Polynômes et fractions rationnelles

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1 Polyômes et fractios ratioelles Exercice. Factoriser das R[X] et das C[X] le polyôme P = X 8 X 4 Allez à : Correctio exercice Exercice. Soit P = X 8 Factoriser P das C[X], puis das R[X] et efi das Q[X] Allez à : Correctio exercice Exercice 3. Soit P = (X ) 7 X 7. O ote j = e iπ 3. Motrer que j = j. Motrer que j est ue racie multiple de P. 3. Trouver deux racies réelles évidetes de P. 4. Factoriser P e facteurs irréductibles das C[X] et puis das R[X]. Allez à : Correctio exercice 3 Exercice 4. Détermier les racies réelles et complexes du polyôme : P(X) = X 5 X 4 X 3 X X E déduire sa factorisatio das C[X] et das R[X]. Allez à : Correctio exercice 4 Exercice 5. Soit P = X 7 X 6 X 5 X 4 X 3 X X. Factoriser P das C[X].. Factoriser P das R[X]. 3. Factoriser P das Q[X]. Allez à : Correctio exercice 5 Exercice 6. Détermier les racies réelles et complexes du polyôme : E déduire sa factorisatio das C[X] et das R[X]. Allez à : Correctio exercice 6 P(X) = 3 X5 6 X4 8 X3 4 X X Exercice 7. Soit P R[X] défii par P = X 4 X 3 X X. Détermier les racies de P.. Factoriser P das C[X], puis das R[X]. Allez à : Correctio exercice 7 Exercice 8. Factoriser das C[X], puis das R[X] le polyôme

2 Allez à : Correctio exercice 8 P = X 5 X 4 X 3 X X Exercice 9.. Soit P = X 3 X X u polyôme. Factoriser ce polyôme das R[X] et das C[X].. Soit Détermier les racies réelles et complexes de P. Allez à : Correctio exercice 9 P = X X ( ) X = ( ) k X k k=0 Exercice 0. Factoriser sur R et sur C le polyôme Idicatio : P(X) = X X 4 X 6 Allez à : Correctio exercice 0 P(X) = X 6 X 4 X Exercice. Soit P = X 4 4 X 3 X 4 4. Motrer que est ue racie multiple de P.. E déduire la factorisatio de P das R[X], puis das C[X]. Allez à : Correctio exercice Exercice. Soit P = X 6 X 5 4X 4 4X 3 4X X O pose j = e iπ 3. Motrer que j est ue racie multiple de P.. Factoriser P das C[X]. 3. Factoriser P das R[X]. Allez à : Correctio exercice Exercice 3. Soit P R[X] défii par P = X 8 X 6 3X 4 X. Motrer que j = e iπ 3 est ue racie multiple de P.. E remarquat que P est u polyôme pair, doer toutes les racies de P aisi que leur multiplicité. 3. Factoriser P das C[X], puis das R[X]. Allez à : Correctio exercice 3 Exercice 4. Soit P = X 3 3X 6X 3j. Motrer que j est ue racie double de P. Factoriser P das C[X] Allez à : Correctio exercice 4

3 Exercice 5.. Détermier les racies réelles et complexes de (X ) 6 X 6. Soit a R et soit P R[X] défii par P = (X ) 7 X 7 a Détermier a pour que P admette ue racie réelle multiple. Allez à : Correctio exercice 5 Exercice 6.. Le polyôme A = X 4 3X, est-il irréductible das R[X]?. Le polyôme B = X 3 3X, est-il irréductible das R[X]? Allez à : Correctio exercice 6 Exercice 7. Détermier les réels a, b et c tels que P = X 5 X 4 6X 3 ax bx c soit factorisable par Q = (X )(X 3) Allez à : Correctio exercice 7 Exercice 8. Pour N, motrer que le polyôme A = (X ) X est divisible par B = X X Allez à : Correctio exercice 8 Exercice 9. Soit P = (X ) X O pose a [6] avec a {0,,,3,4,5} Pour quelles valeurs de, j = e iπ 3 est-il racie de P? O pourra discuter selo les valeurs de a. Allez à : Correctio exercice 9 Exercice 0. Détermier le reste de la divisio euclidiee de (X ) par X. Allez à : Correctio exercice 0 Exercice. Quel est le reste de la divisio euclidiee de P = X X par Q = (X )? Allez à : Correctio exercice Exercice. Quelle est le reste de la divisio euclidiee de X par (X ) Allez à : Correctio exercice Exercice 3. Soit R R[X] le reste de la divisio euclidiee de (X ) par (X ). Détermier R. Allez à : Correctio exercice 3 Exercice 4. Quel est le reste de la divisio euclidiee de A = X X b par B = (X a), pour N,. 3

4 Allez à : Correctio exercice 4 Exercice 5. Détermier le reste das la divisio euclidiee de A = X X par B = X Allez à : Correctio exercice 5 Exercice 6.. Motrer que pour tout N, X 4 est divisible par X 4.. E déduire que le polyôme P = X 4a3 X 4b X 4c X 4d avec a, b, c et d etiers aturels est divisible par Q = X 3 X X. Allez à : Correctio exercice 6 Exercice 7. O pose P(X) = X 3 63X 6 Sachat que l ue des racies de ce polyôme est le double d ue autre racie, trouver les trois racies de P. Idicatio : O pourra utiliser les relatios etre les racies et les coefficiets du polyôme. Allez à : Correctio exercice 7 Exercice 8. Soit P = X 3 px q u polyôme de C[X], o ote α, β et γ ses racies.. Calculer A = α β γ.. Calculer B = α 3 β 3 γ Calculer C = α β αβ α γ αγ β γ βγ. 4. O pose D = α 3 β αβ 3 α 3 γ αγ 3 β 3 γ βγ 3 Calculer D e foctio de p. Allez à : Correctio exercice 8 Exercice 9. Soit P C[X] P = X 4 5X 3 9X 5X 8 O rappelle les relatios etre les racies (α, β, γ et δ) et les coefficiets d u polyôme uitaire de degré 4 : P = X 4 ax 3 bx cx d α β γ δ = a αβ αγ αδ βγ βδ γδ = b ( ) { αβγ αβδ αγδ βγδ = c αβγδ = d. Résoudre x y = 5 { xy = 6. Soit P = X 4 5X 3 9X 5X 8 Ecrire le système ( ) pour ce polyôme et o appellera α, β, γ et δ ses racies 3. Sachat que αβ = 6 trouver toutes les racies de P 4. E déduire la factorisatio de P das R[X] et C[X]. Allez à : Correctio exercice 9 Exercice 30. Soit P C[X] u polyôme tel que XP(X ) = (X )P(X). Motrer que 0 et sot racies de P.. Soit a ue racie de P. Si a 0, motrer que a est racie. Si a, motrer que a est racie. 3. O suppose que P est pas le polyôme ul. Motrer que 0 et sot les seules racies de P. 4

5 Idicatio : S il existe ue racie a telle que Re(a) < différete de 0 (a 0), motrer qu il y a ue ifiité de racies. S il existe ue racie a telle que Re(a) > 0 différete de (a ), motrer qu il y a ue ifiité de racies. 4. E déduire que P est de la forme αx k (X ) l avec α C[X], k N et l N. 5. Quel est l esemble des polyômes de P C[X] tels que XP(X ) = (X )P(X). Allez à : Correctio exercice 30 Exercice 3. Effectuer la divisio suivate les puissaces croissates de X 4 X 3 X par X X à l ordre. Allez à : Correctio exercice 3 Exercice 3. (Hors programme) O cosidère le couple de polyôme à coefficiets réels P = X 3 X X et Q = X 3. Utiliser l algorithme d Euclide pour calculer le PGCD(P, Q).. Décomposer P et Q e facteurs irréductibles das R[X]. 3. Retrouvez le résultat de la questio. 4. Décomposer P e facteur irréductible das C[X]. Allez à : Correctio exercice 3 Exercice 33. (Hors programme) Soiet P = X 5 X 4 6X 3 X X 6 et Q = X 4 X 3 X Détermier le PGCD de P et Q et e déduire les racies commues de P et Q. Allez à : Correctio exercice 33 Exercice 34. (Hors programme) Détermier les P.G.C.D. des polyômes A = X 5 X 4 X 3 X X et B = X 4 3X 3 3X E utilisat l algorithme d Euclide. E déduire les factorisatios de A et B das R[X]. Allez à : Correctio exercice 34 Exercice 35. (Hors programme) Détermier ue idetité de Bézout etre les polyômes P = (X ) et Q = X. Allez à : Correctio exercice 35 Exercice 36. (Hors programme). Détermier ue idetité de Bézout etre les polyômes P = X 4 X 3 X et Q = X 4 X 3 3X X. E déduire les racies commues de P et Q. Allez à : Correctio exercice 36 Exercice 37. (Hors programme) Soit P = X 5 X 4 X 3 X X. Calculer le PGCD de P et P.. Quelles sot les racies commues à P et P? Quelles sot les racies multiples de P das C? 3. Motrer que (X ) divise P. 5

