MASTER RECHERCHE Systèmes Dynamiques et Signaux

Transcription

1 MASER RECHERCHE Systèmes Dyamiques et Sigaux LA MODELISAION DES SYSEMES DE PRODUCION par RESEAUX DE PERI Marc Bourcerie -

2 Les systèmes de productio La descriptio des architectures propres aux systèmes de productio est pas ue chose simple, vue la diversité des cofiguratios. Aisi, ces architectures sot de formes diverses, dépedat des cofiguratios locales, du type de produit à fabriquer, des cahiers des charges et doc des objectifs. quatitatifs et qualitatifs. Les solutios choisies pour atteidre les objectifs souhaités e terme de productio amèet écessairemet à des structures différetes. Bie qu il y ait des méthodologies qui aiet été développées pour la costructio des sites, o e peut cepedat pas observer de démarche systématique das l élaboratio de tels projets. Lorsque ous sommes ameés à visiter des sites idustriels, il est vrai que ous retrouvos systématiquemet des modes d agecemet commus qui ous semblet icotourables. Cepedat, il est aussi vrai que chaque site de productio a sa spécificité, liée à tout u historique de fabricatio. De ombreuses etreprises apparues au XIX ème siècle ot vu progressivemet leurs structures se modifier. Ces mutatios sot bie etedu liées à l apport des ouvelles techologies, mais aussi à la dérive progressive des objectifs, des projets et des produits fabriqués. Au fil de l évolutio des marchés, ces etreprises se sot développées ou ot cou des périodes de récessio, modifiat aisi leurs orgaisatios et leurs cofiguratios matérielles. Ce mouvemet va s accélérat et l etreprise doit s adapter, e temps réel, suivat aisi ces trasformatios techologiques et ces fluctuatios quasi permaetes du marché. Ces trasformatios sot ue composate de la flexibilité de l etreprise. Pour défiir ce terme de flexibilité, il faut compredre qu elle représete les mouvemets de l etreprise sur plusieurs échelles temporelles : A l échelle des déceies, où l o observe u glissemet des objectifs de productio, à l échelle de l aée ou des saisos, où les besois e terme de productio peuvet être périodiques ou irréguliers, évetuellemet tributaires des évéemets politiques, sociaux ou écoomiques, à l échelle quotidiee ou hebdomadaire, où l orgaisatio de la productio est ameée à fluctuer e foctio de la demade, bie souvet de maière cyclique. La cofiguratio des systèmes de productio est très diversifiée. Elle est pleiemet tributaire du type d opératio à effectuer et de la catégorie d objets à produire ou à traiter. De multiples critères etret écessairemet e compte aussi bie e terme de quatité à fabriquer que de complexité de l objet. Les otios de cadecemet et de temps de productio sot primordiales, autat que la prise e compte des aléas de foctioemet ou autres perturbatios qui vieet cotrarier l optimisatio. Aisi, pour représeter le site de productio, das sa cofiguratio matérielle, il va falloir predre e compte ue grade quatité de paramètres à des iveaux diversifiés de coceptualisatio. Cela sigifie qu il sera écessaire d orgaiser des modèles représetat des structures de premier ordre, ou de premier degré (ous etedos par là, les structures essetielles telles que robots, machies d assemblage, de traitemet, d usiage, stocks, ). A u iveau supérieur, ous devros représeter les systèmes de surveillace et de commade. Il est égalemet idispesable de représeter les flux de productio et les perturbatios subies par les systèmes et les approvisioemets. Nous e devos pas oublier égalemet l aspect temporel, dot la représetatio et la prise e compte peut être abordée comme ue couche supplémetaire de os modèles. Ces cosidératios ous amèet écessairemet à des architectures modulaires. Chaque cellule de base ayat ses propriétés comportemetales et structurelles qui peuvet être ameées à se trasformer das l eviroemet das lequel elles serot placées.. Ne perdos pas de vue qu ue dualité forte doit apparaître etre le système et sa représetatio par u modèle. Celui-ci doit être suffisammet proche de la réalité foctioelle du système afi de pouvoir s y substituer pour la simulatio et la vérificatio des projets. U dialogue doit s istaurer etre système et modèle de maière à faire évoluer le système de productio et évetuellemet le commader. Les composates d u système de productio Les machies et les robots C est das la même rubrique que l o classera ces deux élémets topologiquemet très proches l u de l autre das l etreprise. Das u premier temps o peut dire que la foctioalité d ue machie est de trasformer u

3 objet par usiage ou par traitemet. O peut e défiir ue (ou plusieurs) etrées et ue sortie. La machie impose des cotraites liées à so redemet et à ses capacités e terme d opératios. Les modèles devrot être aptes à décrire la foctioalité de cette machie le plus simplemet possible. Le robot est u objet apte à fourir e temps voulu l objet à la machie. Il est soumis à des cotraites liées aux flux des objets e amot et e aval. Là ecore, les modèles devrot être aptes à décrire ces comportemets et ces cotraites le plus simplemet, mais le plus rigoureusemet possibles. L itercoexio etre robots et machies devra être assurée au iveau des modèles. A ce iveau, la otio de partage de ressources sera à cosidérer. Les stocks, les covoyeurs et les approvisioemets Cette rubrique regarde la dispoibilité des objets à traiter et leur situatio «géographique» sur le site de productio. Il s agit, cocerat ces objets, des matières premières e approvisioemet, qui doivet être dispoibles das les meilleurs délais possibles. Il s agit égalemet des pièces e cours de traitemet ou d usiage. Ces objets sot itroduits das la structure sous forme de «matière première» (pour le site de productio) et peuvet être stockés à divers edroits (stocks d etrée et de sortie du site, stock d etrée et de sortie de chaque machie, stock itermédiaire). Ces objets circulet d autre part à travers la structure grâce à des covoyeurs et sot trasformés ou assemblés pour parveir à l état fial souhaité. Les flux et les perturbatios Les objectifs d optimisatio mèet fatalemet à rechercher la meilleure solutio pour ue productio de qualité à u meilleur coût das les meilleurs délais. Il s agit de respecter les cotraites, tat das la qualité du produit que das le respect des délais de livraiso. Afi de respecter ces cotraites il faut écessairemet, e plus de l assurace d ue qualité optimale, observer les flux d objets das la structure et préveir les perturbatios du système de productio. La otio de traçabilité du produit sera aussi très importate, sachat que le produit est trasformé. Il faut pouvoir le suivre et l idetifier au fil de so itiéraire sur le site et pouvoir faire le bila à tout istat, de so historique au cours de la fabricatio. A ce iveau itervieet la dyamique du site, doc de so modèle, et les otios de prévetio. La surveillace de ces flux et la prise e compte des perturbatios doivet agir e temps réel sur le déroulemet des opératios au sei du système de productio. La supervisio, le cotrôle et la commade A u iveau supérieur apparaisset les otios de cotrôle, de commade, de surveillace et la supervisio. Ces otios plus fies permettet d agir sur le système selo les critères d optimisatios qui ot été défiis. E résumé, ce système de productio peut être vu de maière tripartite. D ue part l aspect «outillage», costitué de machies, de covoyeurs, de stocks, de robot», e secod lieu, l aspect «objet», qui se réfère à l objet à produire et qui pred, au fil de la productio divers aspects itermédiaires etre la «matière première» et le «produit fial». E troisième lieu, l aspect «orgaisatio» qui cosiste à opérer selo u certai ordoacemet, e respectat certaies cotraites e utilisat des iformatios de dispoibilités et de flux. La complexité des sites L architecture du site de productio est évolutive. Elle part écessairemet, das sa coceptio d ue structure relativemet simple pour se complexifier au fur et à mesure que l o pred e compte tous les élémets écessaires pour la réalisatio d u produit fialisé. Cette complexité est de deux ordres : das la structure du site, élémet statique et das l orgaisatio de la productio, élémet dyamique. Ces deux otios sot iteractives car il est clair que la dispositio des divers élémets costitutifs, aisi que leur ombre dépedra de l orgaisatio qui sera choisie. A l iverse, l orgaisatio de la productio est dépedate des outils dot o dispose. U exemple simple permet d éclairer ces propos : afi de produire u type doé d objet, o pourra choisir de distribuer les tâches à u ombre doé de machies effectuat des opératios idetiques sur plusieurs objets e parallèle. O pourra égalemet affecter u robot à plusieurs opératios différetes sur plusieurs machies. Il s agira alors d orgaiser la productio e vue de l optimisatio e foctio des choix matériels qui aurot été faits. Ces réflexios vot aturellemet ous ameer par la suite à aborder les problèmes récurrets du partage des ressources (robot par exemple), de la dispoibilité des ressources et des matières premières, du séquecemet des

