SUR LA MULTIPLICATION DE SÉRIES ABSOLUMENT CONVERGENTES

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1 Det Kgl. Daske Videskaberes Selskab. Mathematisk-fysiske Meddelelser. I, 4. SUR LA MULTIPLICATION DE SÉRIES ABSOLUMENT CONVERGENTES PAR DES SÉRIES SOMMABLES PAR LA MÉTHODE DE CESÀR O PA R A. F. ANDERSE N KØBENHAV N HOVEDKOMMISSIONÆR : ANDR. FRED. HØST & SØN, KGL. HOF-BOGHANDE L BIANCO LUNOS BOGTRYKKER I 1918

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3 1. ONFORMVIÉMENT à la défiiti gééralemet reçue, u s ~ r appellers das ce mémire la sériera u,,, smmable au ses de CESARO de l'rdre r, u, plus brièvemet, smmable (C, r), avec la valeur de smmabilité u, si (1) lim 't A( ; x r ) ~a~c uṅa )+u~~,-1 A(r) {-...+u A~~) -{-.. ~ ul ~ u A(~~ ), i i lim A (, R7 ~ O,L.) ù, pur abréger, us avs psé = rz + rl (v±r) (v r-1)... (rß--1) ± = A1' ) v / - r ( Cette défiiti est équivalete à celle adptée par CESARO lui-même' pur les valeurs etières psitives d u mbre rdial r. CESARO csidérait uiquemet celles-ci ; cepedat, e frmulat la défiiti de la srte - cmme l'a fait déjà S. CHAPMAN 2' -, la ti de smmabilité (C, r) deviet valable pur tute valeur réelle de r, tute - fis à l'excepti des mbres etiers égatifs, puisque, pu r r etier égatif, A (;, ) sera cstammet, à partir d 'u certai, égal à zér. O vit que les tis de smmabilit é (C, D) et de cvergece st idetiques. ' Bulleti des Scieces Mathématiques (2), Tme 14' (189), page Prceedigs f the Ld Mathematical Sciety (2), Vl. 9 (1911), page *

4 A. F. ANDERSEN. Avat d'etrer e matière, us alls établir quelques- ` ues des frmules les plus simples et les plus usitées c - cerat la méthde de smmabilité emplyée. La frmule du bime de pur x < 1 (1- x)-(r +1) =~(-l)~(-r--1) x Cmme cepedat (-r-1 1 J cette équati peut aussi s'écrire m (2), (1-x)- (r +1) - (r) d' ù, e remplaçat x par -x : cc A,Z x (II (3) (1+ x)-(r+1) = 7z 1 ( 1) A (r)x De (2) déduit e utre, e vertu de (1) : w (l x! <1) w. ( 4 ) ( 1-x)-(r + 1)~z u,x" - ) Siy)x1t (~x < 1 ) Efi, (2) dera pur des valeurs arbitrairemet chisies de r et de s (e e csidérat tutefis ici que le s valeurs réelles qui e st pas etières égatives) : w 2;, O w (Ax). 2;1 As'>x~x - (1- x)-(r+ 1 ). (1 - x)-(s+1) ~ w - (1- x)-(r-1-s+2) -2 :A ( 1a r-i-a+1) x11 ( x < 1 ) d'ù, e appliquat le thérème de multiplicati de CAUCHY, la frmul e Jj-A(T) A( S ) A(r)A(s) = A(r+s +1 ) i 1a 1a ~ (~) A(1)A(s) A(r)A(s) -{-...

5 Sur la multiplicati de séries. 5 qui das le cas particulier de s =, se réduit à (6) A (r) - A (r) A(r) -'-... A( r) -~- A(r) + = A r'~ +l l Rappels, de plus, la frmul e (r) (7) r ) A IJ,7 (1 + ù p,r 1 quad m, r demeurat cstat. Il cviet aussi de se redre cmpte dès maitea t que la suite A cr 1 (1) A (r) A ( 1, r) 2,...,.., 1 pur r >-1 est à élémets psitifs, qui pur r > vt tujurs crissat ( d ' après (7), vers c), tadis que pur -1 < r < ses élémets st tujurs décrissats (d'après (7) vers ) ; 2 pur le mbre etier r = -s< - 1 elle présete des élémets qui pur l'idice < [s] st à siges alterés, alrs que pur tus >[s] ils st d e sige cstat : (-1)[si. Ici, [s] sigifie le plus grad de s mbres etiers psitifs iférieurs à s. Cits efi deux écés de S. CHAPMAN que u s aurs lieu d'utiliser assez suvet das la suite : OD 1. Si la série2u est smmable (C, r), r>-1, ell e sera aussi smmable (C, s) quad s> r, avec l a même valeur de smmabilité. II. Si la série u est smmable (C, r), r> -1, aura lim ugl =---- O. --* m r Prceedigs f the Ld Mathematical Sciety (2), Vl. 9 (1911), pages

