( (p, q) IN 2 ) A p A q = A p+q ( (p, q) IN 2 ) (A p ) q = A pq ( k IN) (A ) k = (A k ) ( k IN) Dét (A k ) = (Dét A) k

Transcription

1 Algèbre Chaptre 6 Les matrces carrées Hypothèses : est u eter strctemet postf I est la -matrce uté I La trace d ue matrce carrée La trace d ue -matrce est la somme de ses termes dagoaux O ote la trace de toute -matrce A : Tr A S A est ue p, q)-matrce et s B est ue q, p)-matrce alors : Tr AB Tr BA Mse e garde E gééral, Tr ABC Tr BAC o a seulemet : Tr ABC Tr CAB Tr BCA Cotre-exemple : II Les pussaces d ue matrce carrée O suppose das ce paragraphe que A est ue -matrce Déftos Proprétés A I k IN) A k A k A p, q) IN ) A p A q A pq p, q) IN ) A p ) q A pq k IN) A ) k A k ) k IN) Dét A k ) Dét A) k Les pussaces des matrces dagoales Avec la coveto : α IR) α, α k IN) M α M L L O L k M α α M k α k M L L O L M k α Les pussaces de A B O suppose das ce sous-paragraphe, que B, comme A, est ue -matrce S AB BA, et seulemet das ce cas, alors, pour tout eter aturel k : AB) k A k B k k A B) k k C ka B c est la formule du bôme de Newto) III La comatrce d ue matrce carrée Pour toute -matrce A : Com A ) Com A) ACom A) Com A) A Dét A)I Nous admettos la derère égalté) Algèbre Chaptre 6 Page

2 IV Les matrces verses Déftos Deux -matrces A et B sot verses s : AB BA I Il résulte de cette défto que s A possède ue matrce verse, alors elle est uque La matrce verse de A, s elle exste, est otée : A Ue matrce carrée qu possède ue matrce verse est dte versble AA - A - A I Equvaleces Pour toute -matrce A les propostos suvates sot équvaletes : Proprétés S A est ue -matrce versble alors : A est versble A est régulère dét A Rag A) A ) A déta ) S A et B sot deux -matrces versbles alors : A ) - A - ) dét A AB) - B - A - * Exercce : Est-l vra que : l'verse d'ue matrce symétrque versble est symétrque? L verse d ue matrce dagoale versble est dagoale? L verse d ue matrce tragulare supéreure versble est tragulare supéreure? L verse d ue matrce tragulare féreure versble est tragulare féreure? Les pussaces égatves S A est ue -matrce versble, o déft : Alors : k IN) A -k A - ) k p, q) Z ) A p A q A pq p, q) Z ) A p ) q A pq k Z) A ) k A k ) k Z) Dét A k ) Dét A) k Le avec les systèmes léares de équatos à coues réelles > ) U tel système admet ue écrture matrcelle du type : Ax b où A est ue -matrce, x le vecteur des coues et b u vecteur costat Le système est de Cramer s, et seulemet s, le détermat de A est o ul Alors, e multplat à gauche les deux membres par la matrce verse de A, o obtet x A b Algèbre Chaptre 6 Page

3 Résoudre le système, c'est doc verser la matrce A Cec doe d'ue part u moye de résoudre u système de Cramer quad o sat verser ue matrce, d'autre part u moye d'verser ue matrce quad o sat résoudre u système de Cramer par exemple par la méthode du pvot de Gauss) 6 Calcul drect A l'ordre : a a A l'ordre : a b c d d ad bc b c a Echager les termes de la dagoale prcpale, chager les sges des termes de la dagoale secodare, dvser par le détermat A tout ordre > ) : A - Com A) Dét A Calcul par la méthode du pvot de Gauss O rappelle que l'écrture matrcelle d'u système léare de équatos à coues réelles est : Ax b où A est ue -matrce, x le -vecteur des coues et b u -vecteur costat O suppose que A est versble Alors : x A b La méthode du pvot de Gauss permet de passer de la premère écrture à la deuxème Désgos par I la -matrce uté La premère écrture est auss be : Ax Ib et la deuxème : Ix A b L'ue et l'autre sot dépedates des vecteurs x et b Il s'agt doc de : écrre à gauche la matrce à verser et à drote, sur le même veau, la matrce uté à l'ade exclusve des opératos sur les lges smultaémet des deux matrces) L L j j) L al a ) L L bl j j), redre utare la matrce de gauche Alors la matrce de drote est la matrce verse cherchée O aurat pu souhater verser la matrce trasposée O aurat procédé de la même faço Mas les opératos sur les lges de la matrce trasposée sot les opératos sur les coloes de la matrce tale Il est doc possble d'utlser exclusvemet les opératos sur les coloes : C C j j) C ac a ) C C bc j j) Atteto! o peut utlser exclusvemet les opératos sur les lges ou exclusvemet les opératos sur les coloes Mas le mélage des opératos sur les lges et sur les coloes est terdt Algèbre Chaptre 6 Page

