jusqu'à pésent l'ngle θ intevient encoe dns l'éqution du mouvement. Not Bene. Si θ = l'éqution (6.98-b) s'écit mg θ = sin θ < (6.5) K los que θ. P suite si θ = los θ = et l pulstion pope s'écit los m g + K ω =. (6.6) m Figue 6.9 : Pendule de Pohl distibué p l société Leybold Didctic GmbH. ; Echelle ciculie.. Cops du pendule : inde pou l dévition () inde pou l position de phse (b) essot spil (c). 3. Ecitteu : inde pou l position de phse de l ecitteu (3) fente (3b) vis (3c) be de poussée (3d) poulie vec ecentique (3e). 4. Electoimnt pou fein à counts de Foucult. Douilles de conneion (4). 5. Moteu de l ecitteu. Ctheine Potel Univesité du Mine - Le Mns Ctheine Potel Univesité du Mine - Le Mns

15 Chpite 6 : Vibtions - scillteu hmonique Chpite 6 : Vibtions - scillteu hmonique 8. Repésenttion de l'oscillteu hmonique non moti dns le pln des phses Il est possible de epésente les oscilltions du système dns le pln des phses c'est-à-die dns un epèe dont l'e des bscisses est l'élongtion et l'e des odonnées est s déivée & p ppot u temps t (ou θ et θ & ). Eemple : Système msse-essot hoizontl étudié u II.4-) =l M L solution (6.57) de l'éqution du mouvement (t) X (t) Figue 6. (6.56-) s'écit () t = A cos ( ω t + ϕ) X (6.7-) et s déivée p ppot u temps X & () t = A ω sin ( ω t + ϕ). (6.7-b) X X& P suite + = A A (6.8) ω éqution d'une ellipse de demi-gnd-e A et de demi-petit e A ω (figue 6.). Il en ésulte donc pou l'ensemble des conditions initiles (pou un système msse-essot donné) une fmille d'ellipses concentiques décites dns le sens des iguilles d'une monte losque le temps t ugmente (figue 6.). P suite l connissnce d'une seule gndeu l'mplitude A pemet de svoi su quelle ellipse se déplce le point epésenttif du système dns le pln des phses. Si l coube insi obtenue est femée le mouvement est péiodique. n ve en pticulie que pou les oscillteus libes motis l coube n'est plus femée (voi III.5). Ẋ A ω D B - A A X C - A ω Figue 6. Pou se convince du sens de pcous des ellipses il suffit pou simplifie de pende ϕ = et A > dns les équtions (6.7). - A t = X ( ) = A et X & ( ) = ce qui coespond u point B. - A ω t = π X () t = et X & () t = A ω ce qui coespond u point C. - A ω t = π X t = et X & () t = ce qui coespond u point D. - Etc. () A L'intéêt des epésenttions dns le pln des phses est d'obteni un compotement qulittif su le système étudié p compison vec le cs où le système est moti. Ce type de epésenttion offe en pticulie l'vntge de epésente l position en fonction de l vitesse deu gndeus devnt ête définies pou connîte l'étt d'un système. III SCILLATINS LINEAIRES LIBRES AMRTIES L'oscillteu est bndonné à lui-même et est soumis à un motissement dû à l'eistence d'une foce de fottement fluide. Cette foce de fottement dissipe l'énegie mécnique sous fome de chleu. Fome de l'éqution du mouvement L'éqution du mouvement comme on v le voi dns l suite de ce est de l fome & + b & + c = (6.9) que l'on écit péféentiellement & + γ & + ω = (6.) où b est un fcteu d'motissement positif ω c = (6.) est l pulstion pope (ou pulstion ntuelle) des oscilltions libes non moties et cctéise l'motissement (en s ). b γ = (6.) Il convient de note que l teminologie en ce qui concene l'motissement n'est ps bien définie et que les gndeus b et γ sont des gndeus cctéisnt toutes deu l'motissement sns qu'une dénomintion pécise leu soit ssociée. Ctheine Potel Univesité du Mine - Le Mns Ctheine Potel Univesité du Mine - Le Mns