4 tâches, de la prise e compte des évéemets extérieurs perturbateurs. L orgaisatio de la productio : divers poit à aborder par la modélisatio Le ombre de séqueces d assemblages d élémets de base va croissat e foctio de la complexité du produit fial. O parviet alors très rapidemet à ue descriptio du déroulemet des opératios à l aide de l utilisatio de séqueces plus ou mois complexes d opératios ou de traitemets. La écessité de modéliser et d étudier ces séquecemets apparaît alors. Les pricipes de base de la qualité impliquet écessairemet u suivi de l objet tout au log de sa fabricatio ou de so traitemet, impliquat aisi la otio de traçabilité. ous ces critères sot iterdépedats et ot des répercussios importates sur le redemet de la productio et la qualité du produit. Il apparaît idispesable de se prémuir au mieux de tout désagrémet lorsque l o met e place u système de productio élaboré. Cepedat, la projectio des comportemets deviet très difficile lorsque la complexité du site de productio croît. L idéal serait de surveiller e permaece les flux e tout poit de ces sites, afi d agir e temps réel pour les rééquilibrer das l objectif de répodre aux critères d optimisatio. Nous e sommes alors à créer des modèles complexes pour appréheder les comportemets, e y itégrat tous les élémets qui ous permettet de predre e compte le plus grad ombre possible de situatios. Ces modèles doivet être adaptés à ue commade e temps réel des systèmes afi d assurer ue réactivité satisfaisate. C est la flexibilité des modèles qui va ous permettre la prise e compte d u maximum de situatios évolutives. Le choix des réseaux de Petri (RdP) Les Réseaux de Petri sot u outil de modélisatio uiversellemet cou et recou pour les possibilités d aalyse, de validatio et de vérificatio dot ils fot preuve. L exploitatio de la théorie associée aux RdP permet, par la recherche des P et ivariats de répodre à de ombreux problèmes. La diversité des cofiguratios des systèmes de productio et la demade de flexibilité de ces systèmes e temps réel, ous amèet à cosidérer l évolutivité possible des modèles e vue de la simulatio et de la commade évetuelle. Cet outil de modélisatio est particulièremet bie adapté à la représetatio des systèmes de productio. Il se prête e effet à ue costructio modulaire et permet, das la globalité du modèle obteu, de repérer tous les sous-esembles. Ses propriétés mathématiques permettet u suivi de la coservatio ou de la o coservatio des propriétés idividuelles de chaque sous-esemble. Avec cet outil de modélisatio, o peut proposer égalemet ue simulatio des foctioemets. Aisi, ous retrouvos cette dualité etre le système et so modèle, où l élaboratio du système se fait cojoitemet à l observatio prévetive des comportemets à travers le modèle. E toute logique, o doit cocevoir alors le système par ue série d aller-retour etre le système e costructio et so modèle e simulatio. Les Réseaux de Petri peuvet e outre apporter ue cotributio das le domaie de la flexibilité : aisi, comme ous allos le voir, les modèles sot tout à fait aptes à évoluer e foctio des évéemets et des cotextes et aisi répodre e temps réel aux cotraites imposées e terme de flexibilité. 4

5 CHAPIRE I Notios essetielles Défiitios U Réseau de Petri (RdP) est ue structure graphique comportat u esemble de places et de trasitios, reliées par des arcs orietés, évetuellemet porteurs de poids. Ces arcs sot des lies etre place et trasitio ou etre trasitio et place exclusivemet. Das cette structure se déplacet des jetos (ou marques) qui apparaisset das les places et sot susceptibles de frachir les trasitios selo certais critères de frachissabilité et de frachissemet. Les figures.,. et. représetet de tels réseaux. Le premier représete u processus à deux états (Arrêt-Marche, par exemple). Das le deuxième réseau, le passage d u état à l autre mobilise ue ressource, symbolisée par le jeto coteu das la place qui a été rajoutée à partir de la figure.. Le troisième modèle peut représeter l assemblage et le désassemblage successifs de deux élémets. Figure. Figure. Figure. E gééral, les places sot repérées de P à P et les trasitios de à m. Les poids des arcs sot idiqués sur le modèle e regard des arcs. L absece de otatio sigifie que l arc e questio est implicitemet podéré à.. Défiitio formelle U RdP est u quadruplet Q = <P,, Pré, Post > tel que : P = {Pi}, i {,...,} est appelé esemble de places = {j}, j {,...,m} est appelé esemble de trasitios avec P = Pré est ue applicatio de P N dite d'icidece avat. Post est ue applicatio de P N dite d'icidece arrière. Pré (P i, j ) est appelé poids de l'arc reliat P i et j. Post (P i, j ) est appelé poids de l'arc reliat j et P i. Cette défiitio permet d'aborder la descriptio d u RdP algébriquemet et de trascrire chaque RdP sous forme de matrice W, dite d'icidece. L'évolutio du marquage du RdP peut alors être observée. Le calcul algébrique est l'outil idéal pour gérer cette évolutio de marquage. Chaque marquage et chaque séquece de frachissemet sot représetés par u vecteur (dit de marquage, ou de frachissemet). Ceci sigifie que le 5

