Corrigé du devoir surveillé de Mathématiques

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1 Corrigé du devoir surveillé de Mahémaiques Eercice Soien a e b deu réels avec < a < b.. La foncion h : e a e b es coninue e posiive sur ], + [ a < b e a > e b. Au voisinage de, on a : h e a e b Ce calcul prouve que lim h b a. a + o b + o La foncion h se prolonge par coninuié en donc Pour, on rouve : Puisque e a e b e a d converge, alors par comparaison L'inégrale b a + o e a e b d converge. e a e a e a e b d converge. e a e b d converge. b a + o. Soi, y R el que < < y. On a : On eecue ensuie un changemen de variable dans chacune des inégrales u a dans la première e u b dans la seconde. Ceci donne : e a e b d e a e b d d La relaion de Chasles donne : e a e b d e a e b d [ b a ay a ay a du u/a a u du by b by b du u/b b u du ] [ ay u du + ay b u du ] by b u du ay u du Il rese à simplier : e a e b d b e a by e d d. ay 3. Soi z >. Pour [az, bz], on a : E par croissance de l'inégrale, on rouve : e bz e e az e bz bz az d bz e az d e az bz az d avec bz az d lnbz lnaz ln b, on aboui à : a e bz ln b a bz az e d e az ln b a.

2 4. D'après les quesions e 3, on a pour, y ], + [ < y : e b ln b a e ay ln b a e a e b d Ces inégaliés se conserven lorsque y +, donc : b e a by e d d e a ln b ay a e by ln b a ], + [, e b ln b a e a e b d e a ln b a Enn, le héorème des gendarmes auorise à conclure puisque lim e b ln b a lim e a ln b a ln b a e a e b d ln b a. On noera que les passages à la limie lorsque y + e se fon l'un après l'aure e non simulanémen. [] Eercice Parie I : Calcul de ζ.. Les calculs de I, I e J ne posen pas de problème : I π/ d π ; I π/ cos d [sin ] π/ ; J π/ [ 3 d 3 ] π/ π3 4 Pour J, on procède à l'aide d'une inégraion par paries, avec u e v cos u v sin : π/ cos d [ sin ] π/ puis à l'aide d'une seconde avec u e v sin u v cos J π 4 [ cos ] π/ + π/ cos d : π/ π 4 sin d [sin ]π/ π 4 En résumé : I π ; I ; J π3 4 ; J π 4.. La foncion cos n éan pour ou enier n coninue, posiive, e non nulle sur [ ] π/, π, on a cos n d >, e donc : n N, I n >. 3. Soi n N. On fai une inégraion par paries appliquée à I n avec : u cos n+ e v cos u n + sin cos n v sin ce qui donne : I n+ [ sin cos n+ ] π/ + n + π/ sin cos n d

3 En uilisan la relaion cos + sin, on en dédui : I n+ n + π/ cos cos n d n + I n n + I n+ Ce qui donne nalemen en regroupan n + I n+ n + I n, soi : I n+ n + n + I n. 4. a Pour [, π/], on pose h π sin, e on calcule : h π cos e h π sin < ], π La foncion h es donc sricemen décroissane sur [ ], π, e comme h π > e h π/ <, elle s'annule une fois sur ce inervalle en α arccos π. On a en résumé : h, h croissane sur [, α] donc h sur ce inervalle. h décroissane sur [α, π/] e hπ/ donc h sur ce inervalle. La foncion h es donc posiive sur [, π/], donc si es sur ce inervalle on a π sin, e l'aure inégalié éan riviale, on a : Si [, π [, π/], π sin. ], on en dédui π 4 sin π 4 cos, e en muliplian par cos n : cos n π 4 cosn cos n+ Ces inégaliés son conservées par passage à l'inégrale enre e π/ : π/ cos n π/ Par linéarié de l'inégrale du membre de droie, on rerouve : J n π 4 I n I n+. π 4 cosn cos n+ b Comme I n > d'après la quesion, l'inégalié qui précède perme d'écrire : J n π I n+ I n 4 I n Avec la relaion de la quesion 3, on a : J n π I n 4 n + π n + 4 n + Comme π 4 n +, on conclu avec le héorème des gendarmes : n + I n lim n + J n 5. On veu mainenan eprimer I n+ en foncion de J n e J n+. Pour cela, on va procéder à l'aide d'une inégraion par paries avec : u cos n+ e v u n + sin cos n+ v ce qui donne : I n+ π/ cos n+ d [ cos n+ ] π/ + n + π/ ] sin cos n+ d