16 Chpite 6 : Vibtions - scillteu hmonique Chpite 6 : Vibtions - scillteu hmonique e eemple : système msse-essot moti k m λ Figue 6. L foce de fottement visqueu est de l fome λ &e ce qui conduit à l'éqution : m & + λ & + k = (6.3) où le fcteu d'motissement λ pou dimension [ λ ] = M T et pou unité ssociée N.s.m et où le teme γ défini p l'éqution (6.) pou epession λ γ = (6.4) m et pou unité s. ème eemple : pendule composé vec pivot éel (S) e z θ G P Figue 6.3 Le moment de fottement visqueu est de l fome µ θ & e z ce qui conduit à l'éqution : C & θ + µ θ & + m g θ = (6.5) où le fcteu d'motissement µ pou dimension [ ] L = M T unité ssociée epession et pou unité µ et pou N.s. m et où le teme γ défini p l'éqution (6.) pou s. Résolution mthémtique de l'éqution µ γ = (6.6) C ou + γ = + γ + ω =. (6.7-b) (6.7-c) L ésolution de l'éqution (6.7-c) ppelée éqution cctéistique conduit à clcule son disciminnt éduit ' = γ ω (6.8) nul ici puisque le epot de l condition (6.7-b) dns l'éqution cctéistique (6.7-c) evient à écie = γ et = ω c'est-à-die = γ = ω. t L solution () t = A t e est donc solution de l'éqution (6.) uniquement si les conditions (6.7-b) et (6.7-c) sont stisfites c'est-à-die si = γ et si ' = γ ω =. t b et de ses déivées successives p ppot u temps & b() t = B e et & t b() t = B e dns l'éqution (6.) conduit à t t t B e + γ B e + ω Be = t Le epot de () t soit B = (6.9-) ou + γ + ω = (6.9-b) qui n'est ute que l'éqution cctéistique (6.7-c) déjà touvée. L solution (6.9-) étnt physiquement inintéessnte puisque conduisnt à b () t = t il ne este plus qu'à ésoude l'éqution (6.9-b) ppelée éqution cctéistique et donc à clcule son disciminnt éduit ' donné p l'éqution (6.8). Ce pgphe ne emplce nullement le cous de mthémtiques conscé à l ésolution des équtions difféentielles du second ode à coefficients constnts. L ésolution de l'éqution (6.) s'obtient en chechnt des solutions indépendntes t t b de l fome () t = A t e et b() t = Be. et Le epot de () t et de ses déivées successives p ppot u temps t & t () t = A ( + t) e et & () t = A[ + ( + t) ] e A & dns l'éqution (6.) conduit à t [ ( γ) + ( + γ + ω ) t ] e = t + soit A = (6.7-) Ctheine Potel Univesité du Mine - Le Mns Losque le disciminnt éduit ' = γ ω = l solution de l'éqution (6.9-b) est donnée p l cine double = γ (ce qui coespond de plus u conditions (6.7-bc)) et l solution généle de l'éqution (6.) est los donnée p l somme () t + b() t. Losque le disciminnt éduit ' l solution de l'éqution (6.9-b) est donnée p deu cines distinctes et et l solution généle de l'éqution (6.) est los t t donnée p l somme Bˆ e + Bˆ e (les conditions (6.7-bc) ne sont los plus stisfites et l fonction () t n'est ps solution). Finlement l echeche de l solution généle d'une éqution difféentielle du second ode à coefficients constnts telle que l'éqution (6.) conduit à écie l'éqution cctéistique (6.9-b) et à en clcule son disciminnt éduit (6.8) ce qui mène u deu cs suivnts. Ctheine Potel Univesité du Mine - Le Mns

