O4 : Diffraction à l infini

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Arlette Lefebvre
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1 O4 : Diffrction à l infini 1 Phénomène de diffrction 1.1 Mise en évidence Si l on cherche à "isoler" un ryon lumineux, modèle de l optique géométrique, grâce à une fente très fine de lrgeur, on n observe un élrgissement de l tâche formée sur l écrn pr diminution de une non uniformité de l éclirement Limittion de l optique géométrique Le phénomène de diffrction pprît lorsque les distnces crctéristiques des obstcles à l propgtion de l lumière ne sont ps très supérieures à l longueur d onde. 1.2 Interpréttion du phénomène Interpréttion quntique Ondes secondires Huyghens, en trvillnt pr nlogie vec l observtion des ondes à l surfce d un liquide, expliqué l propgtion d une onde pr le fit que tout point tteint pr une onde se comportit comme une source secondire réemettnt de "ondelettes" dns toutes les directions. Fresnel s est ensuite bsé sur ce modèle fin d expliquer les phénomènes de diffrction. L théorie des Ondes Electro-mgnétiques vlider ensuite cette hypothèse. Principe de Huyghens-Fresnel Soit une source Ë ponctuelle de lumière monochromtique et une surfce d onde entourntë Toute surfce élémentire Ë Ô entournt le point È de cette surfce d onde se comporter comme une source secondire ponctuelle émettnt de mnière sphérique. L onde secondire émise en È l même phse que l onde incidente tteignnt È L mplitude de l onde secondire est proportionnelle à Ë Ô insi qu à l mplitude de l onde incidente en È. Les sources secondires sont cohérentes entre elles. Le dernier point implique donc que les ondes issues des différentes sources secondires vont interférer en un point Å de l espce. 1.3 Vibrtion d une source secondire On considère une vibrtion incidente en È. On note : È µ l vibrtion qu urit l onde en È en bsence d objet diffrctnt È µ l vibrtion qu urit l onde en È, en présence de l objet diffrctnt, mis sns considérer le phénomène de diffrction Trnsprence de l objet diffrctnt L objet diffrctnt peut voir deux conséquences sur l vibrtion incidente : Un modifiction de l mplitude È µ Ø È µ È µ vec ¼ Ø È µ ½. Les cs extrêmes sont 0 si l objet est opque et 1 s il s git d un trou. Un retrd de phse ³ È µ ³ È µ È µ

2 Fonction trnsprence On crctérise l objet diffrctnt en È pr une fonction trnsprence Ø È µ Ø È µ È µ Exemple : On considère une lme de verre d episseur È µ en È et d indice Ò constitunt l objet diffrctnt. Si l on considère l lumière incidente en incidence qusi-normle, cette lme entrine une différence de mrche Æ È µ Ò Ò Ö µ È µ, mis ucune diminution de l mplitude de l vibrtion. On obtient donc dns ce cs Ø È µ ¼ Ò ÒÖµ È µµ Onde secondire Vibrtion en M Un élément de surfce Ë Ô entournt un point È de l objet diffrctnt émet une onde dont l vibrtion en un point Å situé à grnde distnce de È s écrit Ô Å Øµ Ã È µ ³ È Å 2 Diffrction de Frunhofer Conditions d étude de Frunhofer Dns cette condition d étude de l diffrction L source Ë éclirnt l objet diffrctnt est considérée à l infini Le point d observtion Å est considéré à l infini de l objet diffrctnt On prler églement de diffrction à l infini. Aspect expérimentl On pourr se plcer dns ces conditions vec le montge suivnt E Ä Ä ¼ Å S T O 2.1 Cs d une fente très longue Simplifiction du problème On considère une fente de lrgeur selon Ç et de longueur très grnde devnt ¼ selon l direction Ç. L présence de lumière diffrctée se limiter donc à l xe ÇÜ sur l écrn, à l ordonnée Ý ¼. En effet, en l bsence de fente, l imge de l source Ë se situe u centre de l écrn. L présence de l fente fit ppritre un étlement de l lumière selon l xe où on limite les dimensions de pssge de l onde.

