i p (t) = α(t) exp( R L t), et que la fonction α devait vérier l'équation

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1 TD 0, cours d'analyse L PC e SF-P, du 7 novembre au décembre 07 Équaions diérenielles du premier ordre. Exercice. On revien sur le circui RL avec généraeur sinusoïdal, don on rappele qu'il es régi par l'équaion diérenielle () Li + Ri = V sin(ω). On a vu en cours que la méhode de variaion de la consane amenai à chercher une soluion pariculière sous la forme i p () = α() exp( R L ), e que la foncion α devai vérier l'équaion qu'on va chercher à résoudre α = V L sin(ω) exp(r L ), () Déerminer α() en faisan deux inégraions par paries successives, e en déduire que V R i p () = R + ω L sin(ω) LωV R + ω L cos(ω). () Monrer qu'on peu obenir une soluion pariculière de l'équaion complèe en la cherchan sous la forme i() = a cos(ω) + b sin(ω), e que ceci fourni la même soluion que précédemmen. (3) En déduire oues les soluions de l'équaion (). Vous avez sans doue rouvé les calculs de la deuxième quesion moins pénibles que ceux de la première ; comme quoi la méhode de variaion de la consane n'es pas forcémen oujours la meilleure. () sin(ω) exp( R ) d L [ L = R sin(ω) exp(r L ) ωl cos(ω) exp( R ] R L ) d = L [sin(ω) exp( RL R ) ω cos(ω) exp( R ] L ) d = L [ sin(ω) exp( R R L ) ωl R cos(ω) exp(r L ) ω L R = L R sin(ω) exp(r ωl ) L R cos(ω) exp(r L ) ω L R sin(ω) exp( R L ) d ] sin(ω) exp( R ) d, L

2 = alors ) ( + ω L R sin(ω) exp( R ) d L = L R sin(ω) exp(r ωl ) L R cos(ω) exp(r L ) sin(ω) exp( R ) d L LR = R + ω L sin(ω) exp(r L ) ωl R + ω L cos(ω) exp(r L ) e donc i p () = α() exp( R L ) = V sin(ω) exp( R L L ) d exp( R L ) = V R R + ω L sin(ω) LωV R + ω L cos(ω). () Pour i p () = a cos(ω) + b sin(ω), alors i p() = aω sin(ω) + bω cos(ω), Li p() + Ri p () = (Lωb + Ra) cos(ω) + ( Lωa + Rb) sin(ω) Pour que Li p + Ri p = V sin(ω), il fau que { { Lωb + Ra = 0 a = LωV Lωa + Rb = V = b = R +ω L V R R +ω L V R Alors i p () = R + ω L sin(ω) LωV R + ω L cos(ω) (3) La soluion de l'équaion () es i() = c exp( R L ) + V R R + ω L sin(ω) LωV R + ω L cos(ω) Exercice. Résoudre les équaions diérenielles suivanes : () y + y = sin () y = exp( + y) (3) y + y = (4) u () + u() = e + e + 3 sin() (5) u () ( + )u() + e ( + ) = 0 (6) ( cos())u () + (cos() + sin())u() =

3 3 (7) ( )u () u() =. () y + y = sin Pour Équaion homogène y + y = 0 y y = = y d y d = = ln y() = ln + c = y() = ec. Alors la soluion es y 0 () =. Supposons que y p () = C()y 0 () es une soluion pariculière de l'équaion (). y p() + y p () = C ()y 0 () + C()y 0() + C()y 0 () = C ()y 0 () = sin. Alors C () = sin y 0 () = sin, e donc C() = sin d = ( cos + c ), e y p () = C()y 0 () = cos + c. La soluion de l'équaion () es y() = y 0 () + y p () = cos + c = C cos. () y = exp( + y) y = e e y = y e y = e = y e y d = e d = e y = e + = y() = ln( e ) Alors la soluion de l'équaion () es y() = ln(c e ).

