[ édité le 10 juillet 2014 Enoncés 1
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- Sylvie Grondin
- il y a 6 ans
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1 [ édité le 10 juillet 2014 Eocés 1 Trace Exercice 1 [ ] [correctio] Existe-t-il des matrices A, B M (K) vérifiat AB BA = I? Exercice 7 [ ] [correctio] O ote tr la forme liéaire trace sur E = M (K). Etablir ker(tr) = Vect {[A, B] /A, B E} où l o ote [A, B] = AB BA. Exercice 2 [ ] [correctio] Soiet A, B M (K) des matrices vérifiat Exercice 8 [ ] [correctio] Etablir ue Vect {AB BA/A, B M (R)} est u hyperpla de M (R). Calculer tr (A p ) pour p N. AB BA = A Exercice 9 [ ] [correctio] Soit A M (R). Résoudre l éuatio Exercice 3 [ ] [correctio] Soiet E u K-espace vectoriel de dimesio fiie et f L(E) de rag 1. Motrer f 2 = tr(f).f A uelle coditio u edomorphisme de rag 1 est-il u projecteur? Exercice 4 [ ] [correctio] Soiet A M (R) et ϕ l edomorphisme de M (R) défii par ϕ(m) = MA Exprimer la trace de ϕ e foctio de celle de A. Exercice 5 [ ] [correctio] Soit M ue matrice carrée de taille à coefficiets das K sous-corps de C. Motrer ue si trm = 0, il existe deux matrices A et B telles ue M = AB BA d icoue X M (R). X + t X = tr(x)a Exercice 10 [ ] [correctio] a) Das u espace de dimesio fiie, pouruoi le rag d u projecteur est-il égal à sa trace? b) Soit A M (K) vérifiat A = I. Motrer dim ker(a I ) = 1 1 tr(a k ) Exercice 11 [ ] [correctio] Soiet E u espace vectoriel de dimesio fiie et G u sous-groupe de GL(E) de cardial fii. Motrer dim ker(g Id E ) = 1 trg Exercice 6 [ ] [correctio] Soit ϕ ue forme liéaire sur M (K). Motrer u il existe A M (K) tel ue pour tout M M (K), ϕ(m) = tr(am). Exercice 12 [ ] [correctio] Soit K u corps de caractéristiue ulle et H ue partie o vide et fiie de GL (K) stable par multiplicatio. a) Soit M H. Motrer ue k N M k H est pas ijective. Diffusio autorisée à titre etièremet gratuit uiuemet - dd
2 [ édité le 10 juillet 2014 Eocés 2 E déduire ue H est u sous-groupe de GL (K). Soiet = H et P = 1 M b) Motrer, si M H, ue MP = P M = P. E déduire P 2 = P. c) Trouver u supplémetaire, das M,1 (K), stable par tous les élémets de H, de ker(m I ) d) Motrer ue Que dire si cette somme est ulle? trm N Exercice 16 [ ] [correctio] a) Soit f ue forme liéaire sur M (R) vérifiat A, B M (R), f(ab) = f(ba) motrer ue f est proportioelle à la trace. b) Soit g u edomorphisme de l espace vectoriel M (R) vérifiat g(ab) = g(ba) pour toutes A, B M (R) et g(i ) = I. Motrer ue g coserve la trace. Exercice 17 [ ] [correctio] Soit A M (R). Calculer la trace de l edomorphisme f M (R) doé par f(m) = AM + MA Exercice 13 [ ] [correctio] a) Soit G u sous-groupe de GL (R) tel ue trg = 0. Motrer ue g = 0. b) Soit G u sous-groupe fii de GL (R), V u sous-espace vectoriel de R stable par les élémets de G. Motrer u il existe u supplémetaire de V das R stable par tous les élémets de G. Exercice 14 [ ] [correctio] Soit T ue forme liéaire sur M (K) vérifiat Etablir ue T Vect {tr}. A, B M (K), T (AB) = T (BA) Exercice 18 [ ] [correctio] Pour A et B fixées das M (R), résoudre das M (R) l éuatio X = tr(x)a + B Exercice 19 [ ] [correctio] Soit E u R-espace vectoriel de dimesio fiie > 1. Motrer ue f L(E) de rag 1 est pas forcémet u projecteur. Motrer ue f L(E) de rag 1 et de trace 1 est u projecteur. Trouver ue base de L(E) costituée de projecteurs. Exercice 20 [ ] [correctio] Soiet A 1,..., A k M (R) vérifiat Exercice 15 [ ] [correctio] Soit f ue forme liéaire sur M (R) vérifiat A, B M (R), f(ab) = f(ba) Motrer ue f est proportioelle à la trace. Motrer A A k = I et 1 i k, A 2 i = A i 1 i j k, A i A j = O Diffusio autorisée à titre etièremet gratuit uiuemet - dd