6 réseau de Petri, est loi de être qu u outil graphique. Avat d'aborder cette écriture, voici quelques défiitios élémetaires.. Frachissabilité Propositio : Pour qu'ue trasitio soit frachissable, il faut et il suffit que l'o trouve das toutes les places immédiatemet amot à cette trasitio, le ombre de marques correspodat au poids des arcs reliat respectivemet chacue de ces places à cette trasitio.. Frachissemet Propositio : oute trasitio frachissable est immédiatemet frachie. Propositio : La trasitio frachie distribue das chacue des places immédiatemet avales, u ombre de marques égal au poids de l'arc qui relie cette trasitio à chaque place avale respectivemet. Figure.4 : Avat frachissemet Après frachissemet Les marquages sot les suivats : Avat frachissemet : m(p) = ; m(p) = 4 ; m(p) = ; m(p4) = Après frachissemet : m(p) = ; m(p) = ; m(p) = ; m(p4) = Remarques : R() : Le frachissemet d'ue trasitio e garatit pas la coservatio de la quatité de marques globale. Das l exemple précédet, o a globalemet u jeto de plus après frachissemet de la trasitio. Selo les poids attribués aux arcs liés à ue trasitio doée, les trasitios sot : "Cosommatrice", "Géératrice" ou "Coservatrice" de marques. Soit ue trasitio reliée à u esemble de places par arcs amot et m arcs aval. Soit Pré(i) le poids d'u arc amot i de la trasitio. Soit Post(j) le poids d'u arc aval j de la trasitio. Si Si < pré(i) post(j), alors est géératrice. Si pré(i) > pré(i) = m m post(j), est coservatrice. Das le RdP de la figure.5, la trasitio est géératrice de jetos : pré(i) = 7, post(j) = 8 m m post(j), alors est cosommatrice. Figure.5 : Cellule géératrice R() Les propositios P() et P() e poset aucu problème, si ce 'est qu'elles sous-etedet les otios de trasitio géératrice ou cosommatrice, doc que cela implique la créatio ou la disparitio de jetos. Il apparaît alors que les jetos peuvet symboliser des objets physiques ou des états, des situatios, des 6

7 validatios R() La propositio P() est plus critique, puisqu'il s'agit de coférer à ue trasitio u temps de frachissemet ul, ce qui 'est acceptable que du poit de vue puremet théorique et e dehors de toute réalité physique. R(4) Das le pricipe iitial des RdP, rie 'iterdit le frachissemet simultaé de deux trasitios du même réseau. Or, la simultaéité de deux évéemets 'est pas cohérete pour le physicie..4 Problèmes pratiques Les protocoles de frachissemet et les coditios de frachissabilité décrites précédemmet e preet pas e compte la otio de temps. E effet, o fait évoluer le marquage d'u RdP sas predre e compte i la chroologie i la durée des évéemets. Il est doc idispesable, pour l applicatio, de fixer u certai ombre de règles qui vot être décrites plus loi. Ces règles sot issues des cotraites temporelles imposées par les systèmes physiques. Elles sot issues des deux cosidératios suivates : - out évéemet a ue durée o ulle. - Deux évéemets idépedats e peuvet être simultaés. L évolutio du marquage das u RdP, peut alors dépedre du temps de séjour das ue place ou du temps de frachissemet d ue trasitio doés..5 Règles complémetaires Les règles suivates sot issues des remarques précédemmet faites, regardat l aspect temporel. Les propositios essetielles cocerat ces poits sot abordées ici, laissat délibérémet de côté les défiitios plus spécifiques qui seraiet utiles pour des applicatios bie particulières. Occurreces exteres La possibilité est offerte de coditioer le frachissemet d'ue trasitio à u évéemet extere (occurrece). Le om de l'occurrece est alors spécifié e regard de la trasitio cosidérée. Il est alors écessaire de proposer u chroogramme sur lequel figuret toutes les occurreces e foctio du temps (figure.6). évéemet évéemet Figure.6 : Frachissemet d ue trasitio soumise à u évéemet Deux occurreces exteres sot attachées aux deux trasitios du réseau de la figure.7. Le chroogramme associé fourit d ue part la défiitio des deux occurreces et d autre part, le suivi du marquage des deux places qui s esuit, selo ces deux occurreces e et e. t e P e e t t P e m(p) m(p) t Figure.7 Réseau de Petri et chroogrammes de marquage associés t 7

8 emporisatios Il est égalemet possible d'adjoidre ue temporisatio à ue place, ue trasitio ou u arc du RdP. Aisi les marques sot maiteues das ue place pedat u certai temps τ avat tout frachissemet de trasitio amot. O parle de RdP P-temporisé, -temporisé, Arc-temporisé. Il faut oter que tout RdP - temporisé peut se traduire e RdP P-temporisé et réciproquemet. Ces réseaux de Petri écessitet la défiitio d ue uité d horloge. La temporisatio est idiquée e regard de l'élémet temporisé. Covetioellemet, o e peut pas trouver, au sei du même RdP, des places et des trasitios temporisées. Aisi les temporisatios permettet de redre les modèles effectivemet compatibles avec la réalité physique. Ce cocept temporel est alors vu comme ue couche complémetaire aux modèles iitiaux. Paradoxalemet peut-être, la otio d ordre mathématique, de chroologie, e écessitet pas a priori de défiitio d horloge temporelle. Le temps deviet alors u attribut complémetaire qui iterfère pas écessairemet sur l évolutio des marquages. Soit le RdP P-temporisé de la figure.8a. Ce réseau a été choisi suffisammet simple pour fourir u exemple clair mais cepedat sigificatif. Les places P, P, P sot respectivemet temporisées à, et uités de temps, comme il est idiqué sur le modèle. P P P h m(p) m(p) m(p) Figure.8a Réseau de Petri P-temporisé et chroogramme de marquage associé t Au début de la séquece, le jeto situé das la place P y séjoure uité de temps. est frachie, distribuat u jeto das chacue des places P et P. Deux uités de temps plus tard, le jeto de P est dispoible, mais e peut frachir la trasitio avat que le jeto de P soit dispoible à so tour. est alors frachie et l o retrouve la situatio iitiale. L ordre des marquages est ici rigoureusemet le même que celui qui serait obteu sas temporisatio. Cepedat, ue différece de comportemet apparaît si l état de dispoibilité des jetos est cosidéré (ici, les jetos des places P et P e sot pas tout le temps dispoibles : le jeto de P est redu dispoible avat le jeto de P (temps d horloge 4). Aisi, si ce réseau est itégré das u modèle plus importat, les comportemets globaux peuvet différer (figure.8 b). t t Idispoible Dispoible P P P Figure.8b Réseau de Petri P-temporisé Das l exemple de la figure.8b, le jeto qui apparaît das la place P est capté par la trasitio deux uités de temps après so arrivée das cette place. Das ce même réseau qui serait démui de toute temporisatio, la situatio serait coflictuelle (aisi que cela va être préseté plus loi.6), et le marquage pourrait alors predre deux évolutios différetes e foctio de la levée proposée pour ce coflit. De maière similaire, voici u RdP -temporisé permettat de préseter le pricipe de cette structure. Le 8