6 6 A. F. ANDERSEN. 2. O sait que le prduit de deux séries cvergetes, frmé suivat la règle de multiplicati de CAUCHY, est li d'être tujurs ue série cvergete. Il e est tut autre - met lrsqu 'il s 'agit de la multiplicati de- séries smmables. E effet, das l'uvrage précité, CESARO a démtr é le thérème suivat, égalemet bie cu :. `a III. Si les séries u,, et,~~v,,, st smmables, respectivemet (C, r) et (C, s) avec les valeur s de s mmabilité u et v, la série prduite sui - vat la règle de multiplicati de CAUCHY* :..:w = 2-7(vu+v_,u,-ir... T viu-1t v»u) sera sûremet smmable (C,r--s+1) avec l a valeur de smmabilité u v. Ici, r et s st de s etiers psitifs u bie égaux à zér. Le résultat frmulé das cet écé ffre u itérêt csidérable pur la thérie des séries, même au pit de vu e de l'évluti histrique de la dite thérie. E fait, c'est e grade partie ce thérème qui prvqua l 'établissemet de la thérie de la smmabilité, crps de dctrie qui, u e fis fdé, e tarda pas à évluer prgressivemet et a dé aissace à des résultats mbreux et imprtats'. E effet, le thérème cité semblait idiquer qu' purrait atteidre à ue plus grade simplicité cmme aussi à u e harmie plus parfaite de la thérie des séries, et que, d'autre part, celle-ci se truverait susceptible d'être appliqué e à d'autres dmaies, si, au lieu de csidérer et d'utilise r uiquemet des séries cvergetes - aisi qu' avait fai t Das la suite us désigs cette série par» s é r i e prduit», 2 Parmi ces résultats, us puvs relever ici la part qui lui reviet das la thérie des séries de FOURIER et de DIRICHLET.

7 Sur la multiplicati de séries. pedat la plus grade partie du dix-euvième siècle -, se décidait à se servir aussi des séries cvergetes. Cepedat, le thérème III e de qu 'ue limite supérieure de l'rdre de smmabilité de la série prduit. Cits Ø titre d'exemple la série smmable du lqi rdre : (8) 1-1-x-1-1-}-1- dt le carré serait, e vertu de ce thérème, smmabl e (C, 3), alrs qu'il est facile de démtrer directemet qu e le carré de cette série : (9) 1-2-; est smmable (C, 2). - Ue fis qu' eut cmmecé de csidérer des valeurs sit etières sit égatives (abstracti faite des valeur s etières égatives) du mbre rdial, il devit pssible d e truver à la limite supérieure de l'rdre de la série prduit ue valeur midre que celle idiquée par le thérème III. Aussi, S. CHAPMAN ' put-il démtrer le thérème suivat :, 7 IV. Si u et v,, st smmables respective - met (C, r) et (C, s), ù r et s st des mbre s réels arbitrairemet chisis tels que r -- 1 et s>-1, ayat les valeurs de smmabilit é respectives de u et de v, la série prduite sui - vat la règle de multiplicati de CAUCHY : i I,a w u = (U,,u,+ vø,_1u v1um_i v u) sera sûremet smmable (C, r+s +1) avec l a valeur de smmabilité u. v. Le fait que le mbre (r + s + 1) qui figure das l e thérème IV est suvet plus petit que celui du thérème Prceedigs f the Ld Mathematical Sciety (2), Vl. 9 (1911), page 378.

8 A. F. ANDERSEN. III, quad fait applicati des deux thérèmes au x mêmes deux séries, est dû à la précisi plus élevée ave c laquelle est à même de détermier l'rdre de smmabilité e csidérat aussi les valeurs etières du mbr e rdial. C'est aisi que, par exemple, peut aisémet démtrer (vir page 19).que la série (8) est smmable (C, e), e représetat - cmme partut ailleurs ù us emply s cette lettre - u mbre psitif arbitrairemet petit, et le thérème IV mtre alrs que la série (9) est smmabl e (C, 1+ 2E),. de srte que, e appliquat ce thérème, u s smmes parveus à réduire.de 3 à (1+ à) la limite supérieure de l'rdre de smmabilité apparteat à la série pr - duit (9). Désigs e utre, tujurs avec CFIAPMAN, par idic e de smmabilité, u idice tut curt, d'ue série smmable le mbre g, qui frme la limite iférieure de ceux, k, ayat ceci de particulier que la série est smmable (C, r ) pur tut r ( etier égatif) plus grad que k. Le thérème I fait vir que tute série smmable (C, r) pu r ue valeur de r supérieure à - 1 est affectée d'u idice ; par ctre, rie e garatit qu 'il e sit de même d 'ue série qui e serait recue smmable (C, r) que pur u e valeur de r iférieure à Lrsque la série csidéré e est smmable (C, g), us désigers s idice cmm e»idice atteit», das l'autre cas cmme»idice atteit». Maiteat que us us smmes redu cmpte cmbie le thérème de CHAPMAN se prête bie, mieux que le thérème III, à us furir des reseigemets sur l'rdr e de smmabilité de la série prduit, il se pse aturellemet cette questi : le thérème IV de-t-il réellemet sur c e sujet des éclaircissemets aussi précis qu'il est pssible d'e bteir? Ou, plus exactemet : La série prduit est-ell e affectée de l 'idice (atteit u atteit) (r + s + 1), si r ' s état psitif et aussi petit que l' vudra.

