Fonctions Numériques Site MathsTICE de Adama Traoré Lycée Technique Bamako

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1 Fontions Numériques Site MthsTICE e Am Troré Lyée Tehnique Bmko I Générlités sur les fontions ) Définition : Soit A et B eu ensemles non vies e R On ppelle fontion e A vers B, toute reltion e A vers B qui à hque élément e A ssoie u plus un élément e B Eemples : Dites si oui ou non les reltions i-essous sont es fontions A B E F G H Fontion Fontion N est ps une fontion r eu imges Nottion : Si f est une fontion e A vers B qui à un élément e A ssoie un élément f() e B on note : f : A B f() (lire f envoie A ns B qui à ssoie f()) A est ppelé ensemle e éprt ou soure B est ppelé ensemle rrivée ou ut f () est ppelé l imge e pr f est ppelé l ntééent e f() ) Grphe une fontion : ) Définition : On ppelle grphe e f l ensemle es ouples ( ; y) A B tels que Df et f() = y L ensemle es points M( ; y) pprtennt u grphe e f est ppelé oure représenttive e f ) Eemple : Le grphe e f est G f = {( ; ),( ; ) ;( ; ) ; ( ; ) } Cours Seones Fontions Pge sur 8 Am Troré Professeur Lyée Tehnique

2 ) Détermintion e l ensemle e éfinition ) Définition : Soit f : A B une fontion On ppelle ensemle e éfinition D f e f, l ensemle es éléments e A qui ont une imge ns B ) Eemple : Soit l fontion e A vers B A B Df = { ; ; } ) Eemple : f : R R + 0, on D f =R { } = ] ; [ U ] ; + [ ) Applitions Déterminer l ensemle e éfinition D f e hune es fontions éfinies pr : f () = + 9 ; + f ( ) = ; ) Détermintion une fontion Il eiste plusieurs fçons e étermintion une fontion ) Pr Un igrmme Sgittl : f ( ) = ; f ( ) = + 5 A B L imge e est ; L ntééent e est ) Pr Tleu : 0 f() f(0) = 5 ; L ntééent e 5 est 0 Cours Seones Fontions Pge sur 8 Am Troré Professeur Lyée Tehnique

3 ) Pr un Progrmme e lul Soit g l fontion e R vers R éfinie pr : Pour luler l imge u réel on proèe e l fçon suivnte : On le multiplie pr On joute 5 u résultt On termine en ivisnt le ernier résultt pr (7 ) Cluler g(7) g ( 7) = = ) Formule Epliite : Soit f est une fontion e A vers B Si A et B sont es sous ensemles e R lors on it que f est une fontion numérique une vrile réelle Eemple : f : R R + + Cluler f ( ) et f () e) Pr une représenttion grphique : Dns hun es s suivnts ire si l représenttion grphique peut être elle une fontion ) oui ) non ) oui 5 ) Coïniene e eu fontions sur un ensemle ) Églité e eu fontions Soit f et g eu fontions ynt même ensemle e éprt E et même ensemle rrivée F ( f = g ) D f = Dg D f ) Eemples - f : R R ; g : R+ R ( )( + ) f ( ) = g( ) f g Cr elles n ont ps le même ensemle e éprt - f : N N ; g : N R f g Cr elles n ont ps le même ensemle rrivée Cours Seones Fontions Pge sur 8 Am Troré Professeur Lyée Tehnique

4 - f : R R ; g : R R ; + f g Cr elles n ont ps le même ensemle e éfinition - f : R R ; g : R R ; + f = g Cr elles ont le même ensemle e éfinition et f ( ) = g( ) ) oïniene e eu fontions sur un ensemle Définition : soit f : IR IR ; g : IR IR f () g() Soit C un sous-ensemle e D f D g f et g oïnient sur C C f ( ) = g( ) si et seulement si Eemple : soit f IR IR : ; g : IR IR f ( ) = + ; g( ) = - Trouver l prtie C e R sur lquelle f et g oïnient Réponse : f () + Pour C = [ ; + [ f ( ) = g( ) on f et g oïnient sur C Cours Seones Fontions Pge sur 8 Am Troré Professeur Lyée Tehnique

