I. Principe d inertie

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1 LES POSTULATS FONDAMENTAUX DE LA DYNAMIQUE NEWTONNIENNE Quels facteurs ntervennent lors de la mse en mouvement d un corps? Pour fare bouger un objet l faut exercer une acton sur lu. La grandeur physque caractérsant cette acton est appelée force. Expérmentalement on constate qu elle peut être représentée par un vecteur. Il est plus facle de pousser une poussette que de pousser une voture. Cette résstance à la mse en mouvement se tradut par une grandeur physque : la masse. Plus la masse d un corps est grande, plus à force égale l est dffcle de le mettre en mouvement. La masse mesure ans l nerte d un corps. Ces notons mértent d être précsées. Leurs défntons sont contenues dans les postulats de la dynamque. I. Prncpe d nerte 1. Défntons partcule lbre : la trajectore d une partcule dépend a pror des nteractons qu s exercent entre elle et la matère extéreure. Une partcule lbre est une partcule qu n est soumse à aucune nteracton (.e une partcule seule sans présence d autre matère). C est la lmte déalsée d une partcule suffsamment élognée de toute matère pour que les nteractons exercées soent néglgeables. La partcule lbre est donc un concept, une lmte jamas attente de la réalté. référentel galléen (ou nertel) : un référentel galléen est un référentel d espace-temps dans lequel les partcules lbres ont des mouvements rectlgnes unformes. 2. Énoncé du prncpe d nerte (ou premère lo de Newton) Il exste des référentels galléens.e. des référentels dans lesquels une partcule lbre a un mouvement rectlgne unforme. 3. Proprétés des référentels galléens S est un référentel galléen alors tout référentel en translaton rectlgne unforme par rapport à est également galléen. En effet, l accélératon d un pont est la même lorsqu on passe d un référentel, à un référentel R 1 en mouvement de translaton rectlgne unforme par rapport à (vor justfcaton en annexe). 1

2 II. Prncpe fondamental de la dynamque (ou deuxème lo de Newton, ou lo de la quantté de mouvement) 1. Quantté de mouvement a) Quantté de mouvement d un pont matérel Sot p la quantté de mouvement d un pont matérel M de masse m (masse nerte), par rapport à un référentel R. Par défnton p = m v avec v vtesse du pont M par rapport au référentel R. b) Quantté de mouvement d un système de ponts Sot un système de deux ponts M 1 et M 2 de masses respectves m 1 et m 2 et vtesses respectves v 1 et v 2 par rapport à un référentel R. La quantté de mouvement p du système par rapport à R est la somme des quanttés de mouvement de chacun des deux ponts : p = p 1 + p 2 = m 1 v 1 + m 2 v 2 Cette quantté de mouvement peut s écrre sous la forme p = m v(g) où m = m 1 + m 2 représente la masse totale du système et où G représente le centre de masse du système. En effet géométrquement G est défn par la relaton suvante, O étant un pont quelconque : (m 1 + m 2 ) OG = m 1 OM 1 + m 2 OM 2 En dérvant cette relaton par rapport au temps dans R on retrouve ben m 1 v 1 + m 2 v 2 = (m 1 + m 2 ) v(g) = m v(g) Remarques : Dans le cas partculer où m 1 = m 2, OG = OM 1 + OM 2, G est le mleu de [M 2 1 M 2 ]. S on prend O = M 1 on trouve M 1 G = m 2 m 1 +m 2 M 1 M 2 S on prend O = G on trouve m 1 GM 1 + m 2 GM 2 = 0, sot GM 1 = m 2 m 1 GM 2. Lorsque les deux masses sont dfférentes, G est plus proche de la masse la plus grande. L expresson p = m v(g) est généralsable à tout système (système de plus de deux ponts, solde). 2

