Equations locales de l électromagnétisme

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1 quaion loale de l éleomagnéime I Denié olumique de ouan : On onidèe un enemble de paiule de hage q de denié paiulaie n * mouemen d enemble à la iee. On noea dan la uie : * ρ n q la denié de hage mobile epimée en C.m 3. m Commen défini l inenié qui aee une ufae ds quelonque? e ayan un M q θ n ds d olume d ds oθ La quanié de hage éleique dq qui aee la ufae élémenaie ds pendan l inealle de emp d e : O ds o. n ds où l on a défini : * * dq n q n ds oθ d q θ d où : * dq n. n ds qd. n ds d le eeu denié de ouan. L inenié i : n q ρ * m dq i. n ds d inepèe omme le flu du eeu denié de ouan à ae la ufae ds oienée. L inenié qui aee une ufae finie S ea alo : i S. n ds Diee hémaiaion d une diibuion de hage :

2 Diibuion olumique ufaique linéique Chage Couan Inégaion Inenié dq ρ dq σ ds dq λ dl dc dc ds d C I d l S C di. n ds di S. dl i dq / d S II quaion loale de oneaion de la hage : On onidèe un olume délimié pa une ufae femée S fie dan le éféeniel d éude. Soi ρm la denié olumique de hage mobile dan le milieu. La hage oale Q ompie dan le olume à l inan au : Q n ρ m ds ρ m olume La oneaion de la hage éleique peme d éie : Pa onéquen : Le olume éan fie : d d d d dq d i à ae S ρ m M ρ m M Finalemen le pinipe de oneaion de la hage ondui à n uilian le héoème de Geen-Oogadky : ρ m M di Ce éula éan ai pou ou olume il ien : ρ M m di S. n ds ρ m M ρ m M ρ m M oi di C e l équaion loale de oneaion de la hage éleique. S. n ds * Remaque : une elle fome d équaion e eoue ouammen loque l on fai le bilan d une gandeu alaie eenie qui en l abene de oue obéi à un pinipe de oneaion :

3 Coneaion de l énegie M eeu de Poyning Coneaion de la mae en méanique de fluide quaion de la diffuion e de la haleu phénomène de anpo. * Denié de ouan e inenié en égime pemanen : ρ m M On a alo e don On en dédui : di. L inenié oale qui o d une ufae femée S quelonque e nulle en égime pemanen : i. n ds S di. n égime pemanen l inenié a même aleu à ae oue le eion d un même ube de hamp. On onidèe une ufae femée S oniuée pa un ube de hamp T du hamp appelé ube de ouan e deu ufae S e S appuyan u deu onou de même oienaion aé u T e oien I e I le inenié flu de epeiemen à ae S e S. T I I C C S S Soi : S. n ds. n ds I I I I T I I I n égime pemanen l inenié du ouan éleique pend la même aleu dan oue eion d une banhe de iui. On peu égalemen en déduie la loi de nœud oneaion du flu du eeu denié de ouan. III quaion de Mawell : 3

4 Dan la héoie de Mawell l ineaion ene deu paiule e anmie pa l inemédiaie de modifiaion de pohe en pohe du hamp M. Cee popagaion de l ineaion pa l inemédiaie du hamp M e fai péiémen ou fome d onde M ae la éléié. Pou e epéene l ineaion de deu paiule dan le ade d une héoie de hamp une image poible e elle de deu bouhon e floan u l eau e iniialemen immobile. Une oillaion eiale de engende de oillaion de l eau qui e anmeen de pohe en pohe dan oue le dieion uqu à e qu elle aeignen qui e alo mi en mouemen. Le équaion de Mawell on de équaion loale qui epimen de elaion ene le hamp M e e oue ρ : di quaion du flu magnéique Flu ρ di quaion de Mawell Gau MG o quaion de Mawell Faaday MF o quaion de Mawell mpèe M * Le équaion de Mawell e la oneaion de la hage : Soi : Le équaion de Mawell oniennen le pinipe de oneaion de la hage. n effe i l on pend la diegene de l équaion de M : di o di di di ρ di ρ di di ini il n e pa néeaie d aoue la oneaion de la hage au poula de l M dan la meue où elle-i déoule de équaion de Mawell. Néeié du ouan de déplaemen n égime quelonque on poe o. lo : D D : di di o di di D D Soi enoe i l on eu epee le pinipe de oneaion de la hage : n uilian l équaion de MG : di di di ρ di D D ρ oi di D 4

