Informatique TP2 : Calcul numérique d une intégrale CPP 1A

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1 Iformatique TP : Calcul umérique d ue itégrale CPP 1A Romai Casati, Wafa Johal, Frederic Deveray, Matthieu Moy Avril - jui Zéro de foctio O doe le code suivat (vu e cours), qui permet de calculer le zéro d ue foctio f par dichotomie (f est défiie au début du code) : import math def f(x): retur math. si (x) def zero_ dichotomie ( a, b, epsilo ): while b - a > epsilo : pivot = (a + b) / value = f( pivot ) if value <= 0: a = pivot else : b = pivot retur a prit (" Solutio :", math.pi / 6) prit (" Approximatio à pres :", zero_dichotomie (-1, math.pi /, )) prit (" Erreur :", math.pi / 6 - zero_dichotomie (-1, math.pi /, )) Exercice 1 Vérifiez que l exemple foctioe bie. Est-ce que zero_dichotomie foctioe bie pour toute foctio f et pour tout itervalle de départ [a, b : Que se passe-t-il si f(a) et f(b) sot de même sige? Si la foctio a deux zéros ou plus etre a et b? Aucu zero (p.ex. f(x) = 1/x, a =, b = 1)? Si elle est pas décroissate? Proposez des modificatios permettat de corriger ces problèmes ou de déclecher ue erreur s il est impossible d arriver à u résultat (raise RutimeError("raiso de l erreur")). Pour compredre le comportemet de zero_dichotomie, o pourra utiliser le débogueur (cf. TP1) ou afficher les valeurs des variables à chaque itératio (ce qui est recommadé pedat l écriture d u programme, mais la versio fiale de la foctio doit seulemet retourer la valeur fiale et surtout e rie imprimer). Das le cas où f(a) > 0 et f(b) 0, ue astuce est d iverser les valeurs de a et b avat de démarrer le calcul. L algorithme de recherche par dichotomie marche si b < a à u détail 1

2 près : la coditio d arrêt de la boucle doit maiteat porter sur la valeur absolue de b a, et o sur b a (qui serait toujours égatif). E Pytho, la valeur absolue de x est obteue avec abs(x). Listes e pytho Ue liste e pytho est ue suite de valeurs. Les élémets de la liste peuvet être de types quelcoques (etiers, flottats, chaîes de caractères), et sot repérés par leur positio das la liste, aussi appelé idex. Le premier élémet d ue liste a a l idex 0, et sa valeur peut être obteue par l expressio a[0. Le ombre d élémets d ue liste s obtiet avec la foctio le(). Le derier élémet de la liste a a pour idex le(a)-1, et pour valeur a[le(a)-1, mais o peut y accéder égalemet e utilisat u idex égatif : a[-1 est le derier élémet, a[- l avat-derier, etc. Les élémets d ue liste peuvet être modifiés. O peut ajouter u élémet 13.5 à la fi d ue liste a avec a.apped(13.5). Exemple : = [ 1.5, 7., 10., 0.7 [1.5, 7., 10.0, 0.7 >>> le(a) 4 [ 10.0 [4 Traceback (most recet call last): File "<pyshell#7>", lie 1, i <module> a[4 IdexError: list idex out of rage [ [3 = 13.5 [1.5, 7., 10.0, 13.5.apped(7.8) [1.5, 7., 10.0, 13.5, 7.8 Affectatio et passage comme paramètre : Si a est ue liste, alors l istructio b=a e recopie pas la liste. a et b désiget alors la même liste (o parle d alias). Ue modificatio de la liste désigée par b modifie doc la liste désigée par a. Il e est de même lorsqu o passe ue liste comme paramètre d ue foctio, le paramètre effectif est u alias vers la liste défiie par l appelat de la foctio : si o modifie la liste à l itérieur de la foctio, alors la liste de l appelat est modifiée. = [0, 1,, 3 >>> b = a >>> b [0, 1,, 3 >>> b[ = 4

3 >>> b [0, 1, 4, 3 [0, 1, 4, 3 >>> def f(l): l[3 = 67 >>> f(a) [0, 1, 4, 67 Utilisatio avacée : (o écessaire pour le TP) Des élémets d ue même liste peuvet avoir des types différets. O peut utiliser ue liste pour doer l esemble des valeurs que doit predre la variable de boucle das ue boucle for : das la boucle for i i [1,3.14, abc :, il y aura 3 itératios, et la variable i predra successivemet les valeurs 1, 3.14, et abc. D autres foctioalités liées aux listes sot décrites das https://docs.pytho.org/3/tutorial/ datastructures.html 3 Méthode des trapèzes Le calcul umérique d ue itégrale par la méthode des trapèzes cosiste à calculer ue valeur approchée de l itégrale b a f(x)dx e utilisat ue iterpolatio liéaire de f par itervalles. Sur u itervalle [a, b, la valeur de l itégrale peut être approchée par la surface du trapèze passat par les poits [a, 0, [a, f(a), [b, f(b), [b, 0 : [ b f(a) + f(b) f(x)dx (b a) a O motre que cette méthode est d ordre 1 (tout comme la méthode du poit milieu vue e cours), c est-à-dire qu elle doe u résultat exact si f est u polyôme de degré au plus 1 (la méthode de Simpso est d ordre 3). Pour calculer ue meilleur approximatio de cette itégrale, o découpe l itervalle [a, b e itervalles plus petits, de taille b a, et o calcule la somme des aires (sigées) des trapèzes : b a f(x)dx b a [ ( f a + (k 1) b a ) + f ( a + k b a Exercice Écrivez tous les termes de la somme ci-dessus pour = 3, et observez qu il est possible de faire le calcul avec exactemet + 1 = 4 appels à la foctio f. Écrire ue foctio pytho itegrale_trapezes(a, b, ) qui calcule l itégrale de la foctio f(x) de a à b avec itervalles, e faisat au plus + 1 appels à la foctio f. O souhaite maiteat calculer ue itégrale par la méthode des trapèzes à partir d ue liste de mesures physiques : o dispose d u appareil mesurat la vitesse d u mobile à des istats doés, et o souhaite calculer sa positio e itégrat la vitesse par la méthode des trapèzes. Les dates et les vitesses sot doées par les listes t et v. La première date est toujours 0 (t[0 == 0.), et les dates sot strictemet croissates. Les deux listes ot le même ombre d élémets : v[ est la vitesse à la date t[. O suppose que la positio du mobile à la date t = 0 est x = 0. 3 )

