Licence Professionnel Optronique Année Rappels Traitement du Signal Note de cours T.Dumartin

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1 Licc Prossiol Oproiqu Aé 4-5 Rappls raim du igal No d cours.dumari

2 GENERALIE 4. INRODUCION 4. DEFINIION 4.. IGNAL 4.. BRUI 4..3 RAPPOR IGNAL UR BRUI 4..4 YEME 4.3 CLAIFICAION DE IGNAUX 5.3. CLAIFICAION PHENOMENOLOGIQUE 5.3. CLAIFICAION ENERGEIQUE CLAIFICAION MORPHOLOGIQUE 5.4 IGNAUX PARICULIER 6.4. FONCION IGNE 6.4. FONCION ECHELON FONCION RAMPE FONCION RECANGULAIRE IMPULION DE DIRAC PEIGNE DE DIRAC FONCION INU CARDINAL 8.5 REPREENAION FREQUENIELLE 8 RAIEMEN DU IGNAL ANALOGIQUE 9. ERIE DE FOURIER 9.. DEFINIION 9.. DEVELOPPEMEN EN ERME COMPLEXE..3 PROPRIEE. RANFORMEE DE FOURIER.. DEFINIION.. PROPRIEE..3 EXEMPLE.3 CONVOLUION.3. DEFINIION.3. RANFORMEE DE FOURIER 3.4 NOION DE FILRAGE 3.4. FONCION DE RANFER 3.4. FILRE REEL GABARI 4.5 NOION DE MODULAION 5.5. PRINCIPE 5.5. MODULAION D AMPLIUDE 5 3 NUMERIAION 7 3. ECHANILLONNAGE DEFINIION ECHANILLONNAGE IDEAL ECHANILLONNAGE REEL ECHANILLONNAGE-BLOCAGE 9 3. QUANIFICAION 3.. DEFINIION 3.. QUANIFICAION UNIFORME 3.3 CODAGE

3 4 RAIEMEN DU IGNAL NUMERIQUE 4. RANFORMEE DE FOURIER D'UN IGNAL DICRE 4.. DEFINIION 4.. PROPRIEE 4. RANFORMEE DE FOURIER DICREE FENERAGE ECHANILLONNAGE EN FREQUENCE NOION DE RANFORMEE DE FOURIER RAPIDE PREENAION A L ALGORIHME DE COOLEY-UCKEY 6 Ax : rasormé d Fourir d u pig d Dirac Ax : rasormé d Fourir d la ocio por

4 Gééraliés Chapir. Iroducio L raim du sigal s u discipli idispsabl d os jours. Il a pour obj l'élaboraio ou l'irpréaio ds sigaux porurs d'iormaios. o bu s doc d réussir à xrair u maximum d'iormaio uil sur u sigal prurbé par du brui s'appuya sur ls rssourcs d l'élcroiqu d l'iormaiqu.. Déiiios.. igal U sigal s la rprésaio physiqu d l'iormaio, qu'il covoi d sa sourc à so dsiaair. La dscripio mahémaiqu ds sigaux s l'objci d la héori du sigal. Ell or ls moys d'aalysr, d cocvoir d caracérisr ds sysèms d raim d l'iormaio... Brui U brui corrspod à ou phéomè prurbaur gêa la rasmissio ou l'irpréaio d'u sigal. Rmarqu : Ls oios d sigal brui so rès rlaivs. Pour u chici ds élécommuicaios qui écou u émur loiai rlayé par u salli, l sigal prova d u sourc asrophysiqu (solil, quasar) placé malcorusm das la mêm dircio s u brui. Mais pour l asroom qui s iérss à la sourc asrophysiqu, c s l sigal du salli qui s u brui...3 Rappor sigal sur brui L rappor sigal sur brui msur la quaié d brui cou das l sigal. Il s'xprim par l rappor ds puissacs du sigal (P ) du brui (P N ). Il s souv doé décibls (db). N db P =log P..4 ysèm U sysèm s u disposii rprésé par u modèl mahémaiqu d yp Eré/ori qui appor u déormaio au sigal (Ex: modulaur, ilr, c ). N Eré ysèm ori