9 réseau a été choisi suffisammet simple pour fourir u exemple clair mais cepedat sigificatif (figure.9). P P P! h m(p) m(p) t m(p) t Figure.9 Réseau de Petri -temporisé et chroogramme de marquage associé Au début de la séquece, la trasitio est pas validée (pas de jeto das P). La trasitio est validée, mais temporisée à uités. Lorsque les trois uités sot écoulées, est frachie et restitue immédiatemet le jeto à la place P, tout e doat u jeto à la place P. Les trasitios et sot alors validées, mais cette fois, est prioritaire puisque sa temporisatio est que de uités de temps. est alors frachie, fourissat u jeto à la place P, jeto qui y séjoure ue uité de temps. est alors frachie et fourit u jeto e P. Le cycle recommece. Le même réseau o temporisé serait maiteat coflictuel, la place P comportat deux arcs de sortie. Le comportemet serait alors peu itéressat : pourrait être systématiquemet validée au détrimet de, géérat aisi u ombre sas cesse croissat de jetos e P. Diverses solutios sot maiteat abordées pour s affrachir de ce type de problème coflictuel. D ores et déjà, la temporisatio peut être ue première solutio..6 Situatios coflictuelles Ce problème est directemet issu de la structure même des RdP et reflète parfaitemet les situatios possibles des systèmes que représetet les modèles. outefois, ue distictio doit écessairemet être faite etre coflit structurel et coflit effectif. Soiet deux trasitios et ayat e amot ue place commue P (Figure.) Si ue marque est placée e P, elle valide immédiatemet les deux trasitios et, qui doivet être frachies istataémet, d'après la propositio P(). La même marque doit doc frachir simultaémet et, ce qui 'est pas acceptable. Il y a ici coflit structurel, tat qu'aucue marque 'a été placée e P, puis coflit effectif lors de l'apparitio d ue marque e P. Par ailleurs, ce coflit est levé si l ue des deux places P ou P e comporte pas de jeto. P P P t Figure. : Situatio coflictuelle Ce modèle peut effectivemet évoquer ue situatio réelle, représetat par exemple le coflit effectif lors du partage d ue ressource commue etre deux etités (place P : robot sollicité par deux machies (places P et P)). Le modèle doit aider à trouver des solutios pour lever ce coflit. Outils mathématiques La descriptio algébrique du RdP est maiteat abordée, par l itermédiaire de l écriture de la matrice d'icidece. Cette écriture mathématique fait toute la richesse de l outil e ce ses qu elle va permettre d aborder l aspect évolutif du marquage. Aisi, le marquage et les séqueces de frachissemet propres à u RdP peuvet être écrites sous forme de vecteurs. Cette présetatio est faite à l aide d u exemple de RdP relativemet simple. 9

10 Soit le cahier des charges suivat : Ue machie est tour à tour libre et occupée à ue certaie tâche. Cette tâche écessite u robot pour être accomplie. De maière géérale, la machie peut être cosidérée comme «cosommateur» de robot et le robot comme «ressource» pour la machie. Ces otios de «cosommateur» et de «ressource» se retrouvet das de multiples domaies de la productio ou de l iformatique. Le modèle de ce système de productio est représeté figure. qui est à rapprocher de celui de la figure.. P P P P P P Figure. : a ; La machie est libre, le robot est dispoible (marquage iitial). Matrice d'icidece et vectorisatio b ; La machie est occupée et utilise le robot (marquage fial). Le réseau de Petri, objet iitialemet graphique, peu exploitable sous cet aspect malgré la covivialité qu il apporte, peut être trascrit algébriquemet. La matrice d icidece qui va être décrite, fait la sythèse de tous les lies etre places et trasitios du RdP. Cette matrice est e gééral rectagulaire et possède u ombre de coloes égal au ombre de trasitios du réseau, aisi qu u ombre de liges égal au ombre de places du réseau. Chaque élémet de la matrice témoige de la présece ou de l absece de lie etre chaque place et chaque trasitio, aisi que du poids attaché à l arc e questio. La directio de cet arc est trascrite par le sige de l élémet e questio. E se référat aux défiitios précédetes (.), soiet : Matrice d'icidece avat, la matrice: Matrice d'icidece arrière, la matrice: [ w ] W = ij où + [ w ] + W = ij où w ij = pré(p i, j) w + ij = post(p i, j) Aisi la matrice W - fait le bila des liaisos amot aux trasitios, et la matrice W + fait le bila des liaisos aval aux trasitios. Pour le RdP de la figure.6, où tous les arcs sot de poids, o a: W = Ces matrices peuvet être lues aisi : P P P W + = P P P D après W -, le tir de la trasitio retire u jeto à chacue des places P et P. Le tir de la trasitio retire u jeto de la place P. D après W +, le tir de la trasitio ajoute u jeto das la place P. Le tir de la trasitio ajoute u jeto das chacue des places P et P. La matrice d'icidece W est la matrice:

