LES NOMBRES COMPLEXES Site MathsTICE de Adama Traoré Lycée Technique Bamako

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1 LES NORES OPLEXES Ste thstie de dm Troré Lycée Techqe mko I Défto: Défto : Sot le ombre mgre té tel qe ² O ppelle esemble des ombres complexes, l esemble oté et déf pr : { b ( b ε R²} est ppelé l prte réelle de otée Re( b est ppelé l prte mgre de otée Im( Églté de dex ombres complexes : Soet dex ombres complexes b et Ʌ Ʌ bʌ 3 Opértos ds : ddto : Re( Re( b b Im( Im( Sot b et Ʌ Ʌ bʌ o ( ( b b b ltplcto: ( b ( b ( bb (b b c Dvso: b ( b( b vec ( b ( 0 0 b ( ( b (, est grope béle (*, est grope commttf L mltplcto est dstrbtve pr rpport à l ddto ds, d où (,, est corps II ojgé d ombre complexe: Défto : O ppelle cojgé d ombre complexe b le complexe b Exemples: Proprétés: Sot b et Ʌ Ʌ bʌ U complexe est réel Im ( 0 U complexe est mgre pr 0 et Re ( 0 0 ( ( vec 0 ors Nombres omplexes Pge sr 3 dm Troré Professer Lycée Techqe

2 III odle d ombre complexe: Défto 3: O ppelle modle d ombre complexe b, le réel postf déf pr b ( lre modle de Exemples : sot 3 ( Proprétés d modle: ( vec 0 ( 0 0 ( S lors s b lors b IV rgmet d ombre complexe o l: Le pl P est m d repère orthoormé drect ( O v tot ombre complexe b o ssoce le pot b b b b r v o Le ombre complexe b est ppelé l ffxe d pot ( b o d vecter O ( b Le pot et le vecter O sot ppelés respectvemet le pot mge et le vecter mge d ombre complexe O d (O ² b² (modle de S et sot dex pots d pl d ffxes respectves et lors le vecter por ffxe ( et ors Nombres omplexes Pge sr 3 dm Troré Professer Lycée Techqe

3 rgmet d ombre complexe o l : O ppelle rgmet de oté rg(, le réel égl à e mesre de l gle ( O L rgmet de est défe à k près k rg( k où est l détermto prcple de l rgmet O écrt : rg( vec ε ] ] S 0 lors tote mesre de l gle ( O est ppelée rgmet de (Vor fgre Forme lgébrqe Forme trgoométrqe d complexe o l : Forme lgébrqe : b est l forme lgébrqe d ombre complexe b Forme trgoométrqe : Sot b b r v o b cos s O cos et O O b cos s o r cos s o : ( ( b O s L écrtre : I I (cos s,est ppelée forme trgoométrqe de c Relto etre Forme Trgoométrqe et Forme lgébrqe : Sot b de modle b et d rgmet cos s b ( cofère cercle trgoométrqe ors Nombres omplexes Pge 3 sr 3 dm Troré Professer Lycée Techqe

4 3 Proprétés de l rgmet d ombre complexe o l : P Sot ( εr, s >0 lors rg( 0 s <0 lors rg( P Le ombre complexe l ps d rgmet P 3 Sot b (b εr, s b >0 lors rg( s <0 lors rg( P Soet [ ] et Ʌ [ Ʌ Ʌ] rg( Ʌ rg( rg(ʌ Ʌ Remrqe : S [ ] lors ² [ ² ] [ ] P 5 rg rg( rg( S [ ] et Ʌ [ Ʌ Ʌ] lors P 6 rg( rg( P 7 rg rg( Notto Expoetelle : Sot [ ] o covet de oter cos s e ette écrtre est ppelée l forme expoetelle de Doc r(cos s re 5 Formle de ovre Formle d Eler : Formle de ovre : ε N*, ( cos s ( cos s b Formle d Eler : cos s e cos s e cos e e e e e e cos s ors Nombres omplexes Pge sr 3 dm Troré Professer Lycée Techqe

