Chapitre II LES EQUATIONS D'ECHANGE

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1 Captr II LES EQUTIONS D'ECHNGE II- DEFINITION DES COEFFICIENTS D'ECHNGE II-. Conts loaux partulrs t ont global d'éang Consdérons un éangur tubular dans lqul on at rulr dux luds. Supposons, par xpl, qu l lud aud rul à l'ntérur ds tubs. En rég prannt, ls débts assqus d luds sont onstants t la tpératur n un pont d l'apparl st onstant. Flud Flud aud x xdx Dénssons un élént d volu d l'apparl prs ntr dux stons drots prpndulars aux tubs, stués à ds dstans x t xdx d l'xtrété par laqull ntr l lud aud. Sont t ls tpératurs oynns rsptvs ds dux luds dans t élént d volu. L transrt d alur t n ju tros résstans : - un résstan à la onvton ntr l lud t la sura ntrn ds tubs ( - un résstan à la onduton dans la paro ds tubs ( - un résstan à la onvton ntr la sura xtrn ds tubs t l lud (3 Sont t ls onts suprls d'éang rspts orrspondant aux résstans ( t (3 t d t d ls suras orrspondants. pplons λ t la ondutvté trqu du atérau onsttuant ls tubs. L lux d alur dq éangé ntr ls dux luds st tl qu dq d λ d t d ( - -

2 d st la oynn logartqu ds ars d t d. En at, dans l alul ds éangurs la résstan à la onduton dans la paro ds tubs n'st pas la résstan prépondérant. uss, l st d'usag t justé d'asslr la oynn logartqu à la oynn artétqu. d NEWTON a proposé d'érr Qu l'on put érr d d ( ( dq Ud (3 dq ( Ud don Ud (4 d λ d d t st applé l ont loal ntrn partulr d'éang st applé l ont loal xtrn partulr d'éang U st applé l ont loal global d'éang Cs onts sont ds onts loaux ar lur valur st susptbl d varr l long ds tubs. Ils s'xprnt n kal/ C tu/r t F ou W/ K. Il s'agt d osr pour d un valur d réérn pratqu, bn qu l'éangur alulé n dépnd pas d ox. Il st d'usag d osr o ar d réérn ll qu orrspond à la résstan trqu la plus grand. Nous avons don tros possbltés : d d d d d d qu dént tros onts globaux d'éang tl qu : Ud Ud Ud Ud (6 Ls tros onts n'ont d sgnaton qu par rapport à s ars d réérns. On a alors U (7 d d λ t d d (5 Sot nor U λ t D D D D D (8 Ou D t D dont rsptvnt l daètr xtérur t l daètr ntérur ds tubs. - -

3 D ê U D D λ t D D D (9 Et U D D D λ t D D D (0 Rarqus: - Dans l as d suras plans parallèls t l as ds éangurs à plaqus, ls suras d onvton sont dntqus t l n'xst don qu'un sul ont global d'éang U tl qu U λ t II-. Cont d'nrassnt Très souvnt, durant l ontonnnt d'un éangur av la plupart ds lquds t paros auss ds gaz, un l d'nrassnt s dépos gradullnt sur ls suras d'éang. Cs dépôts ont pour t d'ajoutr au ours du tps ds résstans trqus suppléntars au transrt, abassant ans la proran d l'éangur. C'st pourquo un nttoyag pérodqu s'avèr ndspnsabl pour antnr ds prorans orrts d l'apparl. La pérod dépnd du typ d'ndustr t d la aulté ds luds s n ju dans l'éangur à déposr plus ou ons rapdnt sur ls tubs ou ls plaqus. Cs dépôts sont élnés sot par déontag t nttoyag, sot par tratnt qu Dans ls ndustrs qu ou pétrolèr, on alul n général l'éangur pour qu son nttoyag n'ntrvnn qu lors ds grands arrêts d l'unté (souvnt tous ls nq ans. Dans l'ndustr agroalntar, on put nttoyr tous ls jours un éangur. L alul d l'apparl sra don tué, n général, av la valur lt d l'épassur d dépôt. n qu s dépôts orrspondnt à un résstan au transrt ondut dans un sold, on l'xpr sous or d'un résstan à la onvton. On dént don ds onts d'nrassnt (ont d dépôt d t d, ds aturs d'nrassnt / d t / d t ds résstans lts d'nrassnt : R d dd R d dd On put alors érr : dq d λ d t d ( ( d d d En applant U s l ont global d'éang d l'éangur nrassé, on obtnt d - 3 -