6 4. Factoriser P das R[X]. Allez à : Correctio exercice 37 Exercice 38. Pour tout polyôme P R[X] o désige par P(X ) le polyôme obteu e remplaçat X par X das P.. Existe-t-il des polyômes P R[X] de degré 3 tels que P(0) =?. Si P R[X] est u polyôme de degré 3, quel est le degré du polyôme P(X ) P(X)? 3. Existe-t-il des polyômes P R[X] de degré trois qui vérifiet : P(X ) P(X) = X et P(0) = (Idicatio : O pourra dériver le polyôme P das l équatio ci-dessus.) Allez à : Correctio exercice 38 Exercice 39. (Hors programme) Soit u etier strictemet positif.. Détermier le pgcd des polyômes X et (X ).. Pour = 3 démotrer qu'il existe u couple de polyômes (U, V) tel que : (X 3 )U (X ) 3 V = X Doez-e u. Allez à : Correctio exercice 39 Exercice 40. (Hors programme). Détermier le PGCD et ue idetité de Bézout des polyômes P et Q. P = (X 3X )(X ) = X 4 3X 3 3X 3X Q = (X 3X )(X ) = X 4 3X 3 3X 3X. Factoriser P et Q. Allez à : Correctio exercice 40 Exercice 4. (Hors programme) Soit (X ) A (X ) B = (E). Trouver ue solutio particulière A 0, B 0 R[X] de (E).. E déduire toutes les solutios de (E). 3. Détermier tous les polyômes P tels que P soit u multiple de (X ) et que P soit u multiple de (X ). Allez à : Correctio exercice 4 Exercice 4. (Hors programme) Soiet P et Q deux polyômes défiis par : P(X) = X 6 X 4 X et Q(X) = X 4 X 3 X Détermier le PGCD de P et Q et e déduire les racies commues de P et Q aisi que leur multiplicité. Allez à : Correctio exercice 4 Exercice 43. Quels sot les polyômes de C[X] tels que P divise P. Allez à : Correctio exercice 43 Exercice 44. Soit P(X) = X 4 3X 3 3X 3X 6

7 O pose Y = X X. Motrer qu il existe u polyôme Q, de degré tel que Q(Y) = P(X) X.. Calculer les racies de Q. 3. E déduire les racies de P, puis la factorisatistio de P das R[X] et das C[X]. Allez à : Correctio exercice 44 Exercice 45. Soit θ R, o suppose que si(θ) 0.. Détermier toutes les racies du polyôme. Motrer que toutes les racies sot réelles. Allez à : Correctio exercice 45 P = ( ) si(kθ) Xk k Exercice 46. Décomposer e élémets simples la fractio ratioelle das R(X) : F(X) = 6X3 3X 5 X 4 Allez à : Correctio exercice 46 Exercice 47. Décomposer la fractioelle suivate e élémets simples das R(X). F = X X (X ) Allez à : Correctio exercice 47 k= Exercice 48. Décomposer e élémets simples la fractio ratioelle : Allez à : Correctio exercice 48 F(X) = X4 X (X )(X ) Exercice 49. Décomposer e élémets simples sur R les fractios ratioelles suivates :. F(X) = X X (X ) (X ). X 3 G(X) = (X )(X ) Allez à : Correctio exercice 49 Exercice 50. Décomposer e élémets simples la fractio ratioelle :. Das R(X). Das C(X) F(X) = 6X3 3X 5 X 4 7

8 Allez à : Correctio exercice 50 Exercice 5. Soit F = 3 (X X )(X ) Décomposer F e élémets simples das R(X), das C(X). Allez à : Correctio exercice 5 Exercice 5. Décomposer la fractio ratioelle suivate das R(X). X F = (X ) 00 Allez à : Correctio exercice 5 Exercice 53. Décomposer la fractio ratioelle suivate e élémets simples. F = X8 X X 4 (X ) 3 Allez à : Correctio exercice 53 Exercice 54. Décomposer la fractio suivate e élémets simples das R(X). X 4 F = X (X X ) Allez à : Correctio exercice 54 Exercice 55. Décomposer la fractio ratioelle suivate das R(X) et das C(X) X 5 G = (X 4 ) Allez à : Correctio exercice 55 Exercice 56.. Soit F = P. Si α C est ue racie simple de Q, motrer que le coefficiet de l élémet simple est Q X α P(α). Q (α). Décomposer das C(X) la fractio F = X X Allez à : Correctio exercice 56 Exercice 57. O cosidère le polyôme P = X 5 X 3 X. Factoriser P das R[X] et das C[X]. Décomposer la fractio X e élémets simples das R(X) P Allez à : Correctio exercice 57 8

9 CORRECTIONS Correctio exercice. Das R[X] P = (X 8 X 4 ) = (X 4 ) = (X ) (X ) = (X ) (X ) (X ) Das C[X] P = (X ) (X ) (X i) (X i) Allez à : Exercice Correctio exercice. Première méthode P(X) = X 8 = ( X 4 )( X 4 ), ( X 4 ) se décompose facilemet e ( X)( X)(i X)(i X) = (X )( X)(X i)(x i), mais pour décomposer X 4, c est beaucoup plus délicat, il faut utiliser ue boe ruse, allos-y X 4 = X X 4 X = ( X ) ( X) = ( X X)( X X) X X = X X et X X = X X sot deux polyômes irréductibles das R[X] car leur discrimiat sot égatifs. la décompositio de P(X) das R[X] est : P(X) = (X )( X)(X )(X X )(X X ) Pour la décompositio das C[X] il suffit de trouver les racies complexes de X X et X X Le discrimiat de X X est Δ = ( ) 4 = = (i ), ses racies sot X = i = e iπ 4 et X = i = e iπ 4. Le discrimiat de X X est Δ = ( ) 4 = = (i ), ses racies sot X 3 = i = e 3iπ 4 et X 4 = i = e 3iπ 4. P(X) = (X )( X)(X i)(x i) (X i ) (X i ) (X i ) (X i ) Deuxième méthode O cherche les racies réelles et complexes de X 8 = 0 X 8 = X k = e ikπ 8 = e ikπ 4 avec k {0,;,3,4,5,6,7} Ce qui doe X 0 =, X = e iπ 4, X = e iπ e 3iπ = i, X 7 = e 7iπ 4 = e iπ 4 La décompositio das C[X] est : = i, X 3 = e 3iπ 4, X 4 = e iπ =, X 5 = e 5iπ 4 = e 3iπ 4, X 6 = P(X) = (X ) (X e iπ 4 ) (X i) (X e 3iπ 4 ) (X ) (X e 3iπ 4 ) (X i) (X e iπ 4 ) Pour la décompositio das R[X], o regroupe les cojugués P(X) = (X )( X)(X i)(x i) (X e iπ 4) (X e iπ 4) (X e 3iπ 4) (X e 3iπ 4) 9

10 P(X) = (X )( X)(X ) (X (e iπ 4 e iπ 4) X e iπ 4e iπ 4) (X (e 3iπ 4 e 3iπ 4) X e 3iπ 4e 3iπ 4) = (X )(X )(X ) (X cos ( π 4 ) X ) (X cos ( 3π ) X ) 4 = (X )(X )( X ) (X X ) (X X ) = (X )(X )( X )(X X )(X X ) Das Q[X] o regroupe les deux deriers polyômes Allez à : Exercice P(X) = (X )(X )( X )(X X)(X X) = (X )(X )( X ) ((X ) ( X) ) = (X )(X )( X )(X 4 ) Correctio exercice 3.. j = ( i 3 ) = i 3 = ( i 3 ) = e4iπ 3 = (e iπ 3 ) = j Ou mieux Car j 3 = (e iπ 3 3 ) = e iπ =. j j = j3 j = 0. P(j) = (j ) 7 j 7 = ( j ) 7 j 6 j = j 4 j j j j = (j j ) = 0 P = 7(X ) 6 7X 6 P (j) = 7((j ) 6 j 6 ) = 7(( j ) 6 ) = 7(j ) = 7( ) = 0 j est au mois racie double. 3. P(0) = (0 ) = 7 = 0 et P( ) = ( ) 7 ( ) 7 = 0 ( ) = 0 0 et sot deux racies évidetes. 4. Le début de la formule du biôme de (X ) 7 est X 7 7X 6 (il y a plei d autre terme mais il est iutile de les calculer) doc P est u polyôme de degré 6 et so coefficiet domiat est 7. D autre part, j est racie double (au mois) doc j = j est aussi racie double (au mois) car P est u polyôme à coefficiets réels. 0 et sot aussi racie, cela doe 6 racie (au mois), comme d P = 6 o a toutes les racies. La factorisatio das C[X] est : P = 7X(X )(X j) (X j) Das R[X] : (X j)(x j) = (X j)(x j ) = X (j j )X j 3 = X X Allez à : Exercice 3 P = 7X(X ) ((X j)(x j)) = 7X(X )(X X ) Correctio exercice 4. X 6 P(X) = X X X 3 X 4 X 5 = 0 { Or X 6 = X k = e ikπ 6 = e ikπ 3 avec k {0,;,3,4,5} X = 0 X { X6 = 0 X { X6 = X Ce qui doe X 0 =, X = e iπ 3 = j = j, X = e iπ 3 = j, X 3 = e iπ =, X 4 = e 4iπ 3 = j, X 5 = e 5iπ 3 = j 0