4 Le premier membre enre croches éan nul, on refai une inégraion par paries avec : e on obien : I n+ n + n + [ u sin cos n+ e v u cos n+ n + sin cos n v sin cosn+ J n+ + n + ] π/ π/ π/ cos n+ d + n + cos cos n d Cee dernière inégrale peu s'eprimer en foncion de J n e J n+ ce qui donne : I n+ n + n + J n+ + n + n + Jn n + J n+ on peu nalemen mere cee epression sous la forme annoncée : J n J n+ π/ sin cos n d I n+ n + n + J n n + J n+. En divisan le résula par I n, on écri ensuie en uilisan deu fois le résula de la quesion 3 : I n+ I n n + n + n + n + n + n + J n n + J n+ I n I n n + n + J n n + n + J n+ I n n + I n+ n + n + Jn J n+ I n I n+ Il rese à diviser l'égalié obenue par n + n + pour obenir le résula : J n J n+ I n I n+ n En posan n k dans l'inégalié précédene, on a : J k J k+ I k I k+ k + k +. On peu alors eecuer la somme, pour k varian de à n e consaer un élescopage : n k Jk J k+ J J n n I k I k+ I I n k k + n k k S n On sai d'après la quesion 4b que héorie des séries e : ζ On a donc bien prouvé le résula : J n lim, donc S n n N converge ce qu'on sai de oues façons avec la n + I n lim S n lim J J n J π n + n + I I n I 6 ζ π 6

5 Parie II : Une applicaion.. La foncion ln es coninue e posiive sur ], [. ln Au voisinage de, on a : ln. / / ln Or ln d converge, donc d converge. Au voisinage de, on a : ln ln +. ln Ainsi lim lim. La foncion se prolonge par coninuié en, donc En résumé :. Il fau disinguer deu cas : Pour k, on sai que I / ln d eise. ln d converge. lnd converge e vau. Pour k, la foncion k ln es coninue sur ], ] e se prolonge par coninuié en puisque d'après le héorème des croissances comparées : lim k ln. Donc I k eise pour k, e pour le calcul qui rese valable aussi pour k on peu eecuer l'inégraion par paries qui sui : u ln e v k valable car uv lnk+ k + 3. Par linéarié de l'inégrale, on a : n I k k On reconnaî l'écriure qui sui : u v k+ k +. Ce qui donne : [ ] ln k+ I k k d k + k + [ ] k+ k + k + k + n k k, k lnd n+ I k k + lnd n I k k 4. lim ln par croissances comparées donc : [ n ] k ln d k lnd n+ ln d I ln lim. ln ln On a vu de plus, à la quesion, que lim, donc : lim. On en dédui que la foncion ln n+ lnd se prolonge en une foncion coninue h sur le segmen [, ]. Comme il

6 s'agi d'une foncion coninue sur un segmen, le prolongemen h es borné e aein ses bornes, auremen di : En pariculier, comme h ln M >, [, ], pour ], [ : M >, ], [, h M ln M 5. On peu uiliser le résula qui précède de la manière suivane : n+ ln d n+ ln d ln n d De plus [ M M n n+ d n + Or on sai d'après les quesions e 3 que : I ] M n d M n +. D'après le héorème d'encadremen : n + n+ ln n+ ln lim n + d n d I k k Donc par passage à la limie lorsque n end vers + : I + k + k + k On conclu immédiaemen à l'aide du résula de la parie I : I π 6 n+ n ln d + k + k k PROBLEME Parie I : Éude d'une foncion dénie par une inégrale. Soi >. La foncion e + On sai que e d converge, donc es coninue e posiive sur [, + [, e pour : e e e + e d converge. + e d converge. + On noe f :], + [ R l'applicaion dénie, pour ou ], + [, par : f. Soi >. La foncion e + e + d. es posiive sur ], + [, donc d'après la relaion de Chasles : f e + d + e + d }{{} e + d