5 .3 Classiicaio ds sigaux O pu visagr plusiurs mods d classiicaio pour ls sigaux suiva lurs propriéés..3. Classiicaio phéoméologiqu O cosidèr la aur d l'évoluio du sigal ocio du mps. Il apparaî dux yps d sigaux : Ls sigaux dérmiiss : ou sigaux crais, lur évoluio ocio du mps pu êr paraim modélisr par u ocio mahémaiqu. O rrouv das c class ls sigaux périodiqus, ls sigaux rasioirs, ls sigaux psudo-aléaoirs, c Ls sigaux aléaoirs : lur comporm mporl s imprévisibl. Il au air appl à lurs propriéés saisiqus pour ls décrir. i lurs propriéés saisiqus so ivarias das l mps, o di qu'ils so saioairs..3. Classiicaio érgéiqu O cosidèr l'érgi ds sigaux. O disigu : Ls sigaux à érgi ii : il possèd u puissac moy ull u érgi ii. Ls sigaux à puissac moy ii : il possèd u érgi iii so doc physiqum irréalisabl. Rappls : Ergi d'u sigal x() Puissac d'u sigal x() W = x x + - P = lim x() d / -/ x() d.3.3 Classiicaio morphologiqu O disigu ls sigaux à variabl coiu ds sigaux à variabl discrè aisi qu cux do l'ampliud s discrè ou coiu. Coiu Ampliud Discrè x() x() mps Coiu Discr x[] x[] échailloag quaiicaio

6 O obi doc 4 classs d sigaux : Ls sigaux aalogiqus do l'ampliud l mps so coius Ls sigaux quaiiés do l'ampliud s discrè l mps coiu Ls sigaux échailloés do l'ampliud s coiu l mps discr Ls sigaux umériqus do l'ampliud l mps so discrs.4 igaux pariculirs Ai d simpliir ls opéraios aisi qu ls ormuls obus, crais sigaux réqumm rcorés raim du sigal dispos d'u modélisaio propr..4. Focio sig sg() - pour < sg()= + pour > - Par covio, o adm pour valur à l'origi : sg () = pour =..4. Focio échlo pour < u()= pour > u() Par covio, o adm pour valur à l'origi: u () = ½ pour =. Das crais, il sra préérabl d lui dor la valur..4.3 Focio ramp r() =. u() r() - ( ) = u τ dτ.4.4 Focio rcagulair pour < rc ( )= pour > rc(/) -/ / O l'appll aussi ocio por. Ell sr d ocio d êrag élémair.

7 .4.5 Impulsio d Dirac L'impulsio d Dirac corrspod à u ocio por do la largur drai vrs do l'air s égal à. δ() pour = δ()= pour δ () pu êr rprésé graphiqum. O la schémais par l symbol Aio: l marqué sur la lèch pli rprés l air d c impulsio ( o la hauur d l impulsio). du() O pu cor cosidérr δ () comm la dérivé d la ocio échlo : δ() =. d Propriéés : Iégral δ()d = x().δ() d = x() x().δ( )d = x( ) Produi x().δ() = x().δ() = x() x().δ( ) = x( ).δ( ) = x() Idié x() δ() = x() raslaio x() δ( )=x( ) x( ) δ( ) = x( ) Chagm d variabl δ(a.) = a δ() avc pariculir δ(ω)= π δ() Rmarqu : U sigal physiqu y() corrspoda au passag d u éa () vrs u éa () pourra êr cosidéré comm u impulsio chaqu ois qu so mps d moé m sra égligabl dva ls aurs mps mis ju das l circui. Il s d mêm pour u échlo.

8 .4.6 Pig d Dirac O appll pig d Dirac u succssio périodiqu d impulsios d Dirac. δ () δ ()= k - δ(- k) -K - - K s la périod du pig. C sui s parois applé rai d'impulsios ou ocio d'échailloag. C yp d sigal s pricipalm uilisé échailloag..4.7 Focio sius cardial sic() sic() = si ( π) π C ocio jou u rôl rès impora raim du sigal Propriéés : + - sic() d = + sic ()d = -.5 Rprésaio réquill O a pour habiud d décrir ls sigaux ocio d la variabl mporll car or prcpio ds phéomès physiqus ous y ici. E élcroiqu, la coaissac ds propriéés spcrals d'u sigal s primordial. Aisi, o uilis souv u rprésaio ocio d la réquc pour caracérisr u sigal ou u sysèm. Ls ouils d raim ds sigaux ous aid das c âch. Exmpl : l suppor d rasmissio du élépho à u bad passa d 3kHz alors qu la bad passa ds sigaux audibls s d khz. Cci xpliqu pourquoi u sigal audio d hau qualié rasmis par voi éléphoiqu sra prçu comm d mauvais qualié par l récpur.

9 raim du sigal aalogiqu Chapir. éri d Fourir.. Déiiio La décomposiio séri d Fourir prm d décomposr u sigal somm d siusoïds. O uilis pricipalm ls séris d Fourir das l cas ds sigaux périodiqus. Ells prm aisi d passr acilm du domai mporl au domai réquil. Pour pouvoir êr décomposabl, u sigal doi êr à variaios borés (Dirichl). Pour ou sigal s() rél où s() = s(+ ), o pu écrir : s() = + A cos( ω ) +B si( ω ) = π ω = avc = s()d ( ) A = s()cos( ω ) d ( ) B = s()si ( ω ) d ( ) Rmarqus : O appll l sigal d pulsaio ω l odamal. O appll ls sigaux d pulsaio.ω ls harmoiqus d rag. La valur d rprés la valur moy d s(). Aur xprssio : L'écriur précéds ds séris d Fourir prés ai pu d'iérê physiqu, si la ocio () subi u simpl raslaio suiva l'ax ds mps alors ls coicis A B sro modiiés. E coséquc, o chrch doc u ouvll écriur ds séris d Fourir das laqull la puissac s cosrvé après u raslaio suiva l'ax ds mps où c raslaio apparaîra sous la orm d u déphasag. C ouvll écriur s'obi posa : A =CsiΦ B =C cosφ aisi, rmplaça A B das : s() = + ( ) ( ) A cos ω +B si ω = ( ) Φ ( ) s() = + C si Φ cos ω + cos si ω =

