Notations Soit I un intervalle de R. Soit f une fonction définie sur I, à valeurs dans R. Notons représentative de f dans un repère du plan.

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1 Foctio réciproque d'ue octio cotiue, d'ue octio dérivable FNCTIN RECIPRQUE D'UNE FNCTIN CNTINUE, D'UNE FNCTIN DERIVABLE EXEMPLES N SE LIMITERA AUX FNCTINS NUMERIQUES DEFINIES SUR UN INTERVALLE DE R Notatios Soit I u itervalle de R Soit ue octio déiie sur I, à valeurs das R Notos représetative de das u repère du pla C la courbe Coditio d'eistece d'ue octio réciproque théorème Si est strictemet mootoe sur I, alors réalise ue bijectio de I sur (I démostratio est bie etedu surjective de I sur (I ; Supposos strictemet croissate sur I Soiet a, b I, avec a b ou bie a < b et o a ( a < ( b ( état strictemet croissate sur I ou bie a > b et o a ( a > ( b ( état strictemet croissate sur I doc ( a ( b Supposos strictemet décroissate Soiet a, b I, avec a b ou bie a < b et o a ( a > ( b ( état strictemet décroissate sur I ou bie a > b et o a ( a < ( b ( état strictemet décroissate sur I doc ( a ( b Das tous les cas, si a b alors ( a ( b doc est ijective de I sur (I déiitio (octio réciproque Soit ue octio bijective de I sur J, où J est u itervalle de R appelle octio réciproque de l'applicatio otée déiie sur J par ( =, où est l'uique élémet de I tel que = ote R =, e, u repère du pla ( e propriété géométrique Soit ue octio bijective de I sur J Soit la octio réciproque de Notos C et C les courbes représetatives des octios et das R Alors C = s(, où s est la smétrie par rapport à la droite + R( e + e, parallèlemet à R( e e + C S DUCHET - wwwepsilorst /

2 Foctio réciproque d'ue octio cotiue, d'ue octio dérivable démostratio Détermios d'abord l'epressio aaltique de s : mat ( s; e + e, e e = Soit P la matrice de passage de la base e = ( e, e à la base e ' = ( e, + e e e P = mat ( s; e = P P = = Les coordoées des poits serot eprimées das le repère R Soit M ( ; C a = ( doc ( = Soit M ' = s( M M' a doc pour coordoées ( ; ( = doc M ' C Par coséquet, ( C C s s C C motre de la même aço que ( Doc C = s( C s état ivolutive, o a doc C s( C Foctios réciproques et cotiuité théorème des valeurs itermédiaires Si est cotiue sur u itervalle I, alors (I est u itervalle de R démostratio Soiet α, β ( I, avec α < β Motros que [ α, β] ( I Soit t [ α, β] Soiet, I tels que α = ( et β = ( Soit la octio déiie par φ ( = t Nous allos motrer qu'il eiste I tel que ( = t, c'est-à-dire φ( = Si t = α, alors = Si t = β, alors = suppose doc désormais que t { α, β} a φ( = α t < et φ( = β t > Soiet ( a et ( b les suites déiies par : a = etb = ; Pour tout etier aturel : a + Si φ b a + b, o pose a + = a et b+ = a + Si φ b a + b <, o pose a+ = et b + = b S DUCHET - wwwepsilorst /

3 Foctio réciproque d'ue octio cotiue, d'ue octio dérivable a b a : N, a+ b+ = a b Par ue récurrece immédiate, o a : N, a b = Motros par récurrece que : N, a a+ b+ b Soit P( la propriété suivate : a a+ b+ b = : a + b a + b Si φ, alors a = a et b = b + b b = b a = a b b a + a b = a a + b a + b Si φ <, alors a = et b = b b + b a = b = b a a b = b a + a a = a Soit u etier aturel Supposos P( vraie motre que P(+ est vraie comme précédemmet, e distiguat les cas Doc P( est vraie pour tout etier aturel ( a est doc ue suite croissate, ( b ue suite décroissate et a b Ces deu suites sot doc adjacetes Soit l leur limite commue Par costructio, o a : N, a b doc l [, ] φ état cotiue sur I doc e l, o a φ( a φ( l et φ( b φ( l Par costructio, φ( a φ( b pour tout etier doc φ( l doc φ( l =, avec l I a doc ( l = t théorème Si est cotiue et strictemet mootoe sur I, alors même ses de mootoie que est cotiue, strictemet mootoe et de démostratio Mootoie : Soit g = Soiet, ' ( I tels que < ', ' I, = et ' = ( ' a doc = g( et ' = g( ' ' car g est ijective si est strictemet croissate sur I, alors < ' Doc g ( < g( ' et g est strictemet croissate sur (I ; S DUCHET - wwwepsilorst 3/

