CHAPITRE 15 : PUISSANCES D EXPOSANTS REELS - FONCTIONS PUISSANCES - CROISSANCES COMPAREES

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1 Croisscs comprés Cours CHAPITRE 5 : PUISSANCES D EXPOSANTS REELS - FONCTIONS PUISSANCES - CROISSANCES COMPAREES. Puisscs d posts réls b.. L ottio Défiitio b R, R, o ot l rél + b bl Propriété b R, b' R R, ' R b = + + b b' b+ b' b b b. = ( ') = ( )( ') b b b b' bb' b b' ( ) = = b' b = ' ' b.. Ls foctios potills d bs Défiitio R + { }, o ppll potill d bs, l foctio défii sur R pr Gérrd Hirsch Mths54

2 Croisscs comprés Cours f : p ( ) = = l Théorèm { } R, R ( )' = (l ) + Ss d vritio : Si > f : st strictmt croisst sur R Si 0< < f : st strictmt décroisst sur R Limits usulls : { } R, R +, lim Si > lors = 0 t lim =+ + Si 0< <, lors lim =+ t lim = 0 + Démostrtio Appliquos l théorèm d limit d u foctio composé >, soitl > 0, lim ( l ) = t lim = 0 lim = 0 mêm risomt pour ls trois utrs ssrtios Tblu d vritio : Gérrd Hirsch Mths54

3 Croisscs comprés Cours Courbs rprésttivs : Touts ls courbs psst pr l poit (0,) Si >, l ds bscisss st symptot horizotl lorsqu Si 0< <, l ds bscisss st symptot horizotl lorsqu + L foctio p st l foctio réciproqu d l foctio log y = ], [ + = log y ] 0, [ y + t doc ] [, +, log ( ) = t ] [ 0, +, ( log ) = Empl Résoudr ds R l équtio : 3 = 9. + L équtio st défii sur R, ll s écrit ussi : 3 = 9.. soit 3 = 8 Dot l solutio st : l(. 3 ) l + l 3 = log 3 (8) = = 3 l l 3 l Gérrd Hirsch Mths54 3

4 Croisscs comprés Cours Empl Détrmir ls limits suivts : lim + lim ( ) t lim + + L foctio =+ =+ st cotiu sur R, lors lim + =+ lim + lim ( ) = t lim = 0 + = lim lim lim (3 ) =+ t lim ( ) = 0 + L foctio ( ) st cotiu sur R, lors 3 lim = 0. Foctios puisscs.. Foctio où st u tir strictmt positif Défiitio Soit N t f l foctio défii sur R pr f : Théorèm Gérrd Hirsch Mths54 4

5 Croisscs comprés Cours Si st pir, l foctio f st pir, décroisst sur ],0] t croisst sur [ 0,+ [ Si st impir, l foctio f st impir t croisst sur R Tblu d vritio : Courbs rprésttivs : Rmrqu Gérrd Hirsch Mths54 5

6 Croisscs comprés Cours Touts ls courbs psst pr l poit 0 t l poit d coordoés (,).. Foctio où st u tir strictmt positif Défiitio Soit N t f l foctio défii sur R pr f : Théorèm Si st pir, l foctio Si st impir, l foctio ] 0,+ [ f st pir, croisst sur ],0[ t décroisst sur ] 0,+ [ f st impir t décroisst sur chcu ds itrvlls ],0[ t Tblu d vritio Gérrd Hirsch Mths54 6

7 Croisscs comprés Cours Courbs rprésttivs.3. Foctio rci -ièm ( N, ) Soit f : L foctio l foctio défii sur [ 0,+ [ f st cotiu t strictmt croisst, puisqu f (0) = 0 t lim f ( ) =+ lors f st u bijctio d [ 0,+ [ sur [ 0,+ [ + L foctio réciproqu d l foctio f st l foctio ( f ), ll st pplé rci -ièm t oté y = [ 0, [ + = y [ 0, [ y + t doc [ [ 0, +, ( ) = t [ [ 0, +, ( ) = Rmrqu Gérrd Hirsch Mths54 7

8 Croisscs comprés Cours o écrit ussi Théorèm = ] 0, + [ ( )' = L foctio ( f ) : st cotiu t strictmt croisst sur [ 0,+ [ Courbs rprésttivs : 3. Croisscs comprés Théorèm α Soit α u rél. Alors : lim =+ t lim = 0 + α + Soit α u rél strictmt positif. Alors : l lim = 0 + α Empl Gérrd Hirsch Mths54 8

9 Croisscs comprés Cours l Détrmir ls limits d l foctio f( ) = L foctio st défii sur D= ] 0, [ ], + [ u bors d so smbl d défiitio Limit 0 lim (l ) = t lim( ) = lors 0 0 > 0 > 0 l lim f( ) = t lim = > 0 > 0 Limit Il s git du tu d ccroissmt d l foctio l pour l vlur = l l lim f( ) = lim = ( l ) = = Limit + l l lim f( ) = lim = lim. l = l puisqu lim = 0 t lim = isi qu lim = + + l + Empl Soit f ( ) = 00 Détrmir ls limits L foctio st défii sur R Lorsqu, lors t + lim 0 t lim lim f( ) lim ( 00 ) = = 00 = =+ t doc Pour lvr l idétrmitio +, il fut fctorisr , f( ) = = ( ) 00 D près l croissc compré d l potill dvt l puissc Gérrd Hirsch Mths54 9

10 Croisscs comprés Cours lim =+ t lim ( ) =+ t doc lim f( ) = lim ( ) =+ + Empl + Etudir l limit + d l foctio f : l L foctio st défii sur ] 0,+ [ Pour lvr l idétrmitio +, il fut fctorisr l > 0, f( ) = ( ) D près l croissc compré d l puissc dvt l l logrithm Puisqu lim l l l lim = lim = 0 lors lim ( ) = =+ lors l lim ( ) = lim ( l ) =+ + + Empl Soit f ( ) = Détrmir l limit + L foctio st défii sur [ 0,+ [ Pour lvr l idétrmitio, ffctuos l chgmt d vribl X Aisi lorsqu + lors X + = Puisqu X X = X = t comm X X lim = 0 + X X lors lim = 0 + Gérrd Hirsch Mths54 0