10 s() = + C si ω + ( Φ ) = avc A Φ = arca B C =A +B!! Aio!! i l o irvri la plac ds paramèrs B A (A dva si B dva cos) das la décomposiio séri d Fourir, il au pas oublir d ls irvrir das la déiiio d φ aussi... Dévloppm rms complxs E iroduisa la oaio complx d cos(ω ) si(ω ), il s possibl d'obir u écriur complx d la séri d Fourir. + O pos cos( ω ) = O obi alors : j ω jω si ω = ( ) j j ω jω s() = - jω avc / jω = s() d - / Ls coicis complxs so rliés aux coicis A B par ls rlaios suivas : A jb = > A+ jb - = Rmarqus : Das ls dux orms précéds, chaqu composa d réquc éai rprésé par dux coicis. L'écriur complx ai apparaîr qu'u sul coici complx mais qui comprd bi du u modul u phas...3 Propriéés i s() s pair B = = - i s() s impair A = = - -. rasormé d Fourir C s u gééralisaio d la décomposiio d séri d Fourir à ous ls sigaux dérmiiss. Ell prm d obir u rprésaio réquc (rprésaio spcral) d cs sigaux. Ell xprim la répariio réquill d l ampliud, d la phas d l érgi (ou d la puissac) ds sigaux cosidérés... Déiiio oi s() u sigal dérmiis. a rasormé d Fourir s u ocio, gééralm complx, d la variabl déii par : + jπ () = F[ s() ] = s() d -

11 i c rasormé xis, la rasormé d Fourir ivrs s doé par : + jπ [ ] s() = F () = () d Rmarqu : O appll spcr d s l modul d la rasormé d Fourir d s. -.. Propriéés s() (F) Liéarié α.s() + β.r() α.() + β.r() raslaio s(- ) jπ () jπ s() (- ) Cojugaiso Dérivaio Dilaaio s() ds() d s(a) avc a (-) ( ) jπ ( ) ( ) a a Covoluio s() r() () i R() s() i r() () R() Dualié () s(-) rasormé d Fourir d Dirac : s() δ() δ(-τ) F () jπτ jπ δ(+ ) Egalié d Parcval : Pour u sigal d érgi ii, l érgi du sigal s idiqu das ls domais mporl réquil. s() d = () d

12 ..3 Exmpl Calculos la rasormé d Fourir d u sigal siusoïdal : s() = cosω + + jπ jπ = ( ) avc ( ) () = s() d cos π d cos π = jπ π + jπ π jπ jπ jπ jπ jπ ()= d = d d i + i ( jπ jπ + ) () = F F d où F cos π = δ(- )+δ(+ ) [ ] [ ] s() F () / - Rmarqus : La rasormé d Fourir d u ocio siusoïdal d réquc s rprésé par dux impulsios d Dirac cré sur ls réqucs +. Bi du, l impulsio cré sur a pas d xisc physiqu. L spcr d u décomposiio séri d Fourir sra doc u spcr discoiu d rais aux réqucs ds siusoïds préss das la décomposiio..3 Covoluio.3. Déiiio L produi d covoluio d u sigal s() par u aur h() s doé par : Rmarqu : s()*h() = s(k) h(- k)d k - s() y() L sigal d sori d u sysèm liéair causal ivaria das l H mps s doé par l produi d covoluio du sigal d ré d u ocio h() applé répos impulsioll. La valur du sigal d sori à l isa s aisi obu par la sommaio ds valurs passés du sigal d xciaio, podérés par la répos du sysèm.