3 2.1.2 Vibrtion diffrctée pr une source secondire È µ À ¼ Ü On considère donc une source Ë Ô en un point È Ü È ¼µ de l fente. En Ç et È, les sources secondires émettent dns toutes les directions, mis les ryons interférnt en Å sont colinéires On choisit comme référence pour les phses l vibrtion incidente rrivnt en Ç. L onde secondire rrivnt en Å s écrit ¼ Å µ ÃË ¼ Ü È Ø ¼µ Ç Å Üµ L vibrtion issue d une source secondire È ur donc une différence de mrche pr rpport à l onde de référence en Å : Æ È À ¼ µ, étnt donné que Ç et À ¼ pprtiennent à une même surfce d onde. Fente Æ È À ¼ µ Ò Ü ¼ On peut donc écrire l vibrtion issue de l source élémentire, rrivnt en È : Æ È Å µ ¼ Å µ ¼ µ Les sources secondires étnt supposées toutes cohérentes, on en déduit l vibrtion en Å en sommnt l ensemble ( une infinité) des vibrtions issues des sources secondires : Ü Å µ ÃË ¼ È Ü Ø ¼µ ¼ ¼ Ü È Ü È Ü Å µ ÃË ¼ Ø ¼µ ¼ ¼ Ü ¼ ¼ Å µ ÃË ¼ Ø ¼µ Ü ¼ ¼ Ü ¼ ¼ Ü ¼ ¼ ÃË ¼ Ø ¼µ Ò Ü ¼ ¼ I(x) Eclirement en Å Á Å µ ½ Å µ Å µ Á Å µ ½ Ã Ë ¼ Ò Ü ¼ ¼ 2.λ 0.f λ 0.f λ 0.f 2.λ 0.f x Figure de diffrction pr une fente L tâche centrle une lrgeur ¼ ¼, centrée u niveu de l imge géométrique de l source ( imge prévue pr l optique géométrique). Les tâches secondires, beucoup moins lumineuses, ont des lrgeurs deux fois plus petites. 2.λ 0.f

4 2.1.4 Étlement du fisceu pr diffrction L tâche centrle correspond à 90% de l intensité lumineuse totle. On peut donc considérer que le fisceu sur l écrn une lrgeur égle à Ü ¼ ¼ ÑÜ. Or un ryon rrivnt en un point d bscisse Ü sur l écrn fit un ngle vec l xe optique en sortie de l fente tel que ØÒ Ü ¼ Étlement ngulire Un fisceu de lumière prllèle subit une ouverture ngulire ¼ Lorsque ¼, on pourr donc négliger le phénomène de diffrction Cs d une source hors de l xe Ù À È À ¼ Ç Ù Imge géométrique de l source On note Ë ¼ l imge de Ë Ü µ pr le sy optique, obtenue dns l hypothèse de l optique géométrique. De même que l on obtenu Ü Ò ¼, On peut fcilement obtenir Ü Ò«¼ Fente I(x) ( On trville ici sur des ngles orientés) Retrd de l onde issue de È Pr nlogie à l tude précédente, on obtient Æ ÀÈ µ È À ¼ µ Ü È Ò«Ü È Ò Ü È Ü Ü ¼ Eclirement On obtient donc xs λ0.f xs + λ0.f x Á Å µ ½ Ã Ë ¼ Ò Ü Ü µ ¼ ¼ 2.λ0.f Source hors de l xe Lorsque l source est hors de l xe, l figure de diffrction est identique à celle obtenue pour une source sur l xe, centrée sur l imge géométrique de Ë pr le système des deux lentilles. 2.2 Cs d une pupille rectngulire Le principe d étude v être le même que précédemment, mis l diffrction ur cette fois lieu selon les xes ÇÜ et ÇÝ.