9 Sur la multiplicati de séries. 9 et s st les idices respectifs (atteits u atteits) de s deux séries facteurs? Quelques exemples furirt la répse à cette questi. Au préalable, il faut pruver le lemme suivat : La séri e (1) ( 1)"A (L ) a l'idice atteit r. Ici r est u mbre rée l quelcque, avec cette restricti tutefis qu'i l e sera pas etier égatif. La démstrati de la prpsiti sus-idiquée se divis e e tris parties : 1 r~. Si us pss r = -s, s sera plus grad que, e t us aurs dc à pruver qu e 7 (11) 1)"A ;,- ') est smmable (C, - s + ô) pur' tute valeur psitive de 8 '(à cditi tutefis que - s + 8 e sit pas etier égatif), et, d ' autre part, que cette série 'est pas smmabl e (C, - s). Pur s > 1, (11). est abslumet cverget e vertu d e (7) ; puisque la suite A(-s) ' A- (-s) A(-s) i A (-s) se cmpse, pur < s <1, d 'élemets psitifs et tujur s décrissats vers, verra que (1.1) est cvergete pu r tutes valeurs psitives de s. L'applicati d'u thérème bie cu dû à ABEL' mtrera que la smme de la série [vir (3)] est lim(1-[--x)- ( -s +l) = 2s-1. 1 Grelles Jural, Bd. 1 (1826), pag. 314.

10 1 A. F. ANDERSEN. Nus pss maiteat (-s) s~ = A et s= (-1)' A (-s) (> 1) et ~ (12) 2 s-1 - s = E ce qui dera pur tutes valeurs de ~~. s 1, = (-1)7z [(- A ( s) ~ A (-S> ) + (- A (- ) + A ( s) ) + ( - +1 ø,+2 ~t-i-3 as+4 +b I Or, attedu que d'après (6) A(-.) A(-s) = A (-s-u aura, égalemet pur : r s-1) T ( s 1 ) ui < A(-+ 2 A+ 4 Il s'esuit alrs de (7) qu e A(-s-1)1 - -, s. (13) <K ( ( + 12)s+1 + ( _f- 4)s+1 + ( + 6)s ) ( <K (-~- 2).s+i ( + 3) s. +i + ( +.1)s+1+ ~+)s+1 + (+6)s+,--.. ) dx K 1 ~ K xs+1 = ( +.1) s.+ 1 ù K est ue cstate psitive et K,_ = K s E emplyat la trasfrmati bie cue prpsé e par ABEL et qui peut être frmulée aisi : (14) - 1,., a,,by - ~y s (b,-by+1) + S,b, sy - a+ a 1 -ß-... a y, aura, e utilisat e même temps (6) : c(-s+ d) A ( g) (-s+8)_a (-s) (s+8)+ A A _1.. (- )ra_1 (-s) 1 A_1 f-s+s) (-s) (-s+d A 1 (-1) A ) A A ( - s +8)

11 Sur la multiplicati de séries. 11 S A(-s-1 +8) A(- s-1+8)l s. S'- A(-s'-1+8) s A( -s - 1 +e) ~ 1-1 i.. -~ zz 1 1 ~ ~z g( -s +8) a A l'aide de (12), btiedra esuite A(-s-1+e)_I_A( s -l+v) + + A(-F-l+e)+A(-s-l+8 ) ~(-s +~) = 2s-1 ~z - -- "-l. ~ l -. A(-s+8) ea~s-1+8)+ elt1( si1+8)+.. s-l+8)+ s-1+8) + ez-1a( eaô A(-s + équati qui, si la fracti à sustraire est désigée par c, peut s'écrire e vertu de (6) : c(-s+8) = 2.s- 1 _ e. az De ce résultat il appert que la série csidérée (Il) est smmable (C, -s +8) pur tute valeur psitive de 8 aya t la valeur de' smmabilité purvu que us puissis démtrer que pur ces valeurs de ô. E vue de cette démstrati, us décmpsers c,, e deux parties : m, A(-s-1+8) - v C9b J ev ^(-8+ m ici m = [2 J, ù 12 S grad des mbres etiers iférieurs à 2. Nus arrivs aisi à hm c,, =,~ m+ i A (-s+1 + ey -(-s --l ; A désige, cmme plus haut, le plus. ~ c A + B ~ ù A m A(-s-1+8) - v {,=v et B=,, A (-8+8) m+1 ie' y l Or, d'après (7), il existe ue cstate K2 A(-s-i+8) - P A(-s+ 8) et u mbre psitif N tels, que pur tus > N et tus < < m = {-r1 j 2 aura :

