Problème 1 : continuité uniforme

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1 SESSION 0 CAPES EXTERNE MATHÉMATIQUES Problème : cotiuité uiforme f est pas uiformémet cotiue sur I si et seulemet si ε > 0/ η > 0, x,y I / x y η et fx fy > ε Soit f ue foctio -lipschitziee sur I avec > 0 Soit ε > 0 Soit η ε Soiet x et y deux réels de I tels que x y η Alors fx fy x y η ε O a motré que ε > 0, η > 0/ x,y I, x y η fx fy ε et doc f est uiformémet cotiue sur I 3 3 Soit x,y R x x y+y x y ± y et doc x y x y E appliquat ce résultat à y et x, o a aussi y x y x Comme x y est l u des deux ombres x y ou y x, o a motré que x y x y 3 Soit x,y R fx fy + x + y x y + x + y x y +0+0 x y Doc, la foctio f est -lipschitziee sur R et e particulier f est uiformémet cotiue sur R d après la questio 4 4 Soiet x et y deux réels positifs x+y x+y x+ x y+y x+ y, et doc, puisque les deux ombres x+y et x + y sot positifs, o e déduit que x+y x + y par stricte croissace de la foctio t t sur R + Soiet x et y deux réels positifs x y+x y y+ x y y+ y x, et doc x y x y E appliquat à y et x, o a aussi y x x y et fialemet x y x y 4 Soit ε > 0 Soit η ε > 0 Soiet x et y deux réels positifs tels que x y η Alors x y x y ε ε O a motré que ε > 0, η > 0/ x,y [0,+ [, x y η gx gy ε et doc g est uiformémet cotiue sur [0,+ [ { } x y 43 Il s agit de prouver que l esemble A, x 0, y 0, x y est pas ue partie majorée de R Cet x y esemble cotiet les ombres de la forme x 0 où x > 0 Comme lim x +, l esemble A est pas x 0 x x 0 + majoré et doc la foctio g est pas lipschitziee sur R Soit ε Soit η > 0 Soit N puis x + et y http ://wwwmaths-fracefr c Jea-Louis Rouget, 0 Tous droits réservés

2 x y η + η η η η O choisit alors E 4η + D après ce qui précède, o a x y η D autre part, x y x y + > ε O a motré que ε > 0/ η > 0, x,y R / x y η et hx hy > ε et doc que la foctio h est pas uiformémet cotiue sur R 5 Puisque h est pas uiformémet cotiue sur R, h est pas lipschitziee sur R par cotrapositio de l implicatio obteue à la questio 6 6 F est uiformémet cotiue sur R + O peut doc appliquer la défiitio de l uiforme cotiuité avec ε et o obtiet 6 Soit N η > 0/ x,y R +, x y η Fx Fy x 0 η x 0 η E x0 η + si x 0 η / N x 0 η si x 0 η N si x 0 0 x 0 si x 0 N O e déduit l existece et l uicité de 0 : 0 η η x0 E + si x 0 / N η F +x0 x0 0 x 0 F F 0 0 Fx 0 F η car 0 N F0 Fx 0 F0 somme télescopique Par suite, +x0 x0 0 F F F +x F x0 64 Soit 0, +x 0 x 0 0 x 0 η et doc 0 F +x0 x0 F Par suite, Maiteat, si x 0 η, 0 E x0 η Fx 0 F x 0 η + ce qui reste vrai das le cas où x 0 η < O e déduit que Fx 0 Fx 0 Fx 0 F0 + F0 0 + F0 η x 0 ++ F0 0 0 O a trouvé deux réels a et b idépedats de x 0, à savoir a η et b + F0, tels que Fx 0 ax 0 +b O a motré que a,b R / x R +, Fx ax+b http ://wwwmaths-fracefr c Jea-Louis Rouget, 0 Tous droits réservés

