Les Nombres Premiers Jumeaux

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1 Ttre IV Les Nombres Premers Jumeaux IV,1

2 IV, IV.1 Introducton Ces fameux nombres jumeaux valent un ttre à art. Tant d llustres mathématcens s y sont ntéressés! Et même, toute aléo nterrétaton mse à art, on en trouve deux ares sur l os d Ishango. IV. Rael IV..1 Ecrture des nombres jumeaux Tout nombre remer étant évdemment remer ar raort à et à 3 eut auss s écrre sous la forme 6q + ; η = ± 1 est en effet le seul reste ossble de la dvson ar 6 d un nombre qu n est dvsble n ar n ar 3. Les nombres remers en et 3 se regrouent donc ar ares dont la dfférence vaut. On dt qu ls sont jumeaux ; chaque coule de jumeaux comorte un cadet ( 6q 1) et un aîné ( 6q + 1) ayant le même aramètre q. Ces coules sont strctement remers s et seulement s cadet et aîné sont tous deux strctement remers η IV.. Les jumeaux sont remers entre eux, qu ls soent strctement remers ou non. Cf. ttre II..3 IV..3 Crtère de rmalté Cf. ttres II.6.1à 4 Un nombre aîné 6q est remer s et seulement s remer q ηmod(6 + η) 6+ η 6q + 1 Un nombre cadet 6q 1 5 est remer s et seulement s remer q ηmod(6 + η) 6+ η 6q 1 Ans, des jumeaux 6q ± 1seront tous deux remers s et seulement s remer q ± ηmod(6 + η) 6+ η 6q + 1 IV.3 Quantté llmtée des jumeaux remers. Les jumeaux comosés ou non sont remers entre eux ; on dt encore qu ls sont ndéendants, ou encore étrangers l un ar raort à l autre. D autre art, cadets et aînés de même aramètre ont une réartton vosne s ben qu ls se côtoent sans cesse. Sans consttuer une reuve formelle, ces rorétés consttuent la rason rofonde de la quantté llmtée des jumeaux remers : ndéendance et vosnage les lassent lbres de former, ou non, des coules de jumeaux remers, ndéfnment. Nous allons en donner une reuve rgoureuse.

3 IV,3 IV.3.1 Alcaton du crtère de rmalté aux jumeaux remers Nous nvtons le lecteur à consulter le ttre récédent que nous résumons c-dessous. Deux nombres jumeaux 6q ± 1, déjà remers en et 3, seront auss remers ar raort à 3 = 5,..., s et seulement s leur aramètre commun q vérfe la double condton c-dessous, n étant jamas nul : ( η) ( η) q r mod 6 + r ± 6+ η η Cette double condton exrme que le reste de la dvson du aramètre q ar tout nombre remer 6 + η nféreur ou égal à (mas dfférent de ou 3) dot être dfférent en valeur absolue du aramètre de ce nombre remer. Pour des rasons de symétre, nous chosssons des restes r η ar excès ou ar défaut ; ls euvent donc être ostfs ou négatfs et leur valeur absolue restera nféreure à la moté (mons 1 ) du dvseur remer 6 η +. Il y a chaque fos 6 + η 3 restes admssbles dont les valeurs successves sont : Par exemle, our ( 3 + η),..., ( + η), ( ), 1,..., 0,...,, + 1,..., 3+ η + 6 1= 5 = 1 r η =, 1,0, + 1, ou = 7 = 1 r η = 3,, 1,0, + 1, + ou = 11 = r η = 5, 4, 3,, 1, 0, + 1, +, + 3, + 4, ou + 5 L exstence de deux jumeaux 6q ± 1 remers ar raort à 3 = 5,..., relève donc du théorème des restes chnos car q = r3mod 3 = 5 q = r4mod 4 = 7... q = r mod = 6 j+ jη ( η ) les deux valeurs ± étant chaque fos nterdtes aux restes r η de la dvson du aramètre q ar les nombres remers successfs 6 + η. Posant j = Π, les congruences (4,1) ont une soluton commune qn rn. e mod Π et le nombre de j= 3 solutons 6q n + η remères jusqu en est égal à N ( 5 )( 7 )( 11 )...( ) = Dans chaque ntervalle d extenson Π fermé nféreurement. Lorsque augmente ndéfnment, N augmente encore lus vte. (4,1) (4,)