11 W = W + W = P P P Cette matrice fait le bila de l actio de toutes les liaisos du RdP sur le marquage. Il faut cepedat oter que les termes issus des matrices d'icidece avat et arrière e doivet pas se compeser par soustractio. Si tel est le cas, il y a perte d'iformatio lors de la trascriptio du modèle sous la forme matricielle. Pour s'e affrachir, o devra exclure d'ue telle aalyse les RdP tels qu'ue place et ue trasitio soiet reliés par deux arcs, l'u amot et l'autre aval à cette trasitio. Si cette coditio est respectée, le RdP est dit pur. La figure.9 présete u exemple de RdP impur, e ce ses que la place P et la trasitio sot u exemple de ce qui viet d être décrit. Vectorisatio Cette écriture mathématique va permettre de suivre ue évolutio du marquage. Grâce à cet outil, la prédictio de l'état d'u système est possible. Afi de compléter l'outil, le marquage est écrit de maière vectorielle, aisi que la séquece de frachissemet. Pour le RdP précédet (figure.6), le marquage proposé figure.6 a, appelé Marquage iitial se ote: M i = (,, ) le marquage proposé figure.6 b, appelé "Marquage fial" se ote: M f = (,, ) Ue séquece de frachissemet s'écrit par exemple: S =<,, > et sigifie que le frachissemet de ces deux trasitios est validé das cet ordre, validat la première à deux reprises. La séquece S est égalemet otée sous forme de vecteur : S = Chaque coordoée de ce vecteur représete le ombre de fois où la trasitio a été tirée. Il faut oter que la otio d'ordre des frachissemets est alors perdue. Les propositios précédetes vot permettre de décrire l'évolutio du marquage : M f = M i + δm Das cette expressio, M i est le marquage iitial proposé, M f est le marquage fial obteu et δm est la variatio de marquage impliquée par l exécutio de la séquece de frachissemet S. Cette variatio de marquage δm se détermie e faisat le produit : δm = W.S Il viet : () M = M + WS f i E repreat l'exemple précédet, à partir d'u marquage iitial et la séquece de frachissemet M i = (,, ) S =<,, >

12 il viet: d'où : δ M = WS = = (,, ) M f = (,,) La sigificatio de la matrice W apparaît aisi plus clairemet : le - situé au croisemet de la coloe i et de la lige P j sigifie: "elever ue marque das la place P j lors du frachissemet de la trasitio i ". De même, u e cette positio sigifie: " ajouter ue marque das la place P j lors du frachissemet de la trasitio i ".. Caractérisatio du RdP Vivacité du réseau A partir du marquage iitial, qui modélise l'état iitial d'u processus, il doit être observé que toutes les trasitios du réseau sot toujours frachissables, quelle que soit l'évolutio du système. Si tel 'est pas le cas, cela sigifie qu'u sous-esemble du modèle proposé est iaccessible au marquage à partir d'u certai poit d'évolutio du système, doc o vivat. Das la majeure partie des cas, il est alors estimé que le modèle a été mal coçu, puisqu'il deviet e partie iutile à partir d'u certai stade. Seule ue réiitialisatio de ce système permet alors d'alimeter évetuellemet ce sous-rdp. out cocepteur de réseau aura à coeur d e assurer la vivacité. Boritude du réseau U RdP est dit boré si le ombre de marques de toutes ses places a ue limite fiie. Ceci cofirme par exemple qu'il 'y a pas accroissemet pléthorique du ombre de pièces das u stock. Cette étude est abordée lors de la détermiatio du P-ivariat ou ivariat lié aux places (.). Exclusio mutuelle Les systèmes physiques présetet souvet ue exclusio mutuelle des situatios (positio marche/arrêt) ou ue exclusio de l existece ou la o existece d u objet sur u site. Ce pricipe de l exclusio mutuelle se traduit das le modèle réseau de Petri par la présece exclusive d u jeto das ue place au détrimet d ue ou de plusieurs autres places. Aisi, le modèle peut gérer à l aide d u jeto, la dispoibilité d ue ressource (machie, robot, stock). U jeto peut égalemet gérer le partage d ue ressource (jeto tourat das le modèle). Réiitialisatio La réiitialisatio est le fait de s'assurer que le système est apte à retrouver so état iitial. Cette caractéristique est très souvet essetielle, puisqu'elle garatit la possibilité de retour aux coditios iitiales d'u équipemet, quelle que soit l'évolutio de l'état de celui-ci. Au iveau du modèle qui représete ce système, ce problème est abordé grâce à l'étude des -ivariats ou ivariats de trasitios(.).. Les ivariats Les -ivariats Soit u marquage iitial M i et u marquage fial M f issu de M i après déroulemet d'ue séquece de frachissemet de trasitios S. Ceci s écrit par covetio : Par défiitios, S est u -ivariat si et seulemet si : Le vecteur -ivariat se ote : M S i M f M i M f

13 S = α,... α ) ( p Chaque terme α i est le ombre de fois que la trasitio i est tirée au cours de la séquece S. Doc, d après () pour ue telle séquece S, il viet écessairemet : WS = Autremet dit, S Ker W à droite, où KerW est le oyau de la matrice. Il e découle alors que S est u -ivariat (e se limitat ici aux valeurs α i N, esemble des etiers aturels). Pour certais RdP, plusieurs -ivariats liéairemet idépedats peuvet être détermiés. Ceci défiit ue base de -ivariats de DimKerW D élémets, dimesio du oyau à droite de la matrice W. Ce poit va être approfodi à travers l'étude des P-ivariats. C'est e effet ue étude duale de la première qui va être abordée plus précisémet. Les P-ivariats Il s'agit de détermier ue podératio des places qui permet d'étudier certaies caractéristiques, telles que la boritude des systèmes. Sur l'équatio (), u produit vectoriel à gauche par u vecteur effectué. Ceci s écrit : () P M f = P M i + P WS Soit à préset u vecteur P laissat ivariat le vecteur de marquage podéré par séquece de tir de trasitios effectuée. Il viet : La relatio précédete est réalisable si et seulemet si : P M f = P M i P de podératio des places du RdP est P quelle que soit la P WS = S Ce qui implique que: P W = et doc que, par défiitio : P KerW à gauche. ous les marquages dot il est questio das ce développemet sot des élémets de l esemble N des etiers aturels. Détermier les P-ivariats du RdP, c'est détermier le oyau de la matrice W à gauche. L'esemble du oyau Ker W à gauche est u Z-module. L'étude des RdP e cocere que des élémets à coordoées toutes positives ou ulles de ce Z-module (le marquage e peut être égatif). C'est doc par abus de lagage que l'o dit que l'esemble des solutios représete u espace vectoriel dot il s'agit de détermier ue base. La base de cet espace vectoriel KerW est u esemble de vecteurs libres appelés P-ivariats. Le but est doc de détermier ue base de KerW, à coordoées toutes positives ou ulles, et la dimesio de KerW. La détermiatio de cette dimesio permet d affirmer que des solutios ot pas été omises. Il est écessaire de coaître le rag r de la matrice W à p liges (Le RdP possède alors p places). Il est établi que : Dim Ker W G = p - r Dim KerW D = t - r Des méthodes pratiques pour détermier la dimesio du oyau de W peuvet être établies das certais cas, sas avoir écessairemet à développer l'outil mathématique. Des moyes assez coviviaux sot alors à dispositio pour détermier l'existece de tels P-ivariats, ce qui facilite cosidérablemet la tâche du cocepteur.