3 7 Soit F ue foctio uiformémet cotiue sur R Alors F est e particulier ue foctio uiformémet cotiue sur R + et a,b R / x R +, Fx ax+b Pour x, o e déduit que Fx x a+b a+b Aisi, si F est uiformémet x cotiue sur R, écessairemet la foctio x Fx est majorée sur [,+ [ x 7 Soit P u polyôme de degré supérieur ou égal à O suppose sas perte de gééralité, quite à remplacer P par Px P, que domp > 0 O sait alors que lim + D après la remarque précédete, P est pas uiformémet x + x cotiue sur R e x 7 De même, puisque lim + d après u théorème de croissaces comparées, la foctio expoetielle est pas x + x uiformémet cotiue sur R 8 Théorème de Heie 8 Puisque G est pas uiformémet cotiue sur [a,b], ε > 0/ η > 0, x,y [a,b] / x y η et Gx Gy > ε ε est aisi doréavat fixé O applique cette défiitio aux cas particuliers η où est u etier aturel o ul doé et o obtiet ε > 0/ N, x,y [a,b] / x y et Gx Gy > ε 8 Les suites x N et y N sot à valeurs das [a,b] et doc x N et y N sot deux suites réelles borées Le théorème de Bolzao-Weierstrass permet d affirmer que l o peut extraire de la suite x N ue soussuite x ψ N covergete La suite y ψ N est toujours borée et o peut e extraire ue sous-suite y σ N covergete La suite y σ N est alors ue sous-suite covergete de la suite y N Efi, la suite x σ N est covergete e tat que suite extraite de la suite covergete x ψ N et doc la suite x σ N est ue sous-suite covergete de la suite x N Il est cou que, puisque σ est ue applicatio strictemet croissate de N das lui-même, o a e particulier N, σ et doc N, xσ y σ σ et Gxσ Gy σ > ε 83 Puisque N, xσ y σ, le théorème des gedarmes permet d affirmer que lim xσ y σ 0 + Puisque les suites x σ N et y σ N sot covergetes, o peut alors écrire lim x σ lim y σ lim xσ y σ 0, et doc lim x σ lim y σ Posos x lim x σ lim y σ + + Pour tout N, a x σ b, par passage à la limite quad ted vers + o obtiet a x b Puisque G est cotiue sur [a,b] et e particulier e x, o doit avoir lim Gxσ Gy σ Gx Gx 0 Ceci cotredit le + fait que N, Gxσ Gy σ > ε Il était doc absurde de supposer que G était pas uiformémet cotiue sur [a,b] Le théorème de Heie est démotré 9 La foctio expoetielle est cotiue sur tout segmet coteu das R D après le théorème de Heie, la foctio expoetielle est doc uiformémet cotiue sur tout segmet de R Mais d après la questio 7, la foctio expoetielle est pas uiformémet cotiue sur R L implicatio G uiformémet cotiue sur tout segmet coteu das J G uiformémet cotiue sur J est doc ue implicatio fausse Problème : marches aléatoires Partie A : quelques résultats d aalyse Soit N La foctio t est cotiue et décroissate sur [,+] Par suite, pour tout réel t de [,+], o t a + t D après l iégalité de la moyee, o a alors http ://wwwmaths-fracefr 3 c Jea-Louis Rouget, 0 Tous droits réservés

4 Soit Pour tout,, dt + t H + Soit Pour tout,, t dt E sommat ces iégalités, o obtiet + + t dt dt l+ t dt E sommat ces iégalités, o obtiet t t dt dt l, t puis e rajoutat à chaque membre de l iégalité, o obtiet H +l Cette derière iégalité reste vraie pour car H et o a doc motré que N, l+ H +l Soit Alors l > 0 et e divisat les deux membres de l ecadremet précédet par l, o obtiet l+ l H l + l+ Quadted vers+,+ ted verset d autre part, ted verscar l+ l l l l Le théorème des gedarmes permet alors d affirmer que H l H l + ted vers ou ecore que Soit N K + K + > 0 Doc la suite K N est strictemet croissate D autre part, pour, K somme télescopique + ce qui reste vrai pour Aisi, la suite K N est croissate et majorée par et doc la suite K N coverge 3 Détermios u équivalet de a quad ted vers + : a 4!! + 4 4π e π e 4 e e 4π π π lim a + π 4 Soit N puis a + a ! +! 4! +! http ://wwwmaths-fracefr 4 c Jea-Louis Rouget, 0 Tous droits réservés

