Note de Géométrie Différentielle - Application de la Méthode du Repère Mobile à l ellipsoïde de Référence- Par Abdelmajid BEN HADJ SALEM

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1 REPUBLIQUE TUNISIENNE MINISTERE DE L EQUIPEMENT Offce de la Topographe et du Cadastre Note de Géométre Dfférentelle - Applcaton de la Méthode du Repère Moble à l ellpsoïde de Référence- Par Abdelmajd BEN HADJ SALEM Ingéneur Général à l Offce de la Topographe et du Cadastre (abenhadjsalem@gmal.com) Octobre 2012 Verson 1. Offce de la Topographe et du Cadastre

2 Table des matères 1 Le Repère Moble Introducton Ecrture Dfférentelle de da et de 3 3 Les Relatons Satsfates par les Formes Dfférentelles ω et ω j Cas de repère moble orthonormé Applcaton à l ellpsoïde de Référence Calcul des ω Calcul des ω j Vérfcaton des Formules dω et dω j Etude du cas h = 0 7 1

3 Note de Géométre Dfférentelle - Applcaton de la Méthode du Repère Moble à l ellpsoïde de Référence- Abdelmajd BEN HADJ SALEM 1 Le Repère Moble 1.1 Introducton Sot E l ellpsoïde de référence géodésque défn par les paramètres a, e respectvement le dem grand axe et la premère excentrcté. Sot R(O, X, Y, Z) le référentel géocentrque assocé à cet ellpsoïde. Un pont A est défn par ses coordonnées cartésennes trdmensonnelles (X, Y, Z) par : X = (N + h)cosϕcosλ (1) Y = (N + h)cosϕsnλ (2) Z = (N(1 e 2 ) + h)snϕ (3) avec : N = a 1 e 2 sn 2 ϕ (4) Au pont A(ϕ, λ, h), consdérons le repère local défn par le repère orthonormé (e λ, e ϕ, e n ) défn dans la base orthonormée (, j, k) de R par : e λ = snλ cosλ 0 ; e ϕ = Pour faclter les notatons, posons : snϕcosλ snϕsnλ cosϕ ; e n = cosϕcosλ cosϕsnλ snϕ (5) e 1 = e λ (6) e 2 = e ϕ (7) e 3 = e n (8) Quand les coordonnées géodésques (ϕ, λ, h) du pont A varent, le repère local en A se déplace ce qu on appelle le repère moble du pont A. 2

4 Fgure 1 Le Repère Moble 2 Ecrture Dfférentelle de da et de Le pont A est défn dans R par : OA = X + Y j + Zk (9) avec (, j, k) la base canonque de R. Comme (e 1, e 2, e 3 ) est auss une base orthonormée de R, on peut passer de (, j, k) à (e 1, e 2, e 3 ) (A. Ben Hadj Salem, 2010) par : snλ snϕcosλ cosϕcosλ e 1 j = cosλ snϕsnλ cosϕsnλ e 2 (10) k 0 cosϕ snϕ e 3 La dfférentelle de (9) donne : da = dx + jdy + kdz en remplaçant, j et k en foncton de e 1, e 2 et e 3, on arrve à l expresson dfférentelle : da = =3 =1 ω e (11) De même, la dfférentelle d un vecteur e s exprme dans la base (, j, k) qu sera transformée dans la base (e ) utlsant la matrce nverse de (10), on aura alors : de = j=3 j=1 ω je j (12) 3

5 Les deux formules (11) et (12) défnssent le déplacement nfntésmal du repère moble au pont A quand ce derner se déplace. Les coeffcents ω et ω j respectvement dans les deux formules précédentes sont des formes dfférentelles de degré 1 en foncton des formes dfférentelles dλ, dϕ et dh (A. Ben Hadj salem, 2012). 3 Les Relatons Satsfates par les Formes Dfférentelles ω et ω j Revenons aux dernères formules (11) et (12), elles représentent des dfférentelles de fonctons vectorelles, par sute, on a alors : La formule (13) donne : d(da) = 0 (13) d(de ) = 0 = 1, 3 (14) d(da) = d( ω e ) = d(ω e ) = (dω e ω de ) = dω e ω de = 0 Sot : dω e = ω de Remplaçons mantenant de par son expresson (12), on obtent : dω e = ω de = ω ω k e k = ω ω k e k k k (15) Ce qu donne en changeant les ndces et k pour le terme à drote : Sot : dω e = Revenons mantenant à la formule (14) : Or : ω k ω k e k dω = k=3 ω k ω k (16) j=3 d(de ) = 0 = d( ω j e j ) = j=1 j=3 j=1 d(ω j e j ) (17) d(ω j e j ) = j j dω j e j j ω j d(e j ) = j dω j e j j k=3 ω j ( ω jk e k ) = 0 4

6 Sot : j=3 k=3 dω j e j = ω j ω jk e k (18) j j=1 Les (e ) forment une base de R, les coeffcents de e j dovent être égaux, ce qu donne après manpulaton : dω j = k=3 ω k ω kj 1 3, 1 j 3 (19) Les formes dfférentelles données par (16) et (19) consttuent les formules d Ele Cartan (H. Cartan, 1979). 3.1 Cas de repère moble orthonormé Dans le cas étudé dans cette note, la base (e ) est une base orthonormée c est-à-dre : { = 1 s = j = 1 e.e j = δ j (20) = 0 s j En dfférentant (20), on a : de.e j + e.de j = 0 (21) En utlsant la formule donnant de c est-àdre (12), l expresson c-dessous devent : k=3 k=3 ( ω k e k ).e j + e.( ω jk e k ) = 0 (22) Comme e.e j = δ j, on obtent : ω j + ω j = 0, j = 1, 3 (23) Et quand = j, on a : ω 11 = ω 22 = ω 33 = 0 (24) 4 Applcaton à l ellpsoïde de Référence 4.1 Calcul des ω En dfférentant les formules (1-3) dans la base (, j, k) on a : da = dx + jdy + kdz En remplaçant, j et k par leurs expressons en foncton de e 1, e 2 et e 3 on obtent : da = cosϕ(n + h)dλe 1 + (ρ + h)dϕe 2 + dhe 3 (25) Sot : ω 1 = cosϕ(n + h)dλ; ω 2 = (ρ + h)dϕ; ω 3 = dh (26) 5