5 Différence de mrche On prend toujours comme référence le ryon pssnt pr l origine Ç. Le ryon issu de l source secondire située en È ur lors une différence de mrche, en Å : Æ ÀÈ µ È À ¼ µ Ù ÇÈ Ù ÇÈ Ù À È À ¼ Ç Ù Dns le cs prticulier du schém, on doit jouter deux retrds, or Ù ÇÈ ¼, ce qui explique le signe -. On ¼ Å Ù Ç Å vec Ç le centre de l seconde lentille et Å le point sur l écrn où interfèrent les ryons étudiés. Les ngles étnt fibles, on peut ssimiler Ç Å à ¼, pr conséquent ÜÙ Ü ÝÙ Ý Ù ¼ En désignnt pr Ë ¼ Ü Ý µ l imge de l source sur l écrn, et pr nlogie vec l étude précédente, on obtient Ù Ü Ù Ü Ý Ù Ý ¼ Fente De plus mrche ÇÈ Ü È Ù Ü Ý È Ù Ý. On en déduit donc l expression de l différence de Æ Ü È Ü Üµ Ý È Ý Ýµ ¼ Vibrtion en M On considère l ensemble des sources élémentires Ë Ü È Ý È, interférnt en Å. L vibrtion résultnte est lors Å µ ÃË ¼ ÜÈ Ø ¼µ ÜÈ Ü Üµ ¼ ¼ ÝÈ ÝÈ Ý Ýµ Ü È ¼ ¼ Ý È Ü È On reconnit les formes intégrles rencontrées lors de l étude de l fente longue. On en déduit donc rpidement que Ý È Å µ ÃË ¼ Ø ¼µ Ò Ü ¼ ¼ Ò Ý ¼ ¼ Éclirement en M L intensité lumineuse en un point Å Ü Ýµ de l écrn s écrit lors Exemple : si Á Å µ ½ Ã Ë ¼ Ò Ü ¼ Ò Ý ¼ ¼ ¼

6 3 Résolution en optique géométrique 3.1 Diffrction pr une pupille circulire L étude théorique de ce cs est hors progrmme, on donne donc directement l llure de l figure. Tâche d Airy L figure de diffrction d une pupille circulire de dimètre est constituée d un disque très lumineux de ryon égl à ½ ¼ ¼ entourée d nneux moins lumineux. Ce disque est nommé tâche d Airy Alors que l optique géométrique prévoit une imge ponctuelle de l source pr le système des lentilles, un diphrgme fer pprître une tâche d Airy. L imge de deux sources ponctuelles sont donc susceptibles de former des tâches se "mélngent". Il y donc une limittion u pouvoir de résolution d un ppreil optique. 3.2 Limite de résolution d un ppreil optique L observtion de deux sources ponctuelles à l infini, vues sous un ngle, se fit grâce à une lentille de distnce focle ¼ plcée derrière un diphrgme de dimètre. Ä Diphrgme Centré sur chcune des imges géométriques, on observer donc des figures de diffrction du diphrgme. Vu l symétrie du problème, on peut représenter l intensité à une cote Þ sur l écrn

7 Á Üµ Á Üµ Ü Ü ¼ ¼ On observe en trit plein l intensité résultnte sur l écrn. Dns le premier cs, on ne pourr ps dissocier les deux imges. Critère de Ryleigh Il y ur séprtion de deux tâche des pics de diffrction est u m Appliction Un télescope est constitué d un miroir principl de ryon Ê Ñ, écliré vec une longueur d onde moyenne ¼¼ ÒÑ. Son pouvoir séprteur ser lors défini pr l ngle minimum sous lequel pourront être dissociées les imges de deux étoiles ½ ¼¼½¼ ½½¼ Ö ¼ ¼ seconde d rc Il est à noter que l résolution ser limitée pr d utres fcteurs, tels que les perturbtions tmosphériques.

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