17 Chpite 6 : Vibtions - scillteu hmonique Chpite 6 : Vibtions - scillteu hmonique ) Pemie cs : ' = c'est-à-die γ = ω où ω = ω γ (6.6) Losque le disciminnt éduit ' est nul l solution est donnée p l cine double de l'éqution cctéistique (6.7-c) = γ (6.) et l solution () t est donnée p () t + b() t soit () t t ( A t + B) e soit () t γ t ( A t + B) e = = (6.) où les constntes A et B dépendent des conditions initiles. Ce cs coespond u égime citique (voi 3 suivnt). b) Deuième cs : ' Losque le disciminnt éduit ' est non nul les solutions et de l'éqution cctéistique (6.9-b) peuvent ête soit toutes les deu éelles soit toutes les deu complees conjuguées (en fonction du signe de ') et dns les deu cs l solution peut s'écie t t () t = Bˆ e + Bˆ e (6.) où les constntes Bˆ et Bˆ dépendent des conditions initiles et sont complees dns le cs génél (ce que symbolise l nottion ^ ). i) Si '> c'est-à-die γ > ω Les cines et sont éelles (les constntes Bˆ et Bˆ églement) = γ ' et = γ + ' (6.3) et le égime coespondnt est ppelé égime péiodique (voi 3 suivnt). ii) Si '< c'est-à-die γ < ω Les cines et sont complees conjuguées et le égime coespondnt est ppelé égime pseudo-péiodique (voi 3 suivnt). Ces cines s'obtiennent en les écivnt sous l fome = γ δ et = γ + δ (6.4-) où δ = '. (6.4-b) Le choi δ = i ω γ (6.4-c) et son epot dns les epessions (6.7-) des cines conduisent finlement à et = γ i ω (6.5-) = γ + i ω (6.5-b) Ctheine Potel Univesité du Mine - Le Mns est une gndeu ppelée pseudo-pulstion (l'indice "" n'ynt ucun ppot vec l solution pécédemment écite). L solution () t de l'éqution (6.) donnée p son epession (6.) s'écit finlement () = γ t i ω t i ω t t e Bˆ + e Bˆ e. (6.7) Il est usuel d'epime l solution (6.) à l'ide des fonctions tigonométiques ciculies. Ainsi en emplçnt les eponentielles complees p leus epessions en fonction des fonctions tigonométiques ciculies l'éqution (6.7) peut s'écie γ t () t = Ce cos( ω t + ϕ) (6.8) où Ccos( t + ϕ) = ( Bˆ + Bˆ ) cos( ω t) + i ( Bˆ Bˆ ) sin( ω t) soit Ccos( t) cosϕ Csin( ω t) sin ϕ = ( Bˆ + Bˆ ) cos( ω t) + i ( Bˆ Bˆ ) sin( ω t) ω (6.9-) ω. (6.9-b) Pou que l'éqution (6.9-b) soit véifiée quel que soit t il fut que Ccosϕ = Bˆ + Bˆ Csin ϕ = i ( Bˆ Bˆ ) soit C = 4Bˆ Bˆ (6.3-) Bˆ Bˆ tn ϕ = i. (6.3-b) Bˆ + Bˆ Les constntes C et ϕ sont éelles et dépendent (tout comme Bˆ et Bˆ qui sont complees) des conditions initiles. L nottion C n' bien su ien à voi vec le moment d'inetie des équtions (6.77) ou (6.5)... Remque. Du fit que l solution () t est éelle elle est égle à son complee conjugué * () t soit ce qui p usge de l'éqution (6.7) conduit à iω t i ω t * i ω t * i ω t Bˆ e + Bˆ e = Bˆ e + Bˆ e t * * Bˆ = Bˆ et Bˆ = Bˆ. (6.3) 3 Les tois égimes En ésumé l'éqution du mouvement étnt de l fome & + γ & + ω = (6.3) t t l echeche des solutions de l fome () t = A t e et b() t = Be conduit à ésoude l'éqution cctéistique Ctheine Potel Univesité du Mine - Le Mns