4 4 (3) y + y = Pour Équaion homogène y + y = 0 y y d y = = d = y = ln y() = ln + c = y() = ec. Alors la soluion es y 0 () =. Supposons que y p () = C()y 0 () es une soluion pariculière de l'équaion (3). y p() + y p () = C ()y 0 () + C()y 0() + C()y 0 () = C ()y 0 () =. Alors C () = y 0 () = 3, e donc C() = 3 d = 4 + c, 4 e y p () = C()y 0 () = 4 + c. La soluion de l'équaion (3) es y() = y 0 () + y p () = c = 4 + C. (4) u () + u() = e + e + 3 sin() Pour Équaion homogène u + u = 0, on a la soluion u 0 () = e. Supposons que u p () = C()u 0 () es une soluion pariculière de l'équaion (4). u p() + u p () = C ()u 0 () + C()u 0() + C()u 0 () = C ()u 0 () = e + e + 3 sin(). Alors C () = e + e + 3 sin() u 0 () C() = (e 3 + e + 3e sin()) d = e3 + e + 3e sin(), e donc = ( e e + 3 e sin() 3 ) e cos() + c,

5 5 e u p () = C()u 0 () = e 3 + e + 3 sin() 3 cos() + c e. La soluion de l'équaion (4) es u() = u 0 () + u p () = e + e 3 + e + 3 sin() 3 cos() + c e = Ce + e 3 + e + 3 sin() 3 cos(). (5) u () ( + )u() + e ( + ) = 0 u () ( + )u() = e ( + ) Pour Équaion homogène u () ( + )u() = 0 u u = + = u ( u d = + ) d = ln u() = + ln + c = u() = e c e Alors la soluion es u 0 () = e. Supposons que u p () = C()u 0 () es une soluion pariculière de l'équaion (5). u p() ( + )u p () = C ()u 0 () + C()u 0() ( + )C()u 0 () = C ()u 0 () = e ( + ). Alors C () = e ( + ) u 0 () = ( + ), e donc C() = ( + ) d = ( ) + c, e u p () = C()u 0 () = e e + c e. La soluion de l'équaion (5) es u() = u 0 () + u p () = e + e e + c e = Ce + e e.

6 6 (6) ( cos())u () + (cos() + sin())u() = Équaion homogène ( cos())u () + (cos() + sin())u() = 0, u u = an() = u ( ) u d = + an d = ln u() = ln + ln cos() + c = u() = e c cos() Alors la soluion es u 0 () = cos(). Supposons que u p () = C()u 0 () es une soluion pariculière de l'équaion (6). ( cos())u p() + (cos() + sin())u p () = ( cos())c ()u 0 () +( cos())c()u 0() + (cos() + sin())c()u 0 () = ( cos())c ()u 0 () =. Alors C () = cos()u 0 () =, e donc cos () C() = d cos () = an + c, e u p () = C()u 0 () = e e + c e. La soluion de l'équaion (6) es u() = u 0 () + u p () = cos() = C cos() + sin() + sin(). + c cos() (7) ( )u () u() = Équaion homogène ( )u () u() = 0, u u = u = u d = d = ln u() = ln + c = u() = ec Alors la soluion es u 0 () =.

7 Supposons que u p () = C()u 0 () es une soluion pariculière de l'équaion (7). ( )u p() u p () = ( )C ()u 0 () + ( )C()u 0() C()u 0 () = ( )C ()u 0 () =. Alors C () = ( )u 0 () =, e donc C() = d = c, e u p () = C()u 0 () = c. La soluion de l'équaion (7) es 3 u() = u 0 () + u p () = = + C c Exercice 3. Pour chacune des équaions (dies de Bernoulli) ci-dessous, rouver la soluion pour la condiion iniiale u( 0 ) = u 0 () u () + u() = u 3 () 0 = 0, u 0 = () u () u() + 3 u 4 () = 0 0 =, u 0 = (3) u()u () u () = u 3 () 0 = 0, u 0 = / (4) u () + u() = ln()u () =, u 0 = () u () + u() = u 3 () 0 = 0, u 0 = Évidemmen, u() = 0 es une soluion spéciale. Si u() 0, on fai le changemen de foncion inconnue z = u, alors u() = ± z (), e donc z () z 3 () z () = u () = z () z 3 (), z 3 () = z () z() =.

