Theories de jauge et mecanisme de Higgs

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1 Theores des champs lbres Theores de jauge Mecansme de Hggs Theores de jauge et mecansme de Hggs Groupe de Phys. Stat., LPM March 3, 007 Theores de jauge et mecansme de Hggs

2 Theores des champs lbres Theores de jauge Mecansme de Hggs PLAN Theores des champs lbres Prncpe de mondre acton Theoreme de Noether Quantcaton Theores de jauge Electromagnetsme Theores de jauge non-abelennes Theore electro-fable non-massve Mecansme de Hggs Mecansme de Hggs pour une theore de champs scalare Mecansme de Hggs pour une theore de jauge abelenne Mecansme de Hggs pour une theore de jauge non-abelenne Modele de Salam et Wenberg Theores de jauge et mecansme de Hggs

3 Theores des champs lbres Theores de jauge Mecansme de Hggs Constructon d'une mecanque ondulatore a une partcule Le prncpe de mondre acton S[] = 0; S = condut aux equatons de Lagrange Z M L[ ]d @(@ ) = 0 Les champs peuvent ^etre des scalares, des quadr-vecteurs, des bspneurs, : : : La theore est locale. Theores de jauge et mecansme de Hggs

4 Theores des champs lbres Theores de jauge Mecansme de Hggs Theore de Klen-Gordon ( est scalare) @ + m = 0 Theore de Drac ( sont les composantes d'un bspneur) @ + m = 0 m ou les quatre matrces sont xees de manere a retrouver l'equaton de Klen-Gordon. Theores de jauge et mecansme de Hggs

5 Theores des champs lbres Theores de jauge Mecansme de Hggs Theoreme de Noether Les transformatons nntesmales x! x 0 = x + X (x)! 0 (x0 ) = (x) + (x) ; X (x) condusent a une varaton de l'acton XZ " X S (x)l ) ( (x) (x)@ (x)).e. a des los de conservaton pour des charges Q j = 0; j = (x)l ) ( (x) (x)@ (x)) d dt Q = 0; Q = Z j 0 d 3 ~r # d 4 x Theores de jauge et mecansme de Hggs

6 Theores des champs lbres Theores de jauge Mecansme de Hggs x! x 0 = x + X (x)! 0 (x0 ) = (x) ; condusent a quatre courants de Noether, condenses dans un tenseur, le tenseur energe-mpulson T = 0; T L et quatre charges conservees P = H = Z Z T 0 0 d 3 ~r = T 0 d 3 ~r = XZ Z " X 0 L d 3 d 3 ~r ; ( 6= 0) Theores de jauge et mecansme de Hggs

7 Theores des champs lbres Theores de jauge Mecansme de Hggs Constructon d'une theore de champs a nombre de partcules varables en promouvant la foncton d'onde (x) et son conjugue au rang d'operateurs d'annhlaton/creaton. Hamltonen et mpulson devennent des operateurs. On mpose l'equaton d'hesenberg (evoluton ^ = [ ^H; ^] Pour les theores habtuelles (Klen-Gordon, Drac), l en decoule deux contrantes possbles sur les operateurs champs [ (k); + (k0 )] = (k k 0 ); f (k); + (k0 )g = (k k 0 ) L'annulaton de [(x); (x 0 )] en dehors du c^one de lumere et la postvte de l'energe determnent laquelle des deux contrantes dot ^etre utlsee. Theores de jauge et mecansme de Hggs

8 Theores des champs lbres Theores de jauge Mecansme de Hggs Electromagnetsme On mpose l'nvarance sous la transformaton de jauge du premer ordre (transformaton globale)! e ;! e ; On obtent la lo de conservaton du courant electrque j = q dl = j = 0 d ) et la conservaton de la charge totale Q = Z j 0 d 3 ~r = q XZ d 3 ) Theores de jauge et mecansme de Hggs

9 Theores des champs lbres Theores de jauge Mecansme de Hggs Couplage mnmal du courant avec un champ de jauge extereur L = L 0 j A L'nvarance de jauge est etendue aux transfo. locales A! A 0 = A Il en decoule les equatons de Lagrange [@ + qa ] ) = 0 L'ntroducton de la dervee covarante D qa permet de retrouver les equatons de lagrange du lagrangen non perturbe L = L 0 ( ; D ) Hamltonen et mpulson ne sont plus conserves T = j F ; F A Theores de jauge et mecansme de Hggs

10 Theores des champs lbres Theores de jauge Mecansme de Hggs On demande que les champs de jauge A ne soent plus des champs extereurs mas soent engendres par le systeme,.e. soent des fonctonnelles de et. An de retrouver la lo de conservaton du hamltonen et de l'mpulson, l T + j F = 0 T [] + T [A ] = 0 Pour cela, on mpose le second groupe des equatons de F = j qu ne sont autres que les equatons de Lagrange pour L[ ; D ; A A ] = L 0 [ ; D ] 4 F F = L 0 [ ; ] j A 4 F F Theores de jauge et mecansme de Hggs

11 Theores des champs lbres Theores de jauge Mecansme de Hggs Theores de jauge non-abelennes de Yang-Mlls On mpose l'nvarance sous la transfo. de jauge du premer ordre! g = e P N = ;! g = e P N = ( y ) ou sont les N generateurs du groupe ([^ ; ^j] = P N k= f jk ^k). On obtent la lo de conservaton de N courants de jauge j = q X ; dl d = j = 0 et la conservaton de N charges Q = Z j 0 d 3 ~r = q X ) Z d 3 ) Theores de jauge et mecansme de Hggs

