COURS MPSI A 7. POLYNÔMES R. FERRÉOL 13/14

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1 Das tout ce cours, K désigerouc. I) DÉFINITIONS 1) Foctios polyômes. DEF : ue applicatio f d ue partie I de K das K est ditepolyomiale (ou appelée uefoctiopolyôme) si N (a 0,a 1,...,a ) K +1 / x I f(x)= L esemble des foctios polyomiales de I das K est otép(i,k). a k x k = a 0 +a 1 x+...+a x PROP :P(I,K) est à la fois u sous-espace vectoriel et u sous-aeau dea(i,k)=k I (mui de l additio et de la multiplicatio extere das le premier cas, et mui de l additio et de la multiplicatio itere das le deuxième). D1 2) Polyômes formels. DEF : u polyôme (formel, à ue idétermiée) sur le corps K est ue suite défiie surnd élémets de K, ulle à partir d u certai rag ; l esemble de ces polyômes est oté K[X] : k N ak K K[X]= (a k ) k0 / N/ k > a k =0 a k est lecoefficietd idice k (ou derag k) du polyôme P =(a k ) (mais attetio : a k est le k+1 ième coefficiet). E particulier, le polyôme ul, oté par abus0, est(0,0,...), et l idétermiée, otée X, est(0,1,0,0,...). DEF : - ledegré d u polyôme o ul est l idice maximum d u coefficiet o ul ; par covetio, le degré du polyôme ul est. pour P =(a k ) k0,degp =max a k =0 k - lavaluatio d u polyôme o ul est l idice miimum d u coefficiet o ul ; par covetio, la valuatio du polyôme ul est +. pour P =(a k ) k0,valp =mi a k =0 k E1 DEF : - les polyômes de degré 0 et le polyôme ul sot ditscostats. - P est appelé umoôme sidegp =valp (u seul coefficiet o ul). - si =degp, le coefficiet de rag est appelé le coefficietdomiat ou "detête" du polyôme. - u polyôme dot le coefficiet domiat est égal à1est ditormalisé, ouuitaire. Exemple : le moôme uitaire de degré 1 est X=(0,1,0,0...). II) ESPACE VECTORIEL ET ANNEAU K[X]. 1) Espace vectoriel K[X]. Remarquos que K[X] est u sous-esemble de K N, qui, mui de l additio et de la multiplicatio à opérateurs das K, est u K-espace vectoriel ; si P =(a k ) k0 et Q=(b k ) k0, par défiitio, P+Q=(a k +b k ) k0 et λp =(λa k ) k0. PROP : K[X] est u sous-espace vectoriel de K N. D2 2) Multiplicatio des polyômes ; aeau K[X]. 1

2 DEF : si P =(a k ) et Q=(b k ), par défiitio, PQ=(c k ) avec c k = a i b j = i+j=k k a i b k i = a 0 b k +a 1 b k a i b k i +...+a k 1 b 1 +a k b 0 i=0 REM : pour que ceci défiisse bie ue loi de compositio itere das K[X], il faut vérifier que la suite (c k ) est bie ulle à partir d u certai rag ; ceci viet de ce que : PROP : si(a k ) est ulle à partir du rag +1 et(b k ) est ulle à partir du rag m+1,(c k ) est ulle à partir du rag +m+1 ; de plus c +m = a b m. D3 PROP :(K[X],+, ) est u aeau commutatif itègre. D4 3) Notatio classique k0a k X k des polyômes. a) O remarque que si λ K (λ,0,0...)+(a 0,a 1,...) = (λ+a 0,a 1,...) (λ,0,0...) (a 0,a 1,...) = (λa 0,λa 1,...) Il y a doc pas de cotradictio à cofodre le polyôme costat(λ,0,0...) avec le scalaireλ, ce que l o fait doréavat ; le corps K est maiteat cofodu avec l esemble des polyômes costats (doc K K[X]). b) O remarque que si k N,(a 0,a 1,...) X =(0,a 0,a 1,...) et doc(0,0,...,0,1,0,0,..) (avec le1au rag k) est égal à X k (par covetio, X 0 =1). c) O e déduit que(a 0,a 1,...) peut s écrire sous la forme (a 0,a 1,...)=a 0 +a 1 X+a 2 X = k0a k X k (cette derière somme état qu e apparece ifiie puisque les a k sot uls APCR). D5 doc doréavat K[X] = k N a k X k ak K / k0 N/ k > a k =0 REM : la propriété k X k0a k = b k X k N k a k = b k k0 est alors ue évidece (alors que x K a k x k = b k x k N k a k = b k k0 k0 e est pas ue : voir plus loi). 4) Propriétés du degré et de la valuatio vis-à-vis de la somme et du produit. PROP : si P,Q K[X] deg(p+q)max(degp,degq) avec égalité assurée sidegp =degq degpq=degp+degq val(p+q)mi(valp,valq) avec égalité assurée sivalp =valq valpq=valp+valq 2

