24 - DENSITÉS D UN VECTEUR ALÉATOIRE.

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1 Del Sd 4 ms 4 - DENSITÉS D UN VECTEUR ALÉATOIRE (AJOUT DU 6 wwwdel-sdeu U vecteu létoe est ue vble létoe à vleus ds u espce, défe su u tplet (,, p O désge p l tbu des boéles de, p : (,, les pojectos de su, p < t >= t le podut scle ds, p t l ome de t, ou t s l ps d mbgüté Ue vble létoe à vleus ds est ue pplcto mesuble de (,, p ds (, : est doc ue pplcto de ds telle que ( pou tout boéle de ; l sufft que sot u pvé boéle c ces pvés egedet S = (,, est u vecteu létoe, ccue des coodoées est mesuble c = Récpoquemet, s,, sot vbles létoes éelles, (,, est u vecteu létoe de c s = est le podut de boéles, ( est l tesecto des boéles ( Les otos de bse Lo de pobblté de = (,, p ( = p ( qud : p est ue pobblté su (,, o dt que c est l lo de O pose ( L lo de cque est los p ( p( ( p ( ( = = pusque = S Z = ( Y,, vec ety dépedtes : pz = p py (mo lve, cpte 3 b Desté f de = (,, O dt que = (,, ue desté s l este f tégble et postve su telle que p ( = p( = fdλ = ( u f ( u du pou tout boéle de, λ étt l mesue de oel-lebesgue su Ue desté f est doc ue focto mesuble postve de (, ds (, et d tégle S u couple (, Y ue desté f Y,, et Y ot des destés (elles sot doc dffuses doées p f ( = f, Y(, d et fy( = f, Y(, d Qud et Y sot dépedtes, f, (, = f ( f ( Y Y U eemple de couple ss desté = (cos U,s U ps de desté : e effet, le cecle C d équto + = est de mesue (sufce ulle, doc o devt vo p( C =, los que p( C = c Focto de éptto d u vecteu du pl L focto de éptto F d u couple (, Y est défe p F(, = p( et Y ; F est cosste F(, = p ], ] ], ] Qud (, Y ue desté f, e ccue de ses vbles et (, Y

2 Del Sd 4 ms ce qu pouve que F (, f ( s, t dsdt = F f (, = (, qud (, est u pot de cotuté de f L focto de éptto F de s obtet p F ( = p( = lm F(, = F(, ; dem vec F Y Le lecteu géélse ss ml à l focto de éptto d u vecteu létoe (,, Eemple : focto de éptto du couple = (cos U,s U qud U est ufome su[, [ F(, = p(cos u et s u vut évdemmet qud ( ou et qud ( et ; F(, = + cs qud et ; F(, = ccos qud et O doc élucdé F à l etéeu de ],[ A l téeu de ce cé, F(, vut, suf eeu : [,] [,] c cos / + cs + cs + ccos cs + cs ccos + cs Pesque ptout e (,, F est cotue et doc F = : o etouve que = (cos U,s U est ss desté S u vecteu ue desté, l e est de même de s ome Cs = E psst u coodoées poles et e utlst le téoème de Fub : R p (, R = f dλ = p( R = f( cos θ, s θ ddθ ( et doc pou desté R R f( Rcos θ, Rs θ dθ (pesque ptout b Cs = 3 E psst u coodoées spéques et e utlst le téoème de Fub : [, ] PY ( = ρ dρ f( ρcosθ cos ϕρ, sθ cos ϕρ, s ϕ cos ϕ dθdϕ O déve p ppot à : l desté de est, pesque ptout : [, ] f( cosθ cos ϕ, sθ cos ϕ, s ϕ cos ϕ dθdϕ c Cs géél U effot téoque est écesse

3 3 Del Sd 4 ms E est u espce euclde éel de dmeso, λ l mesue de Lebesgue su E : λ est l uque mesue σ fe su l tbu des boéles de E vte p tslto et vlt su [,] O désge pt l boule uté et S s spèe uté S est ue omotéte de ppot k : λ( pvés et f p les boéles P coséquet, s A est u boéle de S et s A ( = k λ( A pou tout boéle A de E (commece vec les A désge, pou >, l'esemble des t pou ds A et t ds [, ], λ( A = λ( A ( A est u omotétque de A O pose los σ( A = λ( A : σ est ue mesue su S, / / t de msse λ( = t e dt Pou toute focto tégble su E, l'tégle de su E est égle à l'tégle double su R (mu de dt dσ de l focto qu à (, t ssoce tt ( : dλ = ( t t dtdσ( Sotϕ l pplcto de E ( su ], [ S ϕ étt (, s s D pès le Téoème du tsfet : ( dλ = d( λ, sous éseve de covegece et étt mesuble de E ds F S est tégble su E, los + E R S défe p ( (, / + ϕ = : ϕ est bjectve et cotue, E dλ = ϕ ϕdλ = ϕ d λ ϕ E E ], [ S ( ( ( Il e este plus qu à véfe que l mesue λ ϕ est l mesue podut ρ σ, où ρ est l mesue su ], [ de desté t su R + Pou ce fe, l sufft d étbl λ ϕ = ρ σ su l fmlle des I A, où I est u tevlle ], s ] de ], [ et A u boéle de S, qu egede les boéles de ], [ S S s =, I = ], ] et los λϕ (], ] A = λ ϕ (],] A = σ( A = ρ( ], ] σ( A S s >, I = ], ] ], s] et o opèe p ddtvté Sot ue vble létoe à vleus ds ( '(, R euclde et Y = s ome : s ue desté f, py ( = p (, = f Ue démostto logue pouvet ( f dλ f( t t dtdσ( t f( t dσ( dt = = '(, ], ] S S S E dévt p ppot à, ue desté dey est f ( dσ (, pesque ptout 3 Le téoème du tsfet pou u vecteu létoe S u est ue focto mesuble ( foto cotue de (, ds (,, los u est ue vble létoe éelle et ( u dp = udp pouvu que l u des deu membes sot tégble (e vleu bsolue ( u dp se ote Eu [ ] ou Eu [ (, ] : c est l espéce de l vble létoe éelle u F S ttp://mtuv-lof/~vll/cous/pdffiles/cp4pdf