5 V Lérsto: lcl de cos(x et s(x e focto de cosx et sx : Por d près l formle de ovre ( cos x s x cosx s x D près l formle d bôme de Newto cos x s x (cos x s x (s xcos x ( Pr detfcto o : cos(x cos x s x et s(x s xcos x ême procédé por 3 5 Lérsto : cosx sx cosx sx cosx sx cosx sx cosx sx cos x ( s x ( cos ( ( x x e e x s x x x ( ( e e De cos( x s( x et cos( x s( x o dédt qe x x e e cos( x x x e e s( x Remrqe: cos x s x et 3 Exemple: Lérser cos x et s x ors Nombres omplexes Pge 5 sr 3 dm Troré Professer Lycée Techqe

6 VI Rce ème d ombre complexe: Sot eter trel strctemet spérer à Défto : U étt ombre complexe o l, o ppelle rce ème de U tot ombre complexe tel qe U Posos [ r ] r (cos s et [ρ x ] ρ (cosx sx [ρ ρ r ρ r x] [ r ] k d où x k x k k k r cos s vec 0 k Exemple : o k r e k Détermer totes les rces cbqes de l té c est à dre résodre 3 Plcer les pots mges des soltos ds le pl complexe et e dédre l tre d trgle k orrecto 3 [ 0 ] 3 k k cos s vec 0 k 3 3 S k 0 lors 0 ( 0 S k lors S k lors cos s 3 3 cos s d où le trgle est éqltérl 3 3 Théorème : Tot ombre complexe o l U dmet exctemet rces ème S k est e rce ème de U lors k vec 0 k - U et rg ( k rg( U k ors Nombres omplexes Pge 6 sr 3 dm Troré Professer Lycée Techqe

7 Théorème : S 0 est e rce ème de U lors o obtet totes les tres rces de U e mltplt 0 sccessvemet pr les rces èmes de l té o Exemple : Détermer les soltos ds de l éqto ( 3 orrecto 0 3 est e solto prtclère de l éqto omme les rces qtrème de sot : : lors les soltos de l éqto ( 3 sot: L esemble des soltos est S { 3 } VII Éqtos d secod degré: s où les cœffcets sot des réels : Sot l éqto : b c 0 ( 0 éthode de résolto lcler le dscrmt b² c oclre svt le sge de -/ s > 0 lors l éqto dmet dex rces b b et b b-/ s 0 lors c-/ s < 0 lors l éqto dmet dex rces b b et Exemple : résodre ds ² 0 l résolto doe comme esemble de solto S { 3 3 } Rce crrée d ombre complexe : Soet et U dex ombres complexes O ppelle rce crrée d ombre complexe U tot ombre complexe tel qe U ( est rce crrée de U ( U ors Nombres omplexes Pge 7 sr 3 dm Troré Professer Lycée Techqe

8 Tot ombre complexe o l dmet dex rces crrées opposées Soet x y et U b ( U éqvt à Exemple : x y x y xy b b Détermer les rces crrées d ombre complexe 5 orrecto Sot δ x y le ombre complexe tel qe : δ² et δ ² o modle de est 5 3 x² y² 3 x² y² 5 xy ( ( x ² x o x ( ( (3 Por x, (3 y 3 doc δ 3 Por x, (3 y 3 doc δ 3 δ et δ sot les rces crrées de 5 3 s où les coeffcets sot des ombres complexes : S le dscrmt est ombre complexe de rces crrées δ et δ lors les soltos de l éqto b c 0 ( 0 sot : b δ b δ et Exemple résodre ds : (² 3 ( herchos les rces crrées de sot δ x y tel qe : δ² et δ ² O 7 ors Nombres omplexes Pge 8 sr 3 dm Troré Professer Lycée Techqe