13 .3. rasormé d Fourir Par déiiio : jπ F[ a() b() ] = a(k) b(- k) dk d jπ = a(k) b(- k) d dk i o pos : - k = u alors = u + k : jπ k jπ u F[ a() b() ] = a(k) b(u) d u dk D où : [ ] F a() b() = A() ib() Rmarqu : F h() δ() = F h() i F δ() = F h() = H() [ ] [ ] [ ] [ ] d où h() δ() = h() : L Dirac s l élém ur d la covoluio.4 Noio d Filrag L ilrag s u orm d raim d sigal qui modii l spcr d réquc /ou la phas du sigal prés ré du ilr doc par coséqu sa orm mporll. Il pu s agir soi : - d élimir ou d aaiblir ds réqucs parasis idésirabls - d isolr das u sigal complx la ou ls bads d réqucs uils. O class ls ilrs dux grads amills : - ls ilrs umériqus réalisés à parir d srucur iégré microprogrammabl (DP). - ls ilrs aalogiqus réalisés à parir d composas passis (résisac, iducac, codsaur) ou acis (AIL)..4. Focio d rasr V E () sigal d ré. H V () L comporm d u ilr s déii par l éud réquill d la ocio d rasr r la sio d sori la sio d ré du ilr. O l caracéris par l ampliicaio l déphasag qu il appor sur ls diérs harmoiqus du V(jω) H(j ω ) = V(jω) V H =log ϕ = Arg[ H(jω) ] db V E E

14 Rmarqus : d ré : Parois, o préèr déiir u ilr par rappor à l aéuaio qu il amè sur la gradur A(jω)= H(jω). O déii aussi l mps d propagaio d group pluô qu l déphasag. Il caracéris l rard apporé par l ilr sur ls diérs harmoiqus du sigal d ré : V () = V ()*h() [ ] dϕ τ = d ω F V () = V () i h() H s la répos impulsioll du ilr : E E Aurm di, l spcr du sigal d sori s égal au produi du spcr du sigal d ré par la répos réquc du ilr..4. Filr rél gabari U ilr idéal prés : - u aaiblissm ul das la bad d réquc qu l o désir cosrvr (Bad passa) - u aaiblissm iii das la bad qu l o désir élimir (Bad aéué) Il s impossibl praiqum d réalisr d ls ilrs. Aussi s co--o d approchr c répos idéal : - cosrva l aéuaio A iériur à A max das la bad passa - cosrva l aéuaio supériur à A mi das la bad aéué Cla codui aisi à déiir u gabari déiissa ds zos irdis ds zos das lsqulls dvro impéraivm s siur ls graphs rprésa l aéuaio du ilr réquc. uiva l yp d répos qu l o désir obir, o s amé à déiir 4 amills d ilrs : A(dB) Pass-bas A(dB) Pass-hau A mi A mi A max A max c a a c A(dB) Pass-bad A(dB) Coup-bad A mi A mi A max A max a- c- c+ a+ c- a- a+ c+ Lorsqu l o vu dimsior u ilr, o sai calculr aalyiqum qu u pi ombr d ocios caracérisiqus cova à la réalisaio d u gabari. Cs diérs ocios ixro ls propriéés physiqus du ilr (Burworh, chbych, Bssl, Caur).

15 .5 Noio d Modulaio.5. Pricip L pricip d modulaio d u sigal s ssillm uilisé pour la rasmissio ds sigaux. Il prm d adapr l mssag à rasmr au caal d rasmissio. Par xmpl, radio, l mssag rasmis par voi hrzi s u mssag audio do l spcr sra compris das la bad [Hz, khz]. La récpio d'u l sigal écssi ds as do ls dimsios so du mêm ordr d gradur qu la loguur d'od du sigal ( gééral d l'ordr d ½ ). c λ = Exmpl : Pour = khz : 3 = = =!!!!!!!. 8 λ 4.5 m 3 5 km Aisi, l objci s d s srvir d u sigal d réquc impora pour rasmr l mssag ai d réduir à ds proporios raisoabl la aill ds as. L bu d la modulaio s doc d raslar l spcr d'u sigal basss réqucs (BF) vrs ls haus réqucs (HF). La radio, la élévisio, ls ligs éléphoiqus uilis l procédé d modulaio. L sigal HF uilisé pour rasporr l mssag s applé la porus. L mssag, do o s sr pour modulr u ds caracérisiqus d la porus, s applé l modula. i la porus s d orm siusoïdal, ll accp comm xprssio : s()=ucos(ω p p p + ϕ) avc ω p >> Pour rasporr l mssag, o pu doc jour qu sur dux paramèrs : - l ampliud U p : o cu alors u modulaio d ampliud - la phas ϕ : o cu alors u modulaio agulair (phas ou réquc). Rmarqus : La démodulaio s l opéraio ivrs d la modulaio. Ell cosis à rcosruir l sigal modula à parir du sigal modulé. La qualié d u modulaio s dérmié par la acilié à récupérr l sigal modula par so immuié aux bruis..5. Modulaio d ampliud L pricip cosis à modulr l ampliud d la porus s p () par l sigal mssag m() : s m() = m() Upcosωp Das l cas d écol où l mssag à u orm siusoïdal : s m() = Umcosωm Ucosω p p UmUp s m() = cos ( ωm ωp) + cos ( ωm + ωp) o ampliud sra doc compris r +U m.u p -U m.u p. L spcr du sigal modulé s doc : { } UmUp m() = δ(- m+ p)+δ(- m- p)+δ(+ m- p)+δ(+ m+ p) 4