14 P, P,..., P Soit ue base de Ker W à gauche, tout P-ivariat du RdP s'écrit comme ue combiaiso liéaire de ces vecteurs : P = i = λ ip i Chaque P ivariat permet l écriture d ue équatio de marquage. α α α Soit P =,,... ) u P-ivariat lié à places du réseau. ( Soiet m m,... m, les marquages respectifs de ces places : () α im i= i = K Das cette expressio, K est ue costate dépedate du marquage iitial..4 Déombremet des ivariats A partir de la détermiatio du rag de la matrice W, il est établi que, de maière géérale : (4) Dim Ker W G Dim KerW D = Card(P) - Card() où Card(P) = p est le ombre de places du réseau et le ombre de liges de la matrice d icidece W, et Card() = t est le ombre de trasitios du réseau et le ombre de coloes de la matrice d icidece W. Ceci permet de comptabiliser facilemet le ombre de P-ivariats de base à partir du ombre de - ivariats de base et réciproquemet. Ceci représete égalemet u moye de vérificatio des coclusios émises par ailleurs d après u décompte empirique des ivariats..5 Exemples Soiet à ouveau les deux modèles des figures. et. : où les poids sot idiqués e regard des arcs lorsqu ils e sot pas égaux à. P P P P P P 4 P4 Figure. a Les matrices d icidece respectives de ces deux réseaux sot : Figure. b W a = P P P W b = 4 P P P P4 4

15 Ces réseaux sot caractérisés e déombrat leurs ivariats. Cette caractérisatio implique u certai ombre de propriétés permettat l évaluatio et la validatio du modèle sas aucue simulatio par ailleurs. Les -ivariats -- Pour le RdP de la figure. a : Le vecteur S = (, a ) répod au problème car W S = a a. Ceci sigifie que le tir successif de, puis (séquece <S, S>), replace le système das sa cofiguratio iitiale. D'autre part, DimKerW D =, ce qui sigifie que tous les -ivariats de ce système s'écrivet S = λs a où λ est u ombre etier positif. Il faut cepedat oter que l ordre des frachissemets des deux trasitios est pas géré par cette étude. C est seulemet le marquage iitial du réseau qui détermie les diverses possibilités de frachissemet. Aisi, pour cet exemple, l ordre de tir puis (séquece <S, S>) est pas possible à partir du marquage proposé alors que cette séquece est représetée par le même vecteur de frachissemet. -- Pour le RdP de la figure. b Le vecteur S = (,,, b ) répod au problème car W S = b b. Ceci sigifie que le tir successif de,, puis 4 replace le système das sa cofiguratio iitiale. D'autre part, la dimesio du oyau à droite DimKerW D =, ce qui sigifie que tous les -ivariats de ce système s'écrivet S = λs b où λ est u ombre etier positif. Cette fois, le tir des trasitios et 4 peut se faire selo les deux ordres. Aisi, deux séqueces répodat au vecteur S b sot possibles : S = < 4 >, S = < 4 >. Les P-ivariats -- Pour le RdP de la figure. a : Les podératios P a = (,, ) et P a = (,, ) répodet au problème, e effet : Pa Wa = et P a Wa =. Les deux vecteurs Pa et Pa formet ue base de KerW à gauche, dot la dimesio DimKerW G =. Ceci sigifie que tout P-ivariat de ce RdP s'exprime comme ue combiaiso liéaire des deux précédets vecteurs libres. ()): Il reste alors à exprimer l'ivariace de marquage sous la forme de deux expressios (voir expressio m m + m + m m, m, m sot les marquages des places P, P, P = K = K K, K sot des costates dépedates du marquage iitial. D après le marquage iitial proposé, ces costates sot égales à. Il apparaît ici que la dimesio du oyau à gauche de la matrice W est égale au ombre de boucles du RdP. Ce poit de vue est abordé u peu plus loi (.). Ceci sigifie que, pour des cofiguratios bie spécifiques, mais déjà plus élaborées que celles-ci, le cocepteur peut détermier visuellemet, doc aisémet cette dimesio. Ceci lui permet alors de coaître a priori le ombre d'ivariats de base qui caractériset so système. Il est aussi itéressat de oter que l'écriture de la base d'ivariats e déped pas du marquage du réseau, cotrairemet aux expressios de marquage qui e découlet. L'écriture algébrique caractérise doc bie la structure sas prise e compte du marquage qui reflète alors l état istataé d u système et o so comportemet gééral. Les coditios iitiales sot traduites par le marquage iitial qui peut impliquer u comportemet futur spécifique. Des structures dot le comportemet varie selo la quatité de marques iitiales sot abordées plus où 5

16 loi (.). -- Pour le RdP de la figure. b : La podératio P = (,,, ) répod au problème, e effet : P =. b b Wb DimKerW G =. Ceci sigifie que tout P-ivariat de ce RdP est de la forme P = λp Il reste alors à exprimer l'ivariace de marquage sous la forme de l expressio (voir expressio ()) : m + m + m + m K où : 4 = m, m, m, m4 sot les marquages des places P,P,P, 4 iitial. D après le marquage proposé, cette costate est égale à. b P, K est ue costate dépedate du marquage.6 Arbre de marquage Afi de suivre l évolutio du marquage au cours d ue séquece de tir de trasitios, l arborescece des marquages du réseau de Petri peut être représetée à partir d u marquage iitial doé. Ce procédé va être suivi à travers les deux exemples précédets. Les arbres représetés ici exploret toutes les possibilités à partir du marquage iitial. L objectif d ue telle exploratio est la recherche d accessibilité de marquage.,,,,, 4,,,,,,,,,,, P-ivariats et flux de marquage 4 4,,,,,,,,,. Notio de flux de marquage Das u RdP se déplacet des marques (ou jetos). Il est importat de dissocier les otios de marquage et l'existece ou o d'ivariats, ceux-ci état propres à la structure. Les ivariats vot traduire le deveir d'u système à partir de coditios iitiales imposées par le marquage iitial. Les otios, telles que blocage du système et boritude vot dépedre du marquage iitial. L'exemple de la figure. permet d'aborder les diverses possibilités d'évolutio d'u système, selo le marquage iitial, pour u même RdP possédat u P- ivariat ( ici, le vecteur P = (,) ). Coditio iitiale 4 6 Coditio iitiale P P 4 6 Coditio iitiale 4 6 Figure. Différetes coditios iitiales sur le même réseau 6