4 (3 U d d d λ d d d s d t On put don dénr tros onts globaux d'éang pour l'éangur nrassé suvant l'ar d réérn : d U s d λ t D D D D D d D D (4 U s D D d D D λ t D D D d (5 U s D D D d D D D λ t D D D d D D D (6 On rarqu qu : U d s Ud d d d d Ds ordrs d grandurs ds onts globaux d'éangs t ds onts d'nrassnt pour rtans oupls d luds sont donnés dans ls tablaux suvant. (7 ORDRE DE GRNDEUR DES COEFFICIENTS GLOUX D'ECHNGE U s Flud aud Flud rod U s (W/ C Gaz Gaz Gaz Lqud vsquux Lqud pu vsquux Lqud vsquux Lqud vsquux Lqud pu vsquux Vapur s ondnsant Vapur s ondnsant Vapur s ondnsant Gaz Lqud vsquux Lqud pu vsquux Gaz Gaz Lqud vsquux Lqud pu vsquux Lqud pu vsquux Lqud vsquux Lqud pu vsquux Lqud n ébullton

5 COEFFICIENT D'ENCRSSEMENT d Flud Eau dstllé Eau d r Eau d vll Eau d rvèr ltré Eau d rvèr non ltré Mazout Lquds organqus Sauur r ndustrl Résdu d rakag d (W/ C II- NOMRES SNS DIMENSION - NLYSE DIMENSIONNELLE Il xst tros typs d étods prttant d détrnr ls onts d'éang d alur par onvton : - Ls solutons atéatqus xats ou approés ds équatons d ontnuté, d quantté d ouvnt t d'énrg trqu qu s'applqunt prnpalnt à un éoulnt n rég lanar - Ls analogs ntr ls transrts d alur t d quantté d ouvnt - L'analys dnsonnll du pénoèn n appu d'xpérns L'analys dnsonnll ontrbu pu à la oprénson du pénoèn, ll st nutl sans ls xpérntatons orrspondants, par ontr ll prt d ltr l nobr d'xpérns à ar t rgroup ls donnés xpérntals sous or d nobrs adnsonnls plus pratqus à anpulr. Il xst dérnts tnqus pour détrnr ls groups adnsonnls : - la étod d UCKINGHM (Téorè d π UCKINGHM - la étod d RYLEIGH - La étod d réduton ds équatons dérntlls d blans lorsqu ls pénoèns puvnt êtr tradut atéatqunt. Ctt drnèr étod st ll qu ondut à ds nobrs adnsonnls qu ont un sgnaton pysqu. Ls dux autrs nésstnt un oprénson pysqu pour êtr s n œuvr orrtnt. Rapplons la nonlatur utlsé pour aptr t ls suvants : D Daètr ntérur ou xtérur d la analsaton L v vtss oynn du lud LT - ρ ass voluqu du lud ML -3 µ vsosté dynaqu du lud ML - T - ν vsosté néatqu du lud L T L dnson aratérstqu d la sura L g aélératon d la psantur LT - β ont d dlataton voluqu à prsson onstant - dérn ntr dux tpératurs (paro t lud - 5 -

6 C p alur spéqu du lud L T - - λ ondutvté trqu du lud MLT -3 - ont loal d'éang MT -3 - U ont global d'éang MT -3 - W débt assqu d lud MT - α dusvté trqu L T - Dans l adr ds transrts trqus on st souvnt ondut à utlsr ls nobrs adnsonnls suvant : Dvρ - l nobr d REYNOLDS R µ qu sur l rapport ds ors d'nrt aux ors d vsosté pour la onvton oré 3 L ρ gββ - l nobr d GRSHOF Gr µ qu aratérs l ouvnt du lud provoqué par ls varatons d tpératur pour la onvton naturll t jou un rôl analogu au nobr d Rynolds C pµ - l nobr d PRNDTL Pr λ Cpρ µ ν qu l'on put érr nor Pr λ t qu st l rapport d dux dusvtés (quantté ρ α d ouvnt t trqu. Pour ls gaz, Pr st nérur à t n var pas av la tpératur, pour ls lquds usuls, Pr st supérur à. Pour ls étaux lquds, Pr st très ptt. Dvρv - l nobr d PECLET P p R Pr λ qu l'on put onsdérr o l rapport du lux d'énrg trqu transporté par dgré par l lud n ouvnt au lux d'énrg trqu transéré par onduton. - l nobr d NUSSELT Nu D λ qu rprésnt l rapport du lux d alur globalnt transéré au lux d alur transéré par onduton t qu l'on put ntrprétr auss o l rapport du daètr du tub à l'épassur du l d lud dans lqul s trouvrat onntré l gradnt d tpératur Nu - l nobr d STNTON St R Pr C vρ p qu sur l lux d alur globalnt transéré dans l lud au lux d alur transporté par l lud n ouvnt. Notons qu tout produt ou rapport d nobr sans dnson st un nobr sans dnson, la plupart d s nobrs ont un équvalnt lorsqu'on s'ntérss au transrt d atèr t qu'l xst égalnt ds nobrs sans dnson résultant du rapport d dux nobrs sans dnson équvalnt pour l transrt d alur t l transrt d atèr. Expl d'applaton au transrt d alur n onvton oré à l'ntérur d'un tub : - 6 -

