Série Mathématiques. Annales scientifiques de l Université de Clermont-Ferrand 2, tome 71, série Mathématiques, n o 20 (1982), p.
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- Thibault Villeneuve
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1 ANNALES SCIENTIFIQUES DE L UNIVERSITÉ DE CLERMONT-FERRAND Série Mathématiques B. MAISONNEUVE Sur les chaos de Wieer Aales scietifiques de l Uiversité de Clermot-Ferrad, tome 71, série Mathématiques, o 0 (198), p < 71_0_108_0> Uiversité de Clermot-Ferrad, 198, tous droits réservés. L accès aux archives de la revue «Aales scietifiques de l Uiversité de Clermot- Ferrad» implique l accord avec les coditios géérales d utilisatio ( umdam.org/legal.php). Toute utilisatio commerciale ou impressio systématique est costitutive d ue ifractio péale. Toute copie ou impressio de ce fichier doit coteir la présete metio de copyright. Article umérisé das le cadre du programme Numérisatio de documets acies mathématiques
2 108 SUR LES CHAOS DE WIENER B. MAISONNEUVE Uiversité des Scieces Sociales de GRENOBLE Cet exposé est puremet pédagogique. Il s agit de préseter de maière simple les chaos de Wieer d u espace gaussie. Tout repose sur le choix d ue défiitio commode et qui, à ma coaissace, a pas été utilisée das la littérature. Soit G u espace gaussie réel défii sur u espace probabilisé (Q,3,P) ; G.est doc u sous-espace vectoriel de L(0,:1,p) costitué de v.a. réelles gaussiee s, que ous supposeros de plus cetrées. DEFINITION. - Pour tout E IN le ème chaos de Wieer K associé à G est le sous-espace vectoriel fermé de egedré par le système Les polyômes d Hermite h sot défiis par et désige la orme de X das L,. THEOREME 1. L (Wieer). - Soit Q la tribu egedrée par G. L espace admet la décompositio orthogoale Démostratio. - 1 K est total das L (Q). E effet, das L pour tout X E G et l esemble
3 . ) 109 exp G est total das ( si Y6L(Q) est orthogoal à expg, o a ), i X.) 1 0 pour toutes suites fiies (X 1,... X) (l1,... l il i i 1 1 de G et IR respectivemet ; doc Y.P - 0 sur U{F(F) : F partie fiie de G } et par suite Y.P 0 sur? (G), i. e. Y 0 ). Le s K sot deux à deux orthogoaux à cause du lemme suivat : Démostratio. - Pour tous X, g e IR, la variable Z XX est gaussiee cetrée, doc E(exp Z--E(Z )) E(y) 1) (E (X) 1,@ ce qui s écrit aussi d où le résultat. Remarque.s. 1. La coditio ~X)) e effet, h(x) e peut être orthogoal à Ko 0. 1 das la défiitio des K est idispesable ; (costates) que si. Il résulte du théorème 1 que si (KI) est ue suite de parties deux à deux disjoites de L ( Ci) et si K c K pour tout, alors K K. Examios par exemple le cas où stadard (B t>01 et posos G est egedré par pour tout u mouvemet browie où Le s K sot deux à deux orthogoaux ; de plu s, c K Y, car u élémet X de G s écrit 1 00 f (s)dbs(f E dt et si IIXII 1 o a Os ( E L (R+, dt)) et)), si llxll h (3Q, h f, (appliquer r à la martigale M Mt f t 0 f (s)dbs la formule suivate, t,..., llfll L (R+) 1, o a o f ( s) db s la fo rmule suivate,
4 110 qui résulte de la formule d Itô : M - où M() (M) h D après la remarque faite ci-dessus, tout. pour THEOREME. - Soit {Gi, iei} ue famille de sous-espaces vectoriels de G tels que G 0 G. Alors, pour tout 6IN ie I Remarque 3. Ce théorème motre e particulier que si (Xi, iei} est ue base orthoormée de G o a de sorte que K est bie le ème chaos de Wieer tel qu il était origiellemet défii. Comme otre défiitio de K e fait pas iterveir de base, o retrouve le fait bie cou que le secod membre de (4) e déped pas de la base choisie. Démostratio. - Notos K le secod membre de (3). D après la re marque ) tout reviet à motrer que : a) le s K sot deux à deux orthogoaux, b) K c K pour tout. Pour tout i E I soiet X., Y. E tels que sot tels que a1 oo,eb,oo o a i i i i i i i i 1. ; a,s E 1NI (idépedace de s G1 ) (lemme 1), d où le poit (a). D autre part, si le s X. 1 sot comme précédemmet et si B est ue applicatio Pp à à support Pp fii de 1 das 1R telle que S k 1, o a d après o a d après p la formule (1) a iei
5 111 d où le poit (b), puisque l esemble des h précédetes est géérateur de K. (t ÀiXi) correspodat aux coditios Pour fiir, disos quelques mots au sujet des espaces de Fock, dot D.W. Stroock a doé de belles applicatios das so cours de l Ecole d Eté de Sait-Flour Soit 1 u esemble quelcoque o vide ; ous oteros F l espace L associé à l espace probabilisé,n(0,1)). Le processus des coordoées fx,, i6l) défii sur cet espace IRI est gaussie et le théorème 1 i Co - motre où FI. E.V.{h (E03BBiXi) : E039B 1}. 1 il, i 1 i 1 Reveos à otre expace gaussie G et supposos qu il admette la famille (X.,!EI3 comme base orthoormée. i THEOREME 3. - L applicatio A de FI das L(q) défiie par Af f([x., i61)) réalise ue isométrie de K- sur K pour tout 1 I,, doc aussi ue isométrie de FI sur L(Q) - Démostratio. - O a K E.V. th x X.) : 1) et i i i 1 1 A(f( {(x.,iei})) f((x., IEII) pour tout f E i i FI. i KI,, I, 1 1 loi. K résulte de ce que les processus [xi L isométrie au iveau des chaos 1 iei] et (X., i61) ot même
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