4 A chaque vecteur r et donc à chaque aramètre q n corresond n IV,4 sot un coule de jumeaux strctement remers, sot un coule de jumeaux tous les deux remers ar raort à 5,..., seulement, mas dont l un au mons est multle de facteurs suéreurs à remers jusqu en seulement). (ce que nous abrégeons en dsant que ces jumeaux sont Ces coules ont our exresson ( 6q n ± 1) mod Π. Ans dans l ntervalle ( 0, Π ), on trouve N aramètres de coules de jumeaux qu sont, sot remers, sot multles de facteurs suéreurs à Dans tous les autres ntervalles ( ). xπ, x+ 1 Π x> 0 on trouve la même quantté constante N de aramètres de coules de jumeaux remers jusqu en, certans de ces jumeaux ouvant être strctement remers. Cela n a ren d étonnant usque l on ajoute des multles de dvsbles ar,3, 5, et. Les nombres jumeaux remers jusqu en Π à des nombres qu ne sont as ont auss leur horloge! IV.3. Infntude des coules de jumeaux strctement remers Démonstraton : D arès l exresson (4.) alquée à chaque ntervalle d extenson Π N ( 5 )( 7 )( 11 )...( ) =, les nombres remers et les quanttés N de jumeaux remers jusqu en sont en bjecton ar l ntermédare de leur ordnal avec les nombres enters. L ensemble des quanttés N est donc équotent avec celu des nombres enters. La lmte de à ℵ0 de même que celle de et de. Plus rosaïquement, lorsque l enter devent nfn, le nombre remer remers jusqu en devennent strctement remers et leur quantté N est ans égale d ordnal devent nfn ; les nombres N devent nfne. Les coules de jumeaux remers sont en quantté nfne ℵ 0 IV.4 Densté lmte des nombres remers jumeaux Le lus grand nombre aîné lé à l ntervalle = 6Π a our valeur 6Π 1 + et dans chacun des ntervalles successfs de grandeur 6 s écrt 1 Π la densté des coules de jumeaux 6q n ± 1 remers ar raort à,3,5,..., d = N ( 6Π + 1) = 1 6( 1 5)( 1 7 )...( 1 ) = 1 1 = 3 d'ndce = 379 d'ndce = 75 (4.3) Cette densté vare de 1/6our = ( = ) à 1,16 % our,

5 IV,5 Les nombres remers les lus bas ( 3,5,7,11,13 ) font longer radement cette densté ; elle décroît ensute lentement de façon asymtotque vers zéro comme on eut le constater sur le grahque c-dessous Comarons, en effet, cette densté à celle de l ensemble des nombres remers laquelle s écrt : 1 Effectuant le raort des deux denstés, on trouve ( 1 1 ) (4.4) = = = ( ) = Ce raort tend vers zéro car chacun de ses facteurs est nféreur à son corresondant dans (4.4) et comme la densté des nombres remers tend vers 0, la densté lmte des jumeaux remers jusqu en tend auss vers 0, mas nfnment lus «vte». Or lorsque tend vers l nfn, les jumeaux remers jusqu en devennent tous remers. Il s ensut que our les grandes valeurs de l exste encore des coules de jumeaux remers même s le raort de leur densté à celle des nombres remers devent ett ; cec rovent de leur raréfacton qu est «affne» de celle des nombres remers. Théorème : La densté lmte des jumeaux remers est nfnment lus ette que celle des nombres remers.

