CHAMP MAGNÉTIQUE EN RÉGIME STATIONNAIRE

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1 CAMP MAGNÉTIQUE EN ÉGIME STATIONNAIE Mgnétoésistnce En 7 Albet Fet et Pete Günbeg se sont vus décene le pix Nobel de Physique pou l mgnétoésistnce génte (GM) Ils ont monté qu une fine couche d un mtéiu mgnétique imnté se compotit comme un filte pou les électons, ne lissnt psse que ceux dont le spin est de même sens que l imnttion de l couche Deux couches mgnétiques sépées p une couche non mgnétique s oientent ntuellement en sens opposé, et donc ucun électon ne peut tvese l ensemble (figue du hut), mis si on pplique un chmp mgnétique, même tès fible, les deux couches mgnétiques s oientent dns le même sens et l moitié des électons peuvent psse! L ésistnce chute butlement (figue du bs) L sensibilité de l détection gâce à l GM pemis de diminue considéblement l tille des objets mgnétiques poduisnt les chmps à détecte C est insi que l on pvient à une densité de plus de gig-bits p cm de disque du! (l équivlent de 5 omns) Aujoud hui, l qusi-totlité des têtes de lectue de disques dus qui équipent les 6 millions et plus d odinteus vendus chque nnée utilise l technologie GM On étudie ici non ps l GM dont l oigine est comme on l vu quntique, mis l mgnétoésistnce clssique qui étit vnt les tvux de Fet et Günbeg déjà utilisée pou détemine l vleu d un chmp mgnétique p l mesue d une ésistnce électique On considèe en égime sttionnie un condensteu cylindique dont l huteu h est tès supéieue devnt les yons et > des mtues intéieue et extéieue On dispose ente les mtues un mtéiu conducteu de conductivité γ uquel on impose un chmp mgnétique B unifome, poté p l xe Oz des mtues Un point M est epéé p ses coodonnées cylindiques,, z et les vecteus sont pojetés su l bse de coodonnées cylindique ( e, e, e z ) ) Monte en nlysnt les syméties que le potentiel ne dépend que de l distnce à l xe En déduie les popiétés de E b) Monte en étudint le mouvement d un électon de msse m et de chge e dns un modèle simple où il est soumis, oute mv les foces électomgnétiques, à une foce de fottement f =, que le vecteu densité de count obéit à l éqution τ J = γ [ E + J B] Expime l constnte en fonction du nombe n de chges p unité de volume et de e c) Clcule les composntes de J su l bse de coodonnées cylindiques Étbli l éqution des lignes de count epésente leu llue Clcule l ésistnce du condensteu d) Donne les équtions de Mxwell en égime sttionnie Monte que seules les équtions de Mxwell-Guss et Mxwell- Fdy sont utiles dns le poblème étudié À quoi pouient sevi les deux utes? Donne l éqution de l consevtion de l chge en égime sttionnie e) En pennt le ottionnel puis l divegence de l eltion du b), monte que l on se mène pou le clcul de E dns le conducteu à celui du clcul dns le vide Clcule V () et E V On donne le lplcien en coodonnées cylindiques V = + V V + z B étnt un chmp de vecteu unifome, on donne les eltions : div( A B) = B ot ( A) ot ( A B) = Bdiv( A) éponse : b) = c) lignes de count : ne γ B = e ; [ γ B] + = πγh ln Théoème d Ampèe Distibution plne (SC) On considèe un pln infini unifomément pcouu p des counts de densité sufcique déduie l diection et le sens de B ( M) en tout point M de l espce Clcule B ( M) éponse : B pllèle u pln, othogonl à J S et unifome dns un demi-espce, B = JS J S Anlyse les syméties et en