16 m() U m F M() U m / m - m m s p () U p p () U p / - p p m () U p.u m p () U m.u p /4 BP - p - m - p + m p - m p + m La modulaio d ampliud réalis doc u rasposiio réquc du sigal mssag. Ell s réalisé à parir d u simpl muliplicaio. A or qu si l o vu rasmr u sigal d réquc m, la bad passa écssair s d. m. La récupéraio du mssag par démodulaio impliqu d réalisr l opéraio ivrs. Il au doc muliplir l sigal modulé par la porus pour rair u rasposiio réquc puis isolr l mssag par ilrag. m() s p () s m () m() s p () Mais abriqur u porus d réquc sricm idiqu s rès diicil. U soluio cosis doc à rasmr la porus avc l mssag pour pouvoir acilm la rcosruir à la récpio. O l appll la modulaio avc porus l xprssio du sigal modulé dvi : s m() = [ k.m() + ] Upcosωp k s l aux d modulaio. C s c pricip qui s ru radiodiusio (AM, GO PO). Rmarqus : O pu aussi : - récupérr la pari résidull d la porus (qui, pour ds raisos chiqus, s jamais supprimé à %) ampliir cll-ci. - rasmr périodiqum u iormaio rprésa la porus - rasmr u mulipl ou u sous-mulipl d la réquc d la porus

17 Chapir 3 Numérisaio 3 L imporac ds sysèms umériqus d raim d l iormaio css d croîr (radio, élévisio, élépho, isrumaio ). C choix s souv jusiié par ds avaags chiqus ls qu la grad sabilié ds paramèrs, u xcll rproducibilié ds résulas ds ocioaliés accrus. L mod xériur éa par aur aalogiqu, u opéraio prélimiair d covrsio aalogiqu umériqu s écssair. La covrsio aalogiqu umériqu s la succssio d rois s sur l sigal aalogiqu d dépar : - l échailloag pour rdr l sigal discr - la quaiicaio pour associr à chaqu échaillo u valur - l codag pour associr u cod à chaqu valur. 3. Echailloag 3.. Déiiio L échailloag cosis à prélvr à ds isas précis, l plus souv équidisas, ls valurs isaaés d u sigal. L sigal aalogiqu s(), coiu das l mps, s alors rprésr par u smbl d valur discrès : s () = s(.) avc ir : périod d échailloag. C opéraio s réalisé par u échaillour souv symbolisé par u irrupur. s() s () = 3.. Echailloag idéal L échailloag idéal s modélisé par la muliplicaio du sigal coiu s() d u pig d Dirac d périod. s()=s()δ ()=s() δ(- ) = s( ) δ(- ) - - L spcr du sigal échailloé s doc l suiva : () = () δ(- ) () = (-) (voir Ax ) - - O obi doc u spcr iii qui provi d la périodisaio du spcr du sigal d origi auour ds mulipls d la réquc d échailloag. () () F - M - m m M / /

18 Rmarqus : O voi sur l spcr du sigal échailloé qu il s possibl d rsiur l sigal origial par u simpl ilrag pass-bas. i M, la réquc maximal du spcr du sigal à échaillor, s supériur à /, la rsiuio du sigal origial sra impossibl car il va apparaîr u rcouvrm spcral lors d l échailloag. O di qu o s sous-échailloag. () - - rcouvrm L héorèm d HANNON mor qu la rcosiuio corrc d u sigal écssi qu la réquc d échailloag soi au mois dux ois plus grad qu la plus grad ds réqucs M du spcr du sigal : > M Lorsqu il y a rcouvrm spcral, ous avos vu qu'il éai impossibl d rcosruir corrcm l sigal. Poura das la plupar ds siuaios, l spcr du sigal à échaillor s'éal sur ou l domai ds réqucs (ou dimiua du coé ds haus réqucs), mais il 'xis pas u réquc max au-dlà d laqull l'érgi s ull. Il y a doc u problèm pour choisir la réquc d'échailloag. O s ix doc praiqu u max à parir d laqull o sim la rprésaio d or sigal saisaisa pour ls applicaios qu l o vu air. Puis o cu u ilrag pass-bas (à max ) ava l échailloag ai d rmédir aux rplims d spcr. O appll c ilr u ilr airplim. Exmpl : c's par xmpl l cas d la parol. L spcr ds sos audibls s'éd jusqu'à viro khz. Das l cas ds CD audio, l sigal s échailloé à 44. khz alors qu das l cas du élépho umériqu l sigal s échailloé à 8 khz sulm. E, éléphoi, o sim qu l mssag s compréhsibl pourvu qu ls composas basss réqucs soi rasmiss corrcm alors qu l o vu cosrvr ous ls harmoiqus pour avoir u so d qualié audio. O limi aisi l spcr à.5 khz pour u CD audio à 4 khz pour la éléphoi (3.4kHz praiqu). i >c, il y a sur-échailloag. Alors ls mois succssis obus par périodisaio du spcr so disjois éloigés l u d l aur. L ilrag pass-bas pour la récupéraio du sigal s acilié. Plus o prdra d échaillos par périod, plus l sigal sra acil à rcosruir Echailloag rél E praiqu, l échailloag s cu commada u irrupur par u rai d impulsios érois. Il s doc impossibl d obir ds échaillos d duré quasim ull. La modélisaio d l échailloag par u pig d Dirac s doc rroé. E ai, chaqu impulsio va avoir u duré rès cour τ. L échailloag pu doc êr modélisé par la muliplicaio du sigal par u sui d ocio rcagl (ou por) d largur τ. y() y() - - -τ/ τ/

