Régressions et incertitudes

Transcription

1 égressons et nerttdes Jen-Mre De Conto er septemre Introdton : Une régresson fornt, pr des formles prfos omplees, des grnders de sortes (pente, ordonnée à l orgne) en fonton de données epérmentles totes enthées d errer. On pet pplqer l formle de propgton des nerttdes, ms le ll pet présenter rpdement ne srhrge pondérle onsdérle. os donnons ne pprohe pls glole. Les letres et leters ntéressés pr les sels résltts pevent se rendre prgrphe 5 (à lers rsqes et pérls). Les prgrphes et présentent de errers fles à ommettre, sr n eemple smplste ps sr ne régresson lnére (non ffne). Le prgrphe eplqe d où vent l errer. Le prgrphe donne l pprohe glole des régressons polnomles (formle de régresson et d nerttde), ve ne formle snthétqe en.5. Le prgrphe.6 donne n eemple trté en 5 mntes d près.5. Le prgrphe 5 9ps enore ért)donne les résltts por les régressons lnéres, ffnes et qdrtqes. Les nottons et lls semlent lords. Semlent. Un premer eemple nstrtf q semle hors sjet Consdérons de grnders enthées d errers, et, et L nerttde sr s otent pr l formle lssqe : [ ] Le llter mln (enfn, q se rot mln), q ne st ps dérver /, érr pltôt : Ps, pplqnt srplesement l formle de propgton, dédr n résltt (f) : [ ] ve n pe de hne, l pet vor ne nerttde nlle por pe qe elle sr sot ssez grnde. Où est l errer? Elle vent de l pplton vegle des formles. L formle de propgton eprme l dsperson qdrtqe moenne d ne grnder de sorte en fonton de elles d entrée. Elle se se sr n développement premer ordre, où les termes d premer ordre orrespondent à des vrles létores, ps, enfn, ll de l vrne de l somme de vrles létores, d où n sgne sstémtqe. Le llter mln ért ne premère relton q est orrete s et selement s l grnder de sorte est. On porrt dédre

2 de et eemple qe l reette est de prendre les reltons d nerttdes, ms de ne ps hnger le sgne qnd on psse de drote à ghe des reltons (e vent d ft qe le sgne ne joe ps qnd on jote les vrles létores entrées, et qe l on psse à l vrne PES). Cel semle être d «n mporte qo» et ç l est (vor prgrphe ), même s el mrhe por l eemple présent. ] Cs de l régresson lnére pre. Seond eemple nstrtf On onsdère de séres de données et (nos n érvons ps les ndes). Dns e s, por ne régresson prement lnére, on l formle selle : D où dretement, sf errer de m prt: ( ) Le llter mln de tot à l here, ne shnt ps dérver les rpports, érr : Il pplqer l formle de propgton à ghe et à drote et trover qelqe hose d tpe : ( ) ( ) ( ) I, ontrrement prgrphe, mettre n sgne sstémtqement ne résot ren. Epresson orrete d ll d nerttdes Le ll orret rt été le svnt. d d d d d ( ) d d On psse lors vrnes en remplçnt les d pr l vrne en (dem en et ) et les termes devnt les dfférentelles pr lers rrés et en fsnt totes les sommes. On sppose et déorrélés. Pr eemple n terme d donne ( ) D où :

3 ( ) ( ) ( ) ( ) Compte ten de l vler de. Ce est l onne formle ndqée déprt. Qelle est l pprohe l pls smple dns e s? Il s gt de l pprohe drete, l premère. os llons ependnt psser à ne formlton générle à prtr de es derners résltts, r por ne régresson à pls d n prmètre, les hoses se orsent snglèrement. Formles de régresson polnomle De mnère générle, ne régresson polnomle est n prolème d tpe Où est le veter olonne ontennt les vlers de, est le veter des p oeffents herhés et ne mtre retnglre dépendnte d tpe de régresson.. égresson lnére pre : ( dot être ve omme ne mtre ). égresson lnére : I p

4 . égresson qdrtqe (p). ésolton générle On désgne pr le sgne l trnsposton. On otent mmédtement : ) ( On pose Et don : est ne mtre rrée nversle. L solton otene est elle qe l on otent qnd on ft ne régresson pr mondres rrés, et qe l on ért nïvement qe les dérvées prtelles pr rpport à hn des oeffents herhés sont nlles. L formlton ndqée est strtement éqvlente (ç se démontre!) Ce donne ne résolton nmérqe mmédte, et l n est ps tle d vor l epresson nltqe de l régresson..5 Inerttdes S l epresson nltqe de l régresson n est ps onne, omment otenr les nerttdes? Tot smplement en fsnt omme notre llter mln de tot à l here, ms en llnt orretement. On prt de On eprme l dfférentelle : d d d d Q se réért : d d d d

5 5 d d d Tot onsste mntennt à otenr ne értre ommode. On désgner pr l dérvton pr rpport à, sns se soer d nde. On désgner pr ne lgne qelonqe, mette, de, eprmée selon et sns nde. Pr eemple, por l régresson qdrtqe ndqée en., on, «ntrellement» : On désgner pr le veter don hqe terme le le rré d terme orrespondnt de On désgner don ns pr l mtre. ( ) d d Elle orrespond à l mtre sns sgnes somme et sns ndes. Consdérons : Consdérons l mtre retnglre onsttée de de los, le premer étnt le trnsposé de et le seond pr : Z ; Consdérons le veter de p lgnes p T Consdérons enfn le veter de p lgnes: p s p s ZT S ; lors, s V désgne le veter des vrnes (rrés des nerttdes) de hqe omposnte de, les reltons d nerttde s érvent très smplement: s s V p j

6 6 Où j désgne l mtre des termes rrés de. Les sommes sr les s (rrés) sont otenes en remplçnt et pr lers homologes ndés..6 Eemple. Est-e omplqé? os llons prendre l régresson qdrtqe donnée en.. S Et don, pr opé/ollé, notre éqton s ért : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Shnt qe pr llers, l solton por trover les oeffents est smplste : Ce est très fle à progrmmer. Le leter q pense qe est omplqé pet esser d eprmer et epltement, ve des nverses de mtres, eprmées nltqement, ps ller les dérvées prtelles, fre les sommes qdrtqes et.. Sos réserve d errers. JMDC