11 Les 5 racies de P sot X = j, X = j, X 3 =, X 4 = j et X 5 = j. La décompositio das C[X] est : P(X) = (X j )(X j)(x )(X j )(X j) = (X j )(X j)(x )(X j )(X j) La décompositio das R[X] est : P(X) = (X )(X j)(x j )(X j )(X j) = (X )(X (j j )X j 3 )(X (j j )X j 3 ) = (X )(X X )(X X ) Allez à : Exercice 4 Correctio exercice 5.. Pour X P = X X X 3 X 4 X 5 X 6 X 7 = X8 X Les racies de P vérifiet { X8 = X { X k = e ikπ 8, k {0,,,3,4,5,6,7} X {,,3,4,5,6,7} X = e iπ 4, X = e iπ e iπ 4. O rappelle que 3. X k = e ikπ 4, k = i, X 3 = e 3iπ 4, X 4 = e iπ =, X 5 = e 5iπ 4 = e 3iπ 4, X 6 = e 3iπ = i et X 7 = e 7iπ 4 = P = (X e iπ 4 ) (X i) (X e 3iπ 4 ) (X ) (X e 3iπ 4 ) (X i) (X e iπ 4 ) (X e iθ )(X e iθ ) = X cos(θ) P = (X )(X i)(x i) (X e iπ 4 ) (X e iπ 4 ) (X e 3iπ 4 ) (X e 3iπ 4 ) = (X )(X ) (X cos ( π 4 ) X ) (X cos ( 3π ) X ) 4 = (X )(X )(X X )(X X ) P = (X )(X )(X X)(X X) = (X )(X ) ((X ) ( X) ) Allez à : Exercice 5 Correctio exercice 6. = (X )(X )(X 4 X X ) = (X )(X )(X 4 ) P(X) = ( X ) (X ) ( X 3 ) ( X 4 ) ( X 5 ) = 0 6 { (X ) = X Or ( X )6 = X k = e ikπ 6 = e ikπ 3 avec k {0,,,3,4,5} doc X k = e ikπ 3 Ce qui doe X 0 =, X = e iπ 3 ( X 6 ) X 6 = 0 { (X ) = 0 X { X = j = j, X = e iπ 3 = j, X 3 = e iπ =, X 4 = e 4iπ 3 = j, X 5 = e 5iπ 3 = j Les 5 racies de P sot X = j, X = j, X 3 =, X 4 = j et X 5 = j. O a elevé X =.

12 La décompositio das C[X] est : P(X) = 3 (X j )(X j)(x )(X j )(X j) La décompositio das R[X] est : = (X j )(X j)(x )(X j )(X j) P(X) = 3 (X )(X j)(x j )(X j )(X j) = 3 (X )(X (j j )X 4j 3 )(X (j j )X 4j 3 ) Allez à : Exercice 6 = 3 (X )(X X 4)(X X 4) Correctio exercice 7.. P = ( X) ( X) ( X) 3 ( X) 4 = ( X)5 ( X) = X5 X Pour X Les racies vérifiet { X5 = X5 = X = X = 0 { arg(x 5 ) = π kπ, k Z { 5 arg(x) = (k )π, k Z X X X = { arg(x) = k π, k {0,,,3,4} {X = e k 5 iπ, k {0,,,3,4} 5 X X X 0 = e iπ 5 ; X = e 3iπ 5 ; X = e 5iπ 5 = ; X 3 = e 7iπ 5 = e 3iπ 5 ; X 4 = e iπ 5 O élimie X 3 =. Das C[X] P = (X e iπ 5 ) (X e iπ 5 ) (X e 3iπ 5 ) (X e 3iπ 5 ) Das R[X] Allez à : Exercice 7 Correctio exercice 8. P = (X X cos ( π 5 ) ) (X X cos ( 3π 5 ) ) P = X X X 3 X 4 X 5 = ( X) ( X) ( X) 3 ( X) 4 ( X) 5 = ( X)6 ( X) Pour X = X6 X P = 0 { X6 = X { X = e ikπ 6 k {0,,,3,4,5} X {0,,,4,5} Car pour k = 3, X 3 = e iπ = Ce polyôme admet ciq racies {X = e ikπ 3 k {0,,,3,4,5} X = e ikπ 3 k X X 0 = e 0 = ; X = e iπ 3 ; X = e iπ 3 ; X 4 = e 4iπ 3 = X et X 5 = e 5iπ 3 = X la factorisatio das C[X]

13 P = (X ) (X e iπ 3 ) (X e iπ 3 ) (X e iπ 3 ) (X e iπ 3 ) Le sige viet du coefficiet devat le terme de plus haut degré das P. Et das R[X] P = (X ) (X cos ( π 3 ) X ) (X cos ( π ) X ) 3 Allez à : Exercice 8 = (X )(X 3X )(X 3X ) Correctio exercice 9.. P = X ( X ) ( X ) = (X )(X ) das R[X] P = (X )(X i)(x i) das C[X]. Si X. P = ( X) k k=0 Les racies de P vérifie X () = et X. Allez à : Exercice 9 Correctio exercice 0. Pour X P(X) = 0 { ( X) = X = ( X)() ( X) { X = e ikπ, k {0,,, } X X = e ikπ, k {,, } = ( X) X P(X) = X (X ) (X ) 3 = (X ) 4 X = X8 X {X = e ikπ, k {0,,, } X P(X) = 0 { X8 = X { X = e ikπ 8, k {0,,,3,4,5,6,7} {X = e ikπ 4, k {0,,,3,4,5,6,7} X X ± X ± = e ikπ 4, k {,,3,5,6,7} Car pour k = 0, e ikπ 4 = et pour k = 4, e ikπ 4 = e iπ = Les racies de P sot : X = e iπ 4 ; X = e iπ 4 = i; X 3 = e 3iπ 4 ; X 5 = e 5iπ 4 = e 3iπ 4 ; X 6 = e 6iπ 4 = i et X 7 = e 7iπ 4 = e iπ 4 La factorisatio das C[X] est : P(X) = (X e iπ 4 ) (X e iπ 4 ) (X i)(x i) (X e 3iπ 4 ) (X e 3iπ 4 ) Et das R[X] : P(X) = (X cos ( π 4 ) X ) (X ) (X cos ( 3π ) X ) 4 Allez à : Exercice 0 = (X X )(X )(X X ) Correctio exercice.. P ( ) = = = P = 4X 3 X 3 4 = 0 3

14 P ( ) = = = 0 est au mois racie double (par coséquet racie multiple).. D après la questio précédete P est divisible par (X ) = X X 4 X 4 4 X 3 X X X X 4 X 3 4 X X X X X 4 X 3 X 4 X X X 4 Par coséquet X X 4 0 P = (X X 4 ) (X X ) = (X ) (X X ) Comme le discrimiat de X X est strictemet égatif, il s agit de la décompositio das R[X] Les deux racies de X X sot bie coues, il s agit de j et j (où alors o les recalcule), ce qui etraie que la décompositio das C[X] est Allez à : Exercice P = (X ) (X j)(x j ) Correctio exercice.. P(j) = j 6 j 5 4j 4 4j 3 4j j = j 4j 4 4j j = 6j 6j 6 = 6(j j ) = 0 P = 6X 5 0X 4 6X 3 X 8X P (j) = 6j 5 0j 4 6j 3 j 8j = 6j 0j 6 j 8j = 8j 8j 8 = 8(j j ) = 0 j est racie double, comme P est u polyôme à coefficiets réels, j est aussi racie double. O peut essayer de voir si j e serait pas racie triple (mais cela e marche pas).. Soit o a l ituitio de voir que i est racie (et que doc i est aussi racie), soit o e le voit pas et il faut diviser P par (X j) (X j) = ((X j)(x j)) = (X X ) = X 4 X X 3 X X = X 4 X 3 3X X X 6 X 5 4X 4 4X 3 4X X X 4 X 3 3X X X 6 X 5 3X 4 X 3 X X X 4 X 3 3X X X 4 X 3 3X X 0 3. Allez à : Exercice P = (X j) (X j) (X i)(x i) P = (X X ) (X ) 4

15 Correctio exercice 3.. P(j) = j 8 X 6 3j 4 j = j 3j j = 3j 3j 3 = 3(j j ) = 0 j est ue racie de P P = 8X 7 X 5 X 3 4X P (j) = 8j 7 j 5 j 3 4j = 8j j 4j = j j = (j j ) = 0 j est racie au mois double, j est doc ue racie multiple.. Comme P est pair, j est aussi ue racie double, ce polyôme est à coefficiets réels doc j = j est racie double et j = j est aussi racie double, cela fait 8 racies e tout (e comptat la multiplicité de racies), comme ce polyôme est degré 8, o les a toutes. Le coefficiet domiat est, o e déduit la factorisatio das C[X] P = (X j) (X j ) (X j) (X j ) Das R[X] P = [(X j)(x j )] [(X j)(x j )] = [X X ] [X X ] Allez à : Exercice 3 Correctio exercice 4.. P(j) = j 3 3j 6j 3j = 3j 6j 3j = 3j 3j 3 = 3(j j ) = 0 P = 6X 6X 6 P (j) = 6j 6j 6 = 6(j j ) = 0 j est ue racie double de P.. La somme des racies de P est 3, si o appelle α la troisième racie o a α j = 3 α = 3 j = 3 ( i 3 ) = i 3 Allez à : Exercice 4 Correctio exercice 5.. P = (X j) (X i 3) (X ) 6 = X 6 ( X 6 X ) = Il est clair que 0 est pas racie. Mais attetio (X ) 6 X 6 est u polyôme de degré 5 (X ) 6 = X 6 ( X 6 X ) = X X = eikπ 6, k {0,,,3,4,5} La racie «e trop» est celle qui aurait vérifié X = qui a pas de solutio, o elève doc k = 0. X = eikπ 6, k {,,3,4,5} X = eikπ 3, k {,,3,4,5} X = X = Les ciq racies sot e ikπ 3 (e ikπ 3 ) (e ikπ 3 ) X, k {,,3,4,5} e ikπ, k {,,3,4,5} 3 5