4 Foctio réciproque d'ue octio cotiue, d'ue octio dérivable si est strictemet décroissate sur I, alors ' < Doc g ( ' < g( et g est strictemet décroissate sur (I g est doc strictemet mootoe sur (I de même ses de mootoie que Cotiuité Soit ( I = ( suppose strictemet croissate sur I I, er cas : I Soit ε >? ε' >, ε' < ε, [ ε', + ε' ] I ( ε' ( I et ( + ε' ( I Soiet η = ( ε' et η = ( + ε' Soit η = mi( η, η Soit I ] η, + [ a : ( η η < < + η η < < + η ( ε' < < ( + ε doc doc ' état strictemet croissate sur I, g est strictemet croissate sur (I doc g ( ε' < g( < g ( + ε' doc ε' < g( < + ε' doc g ( g( < ε' Doc : ε >, η >, ( I, < η g( g( < ε g est doc cotiue e o I ème cas : I Même démostratio que précédemmet e cosidérat ; + '] ou ε'; ] [ ε [ Remarque : 'utilise pas la cotiuité de das cette démostratio La stricte mootoie de et le ait que est déiie sur u itervalle suiset pour obteir la stricte mootoie et la cotiuité de g théorème Les assertios suivates sot équivaletes : (i est cotiue et ijective sur I ; (ii est cotiue et strictemet mootoe sur I ; (iii est strictemet mootoe sur i et (I est u itervalle démostratio ( i ( ii suppose que est cotiue et ijective sur I Motros que est strictemet mootoe sur I a, b I, a b état ijective, o a ( a ( b Supposos ( a < ( b (si ( a > ( b, o s'itéresse à la octio Motros qu'alors est strictemet croissate sur I Soit I S DUCHET - wwwepsilorst 4/

5 Foctio réciproque d'ue octio cotiue, d'ue octio dérivable cas où a < < b : motros que ( a < < ( b Supposos < ( a Alors < ( a < ( b état cotiue sur [, b], ([ ; b] est u itervalle coteat ( et (b doc [, ( b] ([, b] doc ( a ([, b] Doc ( a < De même, o motre que < ( b cas où < a < b : o motre comme précédemmet que < ( a < ( b cas où a < b < : o motre comme précédemmet que ( a < ( b < Soiet maiteat < ' < a < b < a < ' < b < a < b < ' a < < ' < b a < < b < ', ' I tels que < ' Il suit d'étudier tous les cas : a < b < < ' et d'utiliser ce qui précède pour motrer que l'o a toujours < ( ' ( ii ( iii C'est le théorème des valeurs itermédiaires qui doe le résultat ( iii ( i état strictemet mootoe, elle est ijective Supposos que J = (I est u itervalle de R Quitte à travailler avec, o peut supposer strictemet croissate sur I D'après le théorème de la limite mootoe, o sait que pour tout t admet ue limite iie à gauche e t otée ( t et ue limite iie à droite e t, otée ( t + Soit t I si t i I, ( t ( t + si t sup I, ( t ( t Supposos que e soit pas cotiue sur I + Il eiste t I tel que ( t i I et ( t < ( t ou ( t sup I et ( t < ( t Plaços-ous das le cas où ( t i I et ( t < ( t t i I doc il eiste t' I tel que t ' < t (I est u itervalle de R coteat (t' et (t doc [ ( t', ( t] ( I Doc [ ( t, ( t] ( I car ( t' ( t < ( t Soit ] ( t, ( t[ Alors ] ( t', ( t[ (I état u itervalle, il eiste I tel que = ( Si t, alors ( t ( état croissate : cotredit le ait que ] ( t', ( t[ Si < t, alors < ( t ( état croissate : cotredit le ait que ] ( t, ( t[ Das les deu cas, il a ue cotradictio est doc cotiue sur I o I, S DUCHET - wwwepsilorst 5/