17 Voici alors les arbres de marquage obteus à partir de ces trois coditios iitiales : Coditio iitiale : ( m m, ) = (, ) Le système est bloqué. Coditio iitiale : ( m m, ) = (,) (,6) (,) (,4 ) Le système est bloqué. Coditio iitiale : ( m, m ) = (4,) (,4) (,8) (,) (,6) Le système oscille idéfiimet. Das tous les cas les calculs fourisset l'ivariat: m m = K, avec les valeurs : + i K = K = 6 K 8 pour les coditios iitiales, et respectivemet. = La otio de flux de marquage va à préset être itroduite. Aisi, il apparaît que, pour u tel RdP, possédat u P-ivariat (ici, le vecteur (,)), il peut y avoir ue périodicité du marquage, doc u flux moye costat de celui-ci, après ue évetuelle phase trasitoire. Lorsque le coefficiet K est trop petit, le système a tedace à répartir les marques de maière à bloquer les deux trasitios. Das le derier exemple (coditio iitiale ), il y a toujours assez de marques e réserve pour valider ue trasitio. C'est sur cette derière cofiguratio qu il coviet de s attarder. Au cours d'ue période de marquage, chaque trasitio a vu passer le même ombre de marques. La matrice d'icidece de ce modèle s écrit: Le P-ivariat est P = (,) et le -ivariat est S = (,). Ce derier sigifie que la séquece,,, > par exemple, laisse le marquage ivariat. E effet : <, Das l'exemple de la figure.4, il apparaît e revache que le ombre total de marques coteu das la structure, à partir du marquage iitial (,), e cesse de croître. Le système est o boré. Le flux moye 'est pas costat, mais croît idéfiimet. E observat la matrice d'icidece de ce système, l'iexistece d'ivariats est costatée. Aisi, pour le réseau de la figure.9, selo le marquage iitial (,), l ue des braches de l arbre s écrit : m, m ) = (, ) (, ) (,) (,) (,) (,) (,)... ( P W = (,) = (,) 4 6 W = 4 = (,) 6 Le ombre de marques croît idéfiimet das les deux places, l arborescece est ifiie. W = 4 Das l'exemple de la figure.5, le système coduit écessairemet à u état de blocage, quel que soit le marquage iitial. Le ombre de jetos e fait que dimiuer au fil de l'évolutio. Il 'y a pas de P-ivariat. Ces otios de flux de marquage et d'ivariats sot itimemet liées. P 6 P Figure.4 Figure.5 7

18 . Cellule géératrice et cellule cosommatrice Par défiitio, ue cellule est u esemble costitué d'ue place et d'ue trasitio, reliées par u arc, comme le représete la figure.6. Les arcs amot et aval portet les poids respectifs x et y N. P x Figure.6 : Cellule élémetaire de RdP L étude qui suit a pour objet de traduire e pratique l'existece d'u P-ivariat e partat d'u modèle costitué d ue seule boucle de places et trasitios (figure.) : P x y P x y y Figure.7 : Boucle de places et trasitios Ce réseau peut égalemet être cosidéré comme état costitué de cellules élémetaires telles que celle de la figure.6. La questio de l'existece de P-ivariat peut être posée sous forme d ue cojecture : Propositio 4: Das u RdP à ue boucle (figure.), il existe au plus u P-ivariat de base (DimKerW G = ou ). Ce P-ivariat existe si et seulemet si le produit des poids des arcs aval est égal au produit des poids des arcs amot, soit : (5) x k y Le réseau de Petri de la figure.8 comporte u P-ivariat (et doc u -ivariat), car il vérifie l expressio (5) ( x 6 = x 4). Observatio du flux de marques : = Cosidérat à préset que ce RdP est costitué de cellules de gai Le gai total de la boucle s exprime comme état le produit : G = G i i= k y i G i =, xi Ce gai apparaît comme l'amplificatio de la quatité de marques das la boucle. A préset, la coservatio de flux de marques se traduit e écrivat (la boucle est alors de gai uitaire) : i= (6) G = Gi = = i= Les relatios (5) et (6) état équivaletes, ceci motre que les otios de coservatio de flux et d'existece de P-ivariats sot itimemet liées. i= y x i i 4 -ivariat et réiitialisatio d ue boucle Propositio 5: U RdP costitué d ue seule boucle possède u -ivariat si et seulemet si il possède u P-ivariat : 8

19 Le ombre de places d ue boucle semblable à celle de la figure. est égal au ombre de trasitios de cette boucle ( - p = ). D après (4) il e résulte que ce RdP costitué d ue boucle comporte au plus u - ivariat. Le -ivariat pouvat alors être détermié représete la séquece de réiitialisatio de la boucle. Ce RdP à ue boucle est doc réiitialisable si et seulemet si le flux des jetos y circulat est périodique. 5 Costructio et caractérisatio ascedate de RdP A partir d u premier élémet de base, u RdP à ue boucle viet d être caractérisé de maière géérale. E résumé, il peut être maiteat dit que ce RdP peut posséder au plus u P-ivariat et u -ivariat (l u allat pas sas l autre). Si ce RdP possède u P-ivariat et u -ivariat, il présete ue périodicité du flux de jetos et il est réiitialisable. Si il e présete pas de P et -ivariat, il coduit, soit à ue situatio de blocage, soit à ue productio sas limite de jetos das le modèle. Il est alors pas réiitialisable. A partir de ces élémets, ue démarche de caractérisatio de RdP plus complexes peut être développée par costructio ascedate e détermiat quelles propriétés vot pouvoir être coservées lors de l assemblage ou du désassemblage de structures élémetaires. 5. Ivariats et chaîes de RdP D après ce qui précède, l'existece d'u P-ivariat das u RdP costitué d ue seule boucle est coditioée par les poids liés aux arcs reliat places et trasitios. L'existece de -ivariat assure alors la possibilité de retrouver le marquage iitial, après déroulemet d ue séquece de frachissemet doée. Ceci exprime la possibilité de retrouver les coditios iitiales, et doc de réiitialiser le système. L'étude suivate permet de se pecher sur des systèmes o rebouclés tels que ceux représetés sur la figure.8, chaîe iiterrompue de places et de trasitios commeçat par ue place et se termiat par ue place. Ue telle chaîe est déommée chaîe P-P das la suite du documet. x y x y Propositio 6 : Figure.8 Chaîe P-P Ue chaîe P-P présete écessairemet u P-ivariat et u seul, quels que soiet les poids affectés aux arcs et aucu -ivariat..9: Démostratio : Il coviet d ajouter ue trasitio à ce RdP, reliée aux places P et P aisi que le propose la figure x y x y x + y + Figure.9 La coditio d'existece d'u P-ivariat s'écrit das ce cas selo l expressio (5). Il coviet d imposer à préset x + = y + = (ce qui reviet à dire que le RdP de la figure.9 se ramèe à celui de la figure.8, la chaîe P-P). La coditio (5) est alors toujours réalisée quelles que soiet les valeurs des termes associés aux arcs. Ceci démotre l'existece systématique d'u P-ivariat das le RdP iitial de la figure.8, similaire à celui de la figure.9, avec deux poids d arcs uls. L objectif de ce qui suit est de proposer l écriture d u P-ivariat de base pour la structure chaîe P-P. Propositio 7 : Le P-ivariat d ue chaîe P-P s écrit : 9