3 D6 5) Espace vectoriel des polyômes de degré iférieur ou égal à. PROP : pour tout aturel, l esemble des polyômes de degré iférieur ou égal à, oté K [X] est u sous-espace vectoriel de K[X] ; la famille 1,X,X 2,...,X e est ue base, appelée labasecaoique ; la dimesio de K [X] est doc +1. D7 ATTENTION 1 : dimk [X]=+1 et o! ATTENTION 2: K [X] est pas u sous-aeau de K[X], sauf pour =0. ATTENTION 3 : l esemble des polyômes de degré est pas stable par additio! REM : K 0 [X]=K={polyômes costats}={polyômes de degré 0} {0} est ue droite vectorielle. PROP : toute famille de polyômes de degrés disticts (ou de valuatios distictes) est libre. O e déduit que si(p k ) est ue suite de polyômes telle quedegp k = k, alors(p 0,P 1,...,P ) est ue base de K [X]. D8 III) SUBSTITUTION D UNE VALEUR DÉTERMINÉE À L INDÉTERMINÉE X. 1) Défiitio. DEF : soit x u élémet d u aeau commutatif A qui est e même temps u K-espace vectoriel et P = a k X k ; o appellerésultatdelasubstitutiode xàl idétermiée X l élémet de A : P(x)= a k x k = a 0 1 A +a 1 x+a 2 x a x Exemples : A=R,A=C, A=M 2 (K), A=K[X], A=K I. REM 1: P(X) est doc égal à P. REM 2 : P(Q) (résultat de la substitutio de Q à X) das P peut être cofodu avec P.Q ; quad il y a ambiguité, o le otera P Q. E3 polyômes de Tchebychev : la suite de polyômes(t ) défiie par T 0 =1, T 1 = X et T +1 =2XT T 1 pour 1 est telle que N θ R T (cosθ)=cos(θ). De plus, T est de degré et so coefficiet domiat est2 1 (pour 1). 2) Relatios etre K[X] etp(i,k). D9 PROP : P,Q K[X] x K (P+Q)(x)=P(x)+Q(x) (PQ)(x)=P(x)Q(x) (P Q)(x)[ou (P(Q))(x)]=P(Q(x)) DEF : si P est u polyôme formel K[X], la foctio polyôme défiie sur I associée à P est la foctio f : I K x P(x) PROP : l applicatioφde K[X] dasp(i,k) qui à tout polyôme associe cette foctio polyôme, qui est surjective par défiitio, est aussi u morphisme d aeaux. D10 IV) DIVISIBILITÉ DANS K[X]. 3