12 .12 A. F. ANDERSE N (15) IA(-s- 1+ ) -. A (-s+8 ) v s+ v 1 ( s+) = K z (1-- - Kz 2.s-s si -s + 8; 1 K, 1 si -s+8>. m E cséquece. au mis pur tute valeur assez grad e de, aura : q(-s-1 +r`) _ -. A (-s + d) 1 K z 2d K., m m pur < v <m et pur tus d >, ù d est u mbr e supérieur à tute valeur de s- ô, c'est-à-dire que cl> s. Il s'esuit que m fi ~ 1 ~> K, K 3 ~ 1 1 K - 3 9L a + ( :) m 1)s 1 F m x s K,_ K K 1K 3 s 1 m ~ s-1-s- 1.ms-1/ s -1.(z m s) 9 d'ù l' verra immédiatemet que A,, ->-O quad +c, puisque' e ce cas a égalemet i + Il est à remarquer que s 'est jamais égal à 1, atted u que d'après tre suppsiti r - - s 'est jamais u mbre etier égatif et e peut, par cséquet, être éga l à -1. Esuite truve ' 1 _ B,L<K,.+1 ( y + 1) s.2: 1A( r ' -Y Kt A( +IS> A (-~ s-r (S ) 7 4 Quad - s > tus4'1+61 ( < < _ ) sert psi - tifs u uls, de même que A(-s+ est psitif ; de srte que, e csidérat (6), aura :

13 Sur la multiplicati de séries. 1 3 ~,. 1, (-s-1 +a) - y A( --s +, (-s-1+a) -y A(-s+a) A (-s+c9) = A(-s+! 5 ) - d'ù il s'esuit immédiatemet que B,, --> quad --* m. Si -s+à<, la séri e de srte que est abslumet cvergete e vertu de (7) et, par cséquet, il existe ue cstate psitive K 4 tute valedr de, 2,1 A (--1+(S) -2y A(- s (S)j 1 < K, -y y 1 B.L<K ak I IA Z 1 1 ~) I telle que, pu r d'ù, état dé que 8 >, cclut immédiatemet que (C, lim B,, = O. -> m Ayat aisi démtré que la série (11) est smmabl e s+ 8) pur tute valeur psitive de ô, us all s mtrer qu'elle 'est pas smmable (C, -s). A cet effet, rappels tut d'abrd que, pur x! < 1, a [vir (3)] ~ s)x = ; (1+ x)s-1. Z~(-1)øA e multipliat cette équati par cette autre, égalemet valable pur lx! < 1 [v. (2)] : (-s-1+a) 4 O.1. As)x = (1 - x)s 1 ' aura :

14 a 14 A. F. ANDERSEN. 2 (A(-s)A(-8)-19 (-x)a(-- s )-I ( 1) -la(--s)a(-a)+ ( - 1)A(-s)A(-s)) x'b w = (1- x') s -1 -, fa ( y -s) x 2v, d'ù il résulte immédiatemet qu e g(-s)a(-s) A( -s)a(-s) vi-1 ~ (-- ) A (-s) (-s) (-s) ( --s) a-la --1- (-1) A.f1 ~ A(- s) (-s ) A 2 = 1 4-8) pur pair et pur impair, de srte que cette expressi 'a pit de valeur limit e quad ->, ce qui reviet à dire précisémet que (11) 'est pas smmable (C, -- s). 2 r =. Das le cas de r -, la série csidérée (1) est juste - met celle-ci : laquelle, cmme le sait, présete l'idice atteit. D'ailleurs, ce résultat se truve cteu das u éc é bie cu dt us aurs à. faire usage das la suite et que pur ce mtif us reprduiss et pruvs u pe u plus li (page 17). - 3 r>. Si l' pse r = [r - 1] - p, p est psitif et iférieur à 1, u bie p =. Nus csidérs la série qui, us l 'avs vu, a l'idice atteit (-p). E multipliat cette série par la série~,z'(--1)", us. btiedrs [vir (6)] la série

15 Sur la multiplicati de séries. 1 5 (16) q. z (_1)~~~p+1 ) qui, e vertu du thérème de, multiplicati de CHAPMAN, est sûremet smmable (C, - p e). Or, par u pr - cédé parfaitemet aalgue à celui qui us a permis tu t à l'heure de démtrer que la série (11) 'est pas smmable (C, - s), us puvs pruver que la série (16) 'est pas smmable (C, -p+ 1) (ce qui, d'ailleurs, résulte aussi de l'écé I I de CHAPMAN, page 5) ; dc, elle a l'idice atteit (- p -{- 1). Si maiteat multiplie de uveau par 2,z'(- 1),.,,;, ( qu' truvera égalemet mui de l'idice atteit (- p + 2). E emplyat ce prcédé ecre {r + 1] - 2 fis, btiedra le résultat cherché, à savir, que la séri e t (-1)' LA ;L ) a la série prduit a l'idice atteit r. Le lemme prps é est dc pruvé d'ue faç cmplète. - Ayat maiteat à reveir sur la questi psée plus haut, il cviet de remarquer d'abrd que, pur tut e valeur réelle de r et de s i, la frmule (5) permet de déduir e immédiatemet l 'égalit é 7( -1)"'A(s) -~Z(--1))zA( - i -I-1 ) l l Les deux séries facteurs présetet les idices atteit s respectifs s et r, la série prduit ayat l 'idice atteit (r s + 1). Pur s > -1 et r > -1, cet exemple mtre que la règle de multiplicati de CHAPMAN peut furir parfis, tuchat l'rdre de smmabilité de la série prduit, E laissat de côté, tutefis, celles ù u u plusieurs des mbres r, s et r + s+ 1 st des etiers égatifs.