7 Consdérons un lud s'éoulant à l'ntérur d'un analsaton d daètr D t d longuur L. L ont d'éang d alur à la sura tub st un onton - ds proprétés pysqus du lud ρ, µ, C p, λ - d sa vtss oynn v - ds aratérstqus d la analsaton D, L On put don érr (ρ, µ, C p, λ, v, D, L (8 n sûr, s l'on oubl ds proprétés pysqus ayant un nlun sur l ont ou d'autrs paraètrs, l résultat d l'analys dnsonnll sra aux. RYLEIGH adt qu la onton put s dévloppr n sér d la or : α β γ δ ε ν σ a ρ µ C λ v D L (9 Caqu tr d la sér a la dnson d, sot : p 3 3 α β γ 3 [ MT ] [ ML ] [ ML T ] [ L T ] [ MLT ] ε ν [ ] [ ] [ ] σ LT L L Ctt équaton aux dnsons dot êtr véré pour aun ds untés ondantals, sot : [ M ]: α β [ L] : 0 3α β [ T] : 3 β - [ ] : γ δ δ γ γ 3δ δ ε ε 7 nonnus t 4 équatons, on put don alulr 3 varabls par rapport aux autrs β δ ε ν γ γ α α α σ ν σ δ (0 ( ( par sut a λ D α Dvρ µ C pµ λ γ L D σ (3 ou D λ Dvρ Cpµ L g,, µ λ D Suvant l ox ds varabls, nous aurons pu obtnr d'autrs nobrs sans dnson av évntullnt auun sgnaton pysqu. Plus splnt on aurat pu dr qu'l xst onton d 7 varabls (au total 8 av 4 untés ondantals. Il xst don un rlaton ntr 4 (8-4 nobrs sans dnson rprésntant l pénoèn. L'analys dnsonnll n prédt pas l typ d rlaton qu l'on va trouvr. (4-7 -

8 En étudant un nobr adnsonnl par rapport aux tros autrs, on r nsut un "bonn" rlaton tradusant ls résultats xpérntaux dans un plag donné d varatons ds nobrs sans dnson. Pour 0 4 < R <.0 4 0,6 < Pr < 0 L/D > 60 M DMS tuant un syntès d nobrux résultats xpérntaux, a trouvé qu la rlaton D Dvρ 0,03 λ µ 0,8 C pµ λ rndat opt ds résultats av un préson d l'ordr d 0% 0.4 (5 II-3 DETERMINTION DE L'IRE D'ECHNGE - UTILISTION DE L DIFFERENCE DE TEMPERTURE MOYENNE LOGRITHMIQUE DNS LES ECHNGEURS TUULIRES Consdérons un lud aud t un lud rod s'éoulant dans un éangur tubular. En rég prannt, ls tpératurs ds dux luds sont xs n un pont as varnt tout au long d l'éangur. L'allur ds prols d tpératurs st rprésnté sur ls gurs suvants. Par onvnton nous notrons ls tpératurs ds luds à l'xtrété par laqull ntr l lud aud t ls tpératurs ds luds à l'autr xtrété

