Tests statistiques en pratique

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1 Tet tatitique e pratique Tet du Chi- et de Studet pour érie o appariée Loïc Dequilbet Départemet de Sciece Biologique et Pharmaceutique Ecole Natioale Vétériaire d Alfort loic.dequilbet@vet-alfort,fr Module Bae e Biotatitique Semetre S5 (05-06) Verio v4 Le tet du Chi et de Studet Remarque prélimiaire pour tout ce cour Le rique d erreur de ère epèce α et fixé à 5% Tet de Studet pour érie o appariée Le tet de Studet pour érie o appariée et u tet tatitique qui permet de comparer la moyee d idividu da ue populatio à celle da ue populatio Tet du Chi Le tet du Chi et u tet tatitique qui permet de comparer ou pluieur pourcetage (da l UE : % da ue populatio et % da ue populatio )

2 Le tet de Studet pour érie o appariée Caractériatio de la loi de Studet La loi de Studet reemble à ue loi N(0,) (courbe e cloche) Pour de effectif > 30, la loi de Studet N(0,) Pour de effectif < 30, la loi de Studet écarte de N(0,) Cotexte du tet de Studet O veut comparer la moyee d u paramètre quatitatif etre ue populatio (µ ) et ue populatio (µ ) Le écart-type pour le populatio et ot rep t σ et σ O tire au ort u échatillo par populatio (de taille et ), da lequel o etime le moyee m et m, d écart-type et, repectivemet pour le échatillo et 3 Le tet de Studet pour érie o appariée Coditio de validité du tet de Studet Le idividu doivet être coidéré comme idépedat le u de autre Le variace σ et σ (etimée par et ) e doivet pa être trop différete (/3 < rapport < 3) (Si le variace ot trop différete, il faut utilier u tet de Studet approché, tel que le tet de Welch) La variable quatitative doit uivre ue loi ormale Si la variable quatitative e uit pa ue loi ormale, o comparera et tetera le médiae à l aide du tet de Ma-Whitey (pour ue comparaio de médiae) 4

3 Le tet de Studet pour érie o appariée Tet de Studet et effectif Le tet de Studet rete valide i le effectif ot < 30 i le coditio d applicatio ci-deu ot vérifiée Il peut cepedat être dur de vérifier la ormalité ur de faible effectif O comparera le médiae à l aide du tet de Ma-Whitey 5 Le tet de Studet pour érie o appariée Notatio Da ce qui uit, o uppoe que et > 30 car la loi de Studet N(0,) Soit M et M le variable aléatoire correpodat à l eemble de toute le moyee que l o oberverait rep t. da le échatillo et aprè ifiité de tirage au ort Soit D la variable aléatoire correpodat à M M L eemble de toute le différece de moyee etre le échatillo et que l o oberverait aprè ue ifiité de tirage au ort d échatillo et m et m le moyee obervée da le échatillo et que l o a effectivemet tiré au ort Soit d ob la différece obervée etre m et m (da le cour : ) 6

4 Hypothèe ulle et alterative H 0 : µ µ µ H : µ µ 7 Loi de probabilité de M et M M ~> M ~> N σ µ ; N σ µ ; Le tet de Studet pour érie o appariée Loi de probabilité de D Si M ~> et M ~> D (M M ) ~> N(µ µ ; D ) 8 ; N σ µ ; N σ µ + tot D Avec tot la variace totale da le échatillo : ( ) ( ) tot Sou H 0, µ µ µ D H0 ~> N(0, D ) 0 D H0 D Le tet de Studet pour érie o appariée

5 Le tet de Studet pour érie o appariée Rejet/acceptatio de H0 avec le tet de Studet d α/ telle que Pr(oberver ue différece de moyee d α/ i H 0 vraie) α/ (Cf. cour magitral) D H0 α 5% d α/ d,5% D,5% +,5% 5% (α) -d,5% 0 d,5% Si d ob d,5% Rejet de H 0, au rique d erreur α5% Si d ob < d,5% Acceptatio de H 0, au rique d erreur β% (icou)??? Utiliatio de la loi ormale cetrée réduite N(0,) 9 Le tet de Studet pour érie o appariée Rappel : traformatio d ue loi N(µ,σ) e loi N(0,) N(µ,σ) N(0,) σ µ X 0 X cetré réduit Ca gééral é é, doc X (X cetré réduit xσ) + µ Notre ca du tet de Studet : µ 0 & σ D X X cetré réduit x D 0