4 V La réducto des matrces carrées Les élémets propres d ue -matrce S l exste ue -matrce A, u réel a et u -vecteur u o ul tels que : Au au alors o dt que a est ue valeur propre de A et que u est u vecteur propre de A assocé à la valeur propre a Remarque : ue -matrce A est sgulère s, et seulemet s, est valeur propre de A Cas partculer : Toute -matrce tragulare et, à fortor, toute -matrce dagoale) possède exactemet valeurs propres dstctes ou pas) qu sot ses termes dagoaux Produt : S A est ue p, q)-matrce, s B est ue q, p)-matrce, et s x est u réel o ul alors : x est valeur propre de AB s, et seulemet s, x est valeur propre de BA Le polyôme caractérstque d ue -matrce O suppose das ce paragraphe que A est ue -matrce Pour tout réel a, les propostos suvates sot équvaletes : ) Il exste u -vecteur o ul u tel que Au au ) Il exste u -vecteur o ul u tel que Au aiu ) Il exste u -vecteur o ul u tel que A ai)u ) Dét A ai) Les valeurs propres de A sot doc les valeurs de a qu aulet Dét A ai) Le polyôme x a F x) Dét A xi) est appelé polyôme caractérstque de A Il est de degré Il a pour zéros les valeurs propres de A A possède doc au plus valeurs propres, dstctes ou pas Nous admettros le théorème de Cayley-Hamlto : Toute -matrce aule so polyôme caractérstque Cela veut dre que s F est le polyôme caractérstque de A alors FA) est la -matrce ulle, ou ecore que s le polyôme caractérstque de A est Fx) a a x a x a x alors : a I a A a A a A est la -matrce ulle Le terme costat du polyôme caractérstque de A est le détermat de A A l ade du théorème de Cayley-Hamlto, o peut trouver : s Dét A, la matrce verse de A s Dét A, ue -matrce B o ulle telle que AB BA -matrce ulle) Les -matrces semblables a) Défto Deux -matrces A et B sot semblables s l exste ue -matrce régulère P telle que : B P - AP Algèbre Chaptre 6 Page

5 b) La smltude est ue relato d équvalece sur l esemble des -matrces Cela veut dre que s A, B, C sot tros -matrces, alors : Réflexvté) A est semblable à A : A I - AI Symétre) S B est semblable à A, alors A est semblable à B : s B P - AP alors A Q - BQ avec Q P - Trastvté) s C est semblable à B et s B est semblable à A, alors C est semblable à A : s C Q - BQ et s B P - AP, alors C R - AR avec R PQ c) Les coservatos Deux matrces semblables ot la même trace, le même détermat, le même polyôme caractérstque, les mêmes valeurs propres, le même rag Elles sot toutes les deux régulères ou toutes les deux sgulères Atteto : deux matrces semblables ot e gééral pas les mêmes vecteurs propres : s B P - AP, s Au au et s v P - u, alors Bv av d) Les pussaces S A, B sot des -matrces, s P est ue -matrce régulère, alors : La dagoalsato d ue -matrce B P - AP k IN) B k P - A k P Dagoalser ue -matrce, c est lu trouver ue -matrce dagoale semblable Cette opérato est pas toujours possble Les -matrces dagoalsables sot les -matrces semblables aux -matrces dagoales Toutes les -matrces e sot pas dagoalsables Cotre-exemple : La dagoalsato des -matrces faclte e partculer le calcul de leurs pussaces Voc commet dagoalser ue -matrce A, quad c est possble O déterme le polyôme caractérstque F de A C est u polyôme de degré O résout l équato : Fx) A e peut être dagoalsable que s l équato Fx) possède solutos dstctes ou pas) S les solutos e sot pas deux à deux dstctes, l peut arrver que A e sot pas dagoalsable ) O suppose doc que l équato Fx) possède solutos dstctes ou pas) a, a,, a Les a ) sot les valeurs propres de A O cherche ue base u, u,, u ) de R telle que : {,,,} ) Au a u Cette base est ue base de vecteurs propres de A O désge par U la -matrce [u u u ] dot les coloes sot les u ) U est de rag doc régulère a L a L O désge par D la matrce dagoale des valeurs propres de A : D M M O L M a Algèbre Chaptre 6 Page