16 16 A. F. ANDERSEN. les meilleurs reseigemets pssible, puisque, appliquée au cas qui us ccupe, elle us permet de détermier l'i - dice ( atteit) de la série prduit. Il faut remarquer cepedat qu 'il ' e est pas s t u - j u r s aisi, ce que us mettrs e évidece plus li à l'aide d ' autres exemples. Ici, il cviet d ' ajuter qu e celui qui précède us cduit ecre à u résultat asse z imprtat. Le vici : 11 est impssible d'apprter au thérème de multiplicati de CHAPMAN ue amélirati tedat à remplacer (r Is -- 1) par ue expressi dépedate de r et de s e t qui - e fût-ce que pur quelques-ues seulemet des va - leurs que r et s st susceptibles d'assumer - assige à l'rdre de la série prduit ue limite supérieure mis élevée, - il est impssible, diss-us, d'pérer cette amélirati sas que, du cup, le thérème cesse d'être applicable à la multiplicati de deux séries smmables quel - cques ayat des rdres supérieurs à C 'est CHAPMAN qui a le premier fait bserver z que le thérème IV rie de pas tujurs l'idice de la série pr - duit, lrsqu' fait la multiplicati de séries cver - getes (c'est-à-dire ayat l'idice de smmabilité < ). Le même auteur a remarqué qu' peut facilemet frmer de s exemples de ce fait e partat de cette particularité - qu i semble peut-être peu prbable au premier abrd -, qu'i l existe des séries abslumet cvergetes dt l'idic e est plus grad que - 1 ; il e existe même dt l'idic e (bie etedu, l 'idice atteit) égale. U exemple de ce derier cas est furi par la séri e 2-7 u, dt les termes se truvet défiis par les égalité s i u =, quad = [e''] (p =.1., 2, 3, 4... ), Frc Lud. Math. Sc. (2), Vl. 9 (1911), page 398.

17 Sur la multiplicati de séries. 17 et (17a) ( -7)[e Pl- 1 ZL[ePl - pi+ s ù 8>O. Cet exemple se simplifie ecre davatage, si l' ps e (17 h) =, quad [ep] (p = 1, 2, 3, 4...), les termes muis de l 'idice [ep] restat défiis par (17 a). Cmme le fait vir immédiatemet le thérème II, ces série s e st pas smmables (C, - s). - Si l' multiplie u e de ces séries, sit par la série cvergete 1 A (-s),7z (-), ~ ù < s < 1 et qui a l 'idice atteit - s, le prdui t sera, e vertu du thérème de multiplicati de CAUCHY, ue série cvergete, dc ue série qui est sûremet sm mable (C, ), alrs que le thérème IV, appliqué à ce cas, dit seulemet que la série prduit est smmable (C, -s + e +1), -s + 1 > A ce prps, ii est..à ter tutefis que le fait dt us ves de parler peut se prduire seulemet lr s de la multiplicati de séries cvergetes, mais auss i lrsqu 'il s 'agit de séries divergetes. Nus alls le démtrer par u exemple bie simple. La séri e (18) 2{ cs() cs 28 cs 38+. est smmable (C, e) avec la valeur de smmabilité, purv u que H t 2p r, ù p est u mbre etier quelcque. Bie que ce sit là u fait bie cu, us crys devir e rappeler la démstrati très simple, parce que cette séri e est à la base de l'exemple allégué. Nus alls dc mtrer qu e sf1 A'i) 2 +A 1csH +_9 ' 1 2cs 2H. + A )cs H A(E) A (' l a la valeur limite quad -~ (H t 2p 7r). videask. Sclsk. Math:fysiske Medd. I, a. 2 1 b

18 18 A. F. ANDERSEN : E faisat applicati de l'idetité élémetair e si (2 =, 1) H +cs8 cs2+...+csd- B 2sm - et se rappelat que A(ce) = 4-1) la trasfrmati d'abel (14) : (19) s( 7 E, ) A( e ) 7, -, ( + 2P7) 1, aura å l'aide d e -1)si;-i )si 32 ±...+AÇ7 lt si(2--1.)±a (`-1)si(2+1) 2 2A77, si La suite 4s -1) (v =, 1, 2....) se cmpse d'élémet s psitifs tujurs décrissat vers zér s. Esuite, e utilisat de uveau la trasfrmati sus-idiquée d 'ABEL, verra que le umérateur de (19) est umériquemet iférieu r à A (: 1) = 1 multiplié par la plus grade des quatité s c 61I 7 I 6' LI 7 ù us avs psé p 7 si(2+1) 2 ch,. 4-1 Or, cmme cette série scille etre des limites fiies, il existe ue cstate K telle, qu e S E) K A') 2 (r)si 2 ``pur tute valeur de ; et cmme lim A,(,' ) = ce, si peti t 7,.. que sit s, aura dc S(E) lim = purvu que + 2 pz. ~~ 7 7 Par suite, la série (18), 'état pas cvergete, à l'i - dice atteit. Bie etedu, peut suppser e < 1.