12 Theores des champs lbres Theores de jauge Mecansme de Hggs Couplage mnmal des N courants avec N champs de jauge L = L 0 NX = j A L'nvarance de jauge s'etend aux transfo. locales s ga g = A + Il en decoule les equatons de Lagrange + q NX = A Avec la dervee covarante D # NX j ;k= ) jf jk ^ ^ka q P N L = L 0 ; D = 0 = A Theores de jauge et mecansme de Hggs

13 Theores des champs lbres Theores de jauge Mecansme de Hggs On demande que les N champs de jauge A soent engendres par le systeme. On mpose le nd groupe des equatons de Maxwell-Yang-Mlls ou D F F q NX j= F A q ^ja j F NX j ;k= = j f kj A k Aj qu ne sont autres que les equatons de Lagrange pour L[ ; D ; A A ] = L 0[ ; D ] = L 0 [ ] 4 NX = NX = j A F F 4 NX = F F Theores de jauge et mecansme de Hggs

14 Theores des champs lbres Theores de jauge Mecansme de Hggs Theore electro-fable non-massve = Theore de Yang-Mlls pour le groupe SU() L U() Y. L L! e P ^ L L ; R! e4 Y = R ( = ; ) ou ^ = = ( = ; ; 3) et ^4 = Y. Les doublets sont formes de deux bspneurs gauche L = ( + 5 ) (neutrno-electron ou deux quarks). On a donc quatre courants de jauge et quatre charges conservees. Theores de jauge et mecansme de Hggs

15 Theores des champs lbres Theores de jauge Mecansme de Hggs L EF = L + X = 4 L D L L g 0 Y B 3X = W W 4 B B R + c:c: ou les dervees covarantes du groupe SU() L U() Y sont g 3X D W + g0 Y B = Les quatre tenseurs de Faraday ont pour expresson W W + g 3X j ;k= jk W j W k ; B B Theores de jauge et mecansme de Hggs

16 Theores des champs lbres Theores de jauge Mecansme de Hggs Probleme de la masse Les fermons et les bosons de jauge sont tous non-massques. Un terme de la forme m L L L L m X = R R satsfat l'nvarance de jauge mas mpose que e L m^eme masse. 3X = m W (W ) W + m B B B et aent la brse l'nvarance de jauge. Dans les deux cas, le mecansme de Hggs apporte une soluton. Theores de jauge et mecansme de Hggs

17 Theores des champs lbres Theores de jauge Mecansme de Hggs jj4 jj est nvarant sous! 0 = e. Etat fondamental (mnmse H) 0 = p jj jj e ou est une phase arbtrare. L'etat fondamental est donc nnment degenere et ne possede pas toutes les symetres de H. = p jj jj + ' + ' ; ( ' 0) ou ' et ' sont deux champs scalares. Il vent L = '@ ' ' jjjj' 3 4 '@ ' 4 '4 ' 4 ' + jj jj ' ' + Theores de jauge et mecansme de Hggs 8

18 Theores des champs lbres Theores de jauge Mecansme de Hggs Mecansme de Hggs pour une theore de jauge abelenne L + qa jj4 jj 4 F F Exctatons au vosnage de l'etat fondamental = p jj jj + H e jj jj ' ou H et ' sont des champs scalares. Par la transfo. de jauge! 0 = e jj jj ' ; A! A 0 jj = A ' L + qa 0 qa 0 H H jjjjh 3 8 H4 4 F F + q A0 A 0 + q H + jj jj H A 0 A 0 Theores de jauge et mecansme de Hggs

19 = Theores des champs lbres Theores de jauge Mecansme de Hggs Mecansme de Hggs pour une theore de jauge non-abelenne X L = D D j j 4 + 3X j j W 4 W 4 B B Exctatons au vosnage de l'etat fondamental = e jj jj P 3 = ' = 0 p jj jj + H! Par transformaton de jauge, les tros champs de Goldstone dsparassent par redenton des champs de jauge W. L = " H@ H H jjjjh 3 8 H4 3X W W 4 = h g `W 0 8 W 0 + W 0 W 0 + `gw 03 g0 03 YB `gw hg `W 0 W 0 +W 0 W 0 +`gw 03 g YB `gw g YB B B 4 g 0 YB H + jj! jj H Theores de jauge et mecansme de Hggs

20 Theores des champs lbres Theores de jauge Mecansme de Hggs Modele de Salam et Wenberg W = p (W 0 W 0 ); Z 0 = cos w W 03 sn w B; A = sn w W 03 + cos w B avec cos w = g p g +g 0 et sn w = g 0 p g +g 0 pour que Q = 0. L = + + " H@ H H jjjjh 3 8 H4 3X W W 4 = h g `W + 8 W + + W W + (g + g 0 )Z 0 Z 0 hg `W + W + + W W + (g + g 0 )Z 0 Z 0 H + jj! 8 jj H B B 4 On peut donc drectement lre les masses des bosons de jauge : m W + = m W = gjj jj ; m Z 0 = jj p g jj + g 0 ; m A = 0 Theores de jauge et mecansme de Hggs