5 La oluion la plu imple de ee équaion oepond bien au hoi du ouan de déplaemen D. * Le équaion de popagaion du hamp M : Soi une diibuion D de hage loaliée auou d un poin O don le denié on fonion du emp eemple : une anenne méallique. Selon le équaion de Mawell-Gau e de Mawell-mpèe ee diibuion D e la oue de hamp e aiable dan le emp qui on éabli dan ou le oiinage de O. Un poin M de e oiinage bien que iué / / en deho de D e lui-même oue de hamp en aion de eme en e «poenan de O» qui ouen un ôle de oue dan le équaion de Mawell-Faaday e de Mawell-mpèe. Le poin P du oiinage de M on à leu ou dan leu pope oiinage de oue de hamp aiable dan le emp On onçoi aini que le hamp M e popage en faian pene à de ide e anmean de pohe en pohe à la ufae de l eau. «Le ouplage qui e inodui dan le équaion de Mawell pa la péene de deu déiée paielle pa appo au emp / e / e à l oigine du phénomène de popagaion du hamp M.» Obenion de équaion de popagaion du hamp M : On alule le oaionnel de l équaion de Mawell-Faaday : O : e ρ di Soi finalemen : o o o o gad di o e o il ien : ρ gad gad ρ De manièe yméique on élimine au pofi de en alulan le oaionnel de M : Soi : Finalemen : o o gad di o o gad o o 5

6 6 Dan une égion an hage ni ouan e ρ : e Ce équaion on le équaion de popagaion du hamp M. Si l on noe l une de i oodonnée de hamp M. alo : oi C e l équaion de d lembe équaion laique de popagaion de onde enoe appelée équaion de ode ibane éablie au XIII ème ièle pou modélie le ibaion d une ode endue. Comme le mone le paagaphe uian le oluion de ee équaion aduien un phénomène de popagaion de éléié. * Réoluion de l équaion de d lembe : oi ou u le onde méanique On e popoe de éoude l équaion de d lembe unidimenionnelle : De manièe ymbolique ee équaion peu éie :. On poe : q e p e en onidéan e omme de fonion de p e de q : q p q q p p q p q q p p On en dédui : q e p L équaion de d lembe pend alo la fome : q p q p Pa onéquen q q ϕ e i fq déigne une pimiie de ϕq alo : g f p g q f Inepéaion phyique : on onidèe une fonion de la fome :

7 7 f On onae que : f f pou ou ouple e éifian :. ini epéene un ignal qui e popage an défomaion à la iee le long de l ae O dan le en poiif. O Inan Inan f La oluion f epéene un ignal qui e popage an défomaion à la iee le long de l ae O dan le en négaif. On e popoe mainenan de éoude l équaion de d lembe idimenionnelle : z y ae On éifie que de fonion de la fome : ; ; z f z y y f z y f z y z y m m m ± ± ± on oluion de l équaion idimenionnelle e oluion on appelée onde plane de dieion de popagaion epeie z y u e u u dan le en poiif ou négaif. De onde phéique on égalemen oluion de l équaion de d lembe idimenionnelle : on hehe pa eemple de oluion à yméie phéique. n uilian la fome du laplaien en oodonnée phéique il ien : Soi enoe : On onae alo que la fonion e oluion de l équaion unidimenionnelle de d lembe. Pa onéquen : g f

8 Soi : f g Le deu eme de ee omme epéenen de onde phéique epeiemen diegene e onegene. On onae que le ignal ne e popage pa an défomaion en aion de l affaibliemen epimé pa le faeu /. * Changemen de éféeniel : Soi dan le éféeniel du laboaoie R un faieau de poon de denié paiulaie n homogène d ae Oz e de ayon a. Le faieau e di homoinéique loque oue le paiule on la même iee u. Une éude de yméie ondui à dan le éféeniel du laboaoie : z u e On e plae mainenan dan le éféeniel R lié au hage e-à-die e déplaçan en anlaion eiligne pa appo à R à la iee u z. Le hage immobile ne éen pa de hamp magnéique ' e ne ubie don q un hamp éleique '. Ce eemple imple illue le fai que le hamp M dépend du éféeniel onidéé. Fomule de hangemen de éféeniel : Soi la iee d une paiule de hage q dan un éféeniel R e oi ' a iee dan un éféeniel R animé de la iee e pa appo à R. La foe de Loenz doi êe idenique dan le deu éféeniel pinipe d inaiane de la foe en méanique newonienne pa onéquen : f q On uilie la elaion de ompoiion de iee Soi : q ' ' ' ' e : ' ' ' ' e e ' ' ' ' On e don amené à poe : epeion de hangemen de éféeniel galiléen du hamp M ' e ' e Remaque : e epeion on en onadiion ae l eemple du faieau de poon homoinéique puique e non nul alo que '. Pou éie e paadoe il fau uilie le fomule elaiie de anfomaion du hamp M. u θ I Conenu phyique de équaion de Mawell : Ce paagaphe peme de mone que le équaion «loale» de Mawell donnen pa inégaion de loi e héoème onnu qui peuen êe éifié epéimenalemen. quaion de Mawell-Gau e héoème de Gau : 8

