CORRIGES DE TRAVAUX DIRIGES DE MATH TERMINALES C,D,E. Structure : Probabilités JE RAPPELLE QUE C

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1 Cette fiche a été téléchargée sur le site CORRIGES DE TRAVAUX DIRIGES DE MATH TERMINALES C,D,E. Structure : Probabilités k JE RAPPELLE QUE C k Exercice Le ombre total de possibilités de ragemet est!. Supposos que A est e premier, B est derrière, il reste ( )! répartitios possibles. Comme A peut être placé importe où das la file avec B derrière lui, il y a ( ) places possibles pour A et doc la probabilité ( )! d avoir A suivi de B ; c est pareil pour B suivi de A, soit la probabilité fiale.!. Même raisoemet ; au pire B est e derier et A r places devat ; o peut placer A de r maières, la ( r )( )! ( r ) probabilité fiale est alors.! ( ) Exercice.. A et B icompatibles doc A B +. 0 d où P( A B ) P( A ) P( B ) P( B ) A et B idépedats : P( A B ) P( A ) P( B ) P( B ) P( B ) P( B ) P( B ). A e peut être réalisé que si B est réalisé : tous les évéemets de A sot das B, P( A B ) P( A ) + P( B ) P( B ). Exercice. O pred par exemple B C E, soit P( A E ) P( A ) + P( E ) P( A E ), P( E ) P( B ) + P( C ) P( B C ) et ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) A E A B A C P A E P A B + P A C P A B A C P A B + P A C P A B C doc e remplaçat o obtiet la formule.. Même chose, par récurrece (bof et très péible). Exercice.. E E A B C A ( B C ) ( A B C B ) ( A B C C ).. A B C A ( B C ) doc e appelat K B C, o a ( ) ( ). O calcule P( B C ) 0, 0, 0, 0,6 +, P( B C ) 0, E E A K A K A. ; P( E ) P( E ) P( A ) + 0,6. CORRIGE DE LA FICHE : PROBABILITE Tle D- C ET E Page Par Hugues SILA TEL / 80 7

2 Cette fiche a été téléchargée sur le site E utilisat la formule de l exo 9, o a P( A K ) P( A B C ) 0,6 + 0, + 0, 0, 0, 0, + 0,0 0,9 ; par ailleurs ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) P A K P A + P K P A K 0,9 0,6 + 0,6 P E P E 0, et efi P( E ) 0,6 0, 0,. Exercice. Il maque ( ) P Il faut avoir des résultats comme (x, 6) ou (6, x) avec x ou 6 ; o a doc la probabilité + (o elève / pour e pas compter (6, 6) deux fois). 8. Là c est simplemet (6, x), soit Exercice 6 C + C + C ;. P( A ) P ( A ) P( C ) P ( A ) P( C ) P ( A ) P( C ) P A P( A C ) P C ( A ) P( C ) / ( C ) (ce qui était totalemet évidet ) P( A ) P( A ) /. Puisqu o a déjà pris ue pièce d arget, il faut retomber sur C, doc (attetio à 9 l idépedace, sio o aurait quelque chose plus compliqué). Exercice a. L uivers comporte tirages simultaés de 6 objets parmi 0, il y a soit ue probabilité de : 6! 0,0, eviro,% ! maières de tires les 6 doses, b. O cherche [Probabilité(0 dose herbicide) + ( dose herbicide)], soit P( 0 ) 0,0007 0,07 % ! ( )! P 0, 007 0,7 % ! Probabilité recherchée 00 (0,07+0,7) 99,76 %. CORRIGE DE LA FICHE : PROBABILITE Tle D- C ET E Page Par Hugues SILA TEL / 80 7