4 1) Relatio de divisibilité. DEF : soit A,B deux polyômes ; o dit que Adivise B (ou que A est udiviseur de B ou ecore que B estmultiple de A) si Q K[X] / B= AQ Notatio : A B. E2 : détermier les diviseurs ormalisés de X 4 1 PROP : la relatio est réflexive et trasitive, mais o atisymétrique : (A B et B A) équivaut à D11 λ K / B= λa DEF : deux polyômes qui se diviset mutuellemet (ce qui équivaut à ce qu ils diffèret d ue costate multiplicative) sot dits associés. REM : tout polyôme o ul est associé à u uique polyôme uitaire. CORO : la relatio est ue relatio d ordre sur l esemble des polyômes uitaires. 2) Divisio euclidiee des polyômes. TH : état doé deux polyômes A,B=0, il existe u uique couple(q,r) de polyômes vérifiat A=BQ+R, avec degr <degb Q et R sot appelés respectivemet lequotiet et lereste de la divisio euclidiee de A par B. D12 : utilisat, pour l existece, le lemme : sidegadegb, il existeq 1 eta 1 tels quea=bq 1 +A 1 avecdega 1 <dega. 3) Polyômes premiers etre eux, PGCD, PPCM. a) Polyômes premiers etre eux (ou étragers). Si A est u polyôme, o otem A ={AU / U K[X]} l esemble des multiples de A. LEMME FONDAMENTAL : si A et B sot deux polyômes o uls, il existe u uique polyôme D uitaire tel que M A +M B =M D. D13 O oted A l esemble des diviseurs ormalisés d u polyôme A. DEF : deux polyômes A et B K[X] sot ditspremiersetreeux ssi leur seul diviseur commu ormalisé est 1 (i. e. D A D B ={1}). TH de Bézout : A et B sot premiers etre eux si et seulemet s il existe deux polyômes U et V tels que AU+BV =1. D14 (applicatio du lemme). COROLLAIRE : TH de Gauss : si A divise BC et A et B sot premiers etre eux, alors A divise C. D15 b) PGCD. TH : Soiet A,B 2 polyômes o uls, et D l uique polyôme ormalisé tel quem A +M B =M D alors 1) D divise A et B et tout diviseur commu à A et B divise D 2) D est l uique polyôme ormalisé de degré maximum divisat A et B. 3) A/D et B/D sot premiers etre eux. 4

5 D16 DEF : ce polyôme D est appelé le PGCD de A et B. Notatio : PGCD(A,B) ou A B. PROP : A et B sot premiers etre eux ssi leur PGCD est 1. D17 REM 1 : o peut poser A 0=0 A=A. REM 2 : mutatis mutadis, l algorithme d Euclide foctioe chez les polyômes exactemet comme chez les etiers. c) PPCM. TH et défiitio : si A et B sot deux polyômes o uls, il existe u uique polyôme M uitaire tel quem A M B = M M. M est appelé le PPCM de A et B. Notatio : PPCM(A,B) ou A B. TH : a) pour A,B,M polyômes o uls, M ormalisé, o a M = PPCM(A,B) ssi l ue des propriétés suivates est réalisée : 1) M est multiple de A et B et tout multiple de A et B est multiple de M 2) M est u multiple de A et B ayat u degré miimal. 3) M divise AB et D=(AB)/M est associé au PGCD de A et B. D18 Pour 3) utiliser : si D 1 divise A et B alors A et B diviset AB/D 1. REM : o a doc PPCM(A,B).PGCD(A,B)=AB si A et B sot ormalisés. V) RACINES (OU ZÉROS) DES POLYNÔMES. 1) Défiitio et premiers exemples. DEF : soit P K[X] et x 0 K ; o dit que x 0 est ue racie (ou u zéro) de P si P(x 0 )=0. PROP : x 0 est ue racie de P ssi le polyôme X x 0 divise P das K[X]. D19 (deux méthodes). Exemples classés suivat le degré de P : =0 : =1 : ax+b a ue uique racie : - b a. =2 : P = ax 2 +bx+c=a(...)=a (...) = a X+ b 2 2a (2a) 2 = 1 (2aX+b) 2 4a (forme caoique de P, avec = b 2 4ac) PROP : P possède des racies ssi est u carré das K ; si c est le cas, =δ 2 et P = a(x x 1 )(X x 2 ) avec x 1 =...,x 2 =... =3 : doer u exemple avec0,1,2 ou3racies distictes. E3 5