19 L xprssio du sigal d échailloag dvi doc : -k y() = rc ( ) = rc ( ) δ( k ) k - τ τ k - E par coséqu, sa rasormé d Fourir s égal à : Y() = τsic(τ ) δ( k ) (voir Ax ) k - Comm l xprssio du sigal échailloé s : s()=s()y() a rasormé d Fourir dvi : τ () = () Y() = () sic(τ ) δ(- k ) k - τ ()= sic(τ ) (- k ) k - O rrouv la mêm allur d spcr modulé ampliud par u ocio sius cardial. () () F - M - m m M - - τ - τ Rmarqus : Pour s rapprochr d u échailloag idéal qu aisi l sigal soi acilm rcosrucibl, il au qu τ soi l plus pi possibl. Das l cas où τ s du mêm ordr d gradur qu, il audra >> M Echailloag-blocag E praiqu, o 'échaillo pas u sigal pour l rcosruir jus après. L'échailloag s uilisé pour prélvr l sigal à ds isas mulipls d sui covrir ls échaillos sous orm d'u cod biair (8,, 6 bis,...). C covrsio s cué par l irmédiair d u covrissur aalogiqu-umériqu (CAN). C covrsio s pas isaaé. i l sigal à covrir vari rop rapidm, il s écssair d procédr au blocag du sigal pour avoir u covrsio sas rrur. O uilis doc u échaillour-bloquur qui mémoris la sio à covrir la maii cosa pda ou la duré d covrsio. L d blocag pu êr modélisé par u ocio por décalé d τ/ : y() τ τ τ - -k - y() rc rc = = δ( k ) k - τ τ k - L échailloag-blocag cosis doc à la muliplicaio du sigal par y(). La rasormé d Fourir du sigal échailloé s doc : τ () = sic(τ ) (- k ) k - -jπ τ

20 Rmarqus : -jπ τ L spcr s idiqu au précéd. L rm radui u déphasag r l sigal iiial l sigal échailloé. E pricip, o maii la valur d l échaillo sur ou la périod d échailloag doc τ =. Aisi, pour =, o a u déphasag d -π. 3. Quaiicaio 3.. Déiiio La quaiicaio cosis à associr à u valur réll x qulcoqu, u aur valur x q appara à u smbl ii d valurs c suiva u crai loi : arrodi supériur, arrodi l plus proch, c L écar r chaqu valur x q s applé pas d quaiicaio. L ai d arrodir la valur d dépar raî orcém u rrur d quaiicaio qu l o appll l brui d quaiicaio. 3.. Quaiicaio uiorm La loi d quaiicaio uiorm uilis u pas d quaiicaio ( ) cosa r chaqu valur x q. x q 3 Loi idéal q =x q -x ½ - - x -½ x -3 L brui d quaiicaio q s das c cas u sigal aléaoir. Cs caracérisiqus so doc déiis par ss propriéés saisiqus. O pu alors démorr qu la puissac du brui d quaiicaio s égal à : P = (si sa dsié d probabilié s uiorm) q L rappor sigal sur brui dû à la quaiicaio s doc égal à : N db P =log P La puissac du sigal à quaiir s égal à sa valur icac au carré (voir rmarqu) : q Vs = log N db i l o décompos la plag d variaio V PE du sigal à quaiir irvalls d largur (avc l ombr d bis uilisés pour codr l sigal quaiié).

21 Alors V = Aisi : PE V = PE V s V s = log + log = log + log + log N db VPE VPE V s log N db VPE Aisi, das l cas d u covrissur aalogiqu-umériqu, chaqu ois qu l o rajoura u bi das l résula d covrsio, o améliorra l rappor sigal sur brui dû à la quaiicaio d viro 6dB. Rmarqu : E raim du sigal, o cosidèr la puissac d u sigal aux bors d u résisac d Ω. La puissac s doc égal au carré d la valur icac. Exmpl : i l o vu umérisr u siusoïd qu l o ix V PE =.V max Vmax V max Das c cas, V = log N db V max N db 3.3 Codag L codag cosis à associr à u smbl d valurs discrès u cod composé d éléms biairs. Ls cods ls plus cous : cod biair aurl, cod biair décalé, cod complém à, cod DCB, cod Gray. Exmpl sur 4 bis : Nbr Biair Biair décalé DCB Gray Complém à -8 / / / -3 / / / 5 / / 5 / /