3 Exercice 8 Cette fiche a été téléchargée sur le site a. Il y a 9 maières de tirer boules simultaémet parmi les boules de la boîte, 6 maières de tirer rouges parmi les rouges, maières de tirer vertes parmi les vertes et 7 maières de tirer jaues parmi les 7 jaues. Probabilité recherchée ,97 soit,97%. 9 b. Comme o tire deux boules, l évéemet cotraire de «boules de même couleur» est «boules de couleurs différetes». La probabilité est doc 0, 97 0, 670. Exercices 9 a. 8 P( A ) 0,788, 00 0 P( B ) 0,067, P( A B) 0, P( A B) P( A) + P( B) P( A B) 0,868. b. Il y a 0 90 joueurs qui jouet uiquemet au casio, soit Exercice 0 0 P( C ) 0, a. O peut toujours utiliser ue loi biomiale : p 0,0 et. La probabilité que l o ait les deux pièces o coformes est ( ) 0 0, 0 0, 000 p p. b. Evéemets successifs : ( ) ( ) P C, C P C p( C) 0,0 0, 98 0,096. Exercice a. Formule des probabilités totales : P( f ) P( [ H f ] [ F f ] ) P( H ) PH ( f ) + P( F ) PF ( f ) + 0, b. Probabilité recherchée 0,6 0, 0,. 0,6 0, + 0, 0, Exercice a. A l aide d u arbre de probabilités à ouveau ous obteos 0,.0,0 + 0,.0,0 + 0,0.0,0 0,0. b. 0, 0,0 0, 6. 0, 0,0 + 0, 0,0 + 0,0 0,0 Exercice a. ( ) 0,6 P chie doc P chie chat P chat P( chie ) b. P( chat ) 0,0, P chat ( ) ( ) 0, 0,6 0,079. chie P( chie chat) 0,079 ( chie ) 0,6. P( chat) 0,0 CORRIGE DE LA FICHE : PROBABILITE Tle D- C ET E Page Par Hugues SILA TEL / 80 7

4 Exercice Cette fiche a été téléchargée sur le site a. J ai résolu cet exercice à l aide d u arbre de probabilités. Probabilité recherchée 0, 0,8 0, 0,8 + 0,7 0, 77,% 0, 0, b. Probabilité recherchée 0, 0, + 0,7 0,9 8,7%. Exercice doc le Questio : L espérace mathématique du jeu est ( ) ( ) ( ) jeu est C : équitable. Questio : Loi biomiale, répose B. 0 8 au mois u oui 0 oui, doc 6 6 p, P( ) P( ) Questio : Le joueur tire simultaémet deux bulletis de l ure : il y a tirages possibles ; la probabilité qu il obtiee u tirage de deux bulletis de sortes différetes est égale à la probabilité de tirer + + oui et o ou oui et blac ou o et blac, soit, répose C. Exercice 6 a. Vrai : O trouve facilemet P( N ), P( U / N ) et 6 P( U ) P( U / N ). P( N ) + P( U / N ). P( N ) P( U / N ). Repreos les probabilités totales : 6 b. Vrai : épreuves idépedates répétées doc loi biomiale : les paramètres sot pour le ombre de tirages et p : * si o choisit u dé ormal 0 p, o a alors P (t irer 6 fois) p ( p) 6 6 ; * si o choisit le dé truqué p, o a alors 6 P (tirer 6 fois). E refaisat le même raisoemet qu au a. o obtiet : P (tirer 6 fois) + 6. c. Vrai : P( N S ) 6 p P( N / S). P( S ) d. Faux : p ted vers quad ted vers l ifii, ce qui semble logique. Exercice 7 CORRIGE DE LA FICHE : PROBABILITE Tle D- C ET E Page Par Hugues SILA TEL / 80 7

5 Cette fiche a été téléchargée sur le site k Faux : L ure cotiet géométrique). boules (somme des termes d ue suite k k k ; si k0, b. Faux : Si k>0, P( X ) k puisque > ). P( X 0) (la répose proposée était forcémet fausse c. Vrai : O teste la formule pour : k 0 k. +. ;( ) +. Récurrece : k + k k + k k + ( + ) ( ) + + ( + ) + + ; k k remplaços maiteat par + das la formule : + k k + + k ( ) + k ( + ) + + ; ok. k k d. Faux : + + k + k E( X) k k d où k ( ) E( X) ( ) + ( ) +. EXERCICE 8 P B U P( U et blaches) P( B/ U). P( U). + ( + )( + ) ( + )( + ) a. Faux : ( ) b. Faux : Utilisos les probabilités totales : P( B) P( B U) + P( B V ) P( B/ U) P( U) + P( B/ V ) P( V ). Or ( ) P( B/ V ), + ( + )( + ) ( ) P( B) +, soit ( + )( + ) ( + )( + ) + P( B). ( + )( + ) P( B U) ( + )( + ) c. Vrai : P( U / B). P( B) + + ( + )( + ) d. Faux : P( U / B) 0, 0, ; +7, soit 8, d où +,7 ;,7 ; le triôme est positif si, il faut doc que. De toutes maières o pouvait tester qui doe P( U / B ) qui est trop gros. 7 EXERCICE 9 CORRIGE DE LA FICHE : PROBABILITE Tle D- C ET E Page Par Hugues SILA TEL / 80 7