9 On onstat qu, dans ls éangurs à o-ourant, la tpératur la plus bass du lud aud dans l'apparl st néssarnt supérur à la tpératur la plus élvé du lud rod.par ontr, dans ls éangurs à ontr-ourant, la tpératur d sort du lud aud put êtr nérur à la tpératur d sort du lud rod. L ontonnnt à ontr-ourant st don plus a qu lu à o-ourant. Dans l as ds éangurs ultpasss, l ontonnnt st oté à o-ourant, oté à ontr ourant t ls prols d tpératurs sont plus oplxs. o-ourant ontr-ourant - 9 -

10 II-3. Eangurs à un sul pass Nous tratrons dans ours unqunt ls apparls à ontr ourant. Ls apparls à o-ourant s tratnt d anèr slar t nous n'n donnrons qu ls résultats. Flud rod WC d Flud aud WC d

11 Consdérons un éangur tubular t supposons qu l lud aud rul à l'ntérur ds tubs. Sont W son débt assqu t C sa alur spéqu. pplons W t C rsptvnt l débt t la alur spéqu du lud rod. Nous supposrons qu ls alurs spéqus sont onstants dans l'éangur. Consdérons un élént d volu d t éangur lté par dux stons drots stués rsptvnt à x t xdx d l'ntré du lud aud (l'xtrété. Sot dq l lux d alur éangé ntr ls dux luds à travrs la sura d On put érr dq Ud ( Ud( L problè à résoudr pour obtnr l'ar d'éang d l'apparl st l'ntégraton d tt équaton n rarquant qu t l ont global d'éang U var av x (U dépnd ds onts loaux d'éang ux-ê onton ds tpératurs par l'ntrédar ds proprétés pysqus. L lux d alur dq st édé par l lud aud : dq W C d (6 Il st gagné par l lud rod dq W C d (7 Sot n obnant ls dux équatons Posons ( d dq (8 W C W C Ψ (9 W C W C On n dédut d( dq (30 Ψ En obnant ls équatons on obtnt ( d ΨUd (3-3 -

12 r as U onstant l long d l'apparl Consdérons qu l ont global d'éang n var pas av la dstan (U Constant Ls équatons s'ntègrnt ntr ls xtrétés t d l'éangur ( d ΨU d (3 d dq (33 Ψ dq WC d (34 dq W C d (35 Sot ΨU (36 Q ( Ψ W C ( W C ( (37 D'ou Q U ( (38 Ou st l'ar d'éang L'équaton 38 put nor s'érr : Q U l (39 (40 n sûr la oynn logartqu st syétrqu Q ( ( U U (4-3 -

13 S on put déontrr qu Q U (4 Flud rod WC d Flud aud WC d Pour un o-ourant la déonstraton ondut à t Q W C ( W C ( (43 Q U l (44 Expl : 0 T/ d ul s éoulant dans un tub st rrod d 00 à 40 C par d l au lqud passant d 0 à 40 C. L ont global d éang Us st égal à 300 W/ K Flud Eau Hul Mass voluqu (kg/ Calur Spéqu (J/kg C Calulr l ar d éang néssar à ontr ourant t o ourant. QWCp sot Q0000/3600*50*( W ontr ourant Q U sot

14 ( 40 0 ( l 36.4 C , o ourant ( ( 00 0 l 0 C Il nous audrat don un ar d'éang nn, qu ontr bn qu l o ourant st ons a qu l ontr ourant è as U var l long d l'apparl Ls onts loaux d'éang t dépndnt ds proprétés pysqus ds luds t sont don onton d lurs tpératurs. En ntégrant ls équatons 6 t 7 ntr l'xtrété d l'apparl t un absss varabl on put dédur la rlaton ntr t n aun ds ponts d l'apparl. On put égalnt détrnr l ont global d'éang d l'apparl U n onton d ( -. On put dvsr tt ourb n sgnts qu l'on asslra à ds drots U U Sot UU (n l'équaton d la drot sur l sgnt L'équaton s'ért don ( d ΨU ( n d (45 Qu ntégré ntr ls xtrétés t s'ért ( n ( n ΨU (