3 2. Énoncé On consdère un système de masse m. Ce système peut être consttué d un pont matérel, d un ensemble de ponts, d un solde... Dans un référentel galléen, la dérvée par rapport au temps de la quantté de mouvement du système est égale à la somme des forces extéreures s exerçant sur le système. L équaton dynamque du système s exprme sous la forme : d p = f f = f représente la résultante des forces extéreures qu s exercent sur le système. Une force est un vecteur qu tradut l nteracton entre le système et l extéreur. Les forces sont addtves. On suppose la force nvarante par changement de référentel galléen. La norme de la force a pour unté SI le Newton. (1N=1 kg.m.s 2 ). 3. Cas d un système de masse constante Dans le cas d un système de masse constante on peut sortr m de la dérvée : d p = dm v = m d v = m a où a représente l accélératon du pont matérel consdéré (ou du centre de masse G dans le cas d un système non ponctuel) par rapport au référentel galléen consdéré. On retrouve alors f = m a On remarque qu à résultante des forces égale, l accélératon d un système sera d autant plus fable que sa masse est élevée. La masse m est appelé masse nerte du système et caractérse son comportement dynamque. La masse est un scalare postf. Elle est nvarante par changement de référentel. L unté SI de masse est le klogramme. 4. Cas partculer d un système à l équlbre Lorsqu un système est à l équlbre dans un référentel donné, sa quantté de mouvement p = 0 donc d p = 0. S l équlbre se produt dans un référentel galléen alors le prncpe fondamental de la dynamque s écrt f = 0 3

4 5. Système pseudo-solé Un système est pseudo-solé lorsque la résultante des forces qu s exercent sur ce système est nulle : f = 0 (exemple : palet glssant sur une patnore). On dédut du prncpe fondamental de la dynamque : d p = 0 La quantté de mouvement d un système pseudo solé se conserve. Dans un référentel galléen, l possède donc un mouvement rectlgne unforme. Il se comporte ans comme un système solé. 6. Quelques remarques complémentares Le prncpe fondamental de la dynamque permet de détermner la trajectore d un pont (ou du centre de masse d un système) connassant les forces qu s exercent sur ce système. Les équatons dfférentelles à résoudre étant du second degré, l est nécessare de connaître la poston et la vtesse ntale du pont (ou du centre de masse du système) consdéré. Inversement, l analyse du mouvement d un système peut permettre de détermner la résultante des forces s exerçant sur ce système. III. Prncpe des actons récproques Les forces d nteractons récproques qu s exercent entre deux ponts matérels M 1 M 2 sont opposées et ont pour support la drote jognant ces deux ponts. f 1 2 = f 2 1 M 1 M 2 f 1 2 = 0 Remarque : On peut montrer que la relaton f 1 2 = f 2 1 est une conséquence de la lo de la quantté de mouvement. La deuxème relaton précse que les forces d nteracton dovent être colnéares à la drote M 1 M 2 ce qu permet une nvarance par rotaton du système autour de M 1 M 2. 4

5 IV. Recherche de référentel galléen 1. Caractérstque Un référentel galléen est un référentel dans lequel la relaton fondamentale de la dynamque est vérfée. Celu-c sera consdéré comme un repère galléen s expérmentalement, la lo fondamentale de la dynamque y est vérfée, à la précson des mesures près. Le temps étant absolu, on défnt une seule chronologe pour tous les référentels galléens. Actuellement la référence est l horloge atomque. Elle utlse des atomes de césum qu émettent un rayonnement électromagnétque de pérode T. La seconde est alors défne comme étant s = T La chronologe étant étable, la défnton d un référentel galléen sera lée au chox du repère d espace. 2. Les référentels usuels le référentel hélocentrque a pour orgne le centre du solel et des axes pontant vers des étoles lontanes. Il peut être consdéré comme galléen lors de l étude du mouvement des planètes autour du Solel. le référentel géocentrque a pour orgne le centre de la Terre et des axes parallèles à ceux du référentel hélocentrque. Dans ce référentel, la Terre possède un mouvement de rotaton unforme autour de l axe des pôles, de pérode 1 jour sdéral (sot 23h 56mn 4s). Le référentel géocentrque est donc en translaton crculare par rapport au référentel hélocentrque. Il peut être consdéré comme galléen lorsqu on peut néglger le mouvement orbtal de la Terre autour du solel (et donc étuder des phénomène de durée courte devant 1 an). Ce référentel est ben adapté à l étude du mouvement des satelltes autour de la Terre. Le comportement non galléen du référentel géocentrque se tradut par l apparton d un terme de marée (vor cours de deuxème année PC). le référentel terrestre ou référentel du laboratore a pour orgne un pont fxe de la Terre et possède des axes fxes par rapport à la Terre. Ce référentel est en rotaton par rapport au référentel géocentrque, avec une pérode correspondant à 1 jour sdéral. Il peut cependant être consdéré comme un bon référentel galléen s l expérence se déroule à une échelle fable devant le rayon de la Terre et sur une durée courte par rapport à un jour. Une des manfestatons les plus vsbles du caractère non galléen du référentel terrestre est l apparton d une force dte "force de Corols" qu déve tout objet en mouvement par rapport à la Terre, vers la drote dans l hémsphère nord et vers la gauche dans l hémsphère sud. Cette force nflue sur l enroulement des dépressons atmosphérques et des courants marns. Une expérence hstorque a ms en évdence la force de Corols de manère spectaculare : l expérence du pendule de Foucault (1851). 5