6 Le tet de Studet pour érie o appariée Retour au tet de Studet D H0 N(0,) Lecture da la table de la loi N(0,) + 4 ème quetio du TD D,5% +,5% 5% (α) -d,5% 0 -,96 0,96 d,5% Détermiatio de d,5% d,5%,96 x D Avec D + tot et tot (. ) + (. ) + Le tet de Studet pour érie o appariée Rejet de H0 avec le tet de Studet Si d ob d,5% - «O rejette H 0 au rique d erreur de α5%» - «Le moyee obervé m * et m * ot igificativemet différete» - «O oberve que la moyee de parmi et > (ou <) à la moyee de parmi» (à compléter) - «Sou l hypothèe qu il y a pa de biai d aociatio**, il y a de forte chace pour que da la populatio, il exite ue aociatio etre et» (à compléter) * Vou devez fourir etre parethèe le valeur obervée da l échatillo ** Ce biai erot vu e ème aée

7 Le tet de Studet pour érie o appariée Acceptatio de H0 avec le tet de Studet Si d ob < d,5% Acceptatio de H 0, au rique d erreur β% (icou) - «O accepte H 0 au rique d erreur de β% (icou)» - «Le moyee obervé m * et m * e ot pa igificativemet différete» - «Sou l hypothèe qu il y a pa de biai d aociatio, il y a de chace pour que da la populatio, il exite pa d aociatio etre et» (à compléter) * Vou devez fourir etre parethèe le valeur obervée da l échatillo 3 Le tet de Studet pour érie o appariée Calcul du degré de igificatio p Rappel : p Pr(Oberver ue différece d ob, lorque H 0 et vraie) Si X ~> D H0, p Pr(X + d ob ) + Pr(X - d ob ) D H0 D p - d ob 0 + d ob 4

8 Le tet de Studet pour érie o appariée Calcul du degré de igificatio p Paage à la loi N(0,) pour laquelle o a la valeur de probabilité da la table p Pr(X + d ob ) + Pr(X - d ob ) Pr(X cetré réduit + d ob cetrée réduite ) + Pr(X cetré réduit - d ob cetrée réduite ) Beoi de calculer de d ob cetrée réduite, pui lecture da la table de N(0,) D H0 N(0,) D p p - d ob 0 + d ob - d ob cetrée réduite 0 + d ob cetrée réduite é é 0 5 Le tet du Chi Comparaio de % obervé Cotexte du tet du Chi «Le taux de prévalece de la maladie da la populatio et-il différet de celui da la populatio?» Echatilloage échatillo de N Total aimaux, cotitué de ou-échatillo (Echatillo, N Ech ; échatillo, N Ech ) 6

9 Le tet du Chi Comparaio de % obervé Cotexte du tet du Chi Soit le tableau uivat, avec Oa, Ob, Oc, et Od le effectif, p le taux de prévalece de maladie da l échatillo, et p le taux de prévalece de la maladie da l échatillo Malade No malade Total Echatillo Oa (p %) Ob N Ech Echatillo Oc (p %) Od N Ech Total N M (p M %) N NM N Total p et p ot-il igificativemet différet? 7 Le tet du Chi Comparaio de % obervé Rappel ur la otio d idépedace probabilite Si A et B ot idépedat, Pr(A B) Pr(A B) Pr(A) Applicatio à la comparaio de % H 0 : pa de différece de % de malade etre le populatio & Idépedace etre la maladie (A) et l apparteace à la populatio (B) P(malade pop ) P(malade pop ) P(malade) Si H 0 avait été vérifiée da l échatillo total ( «ou H 0»), o aurait dû oberver p p p m 8

10 Le tet du Chi Comparaio de % obervé Pricipe du tet du Chi Calcul de effectif attedu ou H 0 ( ou l hypothèe que p p p M ) Calcul de la différece etre le effectif obervé et le effectif attedu ou H 0 Cette différece erait ulle i o avait exactemet obervé H 0 da l échatillo Plu cette différece, plu ce que l o a obervé da l échatillo total et éloigé de H 0 9 Le tet du Chi Comparaio de % obervé Calcul de effectif attedu ou H0 Malade No malade Total Echatillo Ea? (p M %) Eb? N Ech Echatillo Ec? (p M %) Ed? N Ech Total N M (p M %) N NM N Total Ea N Ech x p M Ec N Ech x p M Eb N Ech Ea Ed N Ech Ec Da le calcul, mettre u chiffre aprè la virgule 0

11 Le tet du Chi Comparaio de % obervé Coditio de validité du tet du Chi Le idividu doivet être coidéré comme idépedat le u de autre Coditio de validité du tet du Chi : tou le effectif attedu doivet être > 5 (io, utilier le tet de Fiher) Le tet du Chi Comparaio de % obervé Calcul de la différece etre le effectif obervé et attedu ou H0 Soit d ob cette différece etre le effectif obervé et attedu ou H 0 ( Oa Ea) ( Ob Eb) ( Oc Ec) ( Od Ed ) d ob Ea Eb Ec Ed Soit D l eemble de toute le différece etre le effectif obervé et attedu que l o oberverait aprè ue ifiité de tirage au ort d échatillo & (Eemble de toute le d ob ) D et ue variable aléatoire, trictemet poitive Sou H 0, D D H0, qui uit ue loi du Chi à degré de liberté (ddl)