6 Cette fiche a été téléchargée sur le site Questio a b c d Répose F V V F a. B B se traduit par :«tirer ue blache e et tirer ue rouge ou ue verte e». Comme les tirages sot idépedats le mieux est ecore de faire le calcul : p( B k ), p( B k ), et la même chose pour les autres couleurs : 9 p( B B )., p( V V ) p( R R ) b. A est l évéemet «tirer ue boule d ue couleur e et d ue couleur différete e», soit 6 p( A ) p( B B ) + p( V V ) + p( R R ) c. Pour A il faut tirer fois la même couleur, soit pour chaque couleur puis tirer ue couleur différete, soit ; comme il y a couleurs, ça ous fait p ( A ). d. La somme p( A ) + p( A ) p( A ) est la somme des termes d ue suite géométrique de premier terme p( A ) et de raiso doc elle vaut (de à il y a termes) qui ted vers à l ifii. O pouvait s e douter das la mesure où o est sûr de fiir par tirer ue boule de couleur différete EXERCICE 0 Partie A. A et B formet ue partitio de l uivers Ω ; d après la formule des probabilités totales, o a 9 p( R ) p( A R ) + p( B R ) pa ( R ) p( A ) + pb ( R ) p( B ) Par coséquet, p( R ) 0,. CORRIGE DE LA FICHE : PROBABILITE Tle D- C ET E Page 6 Par Hugues SILA TEL / 80 7

7 Cette fiche a été téléchargée sur le site p( B R ) 60. Doc, si le joueur p( R ) obtiet ue boule rouge, la probabilité qu elle proviee de A est iférieure à celle qu elle proviee de B. p( A R ). Calculos pr ( A ) et pr ( B ) : p ( ) 60 R A et pr ( B ) p( R ) 9 9 Partie B L épreuve décrite das la partie A est ue épreuve de Beroulli dot le succès est «obteir ue boule rouge». O a p 0, et : ( ) ( 0, ) k ( 0, ) k p X k. k 0, 0, 0. p( G x ) p( X ) ( ) p( G ) p( X 0 ) ( 0,8 ) 0,7. 0 0, 0,8 0, ; p( G x ) p( X ) ( ) ( ) ;. ( ) ( ) ( ) ( ) E G 0, 0 x + 0, x + 0,7 0, x,., 0,. E( G ) 0 0,x, 0 0,x, x x,. Or x est u etier aturel, doc E( G ) 0 lorsque x est supérieur ou égal à. EXERCICE Partie A 9 7 < p( G ) p( B ) p( dé 6 ) p( N ) p( dé 6 ). p ( B ) P p( Blac et Perdu ) p ( P ) Loi biomiale :, 7 p ; il e gage avec la probabilité ,9.. Loi biomiale : quelcoque, 7 0 ( ) 0 0 p ; p X p ( X ) ; o a alors ( ) l 0, 0 p( X ) 0, 99 0, 99 l l ( 0, 0 ) 7, 0 0 l 0 d où 8. Partie B. a. X pred les valeurs et ; p( X ) p( P ), p( X ) p( G ) 7 E( X ) CORRIGE DE LA FICHE : PROBABILITE Tle D- C ET E Page 7 Par Hugues SILA TEL / 80 7