6 IV,6 IV.5 Exloraton affnée des coules de jumeaux IV.5.1 Extenson du crble d Eratosthène Un nombre remer jusqu en ne eut être dvsble que ar des nombres suéreurs à. Le lus ett nombre mar comosé remer jusqu en ne eut être que. Il s ensut que tous les nombres remers jusqu en + 1 d une art, nféreurs à d autre art, sont strctement remers. + 1 Cette condton est suffsante ; elle n est as nécessare ; elle n nterdt as la rmalté de certans nombres suéreurs à, usque ceux-c dovent nécessarement être remers au mons jusques en +. 1 Tout coule de nombres jumeaux, dont cadet et aîné sont, d une art remers jusqu en à +, est un coule de jumeaux strctement remers. 1 et d autre art nféreurs IV.5. Réartton des coules jumeaux strctement remers Nous avons montré c-dessus, que dans l ntervalle ( 0,6Π ), les nombres remers jusqu en d une art, et qu seraent nféreurs à + d autre art, sont strctement remers. 1 Nous avons montré en IV, c-dessus, que la densté des jumeaux remers jusqu en d = 1 1 = est égale selon (4.3) à : Nous avons vu que cette densté est radement décrossante, ce qu autorse la rooston c-dessous. Comme les nombres jumeaux remers nféreurs à + 1 sont auss remers jusqu en s écrre : + 1 π d = 1 = leur quantté eut auss (4.5) Lorsque l on asse de à 1 +, cette négalté devent : Posons π ( + ) 1 1 = = + 1 = (4.6) = + ; la dfférence entre le remer facteur de (4.6) et celu de (4.5) est : ( ) ( ) = ( 1) Cette exresson est ostve et son ordre de grandeur est égal à 1. D où la rorété majeure (et une reuve addtonnelle de l nfnté des nombres jumeaux remers): +

7 IV,7 Il exste des nombres jumeaux remers jusqu en et qu sont nféreurs à remers ; ls crossent sans cesse avec. +. Ils sont strctement 1 C est ben ce que l on observe sur la fgure de la remère age de ce ttre ; les rrégulartés de telles des fractales ar effet d échelle. Exemle: les jumeaux remers jusqu en = = = 385 e = 154 e = 55 e = 175 r ± 1 r ± 1 r ± ; = 3 = d où les coules de jumeaux nféreurs à = dans l esace = : ls sont tous strctement remers. = 3 q = = 5 6q ± 1 = 149, 151 q= = 4 6q± 1= 143, 145 q= = 3 6q± 1= 137, 139 q q q = + = q± = = = q± = = = q± = , , , 115 q= = 18 6q± 1= 107, 109 q= = 17 6q± 1= 101, 103 q= = 16 6q± 1= ( 95, 97 ) q= = 15 6q± 1= 89, 91 q= = 14 6q± 1= 83, 85 q= = 13 6q± 1= 77, 79 q= = 1 6q± 1= 71, 73 q= = 11 6q± 1= ( 65, 67) q= = 10 6q±= 1 59, 61 q= = 9 6q± 1= 53, 55 q= = 8 6q± 1= 47, 49 q= = 7 6q± 1=( 41, 43) q= = 6 6q± 1= 35, 37 q= = 5 6q± 1= 9, 31 q= = 4 6q± 1= 3, 5 q q = = 3 6q± 1= ( 17, 19) = = mod 385 6q± 1= ( 11, 13) q 1 ( 5, 7) q= = ±= sont gommées