18 Chpite 6 : Vibtions - scillteu hmonique Chpite 6 : Vibtions - scillteu hmonique + γ + ω = (6.33) dont le disciminnt éduit est donné p ' = γ ω. (6.34) L'motissement est fot et le etou à l'équilibe se fit symptotiquement pou un temps infini sns que jmis le mobile ne psse p l position d'équilibe. Il n'y ps d'oscilltions. (t) Suivnt le signe de ce disciminnt éduit ' tois types de égimes sont obtenus : égime citique égime péiodique égime pseudo-péiodique. ) ' = : égime citique L'motissement cctéisé p est qulifié d'motissement citique. γ = ω (6.35) L solution de l'éqution du mouvement (6.3) est de l fome : γ t () t = ( A t + B) e (6.36) où A et B dépendent des conditions initiles. Le etou à l'équilibe se fit sns oscilltion et l'llue de btg est l même que dns le cs d'un motissement fot (voi III.3-b suivnt). n peut cependnt monte que le etou ves l position d'équilibe est le plus pide. b) ' > : égime péiodique L'motissement cctéisé p est qulifié d'motissement fot. γ > ω (6.37) L solution de l'éqution du mouvement (6.3) est de l fome : t t () t = B e + B e (6.38) où B et B dépendent des conditions initiles et où les cines de l'éqution cctéistique = γ ' et = γ + ' (6.39) sont toutes deu négtives. Ctheine Potel Univesité du Mine - Le Mns Remque. Dns le cs de l figue 6.4 bg = et &b g =. c) ' < : égime pseudo-péiodique L'motissement cctéisé p est qulifié d'motissement fible. Ctheine Potel Univesité du Mine - Le Mns t Figue 6.4 γ < ω (6.4) L solution de l'éqution du mouvement (6.3) est de l fome : γ t () t = Ce cos( ω t + ϕ) (6.4) où C et ϕ dépendent des conditions initiles et où l pseudo-pulstion ω est définie p ω = ω γ (6.4-) de pseudo-péiode T ssociée π T =. (6.4-b) ω i) Repésenttion gphique L multipliction des fonctions cos( ω t + ϕ) eponentielles (figue 6.6). C (figue 6.5-) p les fonctions ± e γ t (figue 6.5-b) pemet d'obteni l'llue de l solution (6.44) + e γ t t t γ t -e γ t ) b)

19 Chpite 6 : Vibtions - scillteu hmonique Chpite 6 : Vibtions - scillteu hmonique Figue 6.6 Figue 6.5 Le mouvement est un mouvement oscillnt dont l'mplitude décoît vec une constnte de temps τ = qui γ est l duée u bout de lquelle l'mplitude est divisée p e ; cette constnte de temps ugmente si l'motissement diminue. ii) Rppot ente deu mimums (esp. minimums) successifs - Décément logithmique L'mplitude du mouvement à un ou plusieus intevlles de pseudo-péiode T peut ête une donnée epéimentle qui pemet de déduie les cctéistiques de l'oscillteu et notmment son fcteu d'motissement γ en fonction de l pseudo-péiode T. Ainsi le ppot ente deu mimums (esp. minimums) successifs est-il donné p (figue 6.7) A α = (6.43-) A soit en fisnt usge de l solution (6.44) et puisque cos( ω t + ϕ) = (esp. -) pou t = t et t = t γ t C e γ ( t t ) α = = e γ t Figue 6.7 C e d'où e γ T α =. (6.43-b) De même on peut églement défini le décément logithmique δ p A A δ = ln = ln (6.44) A n A n+ où n désigne l nième élongtion (du même côté). Le epot de l'epession (6.43) du ppot α dns l eltion (6.44) conduit à T δ = ln α = γ T = (6.45) τ où τ = γ est l duée u bout de lquelle l'mplitude est divisée p e. (6.46) Le epot de l'epession du fcteu d'motissement γ déteminé en fonction du décément logithmique en fisnt usge de l'éqution (6.45) p δ ω γ = = δ (6.47) T π dns l'epession (6.4-) u cé de l pseudo-pulstion ω pemet d'écie [ δ ( )] ω = ω + π. (6.48) Si le ppot δ ( π) << (c'est-à-die si ω τ >> ) le développement à l'ode de l eltion (6.48) pemet d'écie ω ω δ. (6.49) ω 8π L eltion (6.49) donne l mesue de l'éct ente l pseudo-pulstion ω de l'oscillteu moti et s féquence pope ω (même oscillteu mis non moti). 