9 ors Nombres omplexes Pge 9 sr 3 dm Troré Professer Lycée Techqe (3 8 ( 5 ² ² ( 7 ² ² xy y x y x ( ( x² x o x S x lors (3 doe y doc δ S x lors (3 doe y doc δ 3 3 L esemble des soltos de l éqto est : S VIII pplctos géométrqes: Iterprétto géométrqe d lgge complexe : Soet tros ombres complexes dstcts d mges respectves et ds le pl complexe P rg ( D tre prt rg ( (, k rg( ( k E prtcler : lors rg 678 Trdctos complexes de certes cofgrtos selles : Vecters orthogox Vecters coléres : Sot les complexes et d mges respectves - Les vecters et sot orthogox ( [ ] [ ] o est mgre pr - Les vecters et sot coléres ( [ ] [ ] 0 o est réel

10 ors Nombres omplexes Pge 0 sr 3 dm Troré Professer Lycée Techqe c Exemple : Sot les complexes d mges respectves les pots Détermer le modle et l rgmet de E dédre l tre d trgle orrecto ( ( ( ( ( ( ( rg rg rg rg rg rg ( ( s cos rg où d k - Ntre d trgle [ ], rg 78 6 k De fço loge o : ( [ ] [ ], rg( rg rg 678 [ ], rg 678 D où est trgle rectgle et socèle

11 IX Nombres complexes et trsformtos: Trsltos Soet et dex pots d ffxes respectfs et Le vecter d ffxe 0 Détermos l écrtre complexe de l trslto t de vecter q trsforme e t (, est l écrtre complexe de l trslto de vecter Exemple : Sot t l trslto de vecter d ffxe Détermer l écrtre complexe de l trsformto t Sot le pot d ffxe, mge de d ffxe pr l trsformto t t ( ( L écrtre complexe de l trslto t est : L Homothéte : Soet et dex pots d ffxes respectfs et Sot pot d pl d ffxe Détermos l écrtre complexe de l homothéte h de cetre et de rpport k q trsforme e h k k k k ( ( k ( k ( k k ( o k ( k, est l écrtre complexe de l homothéte de cetre et de rpport k ors Nombres omplexes Pge sr 3 dm Troré Professer Lycée Techqe

12 ors Nombres omplexes Pge sr 3 dm Troré Professer Lycée Techqe Exemple : Sot h l homothéte de cetre d ffxe et de rpport Détermer l écrtre complexe de l trsformto h - Sot le pot d ffxe, mge de d ffxe pr l homothéte h ( ( h ( ( 3 6 L écrtre complexe de l homothéte h est : L Rotto : Soet et dex pots d ffxes respectfs et Sot pot d pl d ffxe Détermos l écrtre complexe de l rotto r de cetre et d gle q trsforme e ( ( ( r rg [ ] rg ( cos s ( ( ( e s cos (cos s ( o e (, est l écrtre complexe de l rotto de cetre et d gle

13 Exemple : Sot l rotto r de cetre d ffxe l écrtre complexe de l trsformto r 3 et d gle Détermer - Sot le pot d ffxe, mge de d ffxe pr l rotto r r ( et ( k b( vec b cos s e Doc b( 3 ( ( 3 3 L écrtre complexe de l rotto r est : ( Recherche des lex géométrqes : Soet I (x 0 y 0 et (x y des pots d pl S les pots (x y d pl vérfet : lors l esemble (E des pots cherchés est : x by c 0 L drote (D d éqto : x by c 0 x b y vec c 0 L hyperbole (H d éqto: cx d x b y cx d ( x x ( 0 y y0 r Le cercle (V de cetre I (x 0 y 0 et de ryo r L drote ( médtrce d segmet [] 0 Le cercle (V de dmètre le segmet [] y x bx c L prbole (P d éqto : y x bx c ors Nombres omplexes Pge 3 sr 3 dm Troré Professer Lycée Techqe

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