6 3 Foctios réciproques et dérivabilité Foctio réciproque d'ue octio cotiue, d'ue octio dérivable théorème Soiet I et J des itervalles de R et : I J u homéomorphisme (c'est-à-dire est bijective de I sur J, et sot cotiues Soit I tel que soit dérivable e Alors est dérivable e ( si et seulemet si '( démostratio Supposos '( Soiet g = = ( Soit, φ : I R la octio déiie par : ' Das ce cas, o a : ( ( ( = ( si φ( = '( si = φ est cotiue e (doc sur I car est dérivable e si φ g est déiie sur (I et o a φ g( = g( g( '( g( si = g est cotiue e et g ( = φ état cotiue e, il e résulte que De plus, '( φ g est cotiue e φ g e s'aule pas sur (I car g est bijective et '( Par coséquet, est déiie sur (I et o a : φ g et ( état cotiue e, o a ' ( = '( g( g( si = φ g( si = '( g( g( g( lim = '( g(, c'est-à-dire φ g est dérivable e Supposos que est dérivable e ( ( Si '( =, alors lim = Soit = ( g Alors ( g ( g lim = ou ( g ( lim = +, ce qui cotredit la dérivabilité de ( Doc '( e S DUCHET - wwwepsilorst 6/

7 Foctio réciproque d'ue octio cotiue, d'ue octio dérivable théorème Soit ue applicatio cotiue et strictemet mootoe sur I et J = (I Alors est u diéomorphisme de classe C de I sur J si et seulemet si est de classe C et ' e s'aule pas sur I démostratio Si est u diéomorphisme de classe s'aule pas sur I (théorème précédet Si est de classe C et ' e s'aule pas sur I, o a : ( ' = Soit φ : R R la octio déiie par φ ( = ' ' = φ ' Alors ( classe ' C sur chacu de ces itervalles et C de I sur J, alors est de classe e s'aule pas doc pred ses valeurs das ' état de classe ( ' est cotiue (composée de octios cotiues doc C, o e déduit : est de classe est de classe C doc ( ' est de classe C et doc est de classe C De proche e proche (récurrece immédiate, o motre que est de classe R + ou C, doc C C et ' e R φ état de φ ' Applicatios Foctios réciproques des octios usuelles Soit : R + R la octio déiie par = l( est cotiue sur R +, strictemet croissate sur R + est doc bijective et est cotiue sur R = l( R +, strictemet croissate sur R ote = ep( = = l( ( = = = ep ep'= ep ' ' doc S DUCHET - wwwepsilorst 7/

8 Foctio réciproque d'ue octio cotiue, d'ue octio dérivable Soit π π, R π π = si( est bijective de, sur [, ] et strictemet croissate ote = arcsi est strictemet croissate sur [, ], dérivable sur ], [ et arcsi'( = = arcsi( = si( = Soit :[,π] R la octio déiie par = cos( est bijective de [, π ] sur [,] et strictemet décroissate = arccos( = ote = arccos est strictemet décroissate sur [,], dérivable sur ],[ et arccos'( = = cos( Soit : π π, R la octio déiie par π π = ta( est bijective de, sur ], + [ et strictemet croissate ote = arcta est strictemet croissate sur R, dérivable sur R et arcta'( = + = arcta( = ta( = S DUCHET - wwwepsilorst 8/

9 Foctio réciproque d'ue octio cotiue, d'ue octio dérivable Soit :[, + [ R la octio déiie par = ch( est bijective de [, + [ sur [, + [ et strictemet croissate ote = argch est strictemet croissate sur [, + [, dérivable sur ], + [ et argch '( = Pour >, argch( = l( + = ( = = argch( Soit : R R la octio déiie par = sh( est bijective de R das R et strictemet croissate sur R ote = arg sh est strictemet croissate sur R, dérivable sur R et arg sh'( = + Pour R, arg sh ( = l( + + = argsh( = = sh( Soit : R R la octio déiie par = th( est bijective de R das ], [ et strictemet croissate sur R ote = argth est strictemet croissate sur ], [, dérivable sur cet itervalle et argth'( = + Pour ], [, argth( = l = argth( = = th( S DUCHET - wwwepsilorst 9/

10 Foctio réciproque d'ue octio cotiue, d'ue octio dérivable Soit :[, + [ R la octio déiie par = ( N est bijective de [, + [ das [, + [ et strictemet croissate est la octio déiie sur [, [ + par = est strictemet croissate sur [, + [, dérivable sur ], + [ et '( = = ^ = = ^(/ U calcul de octio réciproque Soit la octio déiie sur [, ] par = est cotiue e + si [, ] = si [, ] + est dérivable sur [, [ et [, [, '( = ( est dérivable sur ], ] et ], ], '( = ( + ( ( et < > Doc est dérivable e et '( =, ce qui motre que est de classe C sur [, ] ' e s'aulat pas sur [, ], est doc u diéomorphisme de classe C Calcul de : Soit [, ] et = ( = doc = et doc = + Soit [, ] et = ( = doc + = doc = + < si et seulemet si < a doc l'epressio de ( = : S DUCHET - wwwepsilorst /

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