22 Chapir 4 raim du sigal umériqu 4 L raim umériqu d l iormaio appor d ombrux avaags chiqus aisi qu u lxibilié accru das baucoup d domai. L raim du sigal par rasormé d Fourir pos cpda u crai ombr d problèms. E u ordiaur pu rair qu ds sigaux umériqus, cux-ci so obus après u échailloag u quaiicaio. Lur éud dvra ir comp ds s iduis sur l spcr par cs dux chiqus. D plus, u calcul d rasormé d Fourir s u somm d u iiié d échaillos. L mps écssair aisi qu la mémoir d l ordiaur vo orcém mmr crais corais à c ivau. 4. rasormé d Fourir d'u sigal discr 4.. Déiiio U sigal discr s déii par u sui d échaillos spacés r ux d u périod. La rasormé d Fourir appliqué à u sigal discr x[] dvi doc : X() = + - jπ F - x[] i c séri covrg, la rasormé d Fourir ivrs s déii par : x[] = F/ F F/ X() jπ F Rmarqus : O vérii bi qu X() s u ocio périodiqu d périod F (à caus d l échailloag). i o rmplac par ( + k.f ) : ( ) +k.f k.f - jπ - jπ - jπ - jπ F F F F = + = 4.. Propriéés x[] X(F) Liéarié α.x() + β.y() α.x() + β.y() raslaio x(- k ) jπ F X() jπ x() X(- ) Covoluio x() y() () i R() s() i r() () R() k

23 4. rasormé d Fourir discrè 4.. Fêrag Avc u ordiaur, il s impossibl d calculr la rasormé d Fourir d u sigal discr. E il audrai u mps u mémoir iiis Pour cs raisos, o s oujours amé à ravaillr avc u ombr ii d pois N. Cla rvi à dir qu ls sigaux xploiés umériqum so oujours u rocaio d sigaux réls. O cosruira doc u sigal roqué x []. Il résul d la muliplicaio ds échaillos d x[] par u êr d'aalys (ou cor êr d rocaur) qui limira x [] à N échaillos. E praiqu, o calcul doc : X () = N- - jπ F x [] = La êr d aalys s déii par u sui d échaillos y[] ls qu : x [] = y[].x[] pour ( N-) x[] = pour < > ( N-) Mais l ai d roqur u sigal pu oablm acr so spcr. Exmpl : rocaio d u siusoïd par u êrag rcagulair. oi x() = cos ( π ) y() = rc O sai qu X( ) = [ δ(- )+δ(+ ) ] Doc si o cu la rocaio d x() sur u duré : x = x y x() qu y( ) =sic() ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) X = X Y F X() / - y() Y() -/ / x () X () / / -

24 Rmarqus : O cosa qu l ai d roqur l sigal d à élargir ls rais cous das l spcr. Plus la êr sra larg, plus ls rais sro érois dro vrs ls Dirac origiaux. O l coçoi aisém das l domai mporl puisqu plus la êr s larg plus l sigal roqué s rapproch du sigal d origi. i o cosrv qu u périod (viro) d la siusoïd, ls dux sius cardiaux s chvauchro bi ava d avoir ai ds ampliuds égligabls. Aisi, plus o voudra u résoluio impora réquc plus il audra cosrvr u ombr impora d périods mporlls du sigal à aalysr La qualié d la rprésaio spcral sra d'aua plus grad qu la périod d'acquisiio sra logu. La êr rcagulair 's pas orcém la millur. Das l domai mporl, ll irromp brusqum l sigal à cs xrémiés gééra ariicillm ds haus réqucs. Das l domai réquil, la ocio sic a ds lobs o égligabls loi d = qui déorm l spcr. Ai d compsr cs déaus, ou u séri d êrs o éé imagiés. Aucu 's idéal, ous o lurs qualiés déaus suiva ls applicaios voulus. Par xmpl, la êr d Haig prés das l domai réquil ds lobs scodairs qui dvi vi égligabls, mais au prix d'u lob pricipal plus larg. Aisi, l spcr sra mois précis au voisiag d mais mois bruié das ls haus réqucs. y() F Y() -/ / Echailloag réquc E ai, lorsqu l o vu pouvoir rprésr l spcr X (), il au calculr X () pour ous ls valurs d ( s u variabl coiu). Cci s impossibl avc u ordiaur ou u DP qui puv rair qu ds valurs d discrès. Comm X () s périodiqu d périod F, o découp doc c irvall M paris égals o calcul X () qu pour ls mulipls d F /M : o cu u échailloag réquil d pas = F /M. O rmplac doc par l calcul d la rasormé d Fourir dvi : N-.k. - jπ pour k = [,,,., M-] = F [ ] X k = x [] [ ] N-.k - jπ M pour k = [,,,., M-] = X k = x [] O vi aisi d'iroduir la rasormé d Fourir discrè. L problèm résid das l choix du pas d échailloag réquc doc du choix d M. E, l ai d échaillor réquc rvi à périodisr das l domai mporl la pari du sigal qui a éé roqué : F - k r [ ] ( ) X k = X ().δ k. r x ().δ -