15 Ou st l'ar du tronçon d l'éangur. En élnant Ψ ntr ls équatons, l vnt Q ( U (47 ( n ( n En rarquant qu ( U U U (48 On n dédut qu Q ( U U U U (49 Il sut don d alulr la sura pour aqu tronçon t d'ajoutr ls suras orrspondants. Rarqus : s l'on onsdèr un sul sgnt sur tout l doan, on obtnt Q ( U U U U (50 C qu st la plupart du tps susant Expl : 0 T/ d ul s éoulant dans un tub st rrod d 00 à 40 C par d l au lqud s éoulant à ontr ourant dans l spa annular d un éangur doubl tub t passant d 0 à 40 C. L ont global d éang Us var av la dérn d tpératur ntr l ul t l au o sut : Dérn d tpératur( C Us (W/ K Flud Eau Hul Mass voluqu (kg/ Calur Spéqu (J/kg C Calulr l ar d éang néssar

16 QWCp sot Q0000/3600*50*( W Cont d'éang Dérn d tpératur La ourb U( - st un drot. Nous pouvons don alulr l ar d éang : U U Q sot U U 355 * 0 3* * 0 3 * 60 5,56 Ls équatons d'éangs sont valabls égalnt dans l as ou l'un ds luds ang d'état s toutos angnt s pass à tpératur onstant (ondnsaton d'un vapur pur saturé par xpl

17 II-3. Eangurs ultpasss Dans as, l problè st plus oplx. Ls auturs ont ré ds solutons analytqus rprésntant l lux éangé. Ils ont xpré l lux sous la or : Q U Y l ou l rprésnt la dérn d tpératur à ontr ourant t Y st un ont orrt qu st nérur à. Notons qu dans la onpton ds éangurs on ra n sort qu ont orrt sot supérur à 0,8 pour garantr qu la sura d'éang utlsé l sot av un bonn até. Exanons l as d'un apparl -, sot av un pass ôté alandr t passs ôté tubs II I II d II d I d I d Sot W, Cp, W, Cp ls débts assqus t ls apatés alorqus ds ourants t rsptvnt. On supposra qu : -L rég st prannt -Ls alurs spéqus t l ont global d'éang sont onstant -Ls tpératurs sont unors sur un ston drot d l'éoulnt. Etuons ls blans trqus ntr ls plans a t b, globalnt, sur la sura d. Entr a t b : Entré - Sort 0 W Cp ( I II WCp ( 0 (5 W Cp ( W Cp ( (5 II I Posons WCp R (53 WCp

18 On obtnt R( (54 ( II I Sur l'ar d on ért un blan sur l lud I, un sur l lud II t un sur l lud W Cp d I d U ( I (55 W Cp d II d U ( II (56 W Cp d d d U ( I U ( II (57 Posons U dα d (58 W Cp On obtnt don : d I dα ( I (59 t d R II dα ( II (60 d ( I II dα (6 En dérntant tt drnèr xprsson t n rplaçant ls d à l'ad ds équatons préédnts on obtnt : R d dα d ( II I (6 dα R En utlsant la prèr équaton, l vnt : d dα d ( R 0 (63 dα 4 Posons Θ (

19 Il vnt don l'équaton av ls dux ondtons aux lts suvants : d Θ dθ Θ R 0 dα dα 4 α 0 Θ U α αt Θ 0 W Cp (65 La soluton général d tt équaton st Θ rα rα v u (66 r t r étant soluton d r Rr 0 4 Sot R R R R r r (67 Ls dux ondtons aux lts donnnt α 0 α α T u v D'où l'on pourrat trr u t v u Θ 0 v rα rα U R (68 T W Cp T L'équaton 6 pour α0 s'ért R d dα ( 0 (69 Sot n rplaçant d par sa valur : R ( ur vr (70 ( ur vr (7 ur vr (7-39 -

20 Posons E (73 ur vr E E sot ur vr (74 E Qu l'on put ultplr par uv qu st égal à pour obtnr : ( re E v( re E 0 u (75 u v rα T rα T R U W Cp E E ( r ( r (76 U W Cp E R R R E R R (77 On put érr l lux d alur qul qu sot l lud aud : ( ( ( ( ( Q UY W Cp (78 U W Cp ( ( ( ( ( Y (79 Or ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( E RE (80 Et ( ( ( ( ( ( R (8-40 -

21 U W Cp E R R ( E Y Y R ( RE R E (8 R R D'où l'on tr Y ( R R ( E ( RE E R R E R R (83 Rprnons l'équaton 8 t ontrons qu ls ourants t jou un rôl syétrqu. En nvrsant t l vnt Posons WCp E R' t E' (84 W Cp R R' On rpla don dans l'équaton U W Cp R' E'R' E'R' R' R' R' R' (85 U W Cp E' R' R' R' R' E' R' R' (86 U W Cp E' R' R' R' E' R' R' (87 On vot don qu la orul st syétrqu n t qu st vra égalnt pour l Y. Ds abaqus ont été établs pour ls prnpals onguratons d'éangurs d alur. Ils donnnt la valur du ont Y n onton d E av pour paraètr R