6 AU [a u a u a u ] UD O dt qu o a dagoalsé la -matrce A A UDU - Les sous espaces propres d ue -matrce O suppose das ce paragraphe que : A est ue -matrce a et b sot deux valeurs propres de A dstctes E {u IR / Au au} F {u IR / Au bu} a) Déftos E est le sous-espace propre de A assocé à la valeur propre a F est le sous-espace propre de A assocé à la valeur propre b b) E et F sot des sous espaces vectorels de IR «E est u sous-espace vectorel de IR» sgfe : E est ue parte de IR le -vecteur ul appartet à E s le -vecteur u appartet à E, alors, pour tout réel x, le -vecteur xu appartet lu auss à E s les -vecteurs u et v apparteet à E, alors le -vecteur u v appartet lu auss à E c) La somme de E et de F est drecte O appelle somme E F des sous-espaces vectorels E et F de IR la parte de IR as défe : E F { u v / u E) v F) } O peut s assurer que E F et E F vérfet le quadruple crtère éocé au paragraphe b) Ils sot doc des sous-espaces vectorels de IR O déft de même la somme E E E p de p sous espaces vectorels de IR O peut costater que la somme de E et de F est drecte, c est à dre : O ote : U proprété équvalete est : u E u u v u E v v F v E F F u v E F { } -vecteur ul) u v La oto de somme drecte est extesble au cas de plus de deux sous espaces vectorels : La somme E E E p est drecte s toute décomposto du type u u u p u E, ) est uque ou, de maère équvalete, s l tersecto de chaque sous espace avec la somme des autres e cotet que le -vecteur ul O ote alors : E E E p O peut vérfer que : la somme des sous espaces propres de A est drecte U éocé équvalet est : toute p-famlle de vecteurs propres de A assocés à p valeurs propres à dstctes est lbre Algèbre Chaptre 6 Page 6

7 Algèbre Chaptre 6 Page Exercces A et B sot les -matrces as défes : A B Calculer chacue des matrces suvates : AB BA A B A B A B) A B) A B) N) A B) N) B A C successvemet pour,,,, > Le développemet du bôme de Newto est-l utlsable pour le calcul de A B)? O désge par A la matrce, par I la -matrce uté et par B la matrce I A Calculer les matrces A, A, A > ) Est-l vra que, pour tout eter aturel, B A C? Justfer la répose Calculer les matrces B, B, B > ) Même exercce avec A A est la matrce Calculer la matrce A 999 Pour chacue des matrces A suvates, trouver ue matrce B o ulle telle que AB BA matrce ulle) : 6 Iverser chacue des matrces Utlser le théorème de Cayley-Hamlto pour verser la matrce A A est la matrce a) Trouver ue -matrce o ulle B telle que AB BA b) Trouver ue matrce dagoale semblable à la matrce A 9 9 Calculer le produt 9 Les matrces et sot-elles semblables? Pourquo? 9 Les matrces et sot-elles semblables? Pourquo? 9 Les matrces et sot-elles semblables? Pourquo? 9 Les matrces et sot-elles semblables? Pourquo?

8 Trouver ue -matrce o tragulare de trace, de valeurs propres et - 9 Hypothèses A est la matrce -9 est u eter strctemet postf -9 - Détermer les valeurs propres de A a) Trouver u -vecteur t du type t t tel que : At -t t b) Trouver u -vecteur u du type u u tel que : Au u c) Trouver u -vecteur v du type v v tel que : Av v v Iverser la matrce - par opératos sur les lges - - -) - Effectuer le produt matrcel : Doer l écrture développée de la matrce A - A est la matrce - a) Prouver que A est sgulère b) Trouver ue -matrce B o ulle telle que AB BA -matrce ulle) c) Calculer les valeurs propres de A d) Doer la matrce dagoale des valeurs propres de A classées das l ordre crossat e) Pour chacue des valeurs propres de A, trouver u vecteur propre de A assocé f) Exprmer A e focto de l eter strctemet postf g) Exprmer umérquemet A A est la matrce Trouver ue matrce B o ulle telle que les matrces AB et BA soet ulles Chercher les valeurs propres et les sous-espaces propres de chacue des matrces A et B Exprmer e focto de N*) chacue des matrces A, B, A B) A α et β sot deux réels L L - α L C B est la matrce obteue à partr de A par la successo des opératos suvate : C α C L L - β L C C β C Chacue de ces opératos, à partr de la deuxème, s applque o pas à la matrce A mas à la matrce obteue par l opérato précédete Algèbre Chaptre 6 Page