16 X k = e ikπ 3 (e ikπ 3 ) (e ikπ 3 ) cos ( kπ 3 ) i si (kπ 3 ) = cos ( kπ 3 ). Pour que P admette ue racie multiple réelle (doc au mois double), P et P ot ue racie réelle commue. P = 7(X ) 6 7X 6 Les racies réelles et complexes de P vérifiet (X ) 6 X 6 = 0 O cherche les racies réelles doc si ( kπ ) = 0 ce qui équivaut à k = 0 (mais o a élimié ce cas) et 3 k = 3 X 3 = cos(π) cos(π) = 4 = P ademt ue racie double si et seulemet si P ( ) = 0. Et alors P ( ) = 0 ( 7 ) ( 7 ) a = a = 0 a = 7 = 6 Allez à : Exercice 5 P = (X ) 7 X 7 6 Correctio exercice 6.. La répose est o car les seuls polyômes irréductibles sot les polyômes de degré et les polyômes de degré qui ot pas de racies réelles. La questio e demade pas de factoriser ce polyôme.. Les limites de la foctio polyômiale défiie par B(x) = x 3 3x e vaut et e vaut, cette foctio est cotiue, doc le théorème des valeurs itermédiaires etraie qu il existe x 0 tel que B(x 0 ) = 0. B admet ue racie réelle. Ceci dit le même raisoemet qu au ) est valable aussi. Allez à : Exercice 6 Correctio exercice 7. P = X 5 X 4 6X 3 ax bx c est factorisable par Q = (X )(X 3) si et seulemet si, et 3 sot racies de P. P( ) = ( ) 5 ( ) 4 6 ( ) 3 a ( ) b ( ) c = 0 { P() = a b c = 0 P(3) = a 3 b 3 c = 0 6 a b c = 0 L a b c = 3 { 6 a b c = 0 L { a b c = (3 ) 9a 3b c = 0 L 3 9a 3b c = 8 L L etraie que b = 0 doc b = 5 Et L L etraie que a c = 4 doc a c = : L O remplace b = 5 das L 3 : 9a 5 c = 8 doc 9a c = 66 : L L L etraie que 8a = 64 doc a = 8 et doc c = 8 = 6 Fialemet P = X 5 X 4 6X 3 8X 5X 6 Allez à : Exercice 7 Correctio exercice 8. A est divisible par B si et seulemet si les racies de B sot aussi des racies de A. Le discrimiat de X X est Δ = 4 = 3 doc les deux racies de B sot : X = i 3 = j 6

17 X = i 3 = j Remarque : X X = 0 ( X) ( X) = 0 les racies du polyôme B vérifiet X = j ou X = j A ( j) = ( j ) ( j) = (j ) (j ) ( j) ( j) = j j 4 j j = 0 Comme A est u polyôme à coefficiets réels, j = j est aussi racie. O coclut que X X divisise (X ) X. Allez à : Exercice 8 Correctio exercice 9. Si = 6p Si = 6p Si = 6p Si = 6p 3 Si = 6p 4 Si = 6p 5 Allez à : Exercice 9 P (j) = (j ) j = ( j ) j = ( ) j j P 6p (j) = j p j 6p = = 0 P 6p (j) = j p j 6p = j j = 0 P 6p (j) = j p4 j 6p = j j = j 0 P 6p3 (j) = j p6 j 6p3 = = 3 0 P 6p4 (j) = j p8 j 6p4 = j j = j 0 P 6p5 (j) = j p0 j 6p5 = j j = 0 Correctio exercice 0. Il existe A, R R[X] tels que X X = A(X ) R ( ) Avec d R < doc il existe a, b R tels que R = ax b, ce qui etraie que R = a Preos X = 3 = R() = a b O dérive ( ) X = A (X ) A(X ) R O pred X = = a O e déduit que b = 3 a = 3 ( ) = Et fialemet R = ( )X Allez à : Exercice 0 Correctio exercice. Il existe u uique couple de polyôme (Q, R) R[X] tels que X = (X ) Q R avec d R. Il existe doc deux réels a et b tels que R = ax b X = (X ) Q ax b ( ) Pour X = = a b 7

18 Puis o dérive ( ) Pour X = b = et Allez à : Exercice X = (X )Q (X ) Q a = a R = X Correctio exercice. Or d R < et doc R = ax b. O pose X = i. (i ) = ai b ( ( i)) (X ) = (X )Q R = b ai ( ) (e iπ 4 ) = b ai ( ) e iπ 4 Allez à : Exercice = b ai ( ) (cos ( π 4 ) i si (π 4 )) = b ai { a = ( ) si ( π 4 ) R = ( ) si ( π 4 ) X ( ) cos ( π 4 ) b = ( ) cos ( π 4 ) Correctio exercice 3. Il existe u uique couple (Q, R) de polyômes, avec d R < tels que : (X ) = (X ) Q R Il existe a et b réels tels que R = ax b (X ) = (X ) Q ax b ( ) O pose X = = a b O dérive ( ) (X ) = (X )Q (X ) Q a O pose X = = a b = Fialemet R = X Allez à : Exercice 3 Correctio exercice 4. Il existe Q et R tels que : A = BQ R X X b = (X a) Q R Avec d R <. il existe α et β tels que : X X b = (X a) Q α X β () E dérivat o trouve X = (X a)[q (X a) Q ] α () O fait X = a das () et das (). 8

19 Allez à : Exercice 4 { a a b = α a β α a { = a = α β = a a b (a )a = ( )a b R = (a )X ( )a b Correctio exercice 5. Il existe Q et R tels que A = BQ R et d R < d B = doc degré de R est iférieur ou égal à o a alors R = ax b où a et b sot des réels. A(i) = B(i)Q(i) R(i) i i = ai b car B(i) = i = 0 Si = p i i = ai b i 4p i p = ai b ( ) p = ai b a = 0 { b = ( ) p R = ( ) p Si = p i i = ai b i 4p i p = ai b ( ) p i = ai b { a = ( )p b = 0 R = ( ) p X Allez à : Exercice 5 Correctio exercice 6.. Les quatre racies de X 4 = 0, c est-à-dire {, i,, i} vérifie X 4 = doc (X 4 ) = = 0 doc ces racies sot des racies de X 4, o peut mettre X 4 e facteur das ce polyôme.. Première méthode : D après la première questio il existe Q a, Q b, Q c et Q d tels que : X 4a = Q a (X 4 ) X 4a = Q a (X 4 ) X 4b = Q b (X 4 ) X 4b = Q b (X 4 ) X 4c = Q c (X 4 ) X 4c = Q c (X 4 ) X 4d = Q d (X 4 ) X 4d = Q d (X 4 ) P = X 4a3 X 4b X 4c X 4d = X 4a X 3 X 4b X X 4c X X 4d = (Q a (X 4 ) )X 3 (Q b (X 4 ) )X (Q c (X 4 ) )X Q d (X 4 ) = (X 4 )[Q a X 3 Q b X Q c X Q d ] X 3 X X = (X )(X 3 X X )[Q a X 3 Q b X Q c X Q d ] X 3 X X = (X 3 X X )((X )(Q a X 3 Q b X Q c X Q d ) ) Deuxième méthode : X 4 0 [X 4 ] X 4 [X 4 ] X 4a3 X 4b X 4c X 4d = X 4a X 3 X 4b X X 4c X X 4d X 3 X X [X 4 ] X 3 X X [X 4 ] il existe Q tel que X 4a3 X 4b X 4c X 4d = (X 4 )Q X 3 X X = (X 3 X X )((X )Q ) Allez à : Exercice 6 Correctio exercice 7. Les trois racies de P sot α, α et β, les relatios etre les racies et les coefficiets de P doet 9

20 α α β = 0 3α β = 0 β = 3α β = 3α { α α αβ αβ = 63 { α 3αβ = 63 { α 3α( 3α) = 63 { 7α = 63 α α β = 6 α β = 6 α ( 3α) = 6 6α 3 = 6 β = 3α { α β = 3α = 9 { α 3 α = 3 {β = 9 α = 3 = 7 Les trois racies de P sot 3, 6 et 9 Allez à : Exercice 7 Correctio exercice 8.. O rappelle que α β γ = 0, αβ αγ βγ = p et αβγ = q (α β γ) = α β γ (αβ αγ βγ) A = 0 p = p. α 3 pα q = 0 etraie que α 3 = pα q, idem pour β et γ. B = pα q pβ q pγ q = p(α β γ) 3q = 3q 3. C = αβ(α β) αγ(α γ) βγ(β γ) = αβ( γ) αγ( β) βγ( α) = 3αβγ = 3q 4. D = α 3 β αβ 3 α 3 γ αγ 3 β 3 γ βγ 3 = αβ(α β ) αγ(α γ ) βγ(β γ ) = αβ( p γ ) αγ( p β ) βγ( p α ) = p(αβ αγ βγ) αβγ αβ γ α βγ = p αβγ(γ β α) = p (q) 0 = p Allez à : Exercice 8 Correctio exercice 9.. Première méthode x et y sot les deux racies du polyôme X 5X 6 Le discrimiat vaut Δ = et les racies sot et 3 Secode méthode y = 5 x xy = 6 x(5 x) = 6 5x x = 6 0 = x 5x 6 = 0 x = ou x = 3 Si x = alors y = 5 = 3 et si x = 3 alors y = 5 3 =, doc les solutios sot et 3.. Le système ( ) deviet 3. α β γ δ = 5 αβ αγ αδ βγ βδ γδ = 9 { αβγ αβδ αγδ βγδ = 5 αβγδ = 8 0