25 Aisi, suiva l choix d, plusiurs cas puv s présr lors d la rcosiuio du sigal das l domai mporl à parir d so spcr échailloé : > / : La résoluio spcral s rop grad. O a u rcouvrm das l domai mporl. C's u pu hao à l'vrs : si o choisi u résoluio spcral rop grad, o pu pas rcosiur l sigal das l domai mporl corrcm. x () rcouvrm < / : Il y aura plus d rplim mporl, mais ds irvalls dura lsquls l sigal do o calcul l spcr sra ul x () = / : O a u sigal périodiqu idéal. O périodis la êr mporll choisi ava l calcul spcral. x () E praiqu, o choisira doc oujours d ll sor à avoir = /. F Comm =N. = F, o dédui qu = M = N M M N. : Aisi, la déiiio d la rasormé d Fourir discrè dvi : [ ] N-.k - jπ N pour k = [,,,., N-] = X k = x [] Rmarqus : A F ix, plus la duré d acquisiio sra logu plus la résoluio réquc sra i. A N ix, plus F sra impora plus la codiio d hao sra rspcé mais mois la résoluio réquc sra i la duré d acquisiio logu.

26 4.3 Noio d rasormé d Fourir rapid Pour obir u valur pariculièr d X [k], il au par xmpl : Pour = : X[ k ] = ( x [] cos( ) - x [] jsi( ) ) produis complxs somm complxs Pour = : πk πk X[ k ] = ( x [] cos( ) - x [] jsi( ) ) + x [] cos - x [] jsi N N 4 produis complxs 3 somms complxs Pour = N- : N produis complxs (N-) somms complxs Aisi, pour obir ls N valurs d X [k] il au doc N muliplicaios (N-)N addiios. Par xmpl, u sigal où N=4 échaillos (soi ko mémoir si chaqu échaillo s codé sur 8 bis), l ombr d muliplicaios s d 97 5 clui ds addiios d 95 4!!!! O arriv rès vi à ds mps d calcul rès logs. i cs durés so pas gêas pour ds raim mps diéré, il s pas d mêm mps rél. E, plus l mps d calcul sra impora plus la réquc maximal du sigal à aalysr sra rédui (hao). Pour pouvoir uilisr la rasormé d Fourir discrè mps rél, o dispos d algorihms d calcul prma d obir ls résulas baucoup plus rapidm sous crais codiios. Cs algorihms so cous sous l om d rasormé d Fourir Rapid (FR) ou Fas Fourir rasorm (FF). L'algorihm l plus cou s clui d Cooly-ucky Présaio à l algorihm d Cooly-ucky O pos : [ ] X k = N- = x[].w k N avc WN = - jπ N Propriéés d W N : - jπk k N N/ - jπ(k+n/) k+n/ N N k N/ W = = W W = = W k N La codiio d uilisaio s d avoir u ombr d échaillos puissac d : N= m i o cu u dédoublm mporl sépara ls idics pairs impairs : x [ ] = x[ ] x [ ] = x[ +] E xploia ls propriéés d W N, o rouv alors : Pour [ ] [ ] [ ] k Xk=Xk+W.Xk N N k - N k X k + =X k W N.X k [ ] [ ] Rmarqus : L coû d calcul pass d l ordr d N à N log (N).

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28 Ax : rasormé d Fourir d u pig d Dirac δ ()= k - δ(- k) La décomposiio séri d Fourir do : jπ - - df δ () = = jπ avc / jπ d où = δ(- k ) d - k - / - sur,, δ ()=pour = aillurs. jπ doc = = = doc la décomposiio séri d Fourir du pig d Dirac vau : jπ jπ df δ () = = - - jπ Comm F = δ(+ ) : / jπ = s() d - / F[ δ () ] = δ(- k ) k - La rasormé d Fourir d'u pig d Dirac ( mps) s u pig d Dirac ( réquc). δ () F[δ ()] / F

29 Ax : rasormé d Fourir d la ocio por pour < rc ( )= pour > La rasormé d Fourir do : + / jπ jπ F rc( ) = rc( ) d = d d où - -/ jπ jπ/ jπ/ F rc( ) = = -jπ jπ / -/ commsic() = jπ jπ F rc( ) = = si(π ) π j π si ( π) π F rc( ) = sic() La rasormé d Fourir d u ocio por s u sius cardial. rc(/) sic() F -/ /