9 Chosr les réels α et β pour que la matrce B sot dagoale Trouver ue matrce régulère U telle que B UAU - Détermer les valeurs propres et les vecteurs propres de chacue des matrces suvates : 6 A B C D E F 6 6 Calculer la pussace d ordre N*) de chacue des matrces suvates : 9 A B C Hypothèses IN β IR A - B C E βb C H B C) Trouver : ue matrce tragulare féreure L et ue matrce tragulare supéreure U telles que : A LU la matrce verse de A par opératos sur les lges a) la matrce EA b) les opératos sur les coloes de A qu permettet de passer de A à EA c) ue matrce dagoale semblable à E ue matrce F o ulle telle que les matrces CF et FC soet ulles la matrce H Hypothèses m est u réel A Questos - -m m- - Détermer le rag de A selo la valeur de m O suppose, das cette questo seulemet : m Iverser A par opératos sur les lges Par la sute, m redevet u réel quelcoque Calculer la comatrce de A O doera ue matrce qu déped de m Das chaque cas où le rag de A est féreur à l y a deux cas) : a) trouver u le etre les lges de A et trouver u le etre les coloes de A b) trouver ue matrce o ulle B telle que les matrces AB et BA soet ulles Das le cas où la matrce A est de rag, exprmer e focto de m sa matrce verse A 9 Hypothèse A Idcato Les matrces et sot verses Questos O dot pouvor compredre les réposes sas l ade d ue calculette) 9 a) Calculer le polyôme caractérstque P de la matrce A b) Vérfer l égalté : P ) c) Détermer les valeurs propres de la matrce A 9 Détermer les sous-espaces propres de la matrce A 9 Trouver ue matrce U et ue matrce dagoale D telles que : A UDU - Algèbre Chaptre 6 Page 9

10 9 a) Exprmer la matrce A e focto de l eter expresso valable auss pour égatf) b) Dédure la matrce verse de la matrce A a b b Sot A b a b b b a a) Motrer que a b et a b sot des valeurs propres de la matrce A b) E dédure la trosème valeur propre de A Soet A et B deux matrces de dmesos respectves, p) et p, ) a) Motrer que AB et BA ot mêmes valeurs propres o ulles b) E supposat p et B régulère, motrer que AB et BA ot le même polyôme caractérstque b c Détermer les coeffcets cous de la matrce A b c de faço qu elle admette pour vecteurs b c propres u, u et u Quelles sot les valeurs propres correspodates? A est ue -matrce a est ue valeur propre de A u est u vecteur propre de A assocé à la valeur propre a P uu u désge le trasposé de u) u' u Vérfer les égaltés : Pu u P P AP ap O désge par B la matrce A ap Vérfer l égalté : BP -matrce ulle) De l évaluato du vecteur Bu, dédure que est valeur propre de B S b est ue valeur propre o ulle de A autre que a, et s s est u vecteur propre assocé, trouver u réel x focto de a et b) tel que le vecteur t s xps sot u vecteur propre de B assocé à la même valeur propre b Récproquemet, s t est u vecteur propre de B assocé à la valeur propre b b, b a), trouver u réel y focto de a et b) tel que le vecteur s t ypt sot u vecteur propre de A assocé à la même valeur propre b A et B ot doc les mêmes valeurs propres o ulles autres que a Trouver l uque -matrce A de vecteurs propres,, et de valeurs propres assocées,, Vor Probabltés Chaptre Page 9 Exercce N ) Ala, Berard et Cédrc jouet à la balle Ala evoe la balle à Berard fos sur et à Cédrc fos sur Berard l evoe à Ala fos sur et à Cédrc fos sur Cédrc evoe toujours la balle à Berard Au départ, Cédrc a la balle a) Calculer les probabltés P, Q, R qu après lacés Ala, Berard et Cédrc respectvemet aet la balle P P O pourra chercher ue matrce A telle que Q A Q ) R R b) Calculer les lmtes de P, Q, R lorsque ted vers l f Algèbre Chaptre 6 Page