2 Cvité cylindique (SC) Un conducteu cylindique de section ciculie est pcouu p un count cctéisé p un vecteu densité de count J pllèle à l xe du cylinde Une cvité cylindique d xe pllèle à celui du conducteu est pésente à l intéieu du conducteu ) Monte que le chmp mgnétosttique céé en un point M peut se décompose en deux gâce u pincipe de supeposition b) Clcule B ( M ) en un point quelconque de l cvité, conclue éponse : b) B = j OO unifome dns l cvité 4 Câble coxil On considèe un câble constitué d un conducteu cylindique de yon entoué d un deuxième conducteu coxil de yon intéieu et de yon extéieu Aucun count ne cicule ente les deux conducteus Un count d intensité I cicule dns le cylinde intéieu et un count de même intensité I cicule dns l péiphéie, mis en sens invese ) Clcule B ( M ) en tout point de l espce b) Tce B( M) en fonction de l distnce de M à l xe du câble I éponse : ) B = e π I B = e π I pou, B = e pou, π pou, B = pou Clcul d inductnces popes et mutuelles 5 Inductnce d un toe à section cée (SC) On considèe une bobine toique à section cée dont les côtés ont pou longueu, de cente O, de évolution utou de Oz On note l distnce de O u cente d une section doite du toe N spies pcouues p un count pemnent I sont égulièement enoulées su le toe ) Clcule le chmp mgnétique en tout point de l espce AN : N = ; I = A ; = cm et = cm Quel count I devit-on fie psse dns un fil ectiligne infini pou obteni le même chmp à l même distnce? b) Clcule l densité sufcique de counts équivlente à ce bobinge su l fce intéieue et l fce du dessus Véifie les eltions pou B u pssge de l sufce du toe c) Clcule le flux du chmp mgnétique pope à tves une section doite En déduie l inductnce du solénoïde Fie l AN éponse : ) NI NI B = e à l intéieu du solénoïde, nul illeus ; I = A b) p exemple JS ( ) = ez π π( ) + N c) ln L = =,8 m π 6 Mutuelle inductnce ente un fil infini et un solénoïde toique On considèe une bobine toique à section cée dont les côtés ont pou longueu, de cente O, de évolution utou de Oz On note l distnce de O u cente d une section doite du toe N spies pcouues p un count pemnent I sont égulièement enoulées su le toe ) Clcule le chmp mgnétique en tout point de l espce b) Un fil infini confondu vec l xe Oz est pcouu p I Détemine de deux mnièes difféentes l inductnce mutuelle du fil et du solénoïde I I

3 NI éponse : ) B = e à l intéieu du solénoïde, nul illeus b) π M + N = ln π 7 Chmp mgnétique teeste Le moment mgnétique teeste vut Dipôle mgnétique m = 7 A m On suppose l tee sphéique de yon T = 64 km Les pôles géogphiques et mgnétiques seont supposés confondus ) Pécise le sens de m p ppot à l xe nod sud b) Clcule les composntes hoizontle et veticle du chmp mgnétique teeste à l équteu, à l ltitude λ = 45 insi qu u pôle nod c) Une boussole est plcée hoizontlement à l ltitude λ On donne pou l iguille de l boussole m b le moment mgnétique et J b le moment d inetie p ppot à l xe de ottion Détemine l position d équilibe stble Clcule l péiode des petites oscilltions d) Clcule l énegie mgnétique contenue dns l espce extéieu à l Tee éponse : c) équilibe stble qund m b et B h lignés et de même sens ; 4πT J b T = π d) U mm cos λ b m m = π T 8 Sphèe supconductice (SC) Une sphèe supconductice pleine de cente O, de yon est plongée dns un chmp mgnétique unifome B B e = z Il y pou un tel mtéiu supconducteu ppition de counts sufciques tels que le chmp mgnétique totl est nul à l intéieu du mtéiu ) Clcule J S en coodonnées sphéiques schnt que les counts sufciques céent à l extéieu de l sphèe un chmp mgnétique dipolie b) Clcule le chmp céé p ces counts sufciques en O éponse : ) J B S = sin eϕ b) B ( O) B J = S Équtions locles 9 Lme supconductice plcée dns un chmp mgnétique unifome L lme occupe le volume compis ente les plns x = et x = Elle est plcée dns un chmp mgnétique extéieu unifome et sttionnie B = Bez Le milieu supconducteu est cctéisé p l eltion J ot = ΛB ente le vecteu densité volumique de counts et le chmp mgnétique ) Détemine le chmp B dns le supconducteu, insi que J Tce B(x) et J(x) Monte que le chmp extéieu n est ps petubé p l ppition de counts volumiques dns le supconducteu b) Clcule l foce s exeçnt su une potion de supconducteu de sufce S compis ente x = et x = On donne Λ =,69 C m s kg Monte que l foce pécédente s exece en fit su l sufce x = et que F B e x S x ch éponse : ) B x B δ e J ( x) = ch δ sufciques, nuls dns le supconducteu x sh B δ e vec δ = ch δ ( ) = z et y δ Λ b) δ =,7 m : effet de peu : chmp et counts