4 Exercice 3 Écrivez la foctio pytho positio_mobile_idex(dates, vitesses, idex) qui calcule la positio du mobile à la date dates[idex e itégrat la vitesse par la méthode des trapèzes (iutile d optimiser les accès à la liste vitesses comme à la questio précédete, l accès à u élémet d ue liste est mois coûteux que le calcul d ue foctio compliquée). Vérifiez que positio_mobile_idex(dates, vitesses, 0) vaut toujours 0. Exercice 4 Écrivez la foctio pytho idex_date(dates, t) qui revoie l idex i de la derière date telle que dates[i<=t. La foctio doit foctioer même si t > dates[-1 (la derière date). Exercice 5 Écrivez la foctio pytho positio_mobile_date(dates, vitesses, t) qui calcule la positio du mobile à la date t e itégrat la vitesse par la méthode des trapèzes. O suppose que 0 <= t < dates[-1 (la derière date). Remarquez qu o peut utiliser idex_date et positio_mobile_idex pour calculer presque toute l itégrale, et qu o doit seulemet traiter séparémet le cas du derier trapèze. Pour traiter le cas du derier trapèze, commecez par calculer la vitesse à la date t par iterpolatio liéaire. Doées de test : t = [0., 3., 3.5, 5., 10. v = [1., 0., 1.5,., 0. positio_mobile_idex (t, v, 0) = 0 positio_mobile_idex (t, v, 1) = 1.5 positio_mobile_idex (t, v, ) = idex_date (t, 0.) = 0 idex_date (t, 1.) = 0 idex_date (t, 3.) = 1 idex_date (t, 3.5) = idex_date (t, 5.) = 3 idex_date (t, 6.) = 3 positio_ mobile_ date ( t, v, 0.) = 0.0 positio_ mobile_ date ( t, v, 1.) = positio_ mobile_ date ( t, v, 3.) = 1.5 positio_mobile_date (t, v, 3.5) = positio_ mobile_ date ( t, v, 5.) = 4.5 positio_ mobile_ date ( t, v, 6.) = Solutio des exercices Exercice 1 : Ajouter au début de la foctio zero_dichotomie : fa = f(a) fb = f(b) if fa * fb > 0: # f(a) et f(b) de même sige raise RutimeError ("f(a) et f(b) sot de meme sige, impossible de trouver u zero") if fa > 0: # f decroissate : echage a et b c = b b = a a = c et remplacer la coditio du while par while abs ( b - a) > epsilo : 4

5 Exercice : E posat δ = b a, la formule peut se ré-écrire : b f(x)dx δ [ f (a + (k 1)δ) + f (a + kδ) a = δ [ 1 f (a + kδ) + f (a + kδ) k=0 [ = δ f(a) + [ f(a) = δ f (a + kδ) + 1 f (a + δ) + f(b) f (a + kδ) + f(b) Ituitivemet, das la somme, o fait apparaître successivemet le bord droit d u trapèze (divisé par deux) et le bord gauche du trapèze suivat (divisé par deux égalemet). E groupat ces termes, o obtiet u seul bord de trapèze, qui est plus divisé par deux. Le code Pytho correspodat est : def itegrale_trapezes (a, b, N): res = f(a) / delta = (b - a) / N for i i rage (1, N): res = res + f( a + i * delta ) res = res + f(b) / retur res * delta Note : comme pour zero_dichotomie, o la foctio itegrale_trapezes suppose qu o a défii ue foctio f. Pour exécuter la foctio itegrale_trapezes, il faudrait égalemet u programme pricipal qui appelle cette foctio, par exemple, prit(itegrale_trapezes(0, 3.5, 100)). Exercice 3 : def positio_mobile_idex ( dates, vitesses, idex ): res = 0 for i i rage ( idex ): res = res + ( dates [i+1 - dates [i) * ( vitesses [i+ vitesses [i +1) / retur res Exercice 4 : O doe ici la solutio avec ue recherche liéaire. Les dates état croissates, o pourrait aussi aller plus vite avec ue recherche par dichotomie. def idex_date ( dates, t): i = 0 l = le ( dates ) while i < l ad dates [ i <= t: i = i + 1 # ici, soit i == l, soit dates [ i > t retur i - 1 # o doit retourer l idex precedet, t. q. dates [ i <= t Exercice 5 : def positio_ mobile_ date ( dates, vitesses, t): # precoditio : t < dates [ -1 i = idex_date ( dates, t) res = positio_mobile_idex ( dates, vitesses, i) # ici, o a dates [i <= t < dates [i +1 # Derier trap è ze : x va de dates [ i à t, y va de vitesses [ i à lastv lastv = vitesses[i+(vitesses[i+1-vitesses[i)*(t-dates[i)/(dates[i+1-dates[i) retur res + (t- dates [i) * ( vitesses [i + lastv ) /. 5

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