8 Cette fiche a été téléchargée sur le site b. L orgaisateur e semble pas très matheux + < Il faut recalculer p( G ) p( B ) p( dé 6 ) p( N ) p( dé 6 ) ( ) d où ( ) E X ( 6 6 ) 0 ( ) ( ) ( + ) 6 ( + ) qui sera positif lorsque 9. EXERCICE.. a. ( ) pd G : s il tire u, il gage s il tire ue voyelle, soit chaces sur 0, p ( ) D G. 0 pd ( G ) : s il tire u, il gage s il tire voyelles, soit 6 pd ( G ) ; chaces sur, pd ( G ) : s il tire u, il gage s il tire voyelles, soit pd ( G ). 0 0 b. O applique les probabilités totales :. Ce coup-ci o cherche ( ) ( ) ( ) chaces sur 0.,. p( G) p D G + p D G + p D G. pd ( G). p( D ) + pd ( G). p( D ) + pd ( G). p( D ) p( G D ( ). ( ) pd G p D ) pg ( D ).. p( G) p( G) U joueur fait six parties : loi biomiale avec 6 et O remplace 6 par et k par 0 : p. O cherche 80 6 p( k ) 0, p( k ) p( k 0) l(0,) résoudre 0, 9 0, 6, 8 soit 7 parties miimum l(7 / 80) EXERCICE O fait u arbre qui doe toutes les réposes immédiatemet : 0 ; il faut doc CORRIGE DE LA FICHE : PROBABILITE Tle D- C ET E Page 8 Par Hugues SILA TEL / 80 7

9 Cette fiche a été téléchargée sur le site dé /6 dé ou 6 /6 U p(n) /k U p(n) /k dé,, /6 U p(n) /k. a. Pour avoir ue boule oire il faut calculer la probabilité d avoir tiré avec le dé et ue oire das U, etc., soit sous forme de probabilité coditioelle : p( N ) p[( A N ) ( B N ) ( C N )] p( A) p ( N ) + p( B) p ( N ) + p( C) p ( N ). U U U 0 Ceci doe évidemmet p( N )... 6 k + 6 k + 6 k 6k k. p( A N ) / k b. O cherche ici PN ( dé ). p( N ) / k 0 0 c. > k < 0 k < ; comme k est etier et supérieur ou égal à, il reste k. k d. k 0 k 0 k 0.. Le ombre de fois où o tire ue boule oire sur les 0 parties suit ue Loi biomiale de paramètres 0 et p. 0 La probabilité qu il obtiee au mois ue fois ue boule oire est doc p( X ) p( X 0) 0, EXERCICE 6 6. O effectue au hasard u tirage de deux boules simultaémet de l ure : il y a possibles. tirages. «O a obteu aucue boule oire» reviet à dire que l o a tiré deux rouges parmi, il y a 6 6 la probabilité est p (A 0 ) ; et CORRIGE DE LA FICHE : PROBABILITE Tle D- C ET E Page 9 Par Hugues SILA TEL / 80 7

10 Cette fiche a été téléchargée sur le site de même «o a obteu ue seule boule oire» reviet à dire qu o a tiré ue oire parmi et ue rouge 8 parmi, il y a. 8 maières de procéder, ce qui doe p (A ) ; comme la seule possibilité 6 8 restate est de tirer oires, o a p(a ) p( A ) +.. a. Lors de ce deuxième tirage o a 6 tirages possibles. Si o a tiré 0 oire au er tirage, o a tiré rouges ; il reste doc rouges et oires das la boite et la probabilité de tirer 0 oire est celle de tirer rouges parmi, soit pa (B 0 0 ) ; 6 6 si o a tiré oire au er tirage, o a tiré égalemet rouge ; il reste doc rouges et oire das la boite et la probabilité de tirer 0 oire est celle de tirer rouges parmi, soit pa (B 0 ) ; 6 6 si o a tiré oires au er tirage, o a tiré 0 rouge ; il reste doc rouges et 0 oire das la boite et la 6 probabilité de tirer 0 oire est celle de tirer rouges parmi, soit pa (B 0 ) (e fait c était 6 6 évidet puisqu il y a plus que des rouges). b. avec les probabilités totales o a p(b ) p ( B A ) + p ( B A ) + p ( B A ), soit p(b 0 ) pa (B 0 ) p ( A 0 ) + pa (B 0 ) p(a ) + pa (B 0 ) p ( A ) c. De la même maière o a p (B ), pa (B ), A p (B ) 0 ; A p(b ) pa (B ) p ( A 0 ) + pa (B ) p(a ) + pa (B ) p ( A ) ; p (B ), A 6 6 p (B ) 0, p A (B ) 0 ; A p(b ) pa (B ) p ( A 0 ) + pa (B ) p(a ) + pa (B ) p ( A ) d. O a obteu ue seule boule oire lors de ce secod tirage, o coaît doc B. Nous cherchos alors 8 p ( A B ) pa (B. ) p(a ) p B (A ). p(b 8 ) p(b ) 6 8 (R) (A B ) + (A B ) (A ) (B ) + (A ) (B ), soit p (R) p p 0 p p 0 pa0 p pa CORRIGE DE LA FICHE : PROBABILITE Tle D- C ET E Page 0 Par Hugues SILA TEL / 80 7