9 On pa de l équaion de MG ae une ufae femée S : S. n ds di ρ afin de alule le flu oan du hamp éleique à di. Q ρ. Le héoème de Gau appaaî aini enoe alable en M même i le hage éleique peuen êe en mouemen. n égime pemanen le oue du hamp éleique on le hage aaéiée pa la denié ρ. Le ligne de hamp diegen à pai de hage poiie à la manièe d un fluide oan d une éiable oue e dipaaien u le hage négaie omme un fluide dan un pui. Tel e enoe le a en égime non pemanen à la difféene pè que oi onéquene de l équaion de Mawell-Faaday ρ n e plu la eule oue du hamp éleique de elle oe que le ae de hamp éleique n on plu néeaiemen la même allue. in quaion de Mawell-mpèe e héoème d mpèe «généalié» : On alule la iulaion à un inan donné du hamp magnéique le long d un onou C u lequel appuie une ufae S e on uilie l équaion de M : Il ien : o On eonnaî :. dl o. n ds. n ds S S C i S. n ds l inenié qui aee S. On peu noe que en égime non pemanen ee gandeu ne dépend pa eulemen de C mai de la ufae S a n e plu à flu oneaif. lo : héoème d mpèe généalié où le eme : C. dl i D i S. n ds S. n ds inepèe omme le flu du ouan de déplaemen à ae la ufae S. ini en égime non pemanen le oue du hamp magnéique on de deu naue : le ouan «éel» e le ouan de déplaemen qui poien de la dépendane empoelle du hamp éleique. n égime pemanen on eoue bien éidemmen le héoème d mpèe laique : 9

10 . d l i C quaion du flu magnéique e hamp magnéique à flu oneaif : L équaion loale di peme de mone que :. n ds di. 5 oi Le hamp magnéique e à flu oneaif. Pa onéquen : 5. n ds * Le flu magnéique e onee à haque inan à ae oue eion d un ube de hamp magnéique : Φ Φ. * Il e poible de défini le flu magnéique Φ qui aee un onou C an aoi à péie la ufae S qui appuie u elui-i. n ompaan ae l epeion du héoème de Gau on onae que le hamp magnéique n a pa de oue qui oueaien pou le ôle que le hage ouen pou. uemen di il n eie pa de hage magnéique de monopôle magnéique. quaion de Mawell-Faaday e loi de Faaday : On éalue la iulaion e du hamp éleique le long d un onou C femé u lequel appuie une ufae S e on uilie l équaion de Mawell-Faaday o : Soi : C d. dl o. n ds. n ds S S d S. n ds n égime pemanen : e. dl ; Φ C dφ e d S. n ds e. dl e o C Le hamp éleique pemanen e à iulaion oneaie. On peu défini un poeniel alaie el que : gad n égime non pemanen : la iulaion e du hamp idenifie à la fém qui e induie u C. On démone aini la loi de Faaday : dφ e d dégagée epéimenalemen pa Faaday en 83.

11 La iulaion du hamp n e plu nulle : un hamp magnéique aiable dan le emp e oue d un hamp éleique à iulaion non oneaie. iene de poeniel auge de Loenz a de l RQS : Rappel mahémaique : Un hamp égal à un gadien a un oaionnel nul e un hamp égal à un oaionnel a une diegene nulle : e gad ϕ o e Réipoquemen on peu mone que : b o a di b Si un hamp eoiel a un oaionnel nul il eie au moin un hamp alaie don il e le gadien. Si un hamp eoiel a une diegene nulle il eie au moin un hamp eoiel don il e le oaionnel. Définiion de poeniel : L équaion de Mawell-flu : di e la popiéé péiée i-deu pemeen de défini un hamp eoiel appelé poeniel eeu el que : o Si l on inodui ee elaion dan l équaion de Mawell-Faaday il ien : o o oi o Il eie don au moin un hamp alaie que l on noea e appelé poeniel alaie el que : gad gad oi gad Dan le a du égime pemanen on eoue l epeion laique gad. Non uniié du ouple de poeniel : On uppoe que pou un hamp M donné on dipoe de deu ouple e de poeniel. lo : o o oi o Pa onéquen en noan ϕ un hamp alaie quelonque : gad ϕ oi gad ϕ