19 Sur la multiplicati de séries. 1 9 O peut facilemet - sit dit e passat - se redr e cmpte que ce résultat implique ce fait utilisé précédemmet, à savir. que la série est smmable (C, e) et avec la valeur de suuabilite 2 - ; car, si la série , - qui, état cvergete et de smme 2, est sûremet smmable. (C, e) avec la valeur de smmabilité 2 - est ajutée à la série (18), btiet la séri e 1+csH+cs 2 +cs 3H+ égalemet smmable (C, s) avec la valeur -2 purvu que H t 2 p r ; r, pur H = r, cette série se truve idetique à celle écrite ci-dessus. - E remplaçat das (18) H par (r -8), cstater a immédiatemet que la séri e (2) 9 - cs() + cs 2 H - cs 3 H + cs 4 H est égalemet smma.bl.e (C, e) avec la valeur quad H (2p+1)r. Multiplis maiteat (2) ( = (2 p + i) r) par (8), u s btiedrs la série 2 +., (-1) (- + cs H + cs 2 ;... + cs) u, si us avs aussi * 2p r : (21) 1 \,z(-1)" B si(2-f-1)-. 2si 2 a Le thérème de multiplicati de CHAPMAN 'us mtre seulemet que la série (21) est smmable (C, 1+ e) et de valeur ; mais il est facile de démtrer directemet qu'elle est bie réellemet smmable (C, r) quad H * p r. A cet effet peut, par exemple, prcéder aisi : 9*

20 2 A. F. ANDERSEN. Remplaçs par (7-) das la série (21), qui s e trasfrme aisi e (22) -1 2cs ' cs(2+i)2. 2 Si `maiteat us puvs démtrer que (22) sit smmable (C, e) avec la valeur pur = p z, il est évidet que (21) l'est aussi. Or, cette démstrati peut se faire par u prcédé abslumet idetique à celui dt u s us, smmes servis à l'edrit de (18), e teat cmpte de l'idetité valable pur B p r. : B 3 6B si ( -1-1) l; cs 2 + cs - + cs cs (2 + 1) 2 = 2 si H 3 - Das le thérème IV les rdres de smmabilité r et s st assujettis à la cditi d'être l'u et l'autre plu s grads que - 1. Quad les deux rdres, u même l'u d'etre eux 'seulemet, st iférieurs à - 1, le dit thérème 'est plus écessairemet valable. O peut le. démtrer facilemet au mye d'u exemple : La série (-1pv (23) " (+l)' est, cmme CHAPMAN l'a mtré', affecté de l'idice atteit s. Nus suppss 2 > s >1 ; e multipliat alrs cette série par (8), us btiedrs la séri e,, I/1 i 1 2 (-1)... (+1)s) 1 (1sm+ qui, si le thérème IV était valable, devrait être sûre - met smmable (Ç, - s ± s + e ±1) = (C, - s e), -1 <-, s+ 1 < ; r, il e peut pas e être aisi, vu que Frc. Ld. Math. Sc. (2) ; Vl. 9 (1911), page 397.

21 Sur la muitiplicati. de séries. 2 1 la série 'est pas même cvergete, puisque les termes qu i la cstituet e tedet pas vers lrsque -~ c. D 'ue maière géérale, a pu cstater, cmme l' sait,. que la smmabilité (C, r) présete des différeces essetielles sel que r est plus grad u plus petit que -1. Aisi dc, l'exigece que l'rdre de smmabilité sit supérieur å -1 cstitue ue cditi essetielle pur les deux écés I et II (page 5) de CHAPMAN cités précédemmet. Au fait, ce qui a fait aître la thérie de smmabilité, c'est le. désir de redre les séries cvergetes utilisables das l'aalyse, et il 'est dc pas état qu e das le curs de s évluti ait eu pricipalemet e vue ces derières séries, et cela même après avir recu que la ti de smmabilité est aussi applicable aux séries cvergetes. Aussi, alrs qu' a créé ue thérie asse z cmpréhesive ccerat les séries smmables (C, r), r > -1, il a été, autat que je sais, presque cmplèteme t égligé de csidérer la smmabilité (C, r) pur r < -1. C'est certaiemet là, ue limitati des recherches qui, tute aturelle qu'elle sit par rapprt aux prpriétés de la méthde de smmabilité emplyée, e saurait das l e dmaie étudié être csidérée cmme justifiée par la atur e du sujet même, attedu qu'il est tut aussi raisable d e chercher à établir ue limite supérieure de l 'rdre de la série prduit lrsque les séries multipliées st rapideme t cvergetes (ayat. u rdre < -1) que lrsqu'elles l e st letemet (état d 'rdre cmpris etre - 1 et ) u pas du tut (d 'rdre psitif). D'après ce qui précède, verra qu'il y a pur le mi s deux directis différetes das lesquelles peut cherche r è cmpléter le thérème IV : peut tâcher d'établir 4.