22 Cont orrt pour un éangur -n,00 0,95 0,90 0,85 0,80 Y 0,75 0,70 0,65 0,60 0, 0, 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9,,4,6,8, ,55 0,50 0 0, 0, 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 E - 4 -

23 Cont orrt d'un éangur -n,00 0,95 0, 0,90 0,85 0,80 Y 0,75 0,70 0,65 0,60 0, 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9,,4,6,8, ,55 0,50 0 0, 0, 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 E

24 Cont orrt d'un éangur 3-n,00 Y 0,95 0,90 0,85 0,80 0,75 0, 0, 0,3 0,4 0,5 0,70 0, ,5,8,6,4, 0,9 0,8 0,7 0,6 0,60 0,55 0,50 0 0, 0, 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 E

25 Cont orrt d'un éangur 4-n Y,00 0,95 0,90 0,85 0,80 0,75 0, 0, 0,3 0,4 0,5 0,70 0, ,5,8,6,4, 0,9 0,8 0,7 0,6 0,60 0,55 0,50 0 0, 0, 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 E

26 Cont orrt ourant rosés 0,95 0,9 0,85 0,8 Y 0,75 0,7 0,65 0, ,5,8,6,4, 0,8 0,9 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0, 0, 0,55 0,5 0 0, 0, 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 E (WCax élangé (WCn non élangé

27 Cont orrt ourants rosés 0,95 0,9 0,85 0, 0,8 Y 0,75 0,7 0,65 0, ,5,8,6,4, 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0, 0,55 0,5 0 0, 0, 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 (WCax non élangé 0,9 E (WCn élangé

28 II-4 EFFICCITE D'UN ECHNGEUR DE CHLEUR II-4. Dénton Ls équatons 37 t 38 sont d'un utlsaton spl lorsqu l'on souat alulr la sura d'éang néssar pour réalsr un auag ou un rrodssnt d'un lud donné. La prèr ou la sond nous prt d alulr l lux d alur, la sond ou la prèr la tpératur d sort ou l débt d l'utlté. La drnèr, nn nous srt à alulr l'ar d'éang. L'utlsaton d s équatons pour la sulaton d'un éangur xstant, 'st à dr lorsqu l'apparl st xé ans qu ls tpératurs d'ntré t ls débts ds luds, st plus délat. Ls nonnus (ls tpératurs d sorts t l lux d alur sont tlls qu nous avons un systè non lnéar à résoudr. Il st alors plus ood d'utlsr un étod basé sur la noton d'até trodynaqu d'un éangur. Ctt até E st dén o l rapport du lux d alur réllnt éangé dans l'apparl Q, au lux axu qu pourrat êtr éangé dans un apparl d sura nn ontonnant à ontr ourant ('st à dr la lt trodynaqu du lux Q ax. Ls débts t tpératurs d'ntré ds dux luds rstnt bn sûr dntqus t don l ont global d'éang U. L'éangur ntal pouvant êtr qulonqu nous appllrons la tpératur d'ntré du lud rod t s la tpératur d sort du lud rod. Dénssons l lux axu Q ax Ls équatons d'éangs sont : Q W C ( (88 Q W C ( (89 s ( s ( ( s ( Q U (90 Pour un ontonnnt à ontr ourant, la sura tndant vrs l'nn t l lux tndant vrs un valur n, un ds dérns d tpératurs d la oynn logartqu dot tndr vrs zéro. Envsagons ls dux séas suvant : s s

29 Lorsqu l'on augnt l'ar pour la ar tndr vrs l'nn, la tpératur dnu t la tpératur s augnt tout n vérant ls dux équatons 88 t 89. On vot don qu dans l prr as dnura plus vt qu n'augntra s t dans l sond as, l'nvrs s produra. On n dédut qu tndant vrs l'nn, tnds vrs dans l prr as t s tnds vrs dans l sond as. Dans l prr séa, ( > ( s don W C < W C Dans l sond séa ls négaltés sont nvrsés. On put don érr dans ls dux as qu : Q ax ( WC ( où (WC rprésnt l plus ptt ds (WC. ns, l'até d'un éangur st : E WC ( ( WC ( W C ( s ( WC ( (9 (9 t l lux d alur éangé Q E ( WC ( (93 II-4. Détrnaton d l'até On supposra l ont global d'éang onstant l long d l'éangur Nous déontrrons unqunt l'até à ontr ourant. Dans s ondtons, la tpératur d'ntré du lud rod dvnt t la tpératur d sort On a don : Q Q WC ( ( (94 W C Q Q W C ( ( (95 W C Q Q E( WC ( ( (96 E ( WC