12 Le poeniel eeu ϕ gad où ϕ déigne un hamp alaie quelonque onien égalemen : le poeniel eeu e défini à un gadien pè. De même pou le poeniel alaie : gad oi gad gad Soi : gad ϕ pè inégaion la fonion addiie du emp qui inodui e mie ou fome d une déiée pa appo au emp : d df f ϕ Finalemen en poan F ϕ ψ : e gad ψ ψ Il eie don une infinié de ouple de poeniel eeu : faie le hoi d un d ene eu e faie un hoi de auge il eie une infinié de auge. On di qu il y a indéeminaion de auge. Le hamp M e pa one inaian de auge ; lui eul a un en phyique alo que le poeniel on eulemen un moyen mahémaique d epeion de hamp en méanique laique. 3 quaion éifiée pa le poeniel : On uilie le équaion de Mawell dépendan de oue le epeion de hamp en fonion de poeniel e la poibilié d ineei le déiaion pa appo au oodonnée d epae e de emp. pai de l équaion de Mawell-mpèe on élimine e : gad gad o Pa ailleu : di gad o o o Pa onéquen : gad di gad Soi l équaion au déiée paielle éifiée pa le poeniel eeu : di gad pai de l équaion de Mawell-Gau :

13 Soi : di ρ oi Ou enoe en faian appaaîe la quanié di gad di ρ di ρ di Si l on hoii ondiion de Jauge de Loenz : di le équaion difféenielle éifié pa le poeniel e implifien onidéablemen : e : ini le hoi de la auge de Loenz implifie le équaion éifiée pa le poeniel ; e deu équaion on appelée équaion de Poion. lle monen que le poeniel eoiel e alaie on pou oue epeie le denié de ouan e de hage. ρ ρ 4 - Poeniel pemanen : n égime pemanen le équaion de Poion e ééien ou la fome : e ρ Cee denièe équaion a pou oluion la oluion bien onnue loi de Coulomb pou le poeniel éleoaique : M 4π D ρ S On noe M le poin où l on alule le poeniel S un poin oue de la diibuion D de hage e u. Chaque ompoane y e z éifien la même équaion que ; pa onéquen : S M 4π D On peu mone que la ondiion de auge de Loenz e bien éifiée e-à-die que : di On peu alo en déduie la fomule de io e Saa donnan le hamp magnéique. On éalue : Soi : M o M o 4π S D 3

14 O : M o f gad f f o o D où la loi de io e Saa : M M 4π o M 4π D o M S S gad M S o S o M u S u S 4π M S S u D D dan le a d un iui filifome ae l epeion fomelle M C 4π i dl u d idl τ : ude d un eemple à yméie ylindique ; Déeminaion d un poeniel eeu : Un fil eiligne infini e modélié pa un ube de ouan d ae Oz e de ayon a paouu pa le ouan olumique unifome u z. On ouhaie déemine un poeniel eeu aoié au hamp magnéique éé pa le fil. De onidéaion de yméie e l appliaion du héoème d mpèe en égime pemanen ondui failemen à : L epeion : Si < a : Si > a : M 4π u θ a u D θ S mone que le poeniel eeu poède de popiéé de yméie emblable à elle du hamp éleique e un «ai» eeu. Pa onéquen le plan onenan le poin M e pependiulaie au fil éan un plan d aniyméie on peu éie que : M La elaion o appliquée ou fome inégale à un onou C u lequel appuie une ufae S éi :. dl C S u z. n ds ae ii M u z e M uθ. Le hoi du onou C e de la ufae S e péié u la figue uiane : 4