22 22 A. F. ANDERSEN. 1 des prpsitis susceptibles das des cas particulier s de der à l'rdre de la série prduit ue limite supérieur e mis élevée que celle que cmprte le thérème IV ; 2 des prpsitis ayat trait à la multiplicati par des séries affectées d'idices plus petits que -1. Nus puvs regarder cmme des prpsitis supplémetaires de ce gere celles que CAUCHY et MERTENS avaiet avacées sur la multiplicati des séries, bie lg - temps avat que le thérème IV eût été écé ; de plus, divers thérèmes de PRIZ\GSHEmf2, Vss CAJiu 4, et d 'autres'', thérèmes qui se rapprtet à la questi de savir das quel cas le prduit de deux séries semi-cvergetes est, lui aussi, ue série cvergete. ' A ce prps, cits aussi u thérème de G. H. HARDY 6 dt vici l ' écé : V. Si Z u,, est ue série abslumet cver - 1 gete dt la smme sit u, et si, d ' autre part, t v,~ est ue série scillat etre des limi - tes fiies et dt les termes satisfasset à cette cditi : (24) lim v,,-, alrs la série prduit sera, elle aussi, scil - Crelles Jural, Bd. 79 (1875), page 182. z Mathematische Aale, Bd. 21 (1883), pages , et Bd ), pages ' Mathematische Aale, Bd. 24 (1884), pages America Jural f Mathematics, Vl. 15 (1895), pages Pur ce qui ccere ces deriers écés, il est tutefis pssible qu'ils siet impliqués das le thérème IV; e effet, il s e purrait que celui-ci arrive à les redre superflus, à la cditi qu' sit à même de détermier l'état de smmabilité des séries e questi. Mais, tat qu' 'y sera pas parveu, les écés sus - metiés aurt leur imprtace à côté du thérème IV. 6 Prc. Ld. Math. Sc. (2), Vl. 6 (198) p. 42.

23 Sur la multiplicati de séries. 2 3 tate etre des limites fiies, et cela d e telle maière que ses limites d'scillati 2 sert ug1 et ug 2, si celles de la série v7, st g,_ et g9. Ce thérème, qui cmpred celui de MERTENS r cmme cas particulier, est purtat e lui-même d'ue validité asse z restreite, e ce ses qu'il e s'applique qu'à des série s scillat etre des limites fiies ; ecre exige-t-il que l a cditi (24) sit remplie. Les thérèmes que us alls établir das ce qui sui t et qui, à leur tur, cstituet des supplémets du ger e e questi du thérème de multiplicati de CHAPMAN, purrt être csidérés cmme des extesis de celui-ci (et, par cséquet, de ceux dus à CAUCY et à MERTENS) réalisées das les cadres de la thérie de smmabilité. VI. Si la séri e (25) est smmable (C, r), r >, avec la valeur d e smmabilité u, et si la séri e (26) est abslumet cvergete, ayat la smm e r2( v,å u+ vw-1 u v 1u,2_1+ v u), v, la série prduite par leur multiplicati : se truvera sîrremet smmable (C, r) et aur a la valeur de smmabilité u. v. Il est évidet que, si la série (26) est affectée de l'idic e s > -1, ce thérème furira, de l'rdre de smmabilité de la série prduit, ue détermiati plus exacte que cell e réalisée au mye du thérème IV ; car, puisque - s + 1>,

24 = 24 A. F. ANDERSEN. a r < r - s + 1. E utre, tre uveau thérèm e truve ecre s applicati lrsque Z.'v,,, a u idex iférieur h -1. Pur e faire la démstrati, us predrs tre pit de départ das la frmule (4). Multiplis les deux membres de cette équati par la série, v,,x" abslumet cvergete pur x < 1 ; us aurs, (,.yl2,9, wx=22 7 (v,28+ v S(r) -~-.. ~v S(r) L v S(')) x. ( L -x) ' - 1 ' Il s 'agit dc simplemet de mtrer que,,.,, (2 7 ) 2' el S( p r) +..! v S(' ) C (,.) - at 1 -L.1 ~ ' I A (r) ~ v S ( I r ) A(r) S ( r ) 9 (r) S(r) lr) s(r) A(r) S(r ) 1 1~ =1-1 ~ V v Å(r) ' A(r) + V 71-1 A(,.) ' i... ~ vl AG.) A(1) + ~ A tl ) 'A(' ) (r ), 1 - a la valeur limite u.v lrsque,c. (28) Si us pss 1i.(r) + e, il existe, puisque (25) est smmable (C, r) ; K tel que (29) e < K ( =, 1, 2, ) et, e utre, u mbre psitif N tel qu e (3) r,y < e pur tus N. u mbre psiti f E appliquat (28), peut trasfrmer l ' équati (27) e A( r) 1~(r) A(r) A (r ) 7L-1 (31) C (r) Cv.) + r-1 A (a )) T A(?')- t v A(r ) A,, it A (r) A (r) A(r) A (r) _ 1-1 Z A{r) = -T- v-1 A(,.) E 1 I.. + v l ( 7 ) E-1 ± v " 4 ) CE al ~ L E vertu du thérème I, le facteur de u aura la valeur limite v S (r) L lrsque ---> ce. Aisi dc, si us désigs le