20 (7) P = Gi, Gi,..., Gi, G, i= i= i= Démostratio : Ce RdP peut être cosidéré comme ue suite de cellules de gai Soit W sa matrice d'icidece: W x y = x y W est ue matrice rectagulaire de coloes et de + liges. Soit le P-ivariat cherché P = α, α,... α ) tel que P W =. Cette derière égalité impose: ( α x α x = α y = α y.. G = i y x x y i i α E choisissat arbitrairemet = +, il viet : α x = α + y α α puis, = G = GG α = y = x G Par récurrece, il viet : α Le P-ivariat recherché peut doc s'écrire : P = G i i= = Gi, Gi,..., D après (4), u tel RdP e présete pas de -ivariat. i= i= i= Gi, G, Il faut alors détermier u ombre λ tel que le P-ivariat s écrive P = λp, dot toutes les coordoées sot des ombres etiers. Soit le RdP de la figure.8b, où les arcs sot affectés des poids idiqués. 5 Figure.8b Exemple de chaîe P-P

21 Ce RdP présete écessairemet u P-ivariat qui s écrit, selo (7) : P = (6/5,/5,), ou ecore : P = (6,,5). E suivat l évolutio du marquage, il y a parmi les braches de l arbre de marquage et à partir du marquage (,,) la brache : (,,) (,6,) (,,) E effet, l équatio () est vérifiée, avec K = 8 : ( x 6 + x + x 5) = ( x x + x 5) = ( x 6 + x + x 5) = 8 Ce réseau e comporte pas de -ivariat. U raisoemet dual permet d'étudier esuite la chaîe suivate, dite de type chaîe - (figure.). y x x Figure. Chaîe - Propositio 8 : Ue chaîe - présete écessairemet u -ivariat et u seul, quels que soiet les coefficiets affectés aux arcs et e possède pas de P-ivariat. Démostratio : Il coviet de rajouter ue place à ce RdP, reliée aux trasitios et : x + y x y x y + Figure.9b La coditio d'existece d'u -ivariat s'écrit das ce cas selo l expressio (5). Il coviet d imposer à préset x + = y + = (ce qui reviet à dire que le RdP de la figure.4b se ramèe à celui de la figure., la chaîe -). La coditio précédete est toujours réalisée quelles que soiet les valeurs des termes associés aux arcs. Ceci démotre l'existece systématique d'u -ivariat das le RdP iitial de la figure., similaire à celui de la figure.9b, avec deux poids d arcs uls. Afi de meer à bie la démostratio qui va suivre, il est écessaire d utiliser le type de cellule représetée figure., duale de la cellule de la figure.6. y i x i Figure. Cosidéros de maière duale le rapport : Propositio 9 : Le -ivariat d ue chaîe - s écrit : H = (8) S = H i, H i,... H i, H, i= i= i= i x y i i

22 Démostratio : Soit W la matrice d'icidece du RdP de la figure.5 : W y = x y x y x S W est ue matrice rectagulaire de + coloes et de liges. Soit le -ivariat cherché WS =. Cette derière égalité impose: β,... β ) tel que = ( + β y β y = β x = β x... β y = β + x Soit arbitrairemet β = +, ceci etraîe : β = x = Puis H par récurrece, il viet : Le -ivariat cherché peut doc s écrire : S β β y = β = H H i = H i, H i,... i= i= i= H, H Il faut détermier esuite le coefficiet λ faisat e sorte que le vecteur fialemet exploitable S soit à coordoées etières : S' = λs Cette fois, le choix de ce deuxième vecteur au détrimet du premier est idispesable, puisque la sigificatio même du tir de trasitio impose des ombres de tir etiers. i, Soit le réseau de Petri de la figure.b, où les arcs sot affectés des poids idiqués : 4 5 Figure.b Ce RdP présete écessairemet u -ivariat qui s écrit, selo (8) : S = (, 5/, ), d où S = (, 5, ). Afi de vérifier le bie fodé de ce résultat, il coviet de suivre l évolutio du marquage au cours de la séquece S à partir du marquage (,). Soit arbitrairemet la séquece S cosistat e tirs de, 5 tirs de

23 , puis tirs de successivemet. Il viet : (,) (,) (,) (,) Cette séquece S ramèe le modèle au marquage iitial (,). Ce réseau e comporte pas de P-ivariat, ue équatio de type () e peut pas être écrite. 5. P et -Expasios Les costatatios qui ot été faites présetet ue première approche cocerat l'étude de la sigificatio pratique des ivariats. Il apparaît que deux chemiemets sot evisageables pour détermier les P-ivariats. Soit développer l'outil algébrique classique, soit observer le flux de marques e e détermiat les coditios de coservatio. Le propos peut être gééralisé, das le but de l'appliquer à des structures de Petri plus complexes. Des RdP obteus par expasio vot être observés et l aalyse des coditios de coservatio d'ivariats évetuels va être faite. Cette démarche permet la costructio et la caractérisatio ascedate de modèles. Elle va permettre, lors de l élaboratio de modèles de systèmes de productio, d assembler des modèles élémetaires et de suivre la coservatio évetuelle de leurs propriétés. Expasio par les trasitios ou -expasio (figure.) Défiitio: Soit RdP i, u Réseau de Petri iitial costitué de p places et de t trasitios. U esemble E xp de places {P p+,...pq} et de trasitios { t+,... r } tel que tout élémet de E xp 'est relié à RdP i que par des arcs attachés aux trasitios de RdP i sera appelé -expasio de RdP i, Soit Wi la matrice d'icidece de RdP i et RdP f le Réseau de Petri fial obteu après cette -expasio. Sa matrice Wf s'écrit: W f = W i A t t+ B r P Pp P Pq où A et B sot des sous-matrices de Wf, et O la matrice ulle résultat de l'iexistece de liaisos etre les esembles { t+, r } et {P,P p }. p+ RdP -expasio RdPex Figure. : -Expasio Propositio : Ue -expasio coserve les P-ivariats de RdP.