5 + + a + a O e déduit que pour tout N, a + > 0 puis que a + > a car a > 0 Aisi, la suite a N est a strictemet croissate et ted vers d après la questio 3 Mais alors π N, a π 6 6 Soiet a et b deux réels et doc a+b 4ab 6 Soit N + Par suite, 7 7 Soit N O sa it déjà que a + a 0 Esuite, a+b 4ab a ab+b a b 0, + + De plus, d après la questio précédete, a + a a a+ π + a a π N, 0 a + a d après la questio 4 d après les questios 5 et π 7 L iégalité est claire si p Soiet et p deux etiers aturels tels que < p p a p a a i+ a i somme télescopique i p i 8 π 8ii+ d après la questio 7 π p i 8 π i i+ 8 π somme télescopique p 73 état fixé, o fait tedre p vers + das l ecadremet précédet D après la questio 3, o obtiet N, 0 π a 8 π Partie B : marche aléatoire sur ue droite http ://wwwmaths-fracefr 5 c Jea-Louis Rouget, 0 Tous droits réservés

6 Pour tout etier aturel o ul, U O Soit 0 Ue marche aléatoire de l istat 0 à l istat s idetifie à u -uplet x,x,,x d élémets de l esemble {,} L abscisse de la particule à l istat est x + x + + x puis l abscisse de la particule est x +x ++x +x + Modulo, x +x ++x +x Aisi, l abscisse de la particule à l istat 0 est u ombre impair et e particulier est jamais égale à 0 Doc po + 0 Soit Le ombre total de -uplets d élémets de {,} est 4 D autre part, ue marche aléatoire de l istat 0 à l istat aboutissat e O s idetifie à u -uplet x,,x d élémets de {,} tel que x +x ++ x 0 c est-à-dire u -uplet x,,x d élémets de {,} coteat de que de Il y a tels -uplets, état le ombre de choix de l emplacemet de ombres das places Fialemet, po 4 3 Soit N EO + 0 po + 0+ po + 0 D autre part, EO 0 po 0+ po 4 L espérace état liéaire EU EO Motros alors par récurrece que, EU + 4 Pour, EU et 4 Soit Supposos que EU + 4 EU + EU EO L égalité est doc vraie quad Le résultat est démotré par récurrece, EU EU + 4 Puisque π lim + Pour tout, U +a +, o e déduit que π D après la questio 3 de la partie A, +a EU + π Partie C : marche aléatoire sur u pla O + π http ://wwwmaths-fracefr 6 c Jea-Louis Rouget, 0 Tous droits réservés

7 Soit 0 Si ue marche das le pla aboutit à l origie à l istat, alors la projetée de cette marche sur l axe Ox aboutit aussi à l origie D après la partie B, la projetée de la particule sur Ox est jamais e O à l istat + et doc la particule est jamais e O à l istat + O e déduit que po + 0 Soit Ue marche etre l istat 0 et l istat aboutit e O si et seulemet si ses projectios sur Ox et Oy aboutisset e O La probabilité demadée est doc po a 4 a 3 La questio précédete fourit aussi 0, EO + 0 et, EO a a Soit EU EO EO 4 Soit D après la questio 73 de la partie A, 0 a π 8 π et doc π 8 π a puis π a π 8 π D autre part, , et doc a π 8 π 4 π O a motré que 4π, π 4π a π 5 Soit O somme les égalités précédetes et o obtiet : ou ecore π 8π EU π, D après les questios et de la partie A, H π K 8π EU H π lim H + alors que la suite K coverge O divise les trois membres + de par le réel strictemet positif H et le théorème des gedarmes permet d affirmer que EU toujours d après la questio de la partie A l EU + π Problème 3 : équatio de Pell-Fermat Soiet m et deux etiers aturels tels que m < + H π puis, m m mm+ + mm + m x,y N / m m 0 x + y m x y http ://wwwmaths-fracefr 7 c Jea-Louis Rouget, 0 Tous droits réservés