11 EXERCIE Cette fiche a été téléchargée sur le site Correctio.a. Arbre podéré : Evéemet A : chemi Evéemet B : chemi Evéemet C : chemi B P(B) N P(N) B P(B/B) N P(N/B) B P(B/N) N P(N/N) p(b) ; + p(n) +. U : B,N U : B,N U : -B,N U : B,0N p(b/b) ; p(n/b) ; p(b/n) ; p(n/b) U : +B,N U : B,N U : B,N U : B,N. a. La probabilité p(a) se calcule e parcourat l'arbre : p(a) +, soit p( A) +.. b. lim p(a). +. La probabilité p(b) se calcule e parcourat l'arbre : p( B), + p( B). ( + ). a. Le joueur doit être certai de pouvoir, das le meilleur des cas, récupérer au mois sa mise d'où > 0, soit > 0.. b. Le derier évéemet o ecore cosidéré (C) est : "Après l'épreuve, l'ure U cotiet boules blaches". La probabilité p(c) se calcule e parcourat l'arbre : p(c), p(c) + ( + ) La variable aléatoire X peut predre valeurs : 0 (évéemet A) ; 0 (évéemet B) ; 0 (évéemet C). Loi de probabilité de la variable aléatoire X : CORRIGE DE LA FICHE : PROBABILITE Tle D- C ET E Page Par Hugues SILA TEL / 80 7

12 Cette fiche a été téléchargée sur le site x i p(x x i ) ( + ) + + ( + ) ( 0) 0. c. Espérace mathématique : E(x) E(X) ( 0) + +, soit ( + ) + ( + ) 6 0 E(X). ( + ). d. E(X) > 0 doe 6 0 > 0, soit ( + 0)( ) > 0 et [ ; + [ puisque est etier. EXERCICE 6 a. Pour avoir dix boules de même couleur das chaque ure il faut avoir 0 oires das A et 0 Blaches das B ou le cotraire. 0 Le ombre de répartitios est de 0, le ombre de choix permettat 0 oires das A et 0 blaches das B est 0 0 ; la probabilité est doc b. boules blaches et boules oires das A :, soit ue probabilité d eviro 0,.. a. x6 : il faut tirer ue blache de A et la mettre das B puis tirer ue blache de B et la mettre das A, soit 6 ou bie tirer ue oire de A et la mettre das B puis tirer ue oire de B et la mettre das A, soit ; au total cela fait b. Même raisoemet : x ( ) 0 x + 0 x x + M ( 9 0 ) ( 0 ) P + x x + x x + x + x x + 0x + x + 0x 0 d où. Il faut doc qu il y ait, ou 6 boules blaches das l ure A. c. O veut savoir quad P( M ) P( M ) p ( M ), soit après résolutio :, x 6,8 EXERCICE 7. a. p(a) 6 ; p( A) 6 ; p(b/a) 7 ; p(b/ A) 7 D'après la loi des probabilités totales o a : p(b) p(a B) + p( A B) b. p B (A) p(b) p(a B) d'où p B (A) ( / 7) ( / 6). / c. De même o a : p( A/B) p( B) p( A B) d'où p( A/B) (8 / ) ( / 6) 6 / 7 CORRIGE DE LA FICHE : PROBABILITE Tle D- C ET E Page Par Hugues SILA TEL / 80 7