21 α β γ δ = 5 α β γ δ = 5 6 αγ αδ βγ βδ γδ = 9 αγ αδ βγ βδ γδ = 3 { { 6γ 6δ αγδ βγδ = 5 6γ 6δ αγδ βγδ = 5 6γδ = 8 γδ = 3 α β γ δ = 5 L α β γ δ = 5 αγ αδ βγ βδ 3 = 3 L { αγ αδ βγ βδ = 0 { 6γ 6δ 3α 3β = 5 L 3 γ δ α β = 5 γδ = 3 L 4 γδ = 3 L α β γ δ = 5 L α β γ δ = 5 L αγ αδ βγ βδ = 0 L { αγ αδ βγ βδ = 0 { L 3 L γ δ = 0 L 3 γ = δ L 4 γδ = 3 L 4 γδ = 3 L α β = 5 L α β = 5 α β = 5 L δα αδ δβ βδ = 0 L { 0 = 0 { L 3 γ = δ L 3 γ = δ { γ = i 3 L 4 δ = 3 L 4 δ = ±i 3 δ = ±i 3 Comme α β = 5 et αβ = 6 alors α et β valet et 3 Les 4 racies sot, 3, i 3 et i 3 4. Das C[X] Das R[X] Allez à : Exercice 9 P = (X )(X 3)(X i 3)(X i 3) P = (X )(X 3)(X 3) Correctio exercice P( ) = (0 )P(0) 0 = P(0) P(0) = 0 P(0) = ( )P() P(0) = P() 0 = P() 0 et sot des racies de P.. Soit a 0 tel que P(a) = 0. ap(a ) = (a )P(a) ap(a ) = 0 P(a ) = 0 a est ue racie de P. Soit a tel que P(a) = 0. (a )P(a ) = (a )P(a ) (a )P(a) = (a )P(a ) 0 = (a )P(a ) P(a ) = 0, a est ue racie de P. 3. Supposos que P admette ue racie a telle que Re(a) < différete de 0 alors a est racie, a est différet de 0, doc a est aussi racie, o e déduit aisémet que pour tout k N, a k est racie de P, ce qui voudrait dire que P admettrait ue ifiité de solutio or u polyôme o ul admet u ombre fii de solutios. Supposos que P admette ue racie a telle que Re(a) > différete de alors a est racie, a est différet de, doc a est aussi racie, o e déduit aisémet que pour tout k N, a k est racie de P, ce qui voudrait dire que P admettrait ue ifiité de solutio or u polyôme o ul admet u ombre fii de solutios. 0 et sot les deux seules racies de P si P est pas le polyôme ul. 4. Si P est pas le polyôme ul, comme 0 et sot les seules racies de P il existe α 0 tels que P = αx k (X ) l, et si P = 0 alors P = 0 X k (X ) l (c est-à-dire que α = 0). 5. Si P vérifie XP(X ) = (X )P(X) alors P est de la forme P = αx k (X ) l, il faut étudier la réciproque, c est-à-dire chercher parmi ces polyômes lesquels sot effectivemet solutio. O remplace P = αx k (X ) l das XP(X ) = (X )P(X), o trouve que : Xα(X ) k (X ) l = (X )αx k (X ) l

22 Les puissaces e X sot les mêmes doc l =. Les puissaces e X sot les mêmes doc k = l = O vérifie qu alors les puissaces e X sot les mêmes, fialemet P = αx(x ) Allez à : Exercice 30 Correctio exercice 3. X X 3 X 4 X X X X 3X X 3X X X 3 X 4 3X 3X 3X 3 X 4X 3 X 4 X X 3 X 4 X 3 X 4 Allez à : Exercice 3 X X 3 X 4 = ( X X )( 3X X ) X 3 ( X) Correctio exercice 3.. X 3 X X X 3 X 3 X X X 3 X X = (X 3 ) ( X X ) X 3 X X X 3 X X X X X X X 0 X 3 = (X X )(X ) PGCD(P, Q) = X X = X X. X X est u diviseur de P (et de Q bie sur) doc o peut mettre X X e facteur das P. X 3 X X X X X 3 X X X X X X X 0 Comme X X est irréductible das R[X], la factorisatio de P est : P = (X )(X X ) Et il est évidet d après la deuxième divisio de l algorithme d Euclidiee Q = (X )(X X ) 3. Il est alors clair que

23 PGCD(P, Q) = X X 4. Les deux racies complexes de X X sot j = e iπ 3 et j = j = e 4iπ 3 P = (X )(X j)(x j ) Allez à : Exercice 3 Correctio exercice 33. X 5 X 4 6X 3 X X 6 X 4 X 3 X X 5 X 4 X X X X 4 6X 3 X 6 X 4 X 3 X 4X 3 4 O peut «élimier» le 4 das 4X 3 4 le PGCD de P et Q est X 4 X 3 X X 3 X 4 X X X 3 X 3 0 D = 4X3 4 = X 3 4 Les racies commues de P et Q sot celles de X 3, c est-à-dire, j et j. Allez à : Exercice 33 Correctio exercice 34. X 5 X 4 X 3 X X X 4 3X 3 3X X 5 3X 4 3X 3 X X X 4 X 3 X X 4 3X 3 3X X 3 X 4 X 4 3X 3 3X X 3 X 4 X 4 X 3 X X X 3 3X X X 3 X 4 X X X 3 X 4 X X X 3 4X 4X X X 4X 4 X 4X 4 0 Le P.G.C.D. est le derier reste o ul uitaire doc X X A et B sot divisible par X X (qui a pas de racie réelle) X 5 X 4 X 3 X X X X X 5 X 4 X 3 X 3 X X 3

24 X X 0 A = (X X )(X 3 ) Comme X 3 = (X )(X X ) et que X X a pas de racie réelle, la factorisatio de A das R[X] est A = (X )(X X )(X X ) X 4 3X 3 3X X X X 4 X 3 X X X X 3 X X 3 X X X X X X 0 B = (X X )(X X ) X X admet deux racies réelles Allez à : Exercice 34 5 et B = (X X ) (X 5 5 ) (X 5 ) Correctio exercice 35. P = X X X X X X X X X = (X ) ( X) X X X X X = X ( X) = (X ) ( X) ( X) = (X ) ((X X ) (X )) ( X) Allez à : Exercice 35 = ( X) (X ) ( X) (X ) Correctio exercice 36.. X 4 X 3 X X 4 X 3 3X X X 4 X 3 3X X X 3 3X 3X P = Q X 3 3X 3X X 4 X 3 3X X X 3 3X 3X 4

25 X 4 3X 3 3X X X 4X 3 3X 4X 3 6X 6X 4 6X 3X 3 Q = (X )(X 3 3X 3X ) 6X 3X 3 X 3 3X 3X 6X 3X 3 X 3 X X 3 X 3 4X X 4X X 0 0 6X 3X 3 = Q (X )(X 3 3X 3X ) = Q (X )(P Q) = (X )P (X )Q X X = 6 (X )P (X )Q 6. Les racies commues de P et Q sot celles de leur PGCD, c est-à-dire celles de X X soit X = et X =. Allez à : Exercice 36 Correctio exercice 37.. P = 5X 4 4X 3 6X 4X X 5 X 4 X 3 X X 5X 4 4X 3 6X 4X X X4 6 5 X3 4 5 X X 5 5 X4 4 5 X3 6 5 X 4 X 5 5 X4 4 5 X3 6 5 X 4 X X3 4 5 X 6 4 X 5 5 Pour éviter les fractios o remarque que 6 5 X3 4 5 X 6 5 X 4 5 = 8 5 (X3 3X X 3) 5X 4 4X 3 6X 4X X 3 3X X 3 5X 4 5 X3 5X 5 X 5 X X3 X 7 X 7 X3 4 X 7 X X 5 4 Pour éviter les fractios o remarque que 5 4 X 5 4 = 5 4 (X ) 5 X 5 Le PGCD de P et P est X. X 3 3X X 3 X X 3 X X 3 3X 3 3X 3 0 5

26 . Les racies commues à P et P sot i et i, les racies multiples de P sot i et i. Ce sot au mois des racies doubles. Ce e sot pas des racies triples car sio P auraiet 6 racies e comptat leurs multiplicités. 3. P est divisible par (X i) (X i) = [(X i)(x i)] = [X ]. 4. il reste à diviser P par (X ) = X 4 X et o trouve, après calculs, X, doc P = (X ) (X ) Allez à : Exercice 37 Correctio exercice 38.. Oui! Par exemple P = X 3. Si P = ax 3 bx cx d, avec a 0, pour qu il soit de degré exactemet 3. P(X ) P(X) = a(x ) 3 b(x ) c(x ) d ax 3 bx cx d = a(x 3 3X 3X ) b(x X ) c(x ) d ax 3 bx cx d = 3aX (3a b)x a b c Le degré de ce polyôme est puisque a 0 3. { P(X ) P(X) = X P(0) = { (3a b)x (3a b c)x a b c = X P(0) = Allez à : Exercice 38 L 3a = L 3a b = 0 { L 3 a b c = L 4 d = a = a = 3 3 b = 3a = b = c = a b { d = c = 3 = 5 6 { d = P = 3 X3 X 5 6 X Correctio exercice 39.. (X ) a qu ue racie X =, or est racie simple de X doc PGCD((X ), (X ) ) = X. D après le théorème de Bézout il existe (U, V) tels que : (X 3 )U (X ) 3 V = X Cette équatio équivaut à : (X X )U (X X ) = Car X 3 = (X )(X X ) et (X ) 3 = (X )(X X ) X X X X X X 3X X X = (X X ) ( 3X) X X X X X 6 3X 3 X 3