8 Algorithme écrit avec Algobox VARIABLES x EST DU TYPE NOMBRE 3 y EST DU TYPE NOMBRE 4 DEBUT ALGORITHME 5 POUR y ALLANT DE A 00 6 DEBUT POUR 7 SI sqrt+*powy,floorsqrt+*powy, ALORS 8 DEBUT SI 9 x PREND LA VALEUR sqrt+*powy, 0 AFFICHER "" AFFICHER x AFFICHER "," 3 AFFICHER y 4 AFFICHER "" 5 FIN SI 6 FIN POUR 7 FIN ALGORITHME Le programme retoure les couples 3,, 7, et 99,70 3 La plus petite solutio est 3, 4 a Soit N La formule du biôme de Newto fourit Si o pose x 3 3 et y 0 0 uls tels que 3+ x +y b Soit N , x et y sot deux etiers aturels o x + +y x +y 3x +4y + x +3y De plus, est irratioel et doc la famille, est Q-libre Par idetificatio, o obtiet N, { x+ 3x +4y y + x +3y c Pour tout N, x + x x +4y > 0 et y + y x +3y > 0 Doc les suites x N et y N sot strictemet croissates Soit N O a 3+ x +y et u calcul cojugué fourit 3 x y E additioat ou e retrachat membre à membre ces deux égalités, o obtiet x et y 3+ 3 Puisque 3+ > et 0 < 3 <, o e déduit que 5 Soit N x y x +y x y lim x + et lim y http ://wwwmaths-fracefr 8 c Jea-Louis Rouget, 0 Tous droits réservés

9 Doc, x,y est solutio de E 6 Puisque la suite y N est strictemet croissate, N+ est écessairemet le premier etier p tel que y p > Y Ceci assure l uicité de N La suite y N est strictemet croissate Doc l esemble A {p N / y p > Y} est ue partie o vide de N et même de N A admet doc u plus petit élémet que l o ote N + où N est u etier aturel Par défiitio de N, y N Y < y N+ Efi, si y N Y, alors x N +YN +Y X car x N 0 et X 0 et doc X,Y x N,y N S ce qui est pas Fialemet, y N < Y < y N+ 7 D après la questio 3, y L algorithme motre que y et que Y > Mais alors N 8 Puisque y N < Y < y N+, o a ecore +y N < +Y < +y N+ car stricte croissace de la foctio t t sur [0,+ [ Mais alors x N < X < x N+ E additioat et, o obtiet x N +y N < X+Y < xn+ +y N+ 9 L ecadremet précédet s écrit aussi 3+ N < X + Y < 3+ N+ E multipliat les trois membres de cet ecadremet par le réel strictemet positif 3 et e teat compte de 3+ 3, o obtiet 3+ N < X+Y 3 < 3+ N ou ecore 0 a Puisque X Y et X > 0, o a et doc 3X 4Y > 0 x N +y N < 3X 4Y+3Y X < xn +y N 3X 3 +Y > 3 Y > 4Y, b Puisque X Y et Y d après la questio7, o a X Y +Y +Y 5 Y < 3Y, 3 et doc 3Y X > 0 c X +Y > Y Y et doc Y X < 0 puis 3Y X < Y d 3X 4Y 3Y X X Y et doc le couple 3X 4Y,3Y X est ue solutio de E O a trouvé u couple X,Y 3X 4Y,3Y X d etiers aturels o uls d après 0 et 0, solutio de E d après 04 et tel que Y < Y d après 03 Ceci cotredit la défiitio de X,Y et il était doc absurde de supposer qu il existait ue solutio apparteat pas à S Fialemet, l esemble des solutios de E est S x,y 3, fourit m et fourit x,y 7, puis m 6 et fourit x 3,y 3 99,70 puis m 35 et fourit x 4,y 4 577,408 puis m 04 et fourit x 5,y 5 547,378 puis m 89 et 73 http ://wwwmaths-fracefr 9 c Jea-Louis Rouget, 0 Tous droits réservés