13 Cette fiche a été téléchargée sur le site Esemble des valeurs de X :{; ; ; } : k p(x k) 6! 7! 7! 7! 7! 7!!! 7! E(X) E(X ) 7 + ² 7 + ² + ² 0 0 ; var(x) ; σ(x),69. Exercice 8 Il y a +0 boules ; il y a doc 0 C + 0 tirages possibles ; o tire oires avec la probabilité doc 0 0!!!!! ( )!!! p K K + 0 ( + 0 )! ( )!( + 0 )! !! p K K qui est décroissate et ted vers 0. 0 Exercice 9 ( )( )( )( ), ( )( ) ( )( ) Positif 0,08 Malade 0,0 Pas malade 0,9 Négatif 0,0 Positif 0,0 0,00 0,0097 Négatif 0,960 0,99. Voir ci-cotre.. O ote M l idividu est malade et T le test est positif : a. P M T P( M ) P ( T ) ( ) 0,0 0,9 0, 08. b. P M T P( M ) P ( T ) M ( ) 0,97 0, 99 0,960. M c. P( T) P( M T) + P( M T) 0, ,08 0,08. d. P( T ) P( M T ) + P( M T ) 0,00 + 0,960 0,968. CORRIGE DE LA FICHE : PROBABILITE Tle D- C ET E Page Par Hugues SILA TEL / 80 7

14 . a. Cette fiche a été téléchargée sur le site P( T M ) 0,0097 PT ( M) 0, : c est éorme P( T) 0,08 P( T M ) 0,00 b. P ( M ) 0,00 : ouf o a très peu de chaces d être malade sachat que le test est T P( T ) 0,968 égatif, c est rassurat. Exercice 0. Il y a possibilités pour le premier jeto ET possibilités pour le secod, soit 6 évetualités. Pour gager ue partie, la somme doit être égale à. C'est-à-dire avoir l'u des couples suivats ( ; ), ( ; ), ( ; ), ( ; ), soit des 6 évetualités. p(g) /.. a. Pour ue partie doée la situatio peut être représetée par u arbre. Pour calculer p(c ), o a : p(c ) [p(a ) + p(b )] 0 ou ecore, e utilisat l'arbre : p( C ) A obtiet B obtiet B obtiet pas O rejoue. A gage p( A ) 6 A obtiet pas B obtiet B gage p( B ) 6 B obtiet pas O rejoue.b. O peut représeter les parties avec u ouvel arbre dot les braches se termiet lorsque l'u ou l'autre des joueurs A et B a gagé. Das le cas cotraire, ue ouvelle ramificatio se crée. CORRIGE DE LA FICHE : PROBABILITE Tle D- C ET E Page Par Hugues SILA TEL / 80 7

15 Cette fiche a été téléchargée sur le site A B C A B A+ C A B C B+ C+ C (fig ) (fig ) Pour chaque brache, la probabilité que l'o rejoue sachat que persoe 'a gagé au tour précédet est de 8. O a doc p(c +) 8 p(c ). C'est ue suite géométrique de raiso 8 et de premier terme, o obtiet 8 p( C ) 8..c. De la même faço o a (fig.) p( A+ ) p( C) d'où p( A ). 6 8.d..e. lim p( A ) lim car 8 < < 0, 0 < ( ) l l < < l > 00 6, > 7,. l 8 (O chage de ses car l < ) 8 O déduit que le plus petit etier aturel tel que p(a ) soit iférieur ou égal à 0,0 est 8. Exercice 0. Il y a 0 tirages disticts possibles. CORRIGE DE LA FICHE : PROBABILITE Tle D- C ET E Page Par Hugues SILA TEL / 80 7