8 IV,8 Les aramètres,...,,..., en conservant les restes 3 q n nféreurs à ( 169 1) 6 = 8 sont exlctés c-dessus jusqu à 5 (y comrs les jumeaux remers r = ± η ) ; c q = 1 condut à r1 η = ± 1, tands que q = condut à r η = ± ; les,..,,... sont reérés ar un, ans que les restes resonsables jumeaux dvsbles ar 3 ou ou Pour des valeurs de n 8 de 385, ndéfnment ; leurs aramètres sont : r η. q >, on trouverat tous les autres jumeaux qu ne sont as dvsbles ar, 3, 5, 7, = 11 [ ] q ( r ± 1mod 5) ( r ± 1mod 7) 55 + ( r ± mod11) 155, 3 4 5, avec une érodcté sot ar exemle q ( ) 943mod 385 d où 6q± 1 ( ) ± 1 = ( 5657 ou 5659) + 385x ( 5657, 5659 ) forment un coule de jumeaux qu ne sont as dvsbles ar, 3, 5, 7 ou étant ar contre dvsble ar 5,7 et 11, les jumeaux 6q ± 1c-dessus ne euvent être dvsbles ar, 3, 5, 7 ou 11. On eut vérfer que = Π = Π =, on trouve ben ( 3 )( 5 ) 3 = Π = Π =, on trouve ben our 5, 5, 6 30 = coules de jumeaux remers suéreurs à 5 ; our 7, 35, = 15 jumeaux remers jusqu en 7 ; ls sont réarts entre 13 coules strctement remers et coules comortant des multles de 11 ou 13. IV.6 La sute des remers jumeaux strctement remers Le tableau des remers coules de jumeaux remers (jusqu à < ) est donné en feulle 3 du fcher «rem-jumeaux.xlsb» dont le grahe 1 est fguré en age de ce ttre. c, en abscsse son ndce ou ordnal c. La crossance des Sur ledt grahe, en ordonnée la valeur du jumeau remer cadet jumeaux remers en foncton de leur ndce est d une belle régularté lorsque la grandeur de l échelle en masque les fractales. IV.7 Analoge géométrque IV.7. 1 Autre caractérsaton des jumeaux remers Soent deux jumeaux 6q± 1= 6q+ η remers en et 3. S l un d eux au mons, est comosé, on eut écrre La rmalté relatve de 6q 6q η. + η et 6q η Le rodut ( η) 6q+ η = 6j (4.7) mose que ( 6 1) j + et 6 η + soent tous deux remers avec 6q+ η 6q η = 36q 1 comorte donc au mons tros facteurs remers dont deux au mons sont dfférents, ce qu on écrt ( η)( η) q = j + (4.8)

9 IV,9 Inversement la relaton (4.8) où l un au mons des deux aramètres j est dfférent de q oblge l un des deux jumeaux 6q ± 1 à comorter deux facteurs et ar conséquent à être comosé. = + s écrt encore j q = j + η (4.9) 6 L exresson 36q 1 ( 6 j η)( 6 η) Elle caractérse la non rmalté de l un au mons des deux jumeaux 6q ± 1 IV.7. Prorété fondamentale des trangles rectangles Sot un nombre enter a quelconque dfférent de. Nous dsons qu à artr de ce nombre a, l est ossble de construre au mons un trangle rectangle dont les tros côtés soent enters. Soent c la dagonale, a et b les deux autres côtés d un tel trangle ; on eut écrre d arès Pythagore, ( c b)( c b) a c b = a d où : h l + = =... (4.10) f g m Ecrvons que c b dvse a selon l exresson c b= j..., h f g l m alors, c+ b=... et h f g l m f h f g m f b =, c = S a est ar, les exosants h et f < h ne dovent as être nuls. S a est mar, les exosants h et f dovent être tous deux nuls. S a est remer, l exresson ( c b) ne eut qu être égale à l unté ( c+ b) devenant égale à S c b est lus grand que c+ b, on échange b et c. Lemme Sur un côté a de mesure entère, on eut construre une quantté de trangles rectangles dont l hyoténuse c et l autre côté b sont également de mesure entère. Cette quantté de trangles est égale à la quantté des ermutatons des ussances des facteurs remers de a (mons s a est un nombre ar), les exosants nuls étant rs en comte. j a. B IV.7.3 Prorété fondamentale des trangles scalènes Sot un trangle scalène de cotés a, b, c ayant A,B,C our angles aux sommets. On eut écrre : a c sot encore c a b ab C = + cos, (4.11) ( c b)( c+ b) = a( a bcos C) C b A Attrbuons une valeur entère à a ; examnons s les deux autres côtés euvent auss avor des mesures entères.