6 REM : o démotre e aalyse à partir du théorème des valeurs itermédiaires que tout polyôme à coefficiets réels de degré impair possède au mois ue racie réelle ; par cotre, si =2p est pair, il existe toujours u polyôme réel de degré sas racie réelle :... 2) Nombre de racies d u polyôme. PROP : u polyôme o ul a toujours u ombre fii de racies distictes, iférieur ou égal à so degré. D20 CORO 1 (cotraposée de la prop. précédete) : u polyôme ayat ue ifiité de racies est ul : A ifii K / x A P(x)=0 P =0 ( P(x)=0 x K) U polyôme qui s aule e ue ifiité de poits s aule doc partout. Applicatio : la foctio cos est doc pas polyomiale. CORO 2 : si a 0,a 1,...,a K et si x A ifii K a 0 +a 1 x+...+a x =0 alors D21 E4 a 0 = a 1 =...=a =0 CORO 3 : deux polyômes égaux e ue ifiité de poits sot égaux (doc égaux e tout poit de K) : D22 A ifii K / x A P(x)=Q(x) P = Q ( P(x)=Q(x) x K) Applicatio : si P,Q R[X] et θ R P(cosθ)=Q(cosθ), alors P = Q (et doc P(x)=Q(x) x Ret même P(z)=Q(z) z C). A1 REM : ce corollaire est parfois appelé le théorème de prologatio des idetités algébriques : si ue idetité algébrique (autremet dit, polyomiale) est vérifiée sur u esemble ifii, elle est vérifiée partout. CORO 4 : l applicatio Φ défiie das III) 2) qui relie les foctios polyômes et les polyômes formels est bijective dès que la partie I est ifiie ;P(I,K) et K[X] sot doc das ce cas des aeaux isomorphes. D23 REM : par cotre, si I={x 1,x 2,...,x } est fiie, l applicatioφ est pas ijective (car 0 et(x x 1 )...(X x ) ot la même image), et e fait, toute applicatio de I das K est polyomiale! : P(I,K)=A(I,K). 3) Ordre de multiplicité d ue racie. DEF : o doe P K[X],x 0 K,k N ; o dit que x 0 est ue racied ordredemultiplicité k de P si (X x 0 ) k divise P mais (X x 0 ) k+1 e divise pas P Rem : - ordre de multiplicité est raccourci e ordre, ou multiplicité tout court, suivat les goûts. - ue racie d ordre 0 est pas ue racie... (bizarre, mais pratique). - ue racie d ordre 1 est ditesimple, d ordre 2 : double, d ordre 3 : triple etc..., d ordre k : k uple. - ue racie d ordre2 est ditmultiple (ouaumoisdouble). 6

7 CNS : x 0 est ue racied ordre k de P ssi Q K[X] / P =(X x 0 ) k Q, avec Q(x 0 )=0. D24 PROP : tout polyôme P o ul s écrit de faço uique sous la forme D25, E5. P =(X x 1 ) α1 (X x 2 ) α2...(x x p ) αp Q avec Q K[X] sas racie das K REM : p est le ombre de racies distictes de P, et q= α 1 +α α p, somme des ordres des racies de P est parfois appelé ombre de racies de P, e comptat les ordres de multiplicité. PROP : si est le degré de P, pq. D26, E6 4) Polyôme scidé. DEF : u polyômescidé est u polyôme qui est produit de polyômes du premier degré. CNS : avec les otatios du paragraphe précédet, P est scidé Qest costat, q= (somme des ordres = degré). REM : si P R[X], il faut toujours préciser si P est scidé e tat que polyôme à coefficiets réels (o dit : scidé sur R), ou e tat que polyôme à coefficiets complexes (o dit : scidé surc). E7 VI) DÉRIVATION DES POLYNÔMES ; FORMULE DE TAYLOR. 1) Défiitio. DEF : le polyôme dérivé du polyôme P = a k X k est le polyôme, oté P = ka k X k 1 = k+1 X k0 k1 k0(k+1)a k. Les polyômes dérivés successifs se otet de la même faço que pour les foctios. K[X] K[X] O otera D l applicatio : P P Propriétés : P1 : P K P =0 P2 : sideg(p)1, deg P =degp 1, et mieux, si 1, P K [X] P K 1 [X] P3 : (P+Q) = P +Q ;(λp) = λp ;(PQ) = P Q+PQ P4 : (P Q) =(P Q)Q D27 2) Formule de Taylor. PROP : (formule de Taylor pour les polyômes) Si degp =, P = P(X)= P (k) (x 0 ) k! ou, ce qui reviet au même P(x 0 +X)= (X x 0 ) k = P(x 0 )+P (x 0 )(X x 0 )+P (x 0 ) (X x 0) P () (x 0 ) (X x 0) 2! P (k) (x 0 ) X k = P(x 0 )+P (x 0 )X+P (x 0 ) X2 k! P() (x 0 ) X! 7