30 ( ( ( ( Q U (97 Détrnons la valur ds dérns d tpératurs aux xtrétés Q Q ( ( ( (98 E ( WC W C Q Q ( ( ( (99 W C E ( WC Rplaçons dans la drnèr équaton Q Q Q Q ( ( E WC W C E WC WC Q U (00 Q Q ( E WC W C Q Q ( E WC WC Rarquons tout d'abord qu tt orul st syétrqu pour ls dux luds, n rplaçant ls nds t nous obtnons la ê orul, qu sgn qu nous pouvons osr l lud qu a l plus ptt WC. Qu sot l lud aud ou rod, nous obtndrons l ê résultat. Cosssons par xpl (WC W C t don applons (WC M W C, splons par Q ( ( ( ( E WC WC E WC WC M U (0 ( ( E WC WC E WC ( WC ( M

31 U WC ( M ( ( E ( WC ( WC WC E M U WC ( ( WC ( WC M ( E ( WC ( E WC M (0 E U ( WC ( ( ( (03 WC WC WC E M ( WC M On n dédut don E xp ( ( WC U xp ( WC ( WC M U WC ( WC ( WC M ( WC ( WC M (04 Nous dénssons ( WC U t NUTax ( WC M ( WC R pour obtnr (05 xp E R xp ( NUTax ( R ( NUT ( R ax (06 Pour un éangur à o-ourant, on put ontrr d la ê anèr qu xp E ( NUT ( R ax R (07 Pour un apparl à passs oté tubs nous avons déjà établt la rlaton ntr NUT, R t E t ontré sa syétr sur ls dux luds t don n supposant qu l lud orrspond au (WC l vnt : - 5 -

32 U WC ( E R R E R R R (08 d'où nous trons xp U WC ( R E R E R R R (09 E R xp R xp U WC ( U WC ( R R R R (0 ou bn E R xp R xp U WC ( U WC R R ( ( Il st possbl d dénr nobrs d'untés d transrt pour un éangur : U U NUT t NUT WC W C ( Saant qu W C (3 on obtnt : ( W C ( U ( ( ( ( ( U ( l l UY U NUT t NUT (4 W C Y W C Y l - 5 -

33 L nobr d'untés d transrt d'un éangur rprésnt don l rapport ntr la dérn d tpératur sur l lud onsdéré à la dérn d tpératur oynn d'éang. Vu sa dénton, ls nobrs d'untés d transrt d dux éangurs n sér sur un lud s'ajoutnt. Eaté d dux éangurs n sér : E E 3 3 Ls éangurs sont n sér as aqu éangur st qulonqu. Nous allons supposr qu W C WC t W C WCM tout n notant qu l'nvrs nous donnrat la ê soluton. R W C 3 3 (5 W C 3 3 E 3 3 E E (6 3 Calulons ;: E RE ( E RE t E RE 3 3 (8 E E E x RE RE RE qu l'on put généralsr pour n éangurs n sér (9-53 -

34 E RE n E RE (0 Ctt rlaton nous prt don d dédur l'até d'un apparl à passs ôté alandr à partr d ll d'un apparl à un pass ôté alandr. Résué ds oruls d'até pour dérnts éangurs o ourant ontr ourant xp E xp E R xp ( NUT ( R ax R ( NUTax ( R ( NUT ( R ax ( ( - E R xp R xp U WC ( U WC R R ( (3 n passs ôté alandr E RE E E R RE n n (4 E étant l'até d'un éangur à pass ôté alandr Eangur à ourants rosés ls dux luds non élangés E xp ( [ xp( R NUTax ] NUT Γ av Γ ax R (5 Eangur à ourants rosés (WC ax lud élangé (WC n lud non élangé xp E R ( R Γ av Γ xp ( NUT ax (6 Eangur à ourants rosés (WC n lud élangé (WC ax lud non élangé