25 Sur la multiplicati de séries. 2 5 secd membre de l'égalité (31) par c), il e s'agit que d e démtrer que cette quatité a la valeur limite. Oa A(r) A(r) A(r ) (32) c(r~ _ v + 9t 1 v I P1 A(r) 1 A(r) vp-1 A (,) s-p+ i.. A (r) A(r) A( r ) -P i + VI' A(7) E -P V-1 A(, ) El v a,. A(r) ra 97 Ici P dit représeter u mbre etier psitif tel qu e (1 vp + 1 vp-i I v) < = pur tute valeur de > P le fait que la série (26) est abslumet cvergete us permet de détermier u. tel P, Si maiteat se rappelle que, puisque r >, a A (r ) < 1, pur < v < et tute valeur de, -A(). l'applicati de (29) et de (3) permet de tirer de (32) qu e 1c~i)1<(1v1±1vi +... vp-11)+k. 6, purvu que ait été chisi tel que - P -{ i > N. désigat par VI la smme de la série cvergete y,1 v,t, us aurs pur tutes valeurs suffisammet grades de I ci;' I <(V 1 + K) ~ ce qui mtre précisémet qu e lim c; r) = O. _>. L'idice de la série prduit est-il tujurs détermié par ce thérème? Qu'il e sit parfis aisi, c 'est ce que u s puvs facilemet démtrer par des exemples : Multipli s ue série abslumet cvergete de la frme (-l-)'iv ù v est psitif pur tut, la série état d'ailleurs arbi - traire, par ue série 2 (-1) v u affectée de l 'idice s > E

26 26 A. F. ANDERSEN. et ayat u psitif pur tut, tadis qu e a s u (sel que s est idice atteit u idice atteit) e ted pas vers zér quad -> c, si petit que sit e ( u s peut emplyer, par exemple, la série : (-1)"As)). série prduit sera 2, (- 1) (v 14-j-vl u.,t-1-i-. 2-lu ' 1+ v uo \ J qui, e vertu du thérème VI, est smmable, respectivemet, (C, s) u (C, s -I- e) ; r, par suite de la suppsiti ci-dessu s idiquée, relative à u, cette série e peut cepedat pa s être smmable respectivemet (C, s- e) u (C, s) ; dc, s idice (respectivemet atteit u atteit) se truv e être précisémet s. D'u autre côté, il est tut aussi facile de der des exemples - cmme cela était à attedre d'ailleurs - i z l 'idice de la série prduit 'est pit détermié par l e thérème VI. C'est aisi que la multiplicati faite à l a page 15 : C, ;t (-1)9tA ( a )) 1)v,A'.+s-f1 // furit la preuve immédiate de cette affirmati quad chisit r > et s < - r - 1. Nus avs das le thérème VI suppsé r>, cditi sas laquelle il 'est plus écessairemet valable. Qu 'il e sit bie réellemet aisi, c'est ce que mtre l'exemple suivat : Multiplis la série semi-cverget e (33) 2.~(-1)'tA(7s) ( < s <1) affectée de l'idice --s, par l 'ue des séries abslumet cvergetes dées aux pages et dt l'idue est. La

27 Sur la multiplicati de séries. 2 7 La série prduit sera w,, état égal à ~ ~I( - i 1 1 ) w, A (-4- A(,-s)+...+ u-i ~u2 1 ~, 2-fu,_ ù tus les termes st psitifs u uls. A(-s ) -1, Cette série prduit, ctrairemet à la série (33), e pré - sete pas l'idice atteit -- s, mais bie l'idice atteit. E effet, cmme us l 'avs déjà remarqué plus haut (p. 17), elle est cvergete, et l' s'apercevra immédiate - met qu'elle 'est smmable (C, - r) pur aucue valeur, si petite sit-elle, de e ; e vertu de (17a) a pl+s, car le premier terme de we epl état lim wr epl = E lim [er] rwiepl = ~ ~ p,. [ep] alrs que d'après le thérème II cette valeur limite devrai t être, si la série e questi était smmable (C, - r). 5. Avat d'abrder l'exame des faits valables pur r <, il cviet de démtrer quelques thérèmes dt us aurs besi. VII. A suppser que les termes cmpsat la séri e (34) v,, satisfasset à la cditi (35) lim, v,,, ù s > 1, cette série sera smmable (C, -s +Ô) pu r tute valeur de ;1>, sauf bie etedu pu r

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