3 [ édité le 10 juillet 2014 Correctios 3 Correctios Exercice 1 : [éocé] De telles matrices existet pas car et doc tr(ab) = tr(ba) tr(ab BA) = 0 tr(i ) Exercice 2 : [éocé] O a tra = tr (AB BA) = tr (AB) tr (BA) = 0 car tr(ab) = tr(ba). Gééralisos ce calcul Or doc tr (A p ) = tr ( A p 1 (AB BA) ) = tr (A p B) tr ( A p 1 BA ) tr ( A p 1 BA ) = tr ( (A p 1 B)A ) = tr ( A(A p 1 B) ) = tr (A p B) tr (A p ) = 0 Exercice 3 : [éocé] I) Soit (e 1,..., e ) ue base de E avec e 1,..., e 1 ker f et e Imf. O a f(e ) Imf = Vect(e ) doc il existe λ K tel ue f(e ) = λe et doc f 2 (e ) = λf(e ). Cette relatio vaut aussi pour les vecteurs e 1,..., e 1 et doc par coïcidece de deux applicatios liéaires sur les vecteurs d ue base o peut affirmer ue f 2 = λf. De plus, la matrice de f das la base (e 1,..., e ) doe λ = trf. Aisi, pour f de rag 1, f est u projecteur si, et seulemet si, trf = 1. Exercice 4 : [éocé] Calculos les coefficiets diagoaux de la représetatio matricielle de ϕ das la base caoiue formée des matrices élémetaires E i,j. O a ϕ(e i,j ) = E i,j A. Or A = a k,l E k,l doc ϕ(e i,j ) = a j,l E i,l car E i,j E k,l = δ j,k E i,l. k=1 l=1 l=1 La composat de ϕ(e i,j ) selo E i,j vaut a j,j. Par suite la trace de ϕ vaut a j,j = tra. j=1 Exercice 5 : [éocé] Supposos ue M soit semblable à ue matrice M via ue matrice iversible P i.e. M = P 1 MP Si o peut écrire M = A B B A alors M = AB BA avec A = P A P 1 et B = P B P 1. O peut aisi trasformer la matrice M e ue matrice semblable sas chager la problématiue. Etablissos maiteat le résultat demadé e raisoat par récurrece sur la taille de la matrice M. Si M est taille 1 : ok Supposos la propriété établie au rag N. Soit M ue matrice carrée d ordre + 1 de trace ulle. Motros ue M est semblable à ue matrice de la forme ( ) 0 Si M est matrice d ue homothétie alors trm = 0 permet de coclure M = O. Sio, il existe des vecteurs ui e sot pas vecteurs propres de l edomorphisme associé à M. Soit x, u tel vecteur. E itroduisat ue base dot x et f(x) sot les deux premiers vecteurs, o obtiet ue la matrice M est semblable à celle voulue. Compte teu de la remarue prélimiaire, o suppose désormais ue la matrice M est de la forme ( ) 0 L C M avec trm = 0. Par l hypothèse de récurrece o peut écrire M = A B B A Soit λ K ui est par valeur propre de la matrice B. E posat ( ) 1 L(B A = λi) 1 (λi B ) 1 C A et o obtiet Récurrece établie. B = ( λ 0 0 B ) M = AB BA Diffusio autorisée à titre etièremet gratuit uiuemet - dd
4 [ édité le 10 juillet 2014 Correctios 4 Exercice 6 : [éocé] Posos a j,i = ϕ(e i,j ). ϕ(m) = 1 i,j a j,i m i,j = tr(am) avec A = (a i,j ). Exercice 7 : [éocé] Puisue tr(ab) = tr(ba), o a tr [A, B] = 0. ker(tr) est doc u sous-espace vectoriel coteat {[A, B] /A, B E} doc Vect {[A, B] /A, B E} ker(tr) De plus, tr état ue forme liéaire o ulle, ker(tr) est u hyperpla. Motros u il e e est de même de Vect {[A, B] /A, B E}. Pour i j, E i,j = [E i,i, E i,j ] et pour i, E i,i E, = [E i,, E,i ]. Par suite Vect {[A, B] /A, B E} cotiet la famille libre à 2 1 élémets formée par les E i,j, i j et les E i,i E,, i. Il e découle ue Vect {[A, B] /A, B E} est de dimesio supérieure ou égale à 2 1. Par iclusio et u argumet de dimesio, o peut coclure ker(tr) = Vect {[A, B] /A, B E} Exercice 8 : [éocé] Notos ue Vect {AB BA/A, B M (R)} est iclus das l hyperpla des matrices de trace ulle. Par suite dim Vect {AB BA/A, B