16 . a. Cette fiche a été téléchargée sur le site 8 p( B) b. A 'est réalisé que lorsque les jetos portet le uméro 0, il 'y a qu'ue possibilité. p( A ). 0 Il y a 6 jetos blacs. La probabilité est doc : 6 p( C). 0 0 Les jetos peuvet être, soit tous blacs, soit tous rouges. Or il 'y a que jetos rouges, doc ue seule 6 8 possibilité qu'ils soiet tous rouges : p( D) p( C) Au mois u jeto porte u uméro différet des autres. Le cotraire est "tous les jetos ot le même 09 uméro", qui 'est réalisé que pour le uméro 0. p( E) p( A). 0 c. C est réalisé, c'est-à-dire tous les jetos sot blacs. O rappelle que d'etre eux ot le uméro 0 et deux d'etre eux, le uméro. p( B C) p( B) 8 Pour que B soit réalisé, la probabilité est doc de p ( ) 0 C B, e effet o a p( C) p( C) p( B C) p( B) car o e peut former 000 qu'avec des jetos blacs.. Pour 7000 : p( G 7) ; pour 000 : p( G ) p( B) ; pour 0000 : p( G ) ; les autres : p( G ) G 7 p(g x i ) p i x i E(G) ,66. Le joueur peut espérer gager 0,66 cetimes d'euros par jeu : 0 0 celui-ci lui est légèremet favorable. EXERCICE. Comme A et B sot idépedats o a p( A B) p( A) p( B) 0,0 0, ; o e déduit doc que [ ] p(c) p( A B) p( A) + p( B) p( A B) 0,0 0, + (0,0 0,) 0,88. CORRIGE DE LA FICHE : PROBABILITE Tle D- C ET E Page 6 Par Hugues SILA TEL / 80 7

17 Cette fiche a été téléchargée sur le site Il y a 0,0 0,00 0,08 chaces de tomber sur ue motre ayat que le défaut a ; de même il y a 0, 0,00 0,098 chaces de tomber sur ue motre ayat que le défaut b ; o a doc p( D ) 0, , 098 0,6.. X suit ue loi biomiale B ( ; 0,88) ; 0 p( E) p( X ) p( X ) + p( X ) 0, 88 0,8 + 0, 88 0,8 0, 89. EXERCICE. a. Il y a deux possibilités pour chaque chiffre, soit 6. b. X peut predre les valeurs 0,,, ou. La loi de X est ue loi biomiale p.. B,. So espérace est. P( ). E 0 a. P( E ) P( E ) 0 0,87. 0 b. Si E 0 s est produit, l imprimate a marqué que des 0, il fallait doc que l appareil evoie la séquece 0000 : P E 0 ( C ) 6. O e déduit ( ) ( ) ( ) P C E0 PE C P E 0 0 0,0 0,00. 6 c. O résume les résultats das u tableau. Séqueces correctes P E ( C ) P( C ) E , , 000, 000, ,00 0,00 0, , 000, 000, 00, 000, 00, 00, , ,., 6 6 0,87 P ( C ) P( C E ) 0,00 + 0,00 + 0, , ,87 0,90. 0 d. O cherche P ( ) C ( ) P( ) P C E 0,008 E 0,0089. C 0,90 CORRIGE DE LA FICHE : PROBABILITE Tle D- C ET E Page 7 Par Hugues SILA TEL / 80 7

18 EXERCICE Cette fiche a été téléchargée sur le site P.. Comme clefs ouvret pas sur les, ( D ). Il reste alors clefs dot ouvre pas : P ( D ). P ( D D ) P ( D ) P ( D ) P.. O cherche ( D D D ) D. 0 D. a. & b. (O, N)(, ) Ouvre (, ) N ouvre pas (, ) Ouvre (, ) N ouvre pas (, 0) Ouvre (0, 0) Probabilité / / / / / (O, N)(, ) Ouvre (, ) Ouvre (, ) Ouvre (0, ) N ouvre pas (0, ) N ouvre pas (0, 0) Probabilité / / / / / 0 Soit les probabilités : P ( ; ) et ( ; ) P. 0 EXERCICE Ue ure cotiet 6 boules bleues, boules rouges, et boules vertes, idiscerables au toucher Nombre de possibilités : 6... a. E :«Les boules sot toutes de couleurs différetes»: o tire parmi les bleues ou parmi les rouges, soit P( E ) E :«Les boules sot toutes de la même couleur»: o tire ue boule parmi chaque couleur : P( E ) b. X peut predre les valeurs 0,, ou : P( X k ) Les calculs doet : ( ) 6 k k E X , CORRIGE DE LA FICHE : PROBABILITE Tle D- C ET E Page 8 Par Hugues SILA TEL / 80 7