4 Fcteu de qulité du système Le fcteu de qulité Q d'un système est une gndeu qui tient compte de l fculté du système considéé à oscille ; il est défini p Q = ω γ. (6.5) ( ) P suite - si γ > ω c'est-à-die si Q < le égime est péiodique - si γ = ω c'est-à-die si Q = le égime est citique - si γ < ω c'est-à-die si Q > le égime est pseudo-péiodique. L'usge des eltions (6.4) pemet d'écie l pseudo-péiode [ γ ω ] T sous l fome T = T (6.5) soit en epotnt l'epession du fcteu de qulité (6.33) T = T ( 4Q ) (6.5) où T = π ω est l péiode pope des oscilltions libes non moties. L'intepéttion du fcteu de qulité en temes de bnde pssnte en égime pemnent pou les oscilltions focées se donnée u III.5-c). Ctheine Potel Univesité du Mine - Le Mns Ctheine Potel Univesité du Mine - Le Mns

20 Chpite 6 : Vibtions - scillteu hmonique Chpite 6 : Vibtions - scillteu hmonique 5 Repésenttion de l'oscillteu hmonique moti dns le pln des phses. L'évolution d'un oscillteu non moti dns le pln des phses est une ellipse (voi II.8) d'éqution & + A = A (6.53) ω qui est donc une coube femée (figue 6.7). Figue 6.7 : scillteu libe non moti ẋẋ c) Mouvement pseudo-péiodique Figue 6.9 : scillteu libe moti égime péiodique. Cs où les conditions initiles sont telles que à t = ( ) = et &( ) =. Qund t + et & tendent ves. Ce n'est en evnche plus le cs en pésence d'motissement. ) Mouvement citique L solution (6.36) et s déivée p ppot u temps s'écivent γ t () t = ( A t + B) e (6.54-) γ & t () t = [ γ ( A t + B) + A] e (6.54-b) ce qui conduit à l coube pmétique en fonction du temps t de l figue 6.8. ẋẋ Figue 6.8 : scillteu libe moti égime citique. Cs où les conditions initiles sont telles que à = &. et ( ) = t = ( ) L solution (6.4) et s déivée p ppot u temps s'écivent γ t () t = Ce cos( ω t + ϕ) γ & t () t = Ce [ γ cos( ω t + ϕ) + ω sin( ω t + ϕ) ] ce qui conduit à l coube pmétique en fonction du temps t de l figue 6.3. ẋẋ (6.56-) (6.56-b) Figue 6.3 : scillteu libe moti égime pseudo-péiodique. Cs où les conditions initiles sont telles que à t = = et &( ) =. ( ) Qund t + et & tendent ves. Qund t + et & tendent ves. b) Mouvement péiodique L solution (6.7) et s déivée p ppot u temps s'écivent t t () t = B e + B e (6.55-) t t & () t = B e + B e (6.55-b) vec < ce qui conduit à l coube pmétique en fonction du temps t de l figue 6.9. Ctheine Potel Univesité du Mine - Le Mns Ctheine Potel Univesité du Mine - Le Mns