4 4 Del Sd 4 ms Qud ue desté f, udp = u( f( d ; e ptcule, < t > < t Ee ( = e f( d S de plus =, udp = u(, f(, dd et E[ ] s obtet vec u (, = + : E[ ] = + f (, dd Rppelos qu o églemet [ ] = ( ( E F d, F étt l focto de éptto de Applcto Sot (, Y de (,, p ds et ( ', Y ' de ( ', ', p ' ds lo,y et Y ' de même lo, et Y dépedtes, ' et Y ' dépedtes Alos, ϕ(, Y dp = ϕ( ', Y ' dp' ds qud ϕ est tégble de ' ; o suppose et ' de même E effet, les couples (, Y et ( ', Y ' ot même lo c, p eemple, py, = p py ; esute, ϕ (, Y et ϕ( ', Y ' ot même lo églemet (eve à l défto Le téoème du tsfet doe los l églté cecée Il e ésulte que, qud U et V sot ufomes et dépedtes, à vleus ds[, [, o est e dot d éce ϕ (cos U + cos V,s U + s V dp = ϕ (cos u cos v,s u s v du + + [, ] 4 e cossst = [, ], Uuv (, = u, V( u, v = v, p = λ /4 : U et V sot be ufomes et dépedtes pou l pobblté p et ϕ (cosu + cos V,sU + s V est du tpe ϕ ( UV, 4 L tsfomto de Foue pou les foctos uméques défes su ; l ome de se bé- Ds, le podut scle des vecteus t et est oté < t > : gée e qud ucue cofuso e se à cde < t >= t S f est tégble su, et à vleus éelles, s tsfomée de Foue, défe de ε< t f ( t = e f( d este su ( ε =± ds, est S ε < t f est à so tou tégble, o pesque ptout l fomule d veso f ( = e f ( t dt ( O peut doe ue fome smétque à cette fomule d veso qud f et f sot tégbles : S ε < t ε< t f ( t = e f( d, los f ( = e f ( t dt ( ε =± < t > t Qud ue vble létoe à vleus ds ue desté f, Ee ( = < > e f( d ; t s t E( e < > < t < t > est tégble su, los e E( e dt ( est ue desté de Pou u eemple d emplo vo mo tcle su les pomedes létoes : 5 Fomule des pobbltés totles ttp://wwwdel-sdeu/fces/-pomedes_letoes_plespdf O veut déf p( Y / = b : p eemple lmte qud de p( Y /b et bout, qud le couple ( Y, ue desté f, à l fomule des pobbltés totles ds le cs cotu : +

5 5 Del Sd 4 ms p( Y = p( Y / = f ( d (o emplce ds l fomule dscète p( = p f ( d et o tège u leu de somme P potèse, p( Y et b b f(, dd ; p défto, + = = b py ( et b f ( u, v du v= u= b py ( / b = =, à codto que le pb ( f ( u du déomteu este o ul ds u vosge de b Il e est s qud f ( b > : e effet, f ( udu b ted ves f ( b Comme f ( u, v du f ( b, v b, p( Y /b pou lmte f ( bv, s f ( b > Motos mtet que p( Y / = b f ( f( b, v f ( b = pou tout éel b py ( et b Pusque et >, p( Y et b p( b et leus pb ( lmtes sot ds le même ode : f ( bv, f ( b Il e ésulte que f ( b = mplque f( b, v = : p( Y / b f ( f( b, v = = est doc ve ptout ; este à pouve que p( Y = f (, v d, o f (, v d = f (, v = fy ( v = p( Y, l peuve est complète 6 Ue fomule pou E [ / Y ] qudy est postve Nous llos pouve que E effet, comme E [ / Y] = Ee [ ] dt t = = : = = t= = = E [ / Y ] e f (, dd b t ( E[ e ] dt e f (, dd dt O, e t dt = /, d où E[ e ] dt = f (, dd = E[ / Y ] = = (Souce : Géd Letc, ttp://wwwles-mtemtqueset/poum/edpp?, ********************************************************************************************