11 Algèbre Chaptre 6 Page Réposes AB BA A B A B A B) A B) A B) A B) C A B A B) C A B C A B A B) C A B C A B C A B AB A B) C A B C A B C A B C A B A B) ) C A B - A B) Le développemet du bôme de Newto est utlsable pour le calcul de A B) parce que AB BA A A ) A O a be : N) B C A car B A I et AI IA B B 6 B ) B C A ) C est vra auss pour {, } A A ) A O a be : N) B C A car B A I et AI IA N) B I A ) A A 999 A Polyôme caractérstque : fx) x x 6x 9 A - Polyôme caractérstque : fx) xx x ) B et e sot pas semblables : leurs détermats sot dfférets

12 Algèbre Chaptre 6 Page 9 Les matrces et sot semblables : 9 Les matrces et e sot pas semblables : leurs détermats sot dfférets 9 Les matrces et sot semblables : O peut chosr 6 Le polyôme caractérstque de A est Pα) -α α ) α ) Les valeurs propres de A sot, et t - u - v A [ t u v ] -) [t u v ] ) ) -) -) -) --) --) --) -) -) 6 a) Dét A b) B c) Polyôme caractérstque a a a Valeurs propres :,, d) e) Relatvemet à l ordre crossat des valeurs propres de A, o peut chosr les coloes de la matrce P f) P - A P P - g) A

13 Algèbre Chaptre 6 Page B Polyôme caractérstque de A : x x ) x ) Valeurs propres :,, Vecteurs propres assocés :,, Polyôme caractérstque de B : x x) Valeurs propres : et Sous-espace propre assocé à : pla d équato x y Vecteur propre assocé à : A ) ) ) ) ) ) ) B B A B) A B ) ) ) ) ) ) O peut chosr α - et β Alors B, U - et U - - O peut auss chosr α et β - Alors B, U 6-6 et U Matrce Valeurs propres Vecteurs propres A r s B 6 r s C 6 r s 9 t D r E 9 r s t F r s t Das la trosème coloe du tableau, r,s, t désget de quelcoques réels o uls

14 Algèbre Chaptre 6 Page 6 A 9 ) 9 ) 9 ) 9 ) 9 ) B ) ) C C C C L - L L L - U - L L L L L L L L L L L L A - a) BA CA EA βba CA - β β - - β b) C - C C βc C C c) - β ssue de I par les opératos b) ) Par F Com C ou par le théorème de Cayley-Hamlto F C C I), o costate que l o peut chosr F B H E avec β H A -) A - -) - -) - -) - -) - -) - -)

15 Dét A m )m ) S m ou s m alors Rg A So Rg A 6 / L L L L L L L L L L /) L L /) L L L L L / / D où : A - m m m m Com A m m m m Premer cas : m - A O peut vor que : [ ] [ ] [ ] et que O peut chosr B [ ] Deuxème cas : m A O écheloe A supéreuremet Algèbre Chaptre 6 Page

16 6 6 a b c a b a c a L L L L L L L L L 6 a b a a b c D où : [ ] [ ] [ ] [ ] Par alleurs o peut vor que O peut chosr B [ ] 6 s m IR \ { } alors A - Dét A Com A m )m ) m ) m m )m ) m ) m m m 9 Pα) α α α 6 α )α )α ) Les valeurs propres de A sot -, et 9 Le sous-espace propre de A assocé à la valeur propre est la drote egedrée par le vecteur t Le sous-espace propre de A assocé à la valeur propre est la drote egedrée par le vecteur u Le sous-espace propre de A assocé à la valeur propre est la drote egedrée par le vecteur v 9 A UDU - avec U [t u v] et D ) 9 A UD U ) ) ) ) ) ) A ) ) ) ) ) ) A - ) ) ) ) ) ) ) ) Polyôme caractérstque : fx) a x) b b a x) fa b) fa b) La somme des valeurs propres état a, la trosème valeur propre est a b la même que la premère) Algèbre Chaptre 6 Page 6

17 Algèbre Chaptre 6 Page a) Abu au BABu abu s au est pas ul, Bu o plus b) Dét AB xi) Dét BAB xi)b - ) Dét BA xi) O résout c b c b c b z x z y y x et o trouve A Les valeurs propres correspodates sot 6, et x a b y a b a A 9 A R Q P A R Q P 6 ) ) 6 ) 6 ) ) ) ) lm R Q P 6