12 Le tet du Chi Comparaio de % obervé Loi du Chi à degré de liberté (ddl) Soit D H0 ue variable aléatoire uivat ue loi du Chi à ddl Illutratio : la table de la loi du Chi idique que i H 0 et vraie, il y a 3% de chace d oberver ue valeur de d ob (Phéomèe «fréquet» lorque H 0 et vraie) Loi du Chi à ddl D H0 Foctio de deité 3% 3 Le tet du Chi Comparaio de % obervé Loi du Chi à degré de liberté(ddl) Soit D H0 ue variable aléatoire uivat ue loi du Chi à ddl Illutratio : la table de la loi du Chi idique que i H 0 et vraie, il y a 5% de chace d oberver ue valeur de d ob 3,84 (Phéomèe «rare» lorque H 0 et vraie) Loi du Chi à ddl Foctio de deité 5% 3,84 4

13 Le tet du Chi Comparaio de % obervé Rejet de H0 avec le tet du Chi à ddl La valeur «3,84» da le tet du Chi d α/ da le cour magitral avec α5% Si d ob 3,84 - «O rejette de H 0 au rique d erreur α5%» - «Le % obervé p * et p * ot igificativemet différet» - «O oberve que le pourcetage de parmi et > (ou <) au pourcetage de parmi» (à compléter) - «Sou l hypothèe qu il y a pa de biai d aociatio, il y a de forte chace pour que da la populatio, il exite ue aociatio etre et» (à compléter) * Vou devez fourir etre parethèe le valeur obervée da l échatillo 5 Le tet du Chi Comparaio de % obervé Acceptatio de H0 avec le tet du Chi à ddl La valeur «3,84» da le tet du χ d α/ da le cour magitral avec α5% Si d ob < 3,84 - «O accepte H 0 au rique d erreur de β% (icou)» - «Le % obervé p * et p * e ot pa igificativemet différet» - «Sou l hypothèe qu il y a pa de biai d aociatio, il y a de chace pour que da la populatio, il exite pa d aociatio etre et» (à compléter) * Vou devez fourir etre parethèe le valeur obervée da l échatillo 6

14 Le tet du Chi Comparaio de % obervé Calcul du degré de igificatio p Si X ~> Chi² à ddl, alor p Pr(X d ob ) (Da le ca du tet du Chi, d ob et forcémet 0) Loi du Chi à ddl D H0 Calcul de d ob lecture da la table de la loi du Chi pour obteir le p Foctio de deité P(X d ob ) p% d ob 7 Le tet du Chi Comparaio d % obervé à % théorique Cotexte O coaît la répartitio attedue elo u caractère à clae (malade / o malade ; pelage blac / oir ; etc ) et o oberve ue répartitio différete Différece igificative etre la répartitio attedue et celle obervée? O uppoe u caractère exprimat da eulemet π% de ligée (répartitio medéliee théorique) et o oberve que le caractère oberve da p ob % de ca Caractère exprimé Caractère o exprimé Total Obervé Oa (p ob %) Ob (-p ob %) N ech Attedu (H 0 ) Ea (π%) Eb (-π%) N ech Ea N ech x π Eb N ech - Ea 8

15 Le tet du Chi Comparaio d % obervé à % théorique Calcul de la différece etre le effectif obervé et attedu ou H0 Soit d ob cette différece etre le effectif obervé et attedu ou H 0 ( Oa Ea) ( Ob Eb) d ob + Ea Eb La démarche rete euite la même que pour % obervé à comparer (d ob > ou 3,84?) 9 De quoi déped la valeur du p? Illutratio pour ue comparaio de moyee D H0 D p D + tot - d ob 0 + d ob tot (. ) + (. ) + Le degré de igificatio p déped De d ob, la différece obervée etre le moyee m m De D, doc de,,, p déped aui de la taille de échatillo 30

16 De quoi déped la valeur du p? Ca gééral La valeur du p déped de la différece obervée et de la taille de échatillo différece obervée (à taille d échatillo égale) p taille d échatillo (à différece obervée égale) p 3 De quoi déped la valeur du p? Coéquece U p peut être < 0,05 pour ue faible différece grâce à de échatillo de trè grade taille Quel itérêt cliique i cette différece et pa cliiquemet pertiete? U p peut être > 0,05 pour ue grade différece à caue d u trop petit ombre d idividu O peut paer à côté d u phéomèe évetuellemet itéreat à caue d ue déciio médicale uiquemet guidée par le p 3