15 z u z u θ dz d u z C d u θ u z On aboui alo à : Pa inégaion on obien : d d dz dz dz d oi d Si < a : Si > a : 4 u a ln u Où e on de onane d inégaion. Pa oninuié du poeniel eeu une dioninuié du poeniel eeu enaîneai une aleu infinie pou le hamp magnéique e qui n e pa phyiquemen aepable.foe infinie énegie infinie!!! on oue en hoiian de plu d annule la aleu du poeniel eeu en a : Si < a : Si > a : a ue méhode : uilie un fomulaie dieemen! 4 z u a a ln u z z z Déeminaion d un poeniel eeu pou un olénoïde infini : On onidèe un olénoïde infini de eion iulaie de ayon R oniué de n pie oinie pa unié de longueu e paouu pa un ouan d inenié I. Le hamp magnéique éé pa e olénoïde e de la fome : Si < R : Si > R : ni u Le plan onenan l ae du olénoïde e le poin M éan un plan d aniyméie : M n penan omme onou un ele ené u l ae Oz e pependiulaie à e ae : On obien :. dl C S u θ z. n ds 5

16 Si < R : a ni uθ e Si > R : ni uθ On onae que le poeniel eeu e oninu à la aeée de la ufae R du olénoïde. 5 - Poeniel eadé : n égime dépendan du emp e pou une diibuion de hage e de ouan d eenion finie on peu mone que le oluion de équaion de Poion on : M 4π M 4π D D à pai dequelle on peu alule le hamp M pa : e ρ S S M gad M o Ce poeniel on appelé «poeniel eadé». Ce poeniel oeponden en effe au epeion de poeniel pemanen dan lequelle on emplae le denié de ouan e de hage à l inan pa leu aleu à de inan affeé de ead : Tou e pae omme i le poeniel e en M oepondaien à la upepoiion de ignau enoyé e M pa le diee oue S de la diibuion D e e popagean ou ae la même éléié. 6 ppoimaion de égime quai-aionnaie RQS : Naue de l appoimaion : Cee appoimaion onie à néglige le ead qui ineiennen dan le epeion de poeniel eadé e-à-die à uilie en égime non pemanen le poeniel inanané uian : ρ S M 4π D 4π M 4π D S 4π D D ρ S S 6

17 Cee appoimaion e uifiée i ou le ead on négligeable i-à-i d un emp T aaéiique de l éoluion de la diibuion de hage e de ouan. Si on uppoe ee éoluion péiodique T epéene alo la péiode. L RQS néglige le phénomène de popagaion. Si l on noe λ T la longueu d onde du phénomène dan le ide on a alo : λ << T oi << λ T ν ini l RQS déi onenablemen le hamp M d une diibuion D en de poin don le diane au élémen de D on faible dean la longueu d onde λ T. Quelque ode de gandeu : Pou le ouan induiel founi pa le eeu ν 5 Hz alo λ 6 km. L RQS e don alable lo de l éude du hamp magnéique d un olénoïde paouu pa un ouan alenaif. e ν MHz λ 3 m de elle oe que l RQS ee alable lo de l éude de iui éalié en TP u une able de dimenion de l ode du mèe. Dan le domaine de hypeféquene ν GHz oi λ 3 phénomène de popagaion iennen alo un ôle impoan. Le hapie uian inéeea à e phénomène de popagaion. m ν l RQS n e plu alable e le Déeminaion du hamp éleomagnéique dan le ade de l RQS : Dan le ade de l RQS on peu don alule le poeniel à l aide de même fomule qu en égime aionnaie alable à haque inan : e : ρ S M 4π D 4π M 4π D S 4π D D ρ S S L epeion du hamp M e dédui de e deu epeion gâe au elaion : o e gad On noe que la elaion ene e e la même qu en égime aionnaie puiqu elle ne fai pa ineeni de déiaion pa appo au emp mai eulemen de déiée d epae. Pa onéquen la loi de io e Saa ea enoe alable dan le ade de l RQS. n eanhe le hamp éleique hamp de Coulomb inanané du ype : gad ne idenifie pa même dan l RQS à un 7

18 n aion du eme d induion ρ S u 4π D hamp éleomoeu de Neumann. Loi d Ohm dan le ondueu ohmique dan le ade de l RQS : La loi d Ohm : pou un ondueu omme le uie pa eemple le emp de elaaion «duée» de olliion de poeu de hage e de l ode de τ 4. O on ai que dan un ondueu la loi d Ohm e aifaie i le emp aaéiique d éoluion du yème T éifie T >> τ. Dan le ade de l RQS ee ondiion ea bien éifiée. ini dan le ade de l RQS la loi d Ohm loale ea alable : σ σ gad Couan de déplaemen dan un ondueu ohmique : L équaion de Mawell-mpèe éi ompe enu de la loi d Ohm loale : o σ On noe T le emp d éoluion aaéiique de la diibuion D a péiode d éoluion. On peu ompae le ouan de onduion ae le ouan de déplaemen : σ σ σt T 7 8 Pou le uie de onduiié σ 6. Ω. m e appo e de l ode de T ae T en. ini même i T e de l ode de oi une féquene de GHz : σ Pa onéquen pou le égime d éoluion uifian l emploi de la loi d Ohm le ouan de déplaemen e au ein du ondueu ohmique négligeable dean le ouan de onduion. L équaion de Mawell-mpèe éi alo : o 8 σ Neualié éleique : On uppoe qu à l inan il eie en un poin M inéieu au ondueu une hage olumique ρ M. Commen aie dan le emp ee hage olumique? L équaion de Mawell-Gau la loi d Ohm loale e la oneaion de la hage éleique : 8