7 4.2 Calcul des ω j Le calcul de de en foncton des vecteurs e du repère moble au pont A se fat en utlsant (5) : de 1 = (cosλ + jsnλ)dλ de 2 = ( cosϕcosλdϕ + snϕsnλdλ) + ( cosϕsnλdϕ snϕcosλdλ)j kcosϕdϕ de 3 = ( snϕcosλdϕ cosϕsnλdλ) + ( snϕsnλdϕ + cosϕcosλdλ)j + kcosϕdϕ (27) En partant de (10), on obtent donc : de 1 = snϕdλe 2 cosϕdλe 3 (28) de 2 = snϕdλe 1 dϕe 3 (29) de 3 = cosϕdλe 1 + dϕe 2 (30) Ou encore sous forme matrcelle : de 1 0 snϕdλ cosϕdλ e 1 e 1 de 2 = snϕdλ 0 dϕ e 2 = Ω e 2 (31) de 3 cosϕdλ dϕ 0 e 3 e 3 avec : 0 snϕdλ cosϕdλ 0 ω 12 ω 13 Ω = snϕdλ 0 dϕ = ω 21 0 ω 23 (32) cosϕdλ dϕ 0 ω 31 ω 32 0 D où les éléments ω j : ω 11 = ω 22 = ω 33 = 0 (33) ω 12 = ω 21 = snϕdλ (34) ω 13 = ω 31 = cosϕdλ (35) ω 23 = ω 32 = dϕ (36) 4.3 Vérfcaton des Formules dω et dω j A- Vérfons la formule (16) sot : k=3 dω = ω k ω k Calculons par exemple dω 1 : dω 1 = d((n + h)cosϕdλ) = d(ncosϕdλ) + d(hcosϕdλ) (37) Or d(ncosϕ) = ρsnϕdϕ ce qu donne : dω 1 = ρsnϕdϕ dλ hsnϕdϕ dλ + cosϕdh dλ (38) 6

8 sot : dω 1 = (ρ + h)snϕdϕ dλ + cosϕdh dλ (39) Par la formule (16) : k=3 dω 1 = ω k ω k1 = ω 1 ω 11 + ω 2 ω 21 + ω 3 ω 31 = 0 + ω 2 ω 21 + ω 3 ω 31 = (ρ + h)dϕ ( snϕdλ) + dh cosϕdλ = (ρ + h)snϕdϕ dλ + cosϕdh dλ (40) Ce qu est dentque à (39) c-dessus. B- Vérfons mantenant la formule des dω j : sot : k=3 dω j = ω k ω kj Calculons par exemple dω 12 : dω 12 = d(snϕdλ) = cosϕdϕ dλ (41) D autre part, d après la formule (19), on a : k=3 dω 12 = ω 1k ω k2 = ω 11 ω 12 + ω 21 ω 22 + ω 13 ω 32 Or : Par sute, on a fnalement : ω 11 = ω 22 = 0 k=3 dω 12 = ω 1k ω k2 = ω 13 ω 32 = cosϕdλ dϕ = cosϕdϕ dλ (42) C est le résultat de (41). 5 Etude du cas h = 0 Quand h = 0, le pont A est sur le plan tangent à l ellpsoïde, dans ce cas, on a alors : ω 1 = Ncosϕdλ (43) ω 2 = ρdϕ (44) ω 12 = snϕdλ (45) Or d après le théorème fondamental de la géométre remannenne locale, l exste une unque forme dfférentelle ω 12 défne dans le plan tangent qu sats- 7

9 fat aux équatons (S.S Chern, 1985) : dω 1 = ω 12 ω 2 (46) dω 2 = ω 1 ω 12 (47) et dω 12 = Kω 1 ω 2 (48) avec K la courbure de Gauss ou la courbure totale au pont A. Vérfons alors les équatons (46-48). Des équatons (43-45), obtent : Par sute : Or : dω 1 = ρsnϕdϕ dλ (49) dω 2 = ρ dϕ dϕ = 0 (50) dω 12 = cosϕdϕ dλ (51) dω 1 = ω 12 ω 2 = snϕdλ ρdϕ = ρsnϕdλ dϕ (52) dω 2 = ω 1 ω 12 = Ncosϕdλ snϕdλ = 0 (53) et dω 12 = cosϕdϕ dλ (54) ω 1 ω 2 = Ncosϕdλ ρdϕ = ρncosϕdϕ dλ (55) En comparant (51) et (55), on trouve que : avec : dω 12 = 1 ρn ω 1 ω 2 = Kω 1 ω 2 (56) K = 1 = la courbure totale ou courbure de Gauss ρn c est l nverse du produt des 2 rayons de courbure de l ellpsoïde (57) Références CQFD H. Cartan Cours de Calcul Dfférentel. Nouvelle édton refondue et corrgée. Hermann Pars. Collecton Méthodes. 365p. S.S Chern Movng Frames. Socété Mathématque de France. Astérsque, numéro hors sére "Ele Cartan et les mathématques d aujourd hu". Lyon, jun p A. Ben Hadj Salem Note de Géométre Dfférentelle - Le Repère Local -. v1. 7p. A. Ben Hadj Salem Selected Papers. v1. En préparaton. 421 p. 8