19 Cette fiche a été téléchargée sur le site Il s agit pour les bleues comme pour les rouges de lois biomiales doat la probabilité de tirer m boules d ue couleur doée sur k tirages ; pour les bleues : B k,, ( ) P k rouges k 6 B k,, ( ) 6 P k bleues k k, et pour les rouges : 6 k ; il faut doc résoudre k 0. k EXERCICE Nombre de possibilités : a. p( A ), p( B ), p( C ) b. X peut predre les valeurs, ou : p( X ) p( B ) ; p( X ) p( C ) 0 79 p( X ) p( X ) p( X ) E( X ) , et 0 + ( + )( + ). a. Nombre de tirages possibles :. Nombre de tirages possibles pour D : ( ) ( ). Après simplificatio o a p( D ). ( + )( + ) ( ) 8 b. E rouges ou jaues ou vertes, soit d où ( ) p E ( )( ) O a p( E ) Après résolutio o a ,, soit. EXERCICE Nombre de tirages possibles : a. Pour faire 000 il faut tirer blac parmi et blacs 0 parmi, soit 8 possibilités. La probabilité 8 de l évèemet B est p( B ) b. A : blacs 0 parmi : p( A ) ; C : blacs parmi 6, soit p( C ) ; D : blacs parmi 6 ou rouges parmi, soit p( D ) + ; CORRIGE DE LA FICHE : PROBABILITE Tle D- C ET E Page 9 Par Hugues SILA TEL / 80 7

20 Cette fiche a été téléchargée sur le site 09 E : évéemet cotraire : tous les jetos ot le même uméro, soit A ; p( E ) p( A ). 0 8 c. Le fait que C soit réalisé limite les tirages possibles à ; o a alors pc ( B ).. G p G E( G ) , EXERCICE 8. a. A u sommet comme A, B, C ou D la fourmi a d aller sur u autre sommet ; e S elle a autre sommet. d aller sur u O a doc la probabilité de reveir e A : ( ) P ABA, ADA,ASA +. 6 La probabilité d aller e B : ( ASB ) P. La probabilité d aller e C : ( ABC, ADC, ASC ) La probabilité d aller e D : ( ASD ) b. 7 P P. +. p. p P( aller e S ) P( pas e S au pas ) P( S ) ( p ). a. p, ok. p ok égalemet. b. Comme <, le terme ted vers 0 doc EXERCICE 9 x Aisi, la probabilité qu u robot tombe e pae avat l istat t est égale à P( X t ) λe λ dx. P X > 6 P X 6 e dx e e ; o résoud :. ( ) ( ) 6 λx λx 6 λ6 λ l 0, e λ 0, 6λ l 0, λ 0, ,. 6 CORRIGE DE LA FICHE : PROBABILITE Tle D- C ET E Page 0 Par Hugues SILA TEL / 80 7 t 0

21 Cette fiche a été téléchargée sur le site t x t t l P X t 0,e dx e 0, e 0, 0, t l t, 7, soit eviro trois as 0 0, et demi. 0, 0, 0,. ( ). La probabilité qu u robot ait pas eu de pae au cours des deux premières aées est ( ) ( ) 0, 0, >. P X e e. O cherche ( ) ( ) ( > ) ( > ) ( ) ( ) ( ) P X X 6 P X 6 0, 6 > e 0,, 0,8 P X > X > 6 e e 0,. P X > P X > 0, e. Y le ombre de robots sas paes au cours des deux premières aées suit ue loi biomiale de paramètres 0, p e 0, ; o cherche doc C est du bo matériel 0 0 0, 0, ( ) ( ) ( ) ( ) P Y P Y 0 e e 0, CORRIGE DE LA FICHE : PROBABILITE Tle D- C ET E Page Par Hugues SILA TEL / 80 7