21 Chpite 6 : Vibtions - scillteu hmonique Chpite 6 : Vibtions - scillteu hmonique IV SCILLATINS FRCEES SUS EXCITATIN PERIDIQUE (SYSTEME AMRTI). Eqution du mouvement Les oscillteus étudiés dns les pgphes pécédents sont mintennt soumis à une ction mécnique etéieue (foce d'mplitude F ou moment d'mplitude C ) supposée sinusoïdle de pulstion ω. L'ecittion de l'oscillteu est los péiodique (de péiode T = π ω) et les oscilltions sont dites focées (p opposition u oscilltions libes des II et III). - Il ne fut ps confonde l nottion ω qui désigne l pulstion pope des oscilltions libes non moties et l nottion ω qui désigne l pulstion des oscilltions focées. - Il convient églement de note que le teme "sinusoïdl" désigne une fonction ciculie qui peut ête soit l fonction sinus soit l fonction cosinus. C'est l fonction cosinus qui est choisie dns l suite de ce pgphe p commodité mis l fonction sinus uit tout ussi bien pu ête utilisée. - Il convient p illeus de note qu'en toute igueu le signl d'ecittion n'est ps éellement sinusoïdl puisque mis en sevice à t =... L'éqution du mouvement est los de l fome & + γ & + ω = && + γ & + ω = f cos ( ω t) si t < si t (6.57-) (6.57-b) où f est homogène à une ccélétion si est homogène à une longueu ( f = F m ) ou à une ccélétion ngulie si (noté los péféentiellement θ ) est un ngle ( f = C I ) I étnt homogène à un moment d'inetie. En ésumé le poblème à ésoude (poblème bien posé) compend à l fois l'éqution du mouvement et les conditions initiles soit & + γ & + ω = si t < (6.57-) && + γ & + ω = f cos ( ω t) si t (6.57-b) ( ) = & ( ) = & t =. (6.57-c). Solution généle de l'éqution Comme toute éqution difféentielle compotnt un second membe l solution généle () t de l'éqution vec second membe est l somme de l solution généle () t de l'éqution sns second membe et d'une solution pticulièe () t de l'éqution vec second membe soit () t = () t + () t (6.58) où l solution () t coespond u oscilltions libes du système est donc de l fome (6.) (6.7) ou (6.8) et tend donc ves u bout d'un cetin temps et où l solution pticulièe () t coespond u égime ppelé sttionnie ou pemnent. Deu égimes sont à distingue. Régime tnsitoie Le égime tnsitoie est l pemièe ptie du mouvement pendnt lquelle les vibtions libes (fonction () t ) s'tténuent de plus en plus pou tende ves zéo. Ce égime est bien entendu constitué à l fois de () t mis églement de () t. Régime sttionnie (ou pemnent) : Le égime sttionnie est l deuième ptie du mouvement égulie péiodique puisque l cuse du mouvement est une foce elle-même péiodique et coespond donc uniquement à l fonction () t. L duée du égime tnsitoie est le temps pendnt lequel le système se "souvient" de son étt initil vnt que l foce n'ente en ction. Pssé ce temps ien dns l'étt du système ne pemet de etouve cet étt initil. L'ode de gndeu de l duée de ce égime tnsitoie est donné p l constnte de temps τ = γ (voi Eq. (6.46)). Dns le cs d'un système fiblement moti cette péiode tnsitoie pou ête tès longue voie de duée infinie dns le cs d'un système sns motissement bγ = τ g. 3. Méthode d'étude du égime sttionnie (ou pemnent) L'étude du égime sttionnie consiste à cheche une solution pticulièe () t de l'éqution (6.57-b) & + γ & + ω = f cos ( ω t). (6.59) Pou cel il est commode de lui ssocie l'éqution & y + γ y& + ω y = f sin ( ω t) (6.6) Ctheine Potel Univesité du Mine - Le Mns Ctheine Potel Univesité du Mine - Le Mns