10 IV,10 Posant c b= et j= a, on trouve : c= b+ et c b b + = +, d où b j( a bcos C) b 1+ j cosc = ja et + = us ja b = 1 cos ( + j C), ja c= + 1 cos ( + j C) Il faut donc que ja sot dvsble ar ( 1+ jcosc), c'est-à-dre que l angle C sot tel que La remère exresson n est autre que la relaton fondamentale (4.11) a + b c ja b cosc = = (4.1) ab bj La deuxème exresson de cosc nous montre que our chaque valeur de a et de = c b, l angle C ne eut avor qu une seule valeur. Lemme : Les tros côtés d un trangle scalène ont une mesure entère s, et seulement s, un des angles adjacents C à un coté a ossède une valeur lée à a mas auss à la dfférence = c b des deux autres côtés selon la relaton (4.1) IV.7.4 Rerésentaton géométrque des nombres remers jumeaux c A 3 q 3 9 L exresson (4.9) s écrt auss j 6 =, d où 3 9 = + + η en osant + = q + η (4.13) Traçons un trangle ABC de côtés q, 3, c= + 3. Ces côtés resectent la lo c = + 3 = q + 9 6q cosc B q C qu mose que l angle C sot tel que cosc = η 6q, d où deux trangles : l un dont l angle C est agu, l autre dont l angle C est obtus ; ces deux trangles sont rerésentatfs de la relaton (4.13). L angle C ne déend que du seul aramètre q des jumeaux 6q ± 1 remers ar raort à et à 3, mas dont l un au mons n est as strctement remer. cosc a une valeur nversement roortonnelle à q et cette valeur tend vers 0 lorsque q tend vers l nfn.

11 IV,11 S, fasant varer = c 3 ar mesures entères, on eut trouver une mesure entère de, alors l un au mons des deux nombres 6q ± 1 est comosé. S l on ne eut trouver aucun coule de nombres enters et assocés à est un coule de jumeaux remers. q, alors 6q ± 1 On notera que 3 j = tands que c j+ =. Les trangles ABC sont caractérstques de la rmalté des jumeaux ( 6q ± 1) IV.7.5 La grandeur des jumeaux remers n a as de lmte Chosssons une valeur du aramètre q ; à chaque valeur de, aramètre d un nombre remer 6 corresondent deux valeurs de selon l équaton (4.13). + η, = ; us, our chaque Reortons dans le trangle ABC les deux valeurs de l angle C telles que cosc η 6q valeur successve de, aramètre d un remer 6 + η nféreur ou égal à 6q + η, reortons des valeurs b= 3 sur CA et c= 3+ sur BA. S les deux segments ans consttués se recouent en A, 6q ± 1ne forment as un coule de jumeaux remers. Inversement, s les deux segments n ont jamas de ont commun quel que sot le nombre remer 6 + η, alors q est le aramètre de deux jumeaux remers 6q ± 1. On note que les essas c-dessus sont lmtés à la quantté de remers 6+ η 6q+ 1, c'est-à-dre à π ( 6 q + 1) ; c est la rason our laquelle l n est as ossble de toujours trouver un sommet commun aux j+ j deux cotés c = et b= 3 =, dans lequel cas les deux nombres jumeaux 6q ± 1sont remers. π 6q + 1 et les nombres jumeaux remers corresondants La fréquence de ladte mossblté décroît ave se raréfent. Lorsque q devent grand, C se raroche de lus en lus d un angle drot, les coules de trangles ABC devennent des quas trangles rectangles en C ossédant une quas dagonale, un côté fxe égal à q, un autre côté varable égal à 3. Mas ce sont toujours des trangles scalènes et l on ne ourra as systématquement trouver des cotés AB et BC qu ne se recouent as en A. Il faut attendre une valeur nfne et toujours fuyante de q our que le trangle ABC sot vrament rectangle ; alors même dans cet naccessble cas, l faut qu à la base q de valeur «nfne», on usse assocer un autre côté de l angle drot qu at our valeur 3. S l on se reorte au aragrahe V.7. et s l on chost a= q, on constate que l on trouve un côté enter b= 3 s et seulement s a = q comorte le facteur remer 3. Alors le côté c ne eut à la fos être un multle de 3 et s écrre encore c= 3+ où est aramètre d un nombre remer 6 + η.