19 pemeen d éie : Pa inégaion : di ρ ; σ ; ρ di ρ ρ ρ σ di oi ρ σ σ M ρ M ep τ τ ae d d σ ρ 4 Pou le uie τ 4. : è apidemen le ondueu deien neue en olume : d ρ M ini omme en égime aionnaie le hage aumulen au oiinage immédia de la ufae d un ondueu d où l inéê de la noion de hage ufaique σ. quaion de Mawell dan un ondueu : Finalemen dan le ade de l RQS le hamp M éifie le équaion de Mawell «implifiée» uiane : di di o o σ ini dan un ondueu l RQS ne diffèe de égime aionnaie que pa la pie en ompe de phénomène d induion équaion de Mawell-Faaday. Puique ρ l équaion de oneaion de la hage éleique ondui à l inéieu du ondueu à : di Le flu du eeu ouan olumique e onee enaînan aini la alidié de la loi de banhe e de nœud dan le ade de l RQS. Remaque : Il ne fau pa onfonde ρ e ρ m : au ein du ondueu qui ee globalemen neue ρ ; pa one le poeu de hage don la épaiion de hage e ρ m onibuen au eeu denié de ouan elon la elaion ρ. m I Coninuié ou dioninuié paiale du hamp M : Le ableau uian peme de péie que le elaion de oninuié ou de dioninuié à la aeée de ufae hagée e paouue pa de ouan ufaique on liée au équaion de Mawell : 9

20 quaion de Mawell di quaion du flu magnéique o quaion de Mawell-Faaday di ρ quaion de Mawell-Gau o quaion de Mawell-mpèe Relaion de oninuié N N N Coninuié de la ompoane nomale du hamp magnéique T T T Coninuié de la ompoane angenielle du hamp éleique N σ n N N Dioninuié de la ompoane nomale du hamp éleique à la aeée d une ufae hagée. T n T T S Dioninuié de la ompoane angenielle du hamp magnéique à la aeée d une nappe de ouan. n egoupan le oodonnée nomale e angenielle on peu finalemen éie : σ n e S n Ce elaion de paage aaien éé obenue u quelque eemple en èe année. * emple de démonaion pou le hamp éleique : Coninuié de la ompoane angenielle du hamp éleique : On uilie la fome inégée de l équaion de Mawell-Faaday : CD. d pou le onou CD défini u la figue uiane : S. n ds n M y C M D Il ien :.. CD C C C D S CD. n ds

21 On noe C D ; le iulaion u le onou C C e C D on popoionnelle à on peu le éie ou la fome α e α. De même S CD. n ds C T D aini : Si l on fai ende e zéo on obien :. T ma α C α D La ompoane angenielle du hamp éleique e oninue à la aeée d une diibuion ufaique de hage. Dioninuié de la ompoane nomale du hamp éleique : On uilie la fome inégée de l équaion de Mawell-Gau : n. ds S pou la ufae S définie u la figue uiane : ρ n M M On a alo :. ds. ds. ufae laéale ds σ ds Un aionnemen imilaie à elui effeué au paagaphe pééden ondui à : Si l on fai ende e zéo on obien : n ds n ds ds ma n π n σ σ ds La ompoane nomale du hamp éleique e dioninue à la aeée d une diibuion ufaique de hage. Finalemen la elaion eoielle uiane éume le deu éula :