4 Foces de Lplce su une spie On considèe deux spies de même xe : une pemièe spie C de cente O, de yon et d xe Oz, pcouue p un count I, et une deuxième spie C de yon <<, de cente A, pcouue p un count i On note D l distnce OA et α l ngle sous lequel est vue l pemièe spie depuis A On cheche à clcule l foce F execée p C su C i z A C ) Monte que si B Bz est le chmp mgnétique céé p C, on B (, z) ( A) z b) En déduie F I On donne le chmp B = sin βez céé p une spie en un point de son xe depuis lequel elle est vue sous l ngle β I O C éponse : ) utilise que B est à flux consevtif, b) F = Iiπ D ( + D ) 5 e z Autes Chmp su l xe d une spie ciculie, d un solénoïde ) On donne l loi de Biot et Svt pemettnt de clcule le chmp mgnétique céé en M p un élément de count I d l en P : Idl d B = e P M 4πPM En déduie que le chmp en un point M de l xe d une spie ciculie de yon pcouue p un count d intensité I dont l oienttion est I donnée su le schém ci-conte vut B = sin βez, où β est l ngle sous lequel est vue l spie depuis M Comment modifie ce ésultt si N spies identiques en séie sont confondues? b) On cheche mintennt à détemine le chmp su l xe d un solénoïde doit à bse ciculie de yon, constitué p un enoulement égulie de spies pcouues p un count d intensité I On note n le nombe de spies p unité de longueu On se plce en un point O quelconque de l xe sous lequel les spies en bout de solénoïde sont vues sous les ngles β et β Un spie est epéée p l distnce lgébique z de son cente u point O ou p l ngle oienté β sous lequel elle est vue depuis O Clcule le chmp élémentie céé en O p les d N = ndz spies situées ente z et z + dz En déduie que le chmp totl en O vut B( O) = ni[ cosβ cosβ] e z Étudie le cs du solénoïde infini éponse : b) fie le chngement de vible z β Bobines de elmholtz Les deux bobines sont identiques : ciculies de yon, pcouues dns le même sens p un count d intensité I Elles sont pllèles, de même xe, et l distnce ente leus centes C et C est d On note O le milieu de [ CC ] I On donne le chmp B = sin βex céé p une spie en un point de son xe depuis lequel elle est vue sous l ngle β ) Clcule le chmp mgnétosttique céé en un point M de l xe des bobines b) Clcule l distnce d elmholtz pemettnt d voi un chmp qusi unifome utou de O c) epésente B( x) en fonction de x = OM dns les cs : d < d elmholtz, d = d elmholtz et d > d elmholtz

5 NI d d éponse : ) B( x) = + x x b) delmholtz = c) Vleus numéiques de et de ε L définition de l unité d intensité de count électique est l suivnte : «l mpèe est l intensité du count qui, pcount dns le même sens deux fils conducteus ectilignes infinis pllèles et plcés à une distnce de un mète l un de l ute dns le vide, poduiit ente ces deux conducteus une foce égle à 7 newton p mète de longueu» ) Monte que cette définition fixe l vleu numéique de b) L céléité de l lumièe dns le vide est : c = m s - éponse : ) = ε S vleu numéique est fixée p l définition du mète et vut Clcule l vleu numéique de ε Quelle eeu commet-on en pennt ε F πd LI b) ε 8, SI soit,4% d eeu =? 6π 9 4 Chmp mgnétique céé p une distibution sufcique (P) On considèe une bobine de yon = cm constituée d un fil de cuive de dimète d =,5 mm enoulé en spile Les spies sont jointives Elles sont pcouues p un count d intensité I = A Clcule en tout point de l espce le chmp mgnétique B Compe vec l modélistion où les counts sont othodiux