27 X X = ( 3X) ( 3 X 3 ) O e tire que : = (X X ) ( 3X) ( 3 X 3 ) = X X ((X X ) (X X )) ( 3 X 3 ) = ( 3 X 3 ) (X X ) ( ( 3 X 3 )) (X X ) = ( 3 X 3 ) (X X ) ( 3 X 3 ) (X X ) Et Allez à : Exercice 39 Correctio exercice 40.. U = 3 X 3 V = 3 X 3 X 4 3X 3 3X 3X X 4 3X 3 3X 3X X 4 3X 3 3X 3X 6X 3 6X X 4 3X 3 X 3X = (X 4 3X 3 X 3X ) ( 6X 3 6) X 4 3X 3 3X 3X 6X 3 6X X 4 X X 6 3X 3 X 3X 3X 3 3X X X 4 3X 3 3X 3X = ( 6X 3 6X) ( 6 X ) X 6X 3 6X X 6X 3 6X X 3 0 6X 3 6X = (X ) ( 3 X) PGCD(X 4 3X 3 3X 3X, X 4 3X 3 3X 3X ) = X = X O trouve ue idetité de Bézout de la faço suivate : 7

28 X = X 4 3X 3 3X 3X ( 6X 3 6X) ( 6 X ) = X 4 3X 3 3X 3X Puis il reste à diviser par (X 4 3X 3 X 3X (X 4 3X 3 X 3X ) ) ( 6 X ) = (X 4 3X 3 3X 3X ) ( ( 6 X )) (X 4 3X 3 X 3X ) ( 6 X ) = (X 4 3X 3 3X 3X ) ( 6 X 3 ) (X 4 3X 3 X 3X ) ( 6 X ) X = (X 4 3X 3 3X 3X ) ( X 3 4 ) (X4 3X 3 X 3X ) ( X 4 ). E divisat P par X, o trouve : P = X 4 3X 3 3X 3X = (X 3X )(X ) Il reste à factoriser X 3X, ce polyôme a deux racies réelles et doc P = (X )(X )(X ) E divisat Q par X, o trouve : Q = X 4 3X 3 3X 3X = (X 3X )(X ) Il reste à factoriser X 3X, ce polyôme a deux racies réelles et doc Q = (X )(X )(X ) Allez à : Exercice 40 Correctio exercice 4.. Je vais juste écrire les résultats des divisios successives de l algorithme d Euclide X X = (X X ) 4X O e déduit ue idetité de Bézout X X = ( 4 X ) 4X = (X ) ( 4 X ) 4X = (X ) ( 4 X ) ((X ) (X ) ) O ote. O a = ( 4 X ) (X ) ( 4 X ) (X ) A 0 = 4 X 8 et B 0 = 4 X { (X ) A (X ) B = (X ) A 0 (X ) B 0 = E faisat la soustractio de ces deux équatios (X ) (A A 0 ) (X ) (B B 0 ) = 0 (X ) (A A 0 ) = (X ) (B B 0 ) (X ) divise (X ) (B B 0 ) comme (X ) et (X ) sot premiers etre eux (ils ot aucue racie e commu), d après le théorème de Gauss (X ) divise (B B 0 ), il existe U R[X] tel que (B B 0 ) = U(X ) B = B 0 U(X ) O remplace das (X ) (A A 0 ) = (X ) (B B 0 ) (X ) (A A 0 ) = (X ) U(X ) A A 0 = (X ) U A = A 0 U(X )

29 L esemble des couples (A = A 0 U(X ), B 0 U(X ) ) avec U R[X] quelcoque sot les solutios de (E). 3. O cherche les polyômes P qui sot de la forme { P = (X ) Q P = (X ) Q Où Q et Q sot deux polyômes. E faisat la soustractio de ces deux égalités = (X ) Q (X ) Q ( Q ) (X ) ( Q ) (X ) = D après la deuxième questio, il existe U R[X] tel que { Q = A 0 U(X ) Q { = A 0 U(X ) Q = B 0 U(X ) Q = B 0 U(X ) Ce qui etraie que P = (X ) ( A 0 U(X ) ) P = A 0 (X ) U(X ) (X ) A 0 (X ) = ( 4 X ) (X ) = ( X ) (X X ) O pose aussi V = U. Par coséquet Il faut faire ue réciproque X3 3 X3 3 = X3 X X X X = X3 3 X P = X3 3 X V(X ), 9 V R[X] X admet comme racie double (c est facile à vérifier) et comme racie simple. P = X3 3 X V(X ) = (X ) (X ) V(X ) (X ) = (X ) [ (X ) V(X ) ] X admet comme racie double (c est facile à vérifier) et comme racie simple. La réciproque est vérifiée Allez à : Exercice 4 Correctio exercice 4. P = X3 3 X V(X ) = (X ) (X ) V(X ) (X ) = (X ) [ (X ) V(X ) ] X 6 X 4 X X 4 X 3 X X 6 X 5 X 3 X X X 3 X 5 X 4 X 3 X 5 4X 4 4X X 3X 4 X 3 4X X 3X 4 6X 3 6X 3 4X 3 4X 4X 4 PGCD(P, Q) = PGCD(Q, 4X 3 4X 4X 4) = PGCD(Q, X 3 X X ) X 4 X 3 X X 3 X X

30 X 4 X 3 X X X X 3 X X X 3 X X 0 PGCD(P, Q) = X 3 X X = X (X ) (X ) = (X )(X ) = (X )(X ) Les racies complexes commues à P et Q sot de multiplicité et de multiplicité. Allez à : Exercice 4 Correctio exercice 43. O pose d P =. P divise P si et seulemet si il existe u polyôme Q tel que : P = QP d P = et d P = d Q = Q admet ue racie complexe α. O pose Q = ax b et P = a X a X a 0 (avec a 0) alors P = a X a E idetifiat les coefficiets domiat o trouve que : a = a a = Première méthode : La formule de Taylor pour le polyôme P e α doe P = a k (X α) k = a 0 a (X α) a (X α) a (X α) k=0 P = a k k(x α) k = a k k(x α) k = a k k(x α) k = (k )a k (X α) k k=0 k= k= = a a (X α) a (X α) E chageat k e k. Comme Q est u polyôme de degré dot α est ue racie doc Q = (X α) O remplace ces deux expressios das P = QP. a 0 a (X α) a (X α) a (X α) = a(x α)[a a (X α) a (X α) ] a 0 a (X α) a (X α) a k (X α) k a (X α) k=0 Deuxième méthode : = a (X α) a (X α) k a k (X α)k a (X α) a 0 = 0 a = a a k = k { a = a a k a 0 = 0 a = 0 a k = 0 { a = a P = a (X α) E dérivat P = QP, et o rappelle que Q = 30

31 P = Q P QP P = P QP ( ) P = QP P = E dérivat ( ) P = QP P = QP = Q P QP ( ) P = Q P QP = P QP ( ) P = QP P = QP P = Q P = ( )( ) Q3 P Pour tout k {0,,, }. O motre par récurrece que Et que P = O dérive ( k ) P(k) = QP (k) ( k ) P(k) = QP (k) k ( )( ) ( k) Qk P (k) ( k ) P(k) = Q P (k) QP (k) = P(k) QP (k) ( k ) P(k) = QP (k) P (k) = k QP(k) k P = ( )( ) ( k) Qk P (k) k = ( )( ) ( k) Qk k QP(k) = k ( )( ) ( k)( (k )) Qk P (k) Cette relatio état vraie au rag 0, elle est vraie pour tout k. O l applique au rag : P = ( )( ) ( ( )) Q P () P () = ( ) a (ce qui est importat c est que c est ue costate). Peu importe la costate, il est clair que P = KQ, comme Q est u polyôme de degré, o peut écrire ce polyôme sous la forme : P = λ(x α) Allez à : Exercice 43 Correctio exercice 44.. Comme P(X) X = X4 3X 3 X 3X X = X 3X 3 X X O a Y = X X X X = Y P(X) X = (X X ) 3 (X X ) = (Y ) 3Y = Y 3Y 5 3

32 Les racies de Q sot et 5 les racies de P vérifiet X { X = X = X X X = 0 X X = 5 { ou X = 5 { ou X X 5 X = 0 Les racies de X X = 0 sot j = i 3 et j = i 3 Et celles de X 5 X = 0 sot et O e déduit la factorisatio de P das R[X] Et das C[X] P(X) = (X ) (X )(X X ) P(X) = (X ) (X )(X j)(x j ) Allez à : Exercice 44 Correctio exercice 45.. Comme si(θ) 0, d P =. P = ( ) si(kθ) Xk k k= = ( ) si(kθ) Xk k k=0 = ( k ) eikθ e ikθ i k=0 = i ( k ) eikθ X k i ( k ) e ikθ X k k=0 k=0 = i ( eiθ X) i ( e iθ X) Les racies z C de P vérifiet X k = i ( k ) (eiθ X) k k=0 i ( k ) (e iθ X) k i ( eiθ z) i ( e iθ z) = 0 ( e iθ z) = ( e iθ z) ( eiθ z e iθ z ) e iθ z k {0,,, }, e iθ z = eikπ k=0 = k {0,,, }, e iθ z = e ikπ ( e iθ z) k {0,,, }, e iθ z e ikπ e iθ z = e ikπ k {0,,, }, z (e iθ e ikπ e iθ ) = e ikπ. Il faut quad même vérifier que e iθ e ikπ e iθ 0 e iθ e ikπ e iθ = 0 e iθ = e ikπ j Z, θ = kπ lπ j Z, θ = kπ Z, θ = kπ lπ si(θ) = 0 Ce qui est pas possible d après l éocé. e ikπ P(z) = 0 k {0,,, }, z = e iθ e ikπ e iθ Les racies de P sot les complexes z k = e iθ e ikπ e 3 ikπ e iθ avec k {0,,, } lπ j