22 σ n * emple de démonaion pou le hamp magnéique : lle on baée u le même aionnemen e onduien à : n S II Denié olumique d énegie éleomagnéique eeu de Poyning équaion loale de oneaion de l énegie : Puiane olumique édée pa le hamp M à la maièe : Un hamp M a ineagi ae de paiule hagée e leu founi de l énegie. n effe une hage q e oumie de la pa de e hamp M à la foe de Loenz don la puiane éi : P L q. q. n noan n le nombe de poeu de hage pa unié de olume la puiane olumique édée pa le hamp M à la maièe éi don : p L dp L nq. d τ Remaque : la puiane eçue pa le hamp M de la pa de poeu de hage e pl peme de faie l analogie ae p S puiane olumique eçue pa un milieu ondueu de la haleu de la pa de oue de haleu.. - quaion loale de oneaion de l énegie : Rappel équaion de oneaion de l énegie lo de phénomène onduif que l on peu démone ii dieemen à 3D oi ou u le anfe hemique : u M di h p M u énegie inene olumique T M ou ρ di h p M On onidèe un olume délimié pa une ufae femée S fie dan le éféeniel d éude. L énegie inene oale U ompie dan le olume à l inan au : U u u : énegie inene olumique ds n olume u h La oneaion de l énegie inene peme d éie :

23 Le olume éan fie : du d du d h. n ds S d d u M n uilian le héoème de Geen-Oogadky il ien : p M u M τ d di h p Ce éula éan ai pou ou olume il ien : u M di h u M p M Cee équaion aai éé démoné dan le a à une dimenion. M Pa analogie ae le équaion de oneaion hage mae diffuion haleu on ouhaie obeni une équaion du ype : e em di Π. où e em déigne l énegie éleomagnéique olumique onenue dan le hamp M e Π un eeu appelé eeu de Poyning ené donne le en de éhange d énegie M noammen pa le alul de on flu à ae une ufae. On onidèe un olume délimié pa une ufae femée S fie dan le éféeniel d éude. L énegie M oale m ompie dan le olume à l inan au : e e em : énegie M olumique n Π m em ds e em olume La oneaion de l énegie M peme d éie : Le olume éan fie : d d m d d d d m e em Π. n ds S M n uilian le héoème de Geen-Oogadky il ien : e em. e em M M Π di. 3

24 4 Ce éula éan ai pou ou olume il ien : di M e em w. Π C e l équaion loale de oneaion de l énegie M. lle e emblable à l équaion de oneaion de la hage éleique dan e a il n y a pa de eme de éaion de hage éleique e à elle de oneaion de la maièe en diffuion ae ii un eme de oue : D m di M n e di M σ ρ Cee équaion loale de oneaion de l énegie M e déemine à pai de équaion de Mawell. Le alul uian n e pa au pogamme de PC* : On epime le podui. en uilian l équaion de Mawell-mpèe : o o o.... n éian que : o o o di.... Soi :. di o Il ien : di. Soi : di. Ou enoe :. di On e aini amené à poe : Denié olumique d énegie éleomagnéique : e em eeu de Poyning : Π

25 Cee équaion e ééi alo : e em e oepond bien alo à un bilan d énegie M. di Π. Un bilan maoopique de oneaion de l énegie M e : Ou : eem. n ds. Π S S. n ds. Remaque : iee de popagaion de l énegie Pa analogie ae l équaion de oneaion de la hage on peu défini la iee de popagaion de l énegie noée u pa la elaion : Π u e em 3 ilan énegéique pou un fil ondueu ohmique : On onidèe un fil ondueu ohmique de onduiié γ aimilé à un ylinde d ae Oz e de ayon a oumi au hamp éleique unifome e pemanen à l inéieu e à l eéieu du fil : Le fil e alo paouu pa de ouan de denié u z u z γ u z unifome. u Le hamp magnéique éé pa ee diibuion e de la fome θ e e alule en éian le héoème d mpèe. On obien en noan I πa le ouan oal qui aee une eion anee du fil : Pou < a : Pou > a : Le eeu de Poyning au : Pou < a : I π a u I u π Π θ θ 5