8 D28 COROLLAIRE : u polyôme de degré est etièremet détermié par la coaissace de P(x 0 ),P (x 0 ),P (x 0 ),...,P () (x 0 ) E8 : écrire la formule de Taylor pour(1+x) et x 0 =0. 3) Caractérisatio de l ordre de multiplicité à partir des polyômes dérivés. O doe P K[X],x 0 K,k N. PROP : si x 0 est racie d ordre k de P, alors x 0 est racie d ordre k 1 de P. REM 1 : pour k = 1, ceci doe : si x 0 est racie simple de P, alors x 0 est pas racie de P. REM 2 : la réciproque est fausse! REM 3 : o e déduit évidemmet : si x 0 est racie d ordre k de P, alors O e déduit la caractérisatio : TH : x 0 est ue racie d ordre k de P ssi D29 x 0 est racie d ordre k 1 de P x 0 est racie d ordre k 2 de P... x 0 est racie simple de P... x 0 est pas racie de P... P(x 0 )=P (x 0 )=...=P... (x 0 )=0 et P... (x 0 )=0 CORO : x 0 est ue racie multiple de P ssi P(x 0 )=P (x 0 )=0. VII) POLYNÔMES IRRÉDUCTIBLES. RÉDUCTION. DEF : u polyôme P K[X] est ditréductible oufactorisable (sur K) s il est divisible par u polyôme o costat K[X] de degré strictemet iférieur à so degré. Il est dit irréductible s il est o costat et o réductible. REM : les polyômes costats e sot doc i réductibles, i irréductibles! CNS : 1) P est réductible ssi P est produit de deux polyômes o costats. 2) P est irréductible ssi P est o costat et P est divisible que par λ et λp avec λ K. P 3) P est irréductible ss il a exactemet deux diviseurs uitaires (1 et coef domiat de P ). D30 REM 1 : les polyômes irréductibles (resp. réductibles) sot doc aux polyômes ce que sot les ombres premiers (resp. composés) aux aturels. REM 2 : u polyôme der[x] peut être irréductible surret réductible surc;exemple : X REM 3 : les seuls polyômes scidés irréductibles sot ceux du premier degré. REM 4 : Il faut combattre la croyace fortemet acrée cosistat à peser qu u polyôme irréductible est u polyôme sas racie ; e effet : 1) les polyômes du premier degré sot irréductibles, et pourtat ils ot ue racie. 2) le polyôme X 2 +1 X 2 +2 R[X] est sas racie (réelle) et il est pourtat réductible. 8

9 Par cotre : PROP : 1) u polyôme irréductible sur K de degré2 a pas de racie das K. 2) u polyôme de degré2ou3est irréductible ss il a pas de racie. D31 Exemple : u polyôme à coefficiets réels de degré impair3 est toujours réductible surr. E9 TH de décompositio : Tout polyôme o costat se décompose de maière uique e produit de facteurs irréductibles. 3) Théorème de D ALEMBERT-GAUSS. THÉORÈME FONDAMENTAL DE L ALGÈBRE, ou THÉORÈME de D ALEMBERT-GAUSS (admis) : Tout polyôme à coefficiets complexes o costat possède au mois ue racie complexe. CORO 1 : tout polyôme à coefficiets réels o costat possède au mois ue racie complexe. CORO 2 : Tout polyôme o ul de degré à coefficiets complexe est scidé surc: la somme des ordre de ses racies est égal à (ou, selo l expressio cosacrée : il possède racies complexes e comptat les ordres de multiplicité). D32 CORO 3 : Les seuls polyômes irréductibles dec[x] sot les polyômes de degré 1. D33 4) Applicatio à la réductio des polyômes à coefficiets réels. a) Cojugué d u polyôme à coefficiets complexes. DEF : le cojugué d u polyôme à coefficiets complexe est le polyôme obteu e cojuguat les coefficiets : Propriétés pour P,Q C[X] : P1 : z CP(z)=P(z) P2 : P+Q=P+Q, P.Q=P.Q P3 : P R[X] P = P. si P = P4 : si P C[X], P+P,PP R[X]. a k X k, le cojugué de P est P = P5 : z 0 Cest racie de P d ordre α z 0 est racie de P d ordre α. D34 a k X k COROLLAIRE : siz 0 est racie complexe o réelle d ordreαd u polyôme réelp, alorsz 0 est aussi racie dep d ordre α et P est doc divisible par le polyôme à coefficiets réels : (X z 0 ) α (X z 0 ) α = X 2 2Re(z 0 )X+ z 0 2 α Ex : trouver les polyomes réels de degré 4 ayat3 i pour racie double. b) Réductio des polyômes à coefficiet réels COROLLAIRE du Théorème de D Alembert pour les polyômes à coefficiets réels : 9