8 8 Pour l'équaion homogène z () z() = 0, la soluion es z 0 () = e. Supposons que z p () = C()z 0 () es une soluion pariculière de léquaion z () z() =. z p() z p () = C ()z 0 () + C()z 0() C()z 0 () = C ()z 0 () =. Alors C () = e e donc C() = e d = e + c e z p () = C()z 0 () = + c e. La soluion de l'équaion z () z() = es z() = z 0 () + z p () = Ce +. Les soluions de l'équaion () son u() = ± = ± z() Ce + e u() = 0. Avec la condiion iniiale u(0) =, on a C = 0. Alors la soluion es u(). () u () u() + 3 u 4 () = 0 0 =, u 0 = Évidemmen, u() = 0 es une soluion spéciale. Si u() 0, on fai le changemen de foncion inconnue z =, alors u 3 e donc u() = z 3 (), z () 3z 4 3 () + z 3 () = 3 u () = z () 3z 4 3 (), z 4 3 () = z () + 3 z() = 33. Pour l'équaion homogène z () + 3 z() = 0, z () z() d = 3 d = ln z() = 3 ln + c = z() = ec 3

9 Alors la soluion es z 0 () = 3. Supposons que z p () = C()z 0 () es une soluion pariculière de léquaion z () + 3 z() = 33. z p() + 3 z p() = C ()z 0 () + C()z 0() + 3 C()z 0() = C ()z 0 () = 3 3. Alors C () = 3 6 e donc C() = 3 6 d = 37 + c 7 e z p () = C()z 0 () = c. La soluion de l'équaion z () z() = 33 es z() = z 0 () + z p () = C e u() = 0. La soluion de l'équaion () es u() = z 3 () = ( C ) 3. Avec la condiion iniiale u() =, on a C = 4. Alors la soluion 7 es ( 4 u() = ) (3) u()u () u () = u 3 () 0 = 0, u 0 = / Évidemmen, u() = 0 es une soluion spéciale. Si u() 0, c'es l'équaion u () u() = u (). On fai le changemen de foncion inconnue z = u, alors e donc u() = z(), u () = z () z (), z () z () + z() = z () = z () + z() =. Pour l'équaion homogène z () + z() = 0, la soluion es z 0 () = e. Supposons que z p () = C()z 0 () es une soluion pariculière de léquaion z () + z() =. z p() + z p () = C ()z 0 () + C()z 0() + C()z 0 () = C ()z 0 () =. 9

10 0 Alors C () = e C() = e donc e d = ( + )e + c e z p () = C()z 0 () = ( + ) + c e. La soluion de l'équaion z () + 3 z() = 33 es z() = z 0 () + z p () = Ce ( + ). Les soluions de l'équaion (3) son u() = z() = Ce ( + ) e u() = 0. Avec la condiion iniiale u(0) =, on a C = 0. Alors la soluion es u() = +. (4) u () + u() = ln()u () =, u 0 = u() = 0 es une soluion spéciale. Si u() 0, on fai le changemen de foncion inconnue z = u, alors e donc u() = z(), u () = z () z (), z () z () z() = ln() z () = z () z() = ln(). Pour l'équaion homogène z () z() = 0, z () z() d = d = ln z() = ln + c = z() = e c Alors la soluion es z 0 () =. Supposons que z p () = C()z 0 () es une soluion pariculière de léquaion z () z() = ln(). z p() + z p() Alors C () = ln() C() = = C ()z 0 () + C()z 0() C() z 0() = C ()z 0 () = ln(). e donc ln() d = ln () + c

11 e z p () = C()z 0 () = ln () z () + z() = ln() es + c. La soluion de l'équaion z() = z 0 () + z p () = C ln (). Les soluions de l'équaion (4) son u() = ( z() = C ) ln () e u() = 0. Avec la condiion iniiale u() =, on a C =. Alors la soluion es ( u() = ) ln ().