26 Pou > a : I Π π a I Π π On appelle l epeion généale de oneaion de l énegie M : Dan e a paiulie égime pemanen : eem. n ds. Π S S u u Π. n ds. γ Phyiquemen la puiane diipée pa effe Joule e éauée en deho du olume en égime aionnaie. On alule le flu oan du eeu de Poyning à ae un ylinde d ae Oz e de ayon. Loque < a : Loque > a : I Φ π h h πa γ π I Φ πa h a h πa γ π On eonnaî bien dan le deu a la puiane abobée pa effe Joule dan le ylinde de ayon onidéé e on éifie bien l équaion de oneaion péédene. III ffe de peau dan un ondueu ohmique : Longueu de pénéaion dan un méal : Un hamp M pénèe dan un méal bon ondueu de onduiié σ. Pa aion du hamp éleique le éleon du méal on aéléé e founien une paie de leu énegie inéique pa ho ae le ion poiif du éeau méallique. L énegie de l onde e diipée pa effe Joule e qui aue l amoiemen de l onde. On hehe à alule la diane aaéiique d amoiemen ou pofondeu de pénéaion. Pou ela on onidèe un méal de onduiié σ pou lequel on hehe une oluion de équaion de Mawell oepondan à de hamp inuoïdau de pulaion ω. On ai que dan un méal le ouan de déplaemen e négligeable dean le ouan de onduion σ. De façon plu péie on hehe pou le hamp éleique une epeion de la fome : f ep i k ω u z 6

27 où u z déigne le eeu uniaie de l'ae Oz paallèle à la ufae du méal e f une fonion de la pofondeu à l'inéieu du méal que l'on a déemine. O Méal z u z k k u On peu à pai de l'epeion du hamp déemine le hamp magnéique. n effe l équaion de Mawell-Faaday peme de déemine : Soi : y i f e z D où l epeion du hamp : k ω ω iω o i k ω d où f e u iω ω i k kf if ' e u y On éifie aiémen que e deu hamp éifien le équaion de Mawell-Flu e de Mawell- Gau : di e di L équaion de Mawell-mpèe en négligean le ouan de déplaemen éi : On en dédui l équaion : Soi : o σ σ i kω i kω kf ' if " ik f kf ' e σ f e ω On en dédui deu équaion difféenielle : qui inègen en : kf ' i f " k f σωf kf ' σω f e f " k f y 7

28 f σω k e e f e Pou la deuième oluion on a éliminé la oluion en eponenielle oiane. Pa idenifiaion on dédui : σω k k δ k oi σω δ e la longueu de pénéaion dan le méal. Pou le uie σ Ω -.m on alule δ pou difféene féquene : Féquene k Longueu de pénéaion 5 Hz 3 mm 5 MHz 3 m 5 THz 3 nm Loque la pulaion augmene la pofondeu de pénéaion diminue omme l inee de la aine aée de la pulaion. Pou un méal pafai la onduiié e infinie e la pofondeu de pénéaion deien nulle : une onde M ne peu pénée dan un méal pafai elle y éfléhi. Remaque : i au lieu d impoe une onde M inidene on impoe le ouan dan le ondueu e denie ée un hamp M à l inéieu e à l eéieu du ondueu ; le poblème e égi pa le même équaion e le même ondiion au limie e qui ondui au même éula pou l effe de peau. Le éula obenu een alable pou une géoméie ylindique ; aini un âble ylindique homogène de eion doie iulaie ne peu êe paouu pa de ouan que dan un zone ylindique upefiielle d épaieu quelque δ. Il ne e à ien pou anpoe un ouan éleique inuoïdal d uilie un âble en uie de ayon neemen upéieu à δ. Peion de adiaion : La peion de adiaion e une manifeaion de la quanié de mouemen anpoée pa le hamp éleomagnéique. Le éleon du méal mi en mouemen pa le hamp éleique diigé elon Oz on oumi au foe de Loenz olumique de la fome : 3 d f ρ Dan l RQS ρ. Pa ailleu σ u z e u y pa onéquen 3 3 d f d f u : le foe de Loenz on pependiulaie à la ufae du méal. lle peuen éie pou une anhe d épaieu d e de ufae anee ds : 3 d f ds d u 8

29 ide O z méal d df df u z a On déigne pa a la longueu de la «ouhe de paage» qui éend du ide à la égion du méal où le hamp on nul a e de l ode de gandeu de quelque δ. La foe globale qui eee u le olume ads du méal e alo : d f a d ds u L équaion de Mawell-mpèe donne en négligean le ouan de déplaemen : D où : Finalemen : o u d f oi z u z a. d ds u d f ds u où déigne le hamp magnéique à la ufae du méal. On défini alo la peion de adiaion P ou la fome : e : O f ' kf il ien : d f P ds ω iω kf if ' e kf ω iω i e On eonnaî f l ampliude du hamp éleique de l onde inidene en. n noaion éelle : e : a ds u π σδ π k o ω o ω ω 4 4 9

30 δ k La peion de adiaion au aini : σω σ δ π P o ω 4 4 Sa aleu moyenne empoelle éan : P σ δ 8 3

31 Le yméie en M 3

32 3

33 33

34 34

35 35