10 Tout polyôme de degré, de coefficiet domiat a à coefficiets réels possède surcue décompositio uique sous la forme P = a (X x 1 ) α 1...(X x p ) α p (X z 1 ) β 1 (X z 1 ) β 1...(X z r ) β r (X z r ) β r Les x i sot les p racies réelles de P, d ordres respectifs α i. Les z i et z i sot les2r racies o réelles de P, d ordres respectifs β i. Et o a : p r = α i +2 D35 Sur R o obtiet doc la décompositio i=1 P = a (X x 1 ) α1...(x x p ) X αp 2 2Re(z 1 )X+ z 1 2 β 1... X 2 2Re(z r )X+ z r 2 β r qui peut s écrire, avec l écriture expoetielle des z i : z i = ρ i e iθi P = a (X x 1 ) α1...(x x p ) αp X 2 2ρ 1 cosθ 1 X+ρ 2 β X 2 2ρ r cosθ r X+ρ 2 βr r i=1 β i COROLLAIRE 1 : les polyômes irréductibles de R[X] sot les polyômes du premier degré et les polyômes du secod degré de discrimiat égatif. D36 COROLLAIRE 2 : la décompositio e produit de facteurs irréductibles d u polyôme o costat de R[X] est formée de polyômes du premier degré et de polyômes du secod degré de discrimiat égatif. E10 VIII) RELATIONS ENTRE LES RACINES ET LES COEFFICIENTS D UN POLYNÔME SCINDÉ. 1) Cas du degré 2 PROP : si P = ax 2 +bx+c=a(x x 1 )(X x 2 ) est u polyôme scidé de degré 2, alors 2) Cas du degré 3 s=x 1 +x 2 =... p=x 1 x 2 =... PROP : P = ax 3 +bx 2 +cx+d=a(x x 1 )(X x 2 )(X x 3 ) est u polyôme scidé de degré 3, alors s=σ 1 = x 1 +x 2 +x 3 =... σ 2 = x 1 x 2 +x 2 x 3 +x 3 x 1 =... p=σ 3 = x 1 x 2 x 3 =... 3) Cas gééral LEMME : si x 1,x 2,...,x sot élémets de K, le développemet du produit(x x 1 )(X x 2 )...(X x ) s écrit : X + ( 1) k σ k X k où σ k est la somme de tous les produits k à k des scalaires x 1,x 2,...,x : k=1 σ k = 1i 1<i 2<...<i k x i1...x ik = J [ 1, ] J =k j J x j 10

11 D37 DEF : le ombre σ k s appelle la k-ièmeexpressiosymétriqueélémetaire des ombres x 1,x 2,...,x. REM 1 : σ 1 est la somme des x i et σ est leur produit. REM 2 : le ombre de produits x i1...x ik das l écriture de σ k vaut. k PROP : si P = a X +a 1 X a 1 X+a 0 = a (X x 1 )(X x 2 )...(X x ) est u polyôme scidé de degré, alors les racies de P et ses coefficiets sot liés par les relatios : D38 E11 : cas =4 4) Applicatios. s=σ 1 = x x = σ k = x i1...x ik =... 1i 1<i 2<...<i k... p=σ = x 1...x =... a) Calculs d expressios symétriques des racies, sas avoir besoi de coaître ces racies. O costatera que si f(x 1,...,x ) est ue expressio symétrique des x 1,...,x (c est-à dire que si o permute u x i et u x j le résultat e chage pas), alors o peut mettre f(x 1,...,x ) sous la forme g(σ 1,...,σ ). Comme les σ k s exprimet à partir des coefficiets du polyôme par les relatios ci-dessus, o peut doc calculer f(x 1,...,x ) sas avoir besoi de coaître les valeurs des scalaires x 1,...,x. E12 b) Résolutios de systèmes symétriques e les icoues x 1,...,x par la détermiatio des racies d u polyôme. E13 BLAGUE : M. et Mme Heaumes ot ue fille... 11