33 z k = e ikπ e iθ e ikπ e iθ = e ikπ e iθ e ikπ e iθ = e ikπ = e iθ e ikπ = z k e iθ ces complexes sot des réels. Allez à : Exercice 45 e ikπ e ikπ (e ikπ ) (e iθ e ikπ e iθ ) = e ikπ e ikπ e iθ e iθ Correctio exercice 46. 6X 3 3X 5 F(X) = (X )(X )(X ) = Je multiplie par X puis X = Je multiplie par X puis X = Je multiplie par X, puis X ted vers l ifii. 6 = a b c, doc c = 6 = 3 X = 0 5 = 5 b d doc d = 5 = 4 Allez à : Exercice 46 F(X) = a X b cx d X X a = [ 6X3 3X 5 (X )(X ) ] = = X= b = [ 6X3 3X 5 (X )(X ) ] = = X= 6X 3 3X 5 (X )(X )(X ) = X X 3X 4 X Correctio exercice 47. Il existe a, b, c et d quatre réels tels que : X X (X ) = a X b cx d X X O multiplie par X, puis X = i ci d = [ X X ] = i X=i = i c = et d = O multiplie par X, puis X = 0 O multiplie par X, puis X a = c =, fialemet Allez à : Exercice 47 b = [ X X ] = X=0 0 = a c X X (X ) = X X X X Correctio exercice 48. Le degré du umérateur est supérieur au degré du déomiateur, il faut diviser X 4 X par (X )(X ) = X 3 X X 33

34 X 4 X X 3 X X X 4 X 3 X X X X 3 X X X 3 X X X X O pose F(X) = X4 X (X )(X ) = X X X (X )(X ) 34 a (X ) G(X) = X X (X )(X ) = X X (X ) (X ) = Je multiplie par (X ) puis X = a = [ X X ] = X = X= Je multiplie par X puis X = Je multiplie par X puis X ted vers l ifii. = b c doc b =. Allez à : Exercice 48 c = [ X X (X ) ] F(X) = X Correctio exercice 49.. Il existe a, b, c et d tels que : X X (X ) (X ) = Je multiplie par (X ), puis X = X= = 4 4 = (X ) X X a X b cx d (X ) X b = [ X X X ] = = X= Je multiplie par X, puis X = i ci d = [ X X (X ) ] X=i b X c X = i i (i ) = i i i = i = i = i i i c = et d = Je multiplie par X, puis X 0 = a c a = X X (X ) (X ) = X (X ) X X Autre méthode O trouve b = et a c = 0 comme ci-dessus. O pred X = 0 = a b d d = a Puis o pred X = 4 = a b c d 4 O multiplie le tout par et o remplace b par

35 . D où : a = et c = a = = a c d (a c) d = d = X 3 X X 3 X X X X 3 = (X )X X et G(X) = (X )X X X = X Il existe a et b des réels tels que X (X )(X ) = Je multiplie par X, puis X = Je multiplie par X, puis X = Allez à : Exercice 49 a X X a = [ X ] = X= X b = [ X ] X= G(X) = X X (X )(X ) b X = = X X Correctio exercice X 3 3X 5 F(X) = (X )(X )(X ) = Je multiplie par X puis X = a X b cx d X X a = [ 6X3 3X 5 (X )(X ) ] = = X= Je multiplie par X puis X = b = [ 6X3 3X 5 (X )(X ) ] = = X= Je multiplie par X, puis X ted vers l ifii. 6 = a b c, doc c = 6 = 3 X = 0 5 = 5 b d doc d = 5 = 4 6X 3 3X 5 F(X) = (X )(X )(X ) = X X 3X 4 X. Il reste à décomposer das C[X] 3X 4 X = 3X 4 (X i)(x i) = Je multiplie par X i, puis X = i. a = [ 3X 4 X i ] = 3i 4 = X=i i 35 a X i (3i 4)( i) a X i = 3 i

36 Allez à : Exercice 50 F(X) = 6X 3 3X 5 (X )(X )(X ) = X 3 X i 3 X i i X i Correctio exercice 5. 3 (X X )(X ) = ax b X X c X O multiplie par (X ), puis X = 3 d = [ X X ] = X= Première méthode O multiplie par X X, puis X = j 3 aj b = [ (X ) ] = X=j b = et a = O pred X = 0 das ( ) 3 = b c d c = 3 b d = 3 = Et doc 36 d (X ) ( ) 3 (j ) = 3 j j = 3 3j = j = j = j 3 (X X )(X ) = X X X X (X ) Deuxième méthode X = 0 das ( ) 3 = b c d b c = 3 d = b = c O multiplie par X, puis X 0 = a c a = c X = das ( ) 3 4 = a b c d = c ( c) c = 3 c 3 = 3 c c = Et doc 3 (X X )(X ) = X X X X (X ) X Pour la décompositio das C(X), il suffit de décomposer, comme X X X X = (X j)(x j ) Il existe A C tel que X X X = X (X j)(x j ) = O multiplie par X j, puis X = j A = [ X X j ] = j j j X=j = 3 i A X j 3 i ( = 3 i ) 3 3 X X X = i i 6 6 X j X j 3 3 (X X )(X ) = i 6 X j A X j 3 i = 3 i i i 6 X j X (X )

37 Allez à : Exercice 5 Correctio exercice 5. F = X (X ) 00 = X (X ) 00 (X ) 00 = (X ) 009 (X ) 00 Allez à : Exercice 5 Correctio exercice 53. Il faut d abord diviser le umérateur par le déomiateur. X 4 (X ) 3 = X 4 (X 3 3X 3X ) = X 7 3X 6 3X 5 X 4 X 8 X X 7 3X 6 3X 5 X 4 X 8 3X 7 3X 6 X 5 X 3 3X 7 3X 6 X 5 X 3X 7 9X 6 9X 5 3X 4 6X 6 8X 5 3X 4 X O pose alors X 8 X X 4 (X ) 3 = (X7 3X 6 3X 5 X 4 )(X 3) 6X 6 8X 5 3X 4 X X 4 (X ) 3 = X 3 6X6 8X 5 3X 4 X X 4 (X ) 3 G(X) = 6X6 8X 5 3X 4 X X 4 (X ) 3 0 est u pôle d ordre 4 du déomiateur o effectue alors la divisio suivat les puissaces croissates de X 3X 4 8X 5 6X 6 par (X ) 3 = 3X 3X X 3 à l ordre 4 = 3 (Le 4 est le 4 de X 4 ) O e tire X 3X 4 8X 5 6X 6 3X 3X X 3 3X 3X X 3 4X 9X 6X 3 4X 3X X 3 3X 4 8X 5 6X 6 4X X X 3 4X 4 9X X 3 7X 4 8X 5 6X 6 9X 7X 3 7X 4 9X 5 6X 3 0X 4 X 5 6X 6 6X 3 48X 4 48X 5 6X 6 8X 4 47X 5 X 6 37

38 X 3X 4 8X 5 6X 6 = ( 3X 3X X 3 )( 4X 9X 6X 3 ) 8X 4 47X 5 X 6 6X6 8X 5 3X 4 X (X ) 3 = ( 3X 3X X 3 )( 4X 9X 6X 3 ) 8X 4 47X 5 X 6 (X ) 3 6X6 8X 5 3X 4 X (X ) 3 = 4X 9X 6X 3 8X4 47X 5 X 6 (X ) 3 6X6 8X 5 3X 4 X X 4 (X ) 3 = 4X 9X 6X 3 X 4 X4 (8 47X X ) X 4 (X ) 3 G = X 4 4 X 3 9 X 6 X 8 47X X (X ) 3 O pose alors 8 47X X H = (X ) 3 = a X b (X ) c (X ) 3 O multiplie par (X ) 3, puis X =. c = [8 47X X ] X= = 3 O multiplie par X, puis X = a X = 0, 8 = a b c 8 = b 3 b = X X H = (X ) 3 = X 53 (X ) 3 (X ) 3 Et alors Allez à : Exercice 53 F = X 3 X 4 4 X 3 9 X 6 X X 3 (X ) 3 (X ) 3 Correctio exercice 54. Le degré du umérateur est strictemet iférieur à celui du déomiateur, pas de divisio. La forme de la décompositio est : X 4 X (X X ) = a X b X cx d X X O multiplie par X, puis X = 0. X 4 b = [ (X X ) ] = X=0 O multiplie par (X X ), puis X = j. ej f = [ X4 X ] X=j ex f (X X ) = j4 j = j j = j j = e = 0 et f =. Esuite ce est pas simple, il maque ecore 3 coefficiets. O pourrait multiplier par X puis faire tedre X vers l ifii, mais esuite il faudra predre deux valeurs et bojour les fractios péibles, alors o va iaugurer ue ouvelle techique qui sert das des cas u peu compliqués. 38