7 De plus, pour [, ], on a e e e + +, donc ], + [, f e d + Enn + d [ e ln + ] e ln + ln On conclu avec le héorème d'encadremen : 3. Soi >, on a d'aure par : f + + e + d : e + d + +. [, + [, e e + e par passage à l'inégrale enre e + : e e [ e f d + d ] + Comme ], + [, f lim, on conclu, oujours avec le héorème d'encadremen : + f + 4. La foncion e es coninue e posiive sur ], + [, e on a au voisinage de + : En ee, e 3 e Comme A d e par croissances comparées, e donc : + converge, on en dédui que A >, A, e i.e e. A e d converge, d'où : e d converge. Soi > : f e + d + e + d e d e + e + d + e + d Or e + d + e + d e e d d, ainsi : + ], + [, f e d. On en dédui que f o car : f Donc f + o e on en dédui : f +. e d +.

8 Parie II : Une aure epression inégrale de f. A - Dérivabilié e epression de la dérivée de f sous forme d'une inégrale 5. Soi, h ], + [ R el que h. a Soi >. La foncion On sai que b Soi [, + [ : h e es coninue e posiive sur [, + [, e pour : + e d converge, donc + h e e + e + e d converge. + e d converge. + Or + e + h + + h, d'où : + + h + h + h h h + + h + + h + h + + [, + [, h + h h 3. c Pour ], + [, on a donc : h 3 h + h h + 3 d'où : ce qui enraîne, par croissance de l'inégrale : h 3 e comme c'es à dire : h e d h h 3 e e h + h + e + e h e e d, on a : e + h + d e + d + e + h + d e + d e + + d f + h f h + h 6. On consae que lim, ainsi par le héorème d'encadremen : h 3 ce qui prouve que : e + d h 3. f + h f + e lim h h + d e h d + 3 h 3 e d e d

9 f es dérivable sur ], + [ e : ], + [, f e + d. 7. Soi ], + [ e ε, A ], ] [, + [. On eecue l'inégraion par paries suivane : e on obien : A ε u e e v + u e v + e + d [ e + Ainsi, pour ou ], + [ e ou ε, A ], ] [, + [ : A ε ] A ε A e ε + d e A e A d + + A + e ε + ε e ε + d. 8. En eecuan la limie lorsque A end vers +, on a pour ou ε ], ] : e e ε d ε + + ε e ε + d. puis en eecuan la limie lorsque ε end vers : c'es à dire : En résumé : e + d f f e + d ], + [, f + f. 9. D'après l'epression rouvée, f es dérivable sur ], + [ comme somme de foncions dérivables e : ], + [, f d [ ] d + f + f B - De plus, f es dérivable donc coninue sur ], + [, f es coninue comme somme de foncions coninues sur ], + [. Résumons : f es de classe C sur ], + [ e pour ], + [, f + f. Inervenion d'une foncion auiliaire g On noe g :], + [ R l'applicaion dénie, pour ou >, par : g e f.. g es dérivable sur ], + [ comme produi de foncions dérivables e pour ], + [ : g e f + e f e [ f f ] On en dédui, grâce au résula de la quesion 8, que : ], + [, g e.. Soi >. La foncion u e u u es coninue e posiive sur [, + [ e pour u, on a : Comme e u u e u du converge, alors par le principe de majoraion :

10 Pour ou ], + [, l'inégrale du converge. u Remarquons d'aure par, d'après la relaion de Chasles, que : u du u du u du La première inégrale ne dépend pas de donc sa dérivée es nulle e la seconde a pour dérivée e héorème fondamenal de l'analyse. On a donc, d'après la quesion : d + d u du e g d'après le Ainsi : ], + [, g du + K. u Or on sai d'après I.3 que f a une limie nulle en +, donc c'es aussi clairemen le cas pour g, ce qui donne K. En résumé : ], + [, g u du. e comme f e g, on a immédiaemen :. Enn, on a vu à la parie I que f +, d'où : ], + [, f e u du. c'es à dire : g e f e + u du e +. []

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