5 II Composition, éomposition e fontions ) Shéms e Clul ssoié à une fontion Un shém e lul ou un orgnigrmme qui inique les ifférentes étpes eéution un progrmme e lul une fontion Eemples : Dresser le shém e lul ssoié à hune es fontions f et g éfinie pr : f ( ) = ; g ( ) = ( + ) + Shém e lul ssoié à l fontion f inv Shém e lul ssoié à l fontion g + + (+) Cours Seones Fontions Pge 5 sur 8 Am Troré Professeur Lyée Tehnique

6 ) Composition es Fontions : ) Définition : f étnt une fontion e E vers F, g une pplition e B vers G, l fontion notée : g o f e E vers G est éfinie pr : go f : E F G ( go f )( ) = g[ f ( ) ] et s ppelle l omposée e f pr g f ) Eemples : soit f : f ( ) = + ; g : g( ) = ; h : h( ) = Trouver les ensemles e éfinition e hune es fontions f ; g et h puis luler go f ( ) ; f o g() ; go f ( ) ; f o g( ) ; go f ( ) ; ho f ( ) 5 go f ( ) = g f () = g(7) = f o g( ) = f [ g() ] = f ( ) = 7 go f ( ) = g f ( ) = g( + ) = ; ho f ( ) = h f ( ) = h( + ) = + + Réponse : [ ] [ ] [ ] ( ) ) Déomposition une fontion : ) Définition : Déomposer une fontion f, est érire f omme omposée e eu ou plusieurs fontions ) Eemples : Soit l fontion f : R R g Shém 5 + Shém e lul e f Shém Le shém est le shém ssoié à l fontion g : 5 + Le shém est le shém ssoié à l fontion f = ho g h : Cours Seones Fontions Pge 6 sur 8 Am Troré Professeur Lyée Tehnique

7 III Imge irete, Imge réiproque pr une fontion ) Imge irete ) Définition : Soit f une fontion e E vers F ensemle e éfinition D f, et A une prtie e E On ppelle imge irete (ou imge) e A pr f notée (A) imges pr f e tous les éléments e A Df ) Eemple : soit f : IR IR + Trouver les imges pr f e hun es intervlles e IR -suivnts : A = ] ; ] ; B = [ 5 ; ] f l ensemle es Réponse : f est éfinie si ; Df=IR- { } Imge irete e A=]- ; ] pr f Df, A, f ( ); D' où f ( A) = [ ; + [ 5 5 Imge irete eb=[-5 ; ] pr f Df, B [ 5 ; [ ] ; ] 5 p ; p + p 0 ; 0p + ; + + D où f (B) = ; ; + ) Imge réiproque ) Définition : Soit f une fontion e E vers F ensemle e éfinition D f, et B une prtie f B e F On ppelle imge réiproque e B pr f, l prtie e D f, notée : ( ) onstitué es ntééents pr f e tous les éléments e B ) Remrque : Comment herher l imge réiproque? Pour trouver l imge réiproque un intervlle B e R pr une fontion f ensemle e éfinition D f, on résout l un es systèmes inonnue suivnts : Si B=[,] on résout Df ; f () Si B=],[ on résout Df ; < f () < Si B=[,[ on résout Df ; f () < Si B={} on résout Df ; f ( ) = Si B=]-,] on résout Df ; f () Si B=],+ [ on résout Df ; < f () Cours Seones Fontions Pge 7 sur 8 Am Troré Professeur Lyée Tehnique

8 ) Eemples : soit f : IR IR ; g : IR IR - Trouver l imge réiproque pr f e B=[ ; ] - Trouver l imge réiproque pr g e B= { 0 } Soit l fontion h éfinie pr s représenttion grphique i-essous Trouver l imge réiproque e hun es intervlles suivnts C=[ ; ] ; D = [- ; 0 ] ; E = { } ; F = [- ; - ] Cours Seones Fontions Pge 8 sur 8 Am Troré Professeur Lyée Tehnique