M (R)} 2 1. Pour A = E i,j et B = E j,j (avec i j) : AB BA = E i,j. Pour A = E i, et B = E,i : AB BA = E i,i E, = F i. La famille formée des E i,j et des F i est libre et costituée de 2 1 élémets. Par suite dim Vect {AB BA/A, B M (R)} 2 1. Fialemet dim Vect {AB BA/A, B M (R)} = 2 1. Exercice 9 : [éocé] Soit X solutio. La matrice X + t X est symétriue. Cas A est pas symétriue : Nécessairemet tr(x) = 0 et l éuatio étudiée deviet X + t X = 0 dot les solutios sot les matrices atisymétriues. Iversemet, ces derières sot solutios de l éuatio iitiale. Cas A est symétriue. E passat à la trace l éuatio étudiée, o obtiet 2tr(X) = tr(x)tr(a). Si tr(a) 2 alors o obtiet à ouveau tr(x) = 0 et o coclut ue X est atisymétriue. Si tr(a) = 2 alors Y = X 1 2 tr(x)a vérifie Y + t Y = X + t X tr(x)a = 0 doc Y est atisymétriue puis la matrice X est de la forme λa + Y avec Y atisymétriue. Iversemet, ue telle matrice est solutio. Pour résumer : Si A / S (R) ou tr(a) 2 alors S = A (R). Si A S (R) et tr(a) = 2 alors S = Vect(A) A (R). Exercice 10 : [éocé] a) Soit p u projecteur de E espace de dimesio. E posat F = Imp et G = ker p, la matrice de p das ue base adaptée à la décompositio E = F G est de la forme ( ) I r O p,r p O r p,p O r p O y lit b) Posos rgp = r = trp B = 1 1 A k Puisue A = I, o a AB = B et plus gééralemet A k B = B pour tout k N. O e déduit B 2 = 1 1 A k B = 1 1 B = B et doc B est la matrice d u projecteur. Par suite rgb = trb = 1 1 tr(a k ) Pour X ker(a I ), o a AX = X doc BX = X et aisi ker(a I ) ImB. Iversemet, si Y ImB, il existe X M,1 (K) tel ue Y = BX et alors (A I )Y = ABX BX = BX BX = 0 doc ImB ker(a I ) puis ImB = ker(a I ). O peut alors coclure dim ker(a I ) = rgb = 1 1 tr(a k ) Diffusio autorisée à titre etièremet gratuit uiuemet - dd
5 [ édité le 10 juillet 2014 Correctios 5 Exercice 11 : [éocé] Soit O a p = 1 g p p = 1 2 h g h G Or, pour h G fixé, les h g parcourt G pour g parcourat G. Aisi k puis h g = k G p p = 1 2 k = 1 k = p h G k G Aisi p est u projecteur et la dimesio de so image Imp = ker(p Id) est sa trace trp = 1 trg Pour tout g G, o vérifie g p = p par des calculs aalogues aux précédets. Si x est ivariat par p, il l est aussi par g et doc ker(p Id) ker(g Id) k G L iclusio iverse état immédiate, o coclut ker(g Id) = ker(p Id) puis l o obtiet l égalité de dimesio dim ker(g Id E ) = 1 trg et ue M 1 = M p 1 H. Cela suffit pour coclure ue H est u sous-groupe de GL (K). b) Si M H alors N MN et N NM sot des permutatios de H. O e déduit ue MP = P M = P car pour chaue terme les sommes portet sur les mêmes élémets. P 2 = 1 MP = 1 P = P. c) Puisue P 2 = P, ImP = ker(p I ) et ker P sot supplémetaires das M,1 (K). Si X ker P alors P X = 0 et pour tout M H, P MX = P X = 0 doc MX ker P. Aisi ker P est stable par H. Si X ker(m I ) alors pour tout M H, MX = X doc P X = X puis X ker(p I ). Iversemet, si X ker(p I ) alors P X = X et pour tout M H, X = P X = MP X = MX et doc X ker(m I ). Aisi ker(m I ) = ker(p I ) et ker P est solutio du problème posé. d) P est ue projectio doc trp = rgp N et doc trm = trp N. Si trm = 0 alors P = 0. Par suite ker(m I ) = {0} et il y a doc pas de vecteur o ul ivariat pour tous les élémets de H et iversemet. Exercice 13 : [éocé] a) Posos p = g. p 2 = gh. Or pour g G, l applicatio h gh est ue h G permutatio du groupe G doc gh = p et par suite p 2 = CardG.p. h G 1 Par suite CardGp est ue projectio vectorielle et puisue so rag égale sa trace, rgp = 0. Aisi p = 0. b) Cosidéros ϕ(x, y) = (g(x) g(y)). ϕ est u produit scalaire sur R