6 Annexe : Mouvement de translaton d un référentel par rapport à un autre On a affrmé dans le cours que tous les référentels galléens étaent en mouvement de translaton rectlgne unforme les uns par rapport aux autres. On se propose de le vérfer c. Sot (O, u x0, u y0, u z0 ) un référentel. Sot R 1 (O 1, u x1, u y1, u z1 ) un référentel en translaton par rapport à. Les vecteurs de la base ( u x1, u y1, u z1 ) conservent donc des drectons fxes par rapport à. Sot M un pont moble dans et R 1. On peut défnr les deux vtesses (d ) OM (d ) O 1 M v(m) /R0 = et v(m) /R1 = S M a pour composantes respectves (x 0, y 0, z 0 ) dans et (x 1, y 1, z 1 ) dans R 1 alors v(m) /R0 = x 0 u x0 + y 0 u y0 + z 0 u z0 et v(m) /R1 = x 1 u x1 + y 1 u y1 + z 1 u z1. D après la relaton de Chasles OM = OO 1 + O 1 M. D où (d ) OM (d ) ( ) OO 1 d v(m) /R0 = = + (x 1 u x1 + y 1 u y1 + z 1 u z1 ) R 0 ( ) ( ) ( ) d ux1 d uy1 d uz1 v(m) /R0 = v(o 1 ) /R0 + x 1 u x1 + y 1 u y1 + z 1 u } {{ z1 +x } 1 +y 1 +z 1 R v(m) R1 } {{ } } {{ } 0 = 0 = 0 ( ) d ux1 = ( ) d uy1 = ( d uz1 ) R 1. / } {{ } = 0 = 0 car les vecteurs de base de R 1 conservent une drecton fxe dans. en dérvant une seconde fos dans on aura v(m) /R0 = v(o 1 ) /R0 + v(m) /R1 a(m) /R0 = a(o 1 ) R0 + ẍ 1 u x1 + ÿ 1 u y1 + z 1 u z1 a(m) /R0 = a(o 1 ) /R0 + a(m) /R1 Consdérons le cas partculer où R 1 a un mouvement de translaton rectlgne unforme par rapport à. Dans ce cas O 1 est en mouvement rectlgne unforme par rapport à d où a(o 1 ) R0 = 0. On en dédut a(m) /R0 = a(m) /R1 L accélératon d un pont est la même dans deux référentels en mouvement de translaton rectlgne unforme l un par rapport à l autre. 6

7 Supposons galléen. Une partcule lbre M y possède donc un mouvement rectlgne unforme. On a donc a(m) /R0 = 0. Sot R 1 un référentel en translaton rectlgne unforme par rapport à. On aura a(m) /R1 = a(m) /R0 = 0. Cette partcule possède donc également un mouvement rectlgne unforme dans R 1 : R 1 est donc un référentel galléen. 7