18 Recherche tératve des élémets propres d ue p-matrce A méthode des pussaces) Le traval proposé est à réalser à l ade de matérel formatque ordateur ou calculette performate) O utlse l algorthme : u ) ) Au) où u ) désge u p-vecteur u Quad cet algorthme s est stablsé, u ) est ue valeur propre de A e gééral celle de plus grade valeur absolue) et u ) est u vecteur propre assocé Mettre cet algorthme e oeuvre avec A 6 et u ) 6 Dédure ue valeur propre a de A et u vecteur propre assocé u le chosr auss smple que possble) I II O désge par P le projecteur orthogoal sur u : P uu ' où u est le trasposé de u u' u Vérfer les égaltés : Pu u P P AP ap O désge par B la matrce A - ap Vérfer l égalté : BP De l évaluato du vecteur Bu, dédure que est valeur propre de B S b est ue valeur propre o ulle de A autre que a, et s s est u vecteur propre assocé, trouver u réel x focto de a et b) tel que le vecteur t s xps sot u vecteur propre de B assocé à la même valeur propre b Récproquemet, s t est u vecteur propre de B assocé à la valeur propre b b, b a), trouver u réel y focto de a et b) tel que le vecteur s t ypt sot u vecteur propre de A assocé à la a même valeur propre b Répose : y b a A et B ot doc les mêmes valeurs propres o ulles autres que a Exprmer umérquemet P pus B 6 Chercher comme e I ue valeur propre b de B o ulle et u vecteur propre assocé t A l ade de l égalté v t ypt, détermer u vecteur propre v de A assocé à la même valeur propre b Le chosr auss smple que possble III O désge par Q le projecteur orthogoal sur t : Q tt ' et par C la matrce B bq t' t Comme e I et II, chercher ue valeur propre c de C o ulle et u vecteur propre assocé Dédure u vecteur propre de B assocé à la même valeur propre c pus u vecteur propre w de A assocé à la même valeur propre c Le chosr auss smple que possble A la page suvate, o propose ue mse e oeuvre de cet algorthme à l ade du tableur EXCEL u u M u ) ) p ) Algèbre Chaptre 6 Page

19 Mse e oeuvre sous EXCEL de l algorthme proposé Page Vous avez beso de feulles de calcul Feul, Feul, Feul Resegez-les selo le tableau suvat Les accolades ecadret les formules matrcelles Il e faut pas les écrre mas valder les formules correspodates par CTRLMAJEtrée Feulles smultaémet Plage Coteu sélectoées Feul A:C Matrce A Feul F:F {Feul!E:EFeul!E/Feul!E-Feul!E)*PRODUITMATFeul!A:CFeul!E:E)} Feul G:G {Feul!F:FFeul!E/Feul!E-Feul!E)*PRODUITMATFeul!A:CFeul!F:F)} Feul F:F {Feul!E/Feul!F*Feul!F:F} Feul G:G {Feul!E/Feul!G*Feul!G:G} Feul F:F {Feul!E:EFeul!E/Feul!E-Feul!E)*PRODUITMATFeul!A:CFeul!E:E)} Feul A:C {Feul!A:C-Feul!E*Feul!A:C} Feul A:C { Feul!A:C-Feul!E*Feul!A:C} Feul,Feul,Feul E:E Vecteur u ) Feul,Feul,Feul A:C {/PRODUITMATTRANSPOSEE:E)E:E))*PRODUITMATE:E TRANSPOSEE:E))} Dssocer les feulles Meu cotextuel, curseur sur l oglet Feul) Actver la feulle Feul Actver Outls Eregstrer ue macro Nouvelle macro Nommer cette macro ITERE Effectuer ue sélecto smultaée des feulles Feul, Feul, Feul Touche CTRL efocée) Sélectoer la plage E:E Taper la formule matrcelle /E)*PRODUITMATA:CE:E) Valder par CTRLMAJEtrée Coper la plage E:E pus coller les valeurs Edto Collage spécal) das la plage E:E Clquer sur E Dssocer les feulles Arrêter l eregstremet A l ade de l outl das la barre d outls Formulares), créer u bouto et lu affecter la macro ITERE Actver ce bouto jusqu à la stablsato y comprs sur la zoe de formule), pus compléter le tableau suvat ITERE Feulle Plage Symbole correspodat Page Valeur Feulle Plage Symbole correspodat Page Valeur a b c Feul A:C Feul E:E Feul A:C Feul F:F Feul A:C Feul G:G Feul A:C Algèbre Chaptre 6 Page 9