pour leuel o a h G, h = h 1. Pour ce produit scalaire, V est u supplémetaire de V stable pour tout h 1 avec h élémet de G doc stable pour tout élémet de G. Exercice 12 : [éocé] a) L applicatio cosidérée est au départ d u esemble ifii et à valeurs das u esemble fii, elle e peut doc être ijective et il existe k < l N, M k = M l ce ui fourit M p = I avec p = l k car M est iversible. O e déduit ue I H Exercice 14 : [éocé] Si i j alors E i,i E i,j = E i,j et E i,j E i,i = 0 doc T (E i,j ) = 0. De plus E i,j E j,i = E i,i et E j,i E i,j = E j,j doc T (E i,i ) = T (E j,j ) = α. Diffusio autorisée à titre etièremet gratuit uiuemet - dd
6 [ édité le 10 juillet 2014 Correctios 6 Soit A = (a i,j ) M (K). T (A) = T a i,j E i,j = a i,j T (E i,j ) = αtr(a) doc T = α.tr. i,j=1 i,j=1 Exercice 17 : [éocé] La trace de f est la somme des coefficiets diagoaux de la matrice représetative de f das la base de M (R) formée des matrices élémetaires E i,j. Puisue le coefficiet d idice (i, j) de la matricef(e i,j ) est a i,i + a j,j o obtiet trf = (a i,i + a j,j ) = 2trA 1 i,j Exercice 15 : [éocé] f(e i,i ) = f(e i,j E j,i ) = f(e j,i E i,j ) = f(e j,j ) et si i j, f(e i,j ) = f(e i,j E j,j ) = f(e j,j E i,j ) = f(0) = 0. Aisi f(a) = f( a i,j E i,j ) = λtra e otat λ la valeur commue des f(e i,i ). Exercice 16 : [éocé] a) Notos E i,j les matrices élémetaires de M (R). Puisue l hypothèse de travail doe De plus, pour i j, o a doc Aisi E i,i = E i,j E j,i et E j,j = E j,i E i,j f(e i,i ) = f(e i,j E j,i ) = f(e j,i E i,j ) = f(e j,j ) E i,j = E i,j E j,j et O = E j,j E i,j f(e i,j ) = f(e i,j E j,j ) = f(e j,j E i,j ) = f(o ) = 0 f(a) = f( a i,j E i,j ) = λtra e otat λ la valeur commue des f(e i,i ). b) Posos f = tr g. L applicatio f est ue forme liéaire vérifiat A, B M (R), f(ab) = f(ba) Aisi f = λtr. Or f(i ) = tr (g(i )) = tri doc λ = 1. Aisi f = tr et M M (R), tr(g(m)) = f(m) = tr(m) Exercice 18 : [éocé] Si X est solutio alors et doc Cas tra 1. O obtiet puis tr(x) = tr(x)tr(a) + tr(b) tr(x)(1 tr(a)) = tr(b) tr(x) = X = tr(b) 1 tr(a) tr(b) 1 tr(a) A + B Iversemet, cette matrice est bie solutio. Cas tra = 1. Sous cas trb 0. L éuatio tr(x)(1 tr(a)) = tr(b) est icompatible, il y a pas de solutio. Sous cas trb = 0. La solutio X est de la forme λa + B avec λ R et iversemet de telles matrices sot solutios. Exercice 19 : [éocé] Soit (e 1,..., e ) ue base de E avec e 1,..., e 1 ker f. La matrice de f das cette base est de la forme 0 0 λ 1 A = λ λ avec λ = trf. Diffusio autorisée à titre etièremet gratuit uiuemet - dd
7 [ édité le 10 juillet 2014 Correctios 7 O observe alors ue A 2 = λ A. Aisi si trf = 1 alors A 2 = A doc f 2 = f puis f est u projecteur. Par l isomorphisme de représetatio matricielle das ue base doée de E, o peut retraduire le problème matriciellemet. E cosidérat les élémets E i,i et E i,i + E i,j pour 1 i j o forme ue base de M (R) telle ue souhaitée. Exercice 20 : [éocé] Les matrices A i sot des matrices de projectio et doc O e déduit Or Aisi k rga i = R = Im et la relatio sur les rags doe tra i = rga i k tra i = tri = A i k ImA i R k ImA i = R k dim (ImA i ) = dim R Les espaces ImA i sot doc e somme directe Pour tout x R, o peut écrire k ImA k = R x = A 1 x + + A k x E particulier, pour le vecteur A j x, o obtiet A j x = A 1 A j x + + A j x + + A k A j x La somme directe précédete doe alors par uicité d écriture et peut alors coclure. 1 i j k, A i A j x = 0 Diffusio autorisée à titre etièremet gratuit uiuemet - dd
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