39 X 4 X (X X ) = a X X cx d X X (X X ) X 4 X (X X ) X (X X ) = a X cx d X X J appelle X 4 G = X (X X ) X (X X ) C est ue fractio ratioelle, d après l uicité de sa décompositio e élémet simple, qui est, d après la lige ci-dessus, a X cxd X X, o doit pouvoir, e réduisat au même déomiateur, trouver que le déomiateur de G est X(X X ). O y va. X 4 G = X (X X ) X (X X ) = X4 (X X ) X X (X X ) = X4 X (X 4 X X 3 X X) X (X X ) = X3 X X) X (X X ) = X(X X ) O a doc X(X X ) = a X cx d X X O multiplie par X, puis X = 0 a = [ X X ] = X=0 O multiplie par X X, puis X = j. cj d = [ X ] = X=j j = j c = et d = 0 Fialemet Allez à : Exercice 54 Correctio exercice 55. Esuite je diviserai par 6 F = X 4 X (X X ) = X X 6X5 (X 4 ) = 6X 5 (X ) (X ) (X i) (X i) X X X = a X b (X ) c X d (X ) Avec a, b, c et d réels et e et f complexes. Il est facile de trouver b, d et f. Je multiplie par (X ), puis X = 6X 5 b = [ (X ) (X i) (X i) ] = [ X= Je multiplie par (X ), puis X = e X i 6X 5 (X X ) f (X i) (X ) (X ) ] X= e X i = 6X 5 6X 5 d = [ (X ) (X i) (X i) ] = [ (X ) (X ) ] = X= X= Je multiplie par (X i), puis X = i f (X i) 39

40 6X 5 6X 5 f = [ (X ) (X ) (X i) ] = [ (X ) (X i) ] = X= X=i F est impaire doc F( X) = F(X), soit ecore : F( X) = F(X) F( X) = ( F( X) = a X b ( X ) c X a b c d e X (X) X (X ) d ( X) Xi e X i f e (Xi) f ( X i) X i f (X i) 6i 5 ( ) (i) = e Xi f ( Xi) ) 6i 4( 4) = i E idetifiat les coefficiets avec ceux de F(X), o a : a = c, b = d, e = e et f = f b = d, çà o le savait déjà, e = e doc e est réel et f = f etraie que f est u imagiaire pur, ce que l o savait déjà. X = 0 doe F(0) = 0 = a b c d ie f ie f = a c i(e e ) Car b d = 0 et f f = i i = 0 Cela doe 0 = a c i(e e ) a c i(iim(e) = a c Im(e) Or a = c doc Im(e) = 0 autremet dit e est réel. Je multiplie par X, puis je fais tedre X vers. 0 = a c e e = a e e = a Comme c = a, b =, d = et f = i O a : F = 6X5 (X 4 ) = a X (X ) a X (X ) a X i i (X i) a X i i (X i) Ceci état vrai pour tout X C\{,, i, i}, je preds X =. 6 3 (6 ) = a ( ) a ( ) a i i ( i) a i i ( i) = a a 3 a( i) i( i) a( i) i( i) = 4a a i(3 4i) i(3 4i) = a = 8 5a = 5a = 5a a = F = 6X5 (X 4 ) = X (X ) X (X ) X i i (X i) X i i (X i) Il reste à diviser par 6 : i i X 5 (X 4 ) = 8 X 6 (X ) 8 X 6 (X ) 8 X i 6 (X i) 8 X i 6 (X i) Esuite pour décomposer das R[X] il faut réuir les cojugués. X 5 (X 4 ) = 8 X 6 (X ) i 6 ( (X i) (X i) ) 8 X 6 (X ) 8 ( X i X i ) 40

41 X 5 (X 4 ) = 8 X X 5 (X 4 ) = 6 (X ) 8 X 8 X 6 (X ) 6 (X ) 8 X 6 (X ) X 5 (X 4 ) = 8 X 6 (X ) 8 X 6 (X ) Je vais maiteat décomposer directemet cette fractio das R[X]. Comme das C[X] je vais décomposer F = 6X5 (X 4 ) X 4 X i 6 X 4 X i 6 X 4 X (X i) (X i) (X ) 4iX (X ) X 4 (X ) F = 6X5 (X 4 ) = α X β (X ) γ X δ εx ζ (X ) X ηx θ (X ) De la même faço, o trouve que β = et δ = Je multiplie par (X ), puis je preds X = i 6X 5 ηi θ = [ (X ) ] = 6i5 ( ) = 4i X=i η = 4 et θ = 0. F est impaire doc F( X) = F(X) α F( X) = ( X β ( X ) γ X δ εx ζ ηx θ ( X ) X (X ) ) = α X β (X ) γ X δ εx ζ (X ) X ηx θ (X ) α = γ β = δ F( X) = F(X) { ζ = 0 θ = 0 O savait déjà que β = δ et que θ = 0. Pour l istat o e est à : F = 6X5 (X 4 ) = α X (X ) γ X (X ) εx X 4X (X ) Je multiplie par X, puis o fait tedre X vers. 0 = α γ ε Comme α = γ, o a ε = γ. O peut essayer X = 0 mais cela redoe α = γ. Pour l istat o e est à : F = 6X5 (X 4 ) = γ X (X ) γ X (X ) γx X 4X (X ) Comme das C[X], je vais predre X =. 6 3 (6 ) = γ γ 3 9 4γ = 4γ 3 4γ = 8γ = 8 5γ = 5γ 34 γ = F(X) = 6X5 (X 4 ) = X (X ) X (X ) 4X X 4X (X ) O divise par 6 et voilà. A partir de là, o peut retrouver la décompositio das C[X], pour cela il suffit de décomposer 4X X = a X i a X i Et 4

42 4X (X ) = b X i A faire. Troisième méthode O repart de F(X) = 6X5 (X 4 ) = α X = α X O va calculer (X ) (X ) 4X (X ) F = 6X5 (X 4 ) = b X i c (X i) c (X i) γ X εx ζ (X ) (X ) γ εx ζ X X (X ) (X ) X 4X (X ) 4X (X ) = (X ) (X ) (X ) (X ) 4X(X ) (X ) (X ) (X ) (X ) = ((X ) (X ) )(X ) 4X(X ) (X ) (X ) = (X X X X )(X 4 X ) 4X(X 4 X ) (X 4 ) = 4X(X4 X ) 4X(X 4 X ) (X 4 ) = 8X(X4 ) (X 4 ) α X (X ) = α X = α X γ X γ εx ζ X X γ X εx ζ (X ) X 4X (X ) εx ζ X 8X(X4 ) (X 4 ) F 8X(X4 ) (X 4 ) 6X5 8X(X 4 ) (X 4 ) = α X 6X5 (X 4 ) 8X(X4 ) (X 4 ) = α X γ X εx ζ X 6X5 8X 5 8X (X 4 ) = α X γ εx ζ X X γ 8X5 8X (X 4 ) = α X 8X(X4 ) (X 4 ) = α εx ζ X X X γ εx ζ X X γ εx ζ X X 8X X 4 = α X 8X (X )(X )(X ) = α X γ εx ζ X X O multiplie par X, puis X = 8X α = [ (X )(X ) ] = X= O multiplie par X, puis X = 8X β = [ (X )(X ) ] = X= O multiplie par X, puis X = i 8X ε iζ = [ X ] = 4i ε = 0 et ζ = 4 X=i γ εx ζ X X 4

43 Et efi Il e reste qu à diviser par 6 Allez à : Exercice 55 α X γ εx ζ X X = X X F = 6X5 (X 4 ) = X (X ) X (X ) 4X X 4X X 4X (X ) Correctio exercice 56.. α est ue racie simple de Q doc il existe Q tel que Q = (X α)q avec Q (α) 0 F = P Q = P = a (X α)q X α E multipliat par X α, puis e faisat X = α, o trouve (classiquemet) a = P(α) Q (α) D autre part Q = (X α)q Q = Q (X α)q E faisat X = α das cette derière expressio o trouve que Q (α) = Q (α) Par coséquet a = P(α) Q (α). X = (X e ikπ ) il existe a 0, a,, a tels que : k=0 F = X e ikπ k=0 E appliquat le résultat du ), avec P = X et Q = X Allez à : Exercice 56 a k = e ikπ (e ikπ ) a k = eik( ( ))π F = k=0 e4ikπ X e ikπ = eik( )π = e4ikπ Correctio exercice 57.. P = X 5 X 3 X = X 3 (X ) (X ) = (X )(X 3 ) est racie de X 3 doc o peut factoriser par X, et o trouve, à l aide d ue divisio élémetaire X 3 = (X )(X X ). X X a pas de racie réelle O déduit de tout cela que la décompositio das R[X] est : P = (X )(X )(X )(X X ) = (X )(X ) (X X ) X X admet deux racies complexes cojuguées i 3 = j et 43 i 3 = j

44 La décompositio das C[X] est : P = (X )(X ) (X j)(x j ). Il existe a, b, c et d réels tels que : X P = X (X )(X ) (X X ) = (X )(X )(X X ) = a X b X cx d X X O multiplie par X, puis X = a = [ (X )(X X ) ] = X= O multiplie par X, puis X = b = [ (X )(X X ) ] = X= 6 O pose X = 0 = a b d d = a b = 6 = 3 O multiplie par X, puis X ted vers l ifii Allez à : Exercice 57 0 = a b c c = a b = 6 = 3 X P = X 6 X 3 X 3 X X 44