35 Γ E xp R av Γ xp ( RNUT ax (7 Ls équatons orrspondants ont été traduts sous or d'abaqus qu l'on trouv dans la lttératur onsaré aux éangurs d alur. Dans polyopé, nous n donnrons qu rtans d s abaqus Expl: Détrnr l até d un éangur, n supposant l ont global d éang ndépndant d la tpératur, prttant d rrodr un ul d 80 à 30 C à l ad d au qu pass d 0 à 35 C. En supposant qu t éangur ontonn à ontr ourant détrnr son Nobr d Unté d Transrt Maxu. En supposant qu t éangur st un éangur - détrnr l ont orrt Y d l équaton QUY l. L até d un éangur st donné par : E Q Qax WC( s ( WC ( WC ( s ( WC ( Dans notr as la dérn d tpératur du lud aud st plus grand qu ll du lud rod, l (WC st don lu du lud aud sot E WC( s ( WC ( ( s ( ( ( 80 0 R NUT ax ( ontr ourant, E ( R NUT ax R ( E sot NUT ax R ( RE R st égal au rapport ds dérns d tpératurs ( WC ( s ( 35 0 R 0,3 WC ( M ( s ( ( 0,833 ( 0,3* 0,833 NUT ax,5 0.3 ont orrt Y : 0,8333 ( s ( ( ( 80 0 E 0,8333 t R ( ( ( 35 0 ( s s 0,3 Sur l abaqu, l n st pas possbl d trouvr un valur d Y ar ll st nérur à 0,5 (0,47 par la orul. Cla ontr qu t éangur n st pas ntérssant!!!

36 Eaté d'un éangur à o ourant,0 0,9 R0 0,8 R0,5 Eaté 0,7 0,6 0,5 0,4 R0,50 R0,75 R 0,3 0, 0, 0,0 0 0,5,5,5 3 3,5 4 4,5 5 NUTax RWn/Wax Eaté d'un éangur à ontr ourant,00 0,90 0,80 0,70 R0 R0,5 R0,50 R0,75 R 0,60 Eaté 0,50 0,40 0,30 0,0 0,0 0,00 0 0,5,5,5 3 3,5 4 4, NUTax RWn/Wax

37 Eaté d'un éangur à ourants rosés luds non élangés,00 0,90 0,80 0,70 0,60 R0 R0,5 R0,50 R0,75 R Eaté 0,50 0,40 0,30 0,0 0,0 0,00 0 0,5,5,5 3 3,5 4 4,5 5 RWn/Wax NUTax Eaté d'un éangur à ourants rosés,00 0,90 R0 0,80 0,70 0,60 R0,5 R0,50 R0,75 R Eaté 0,50 0,40 Wn non élangé Wax élangé 0,30 0,0 0,0 0,00 0 0,5,5,5 3 3,5 4 4, NUTax RWn/Wax

38 Eaté d'un éangur à ourants rosés,00 0,90 0,80 0,70 0,60 R0 R0,5 R0,50 R0,75 R Eaté 0,50 0,40 0,30 Wn élangé Wax non élangé 0,0 0,0 0,00 0 0,5,5,5 3 3,5 4 4,5 5 NUTax RWn/Wax Eaté d'un éangur -,00 Eaté 0,90 0,80 0,70 0,60 0,50 0,40 R0 R0,5 R0,50 R0,75 R 0,30 0,0 0,0 0,00 0 0,5,5,5 3 3,5 4 4, NUTax RWn/Wax

39 No du dount : ECHNGEURS DE CHLEURV_DHET.do Réprtor : C:\Dounts and Sttngs\Dns.arrtau\Ms dounts\ensgnnt\oraton ontnu Modèl : C:\Dounts and Sttngs\barrta\pplaton Data\Mrosot\Modèls\7.dot Ttr : ECHNGEURS DE CHLEUR Sujt : utur : RRETEU Mots lés : Contars : Dat d réaton : 6/0/006 6:0:00 N d révson : 3 Drnr nrgstr. l : 6/0/006 6:04:00 Drnr nrgstrnt par : Dns arrtau Tps total d'édton : 8 Mnuts Drnèr prsson sur : 6/0/006 6:05:00 Tl qu'à la drnèr prsson Nobr d pags : 6 (approx. Nobr d ots : (approx. Nobr d aratèrs : (approx.