Chapitre 2.1 Les vecteurs

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1 Chaptre.1 Les vecteurs Le vecteur Le vecteur représente un module (grandeur) avec une orentaton. On utlse la flèche pour le représenter graphquement. Pour dentfer une varable comme étant vectorelle, l sufft de mettre une «pette flèche» au-dessus de la varable : Ponte de la flèche : Longueur de la flèche: Orentaton Module (Grandeur) ddton graphque d un vecteur Un vecteur supporte l opératon de l addton. Graphquement, l sufft de mettre bout à bout les flèches : car : Soustracton graphque d un vecteur La soustracton est l acton d nverser le sens d un vecteur. ns, la flèche pont dans l autre sens : car : Note de cours rédgée par : Smon Véna Page 1

2 Représentaton mathématque d un vecteur Pusqu un vecteur représente une grandeur phsque avec une orentaton, on peut représenter mathématquement un vecteur à l ade d un couple longueur et angle : où, : Le vecteur. : Le module du vecteur (la longueur). : ngle que fat le vecteur par rapport à un sstème d ae. Eemples : 5, 30 1, 45 C La deuème représentaton mathématque d un vecteur peut se fare à l ade d un couple longueur et longueur utlsant la défnton de l addton : où, : Le vecteur. : Longueur du vecteur proetée sur l ae. : Longueur du vecteur proetée sur l ae. : Vecteur parallèle à l ae. : Vecteur parallèle à l ae. On peut fare le len entre les deu représentatons grâce au relatons trgonométrques suvantes : cos sn Note de cours rédgée par : Smon Véna Page

3 Vecteur untare Le vecteur untare est un vecteur de longueur 1 aant une drecton partculère. Certans sont algnés sur un ae du sstème de coordonnée. D autres sont algnés dans une drecton relée à un concept phsque. On utlse le «chapeau» ( e : nˆ ) pour représenter un vecteur untare : ou ˆ : Vecteur untare algné sur l ae. ou ŷ : Vecteur untare algné sur l ae. k ou ẑ : Vecteur untare algné sur l ae. Eemple vecteur untare pas algné sur l ae : vˆ : Orentaton de la vtesse Module d un vecteur Le module d un vecteur représente sa longueur (grandeur). On peut l évaluer à l ade du théorème de pthagore : En deu dmensons :,, où : Le vecteur étudé. et cos, : La norme de. sn : Théorème de pthagore en D En tros dmensons :,,,, où : Théorème de pthagore en 3D. Norme d un vecteur untare : 1 1 k 1 nˆ 1 Note de cours rédgée par : Smon Véna Page 3

4 Note de cours rédgée par : Smon Véna Page 4 Représentaton d un vecteur en vecteur untare À l ade de la défnton de l addton graphque d un vecteur, on peut décomposer un vecteur quelconque en vecteur untare de la façon suvante : k,, Eemple : 3 5,3 5 ddton algébrque d un vecteur Pour addtonner des vecteurs algébrquement, l faut les représenter en vecteurs untares. ns, tout comme l addton graphque, on peut addtonner les composantes ensemble, les composantes ensemble et les composantes ensemble : N 1 ˆ où N : Nombre de dmensons au vecteur. (en : en 3D, N = 3) : Une dmenson partculère du vecteur ( e :, ) î : Vecteur untare algné sur l ae ( e : et, ŷ et ) Eemple en D : Multplcaton d un vecteur par un scalare Pusque la multplcaton est une répétton d addtons semblables, on peut défnr la multplcaton d un vecteur par un scalare de la façon suvante : N 1 ˆ où : Multplcateur scalare au vecteur ( ) Eemple en D : Α Eemple en 3D : k k Α

5 Eercces Eercce : Vecteurs graphques et algébrques. Sot les deu vecteurs : 4, 30 7, 60 et a) Dessne les deu vecteurs avec l échelle suvante 1 cm = 1 unté. b) Dessne l opératon C. c) Dessne l opératon C. d) Eprme mathématquement les vecteurs et à l ade des vecteurs untare et. e) Eprme mathématquement l opératon C. f) Eprme mathématquement l opératon C. Eercce : Vecteurs dans un plan cartésen. Pour postonner des obets dans un plan cartésen, on peut utlser la notaton vectorelle. Il est alors très mportant de connaître l orgne (0,0) du plan cartésen. Consdérons l obet à la coordonnée (4,5) et un l obet à la coordonnée (7,) : a) Dessne les deu vecteurs et partant de l orgne permettant de postonner l obet et par rapport à l orgne. b) Évalue mathématquement les vecteurs et à l ade des vecteurs et. Cec représente le déplacement nécessare en et pour passer de la coordonnée (0,0) à la coordonnée de l obet et. c) Dessne le vecteur C représentant le déplacement nécessare pour passer de l obet à l obet. d) Évalue mathématquement le vecteur C à l ade des vecteurs et. e) Trouve une opératon mathématque qu permet de construre le vecteur C à partr des vecteur et. (Eemple : C, C, C ) Note de cours rédgée par : Smon Véna Page 5

6 Solutons Eercce : Vecteurs graphques et algébrques. a) P.S. ces dessns ne sont pas à l échelle, mas l dée est ben représentée. b) c) d) ( 4, 30) 4 cos 30 4 sn30 3,46 ( 7, 60) 7 cos 60 4 sn30 3,5 6,06 e) C 3,46 3,5 6,06 3,46 3,5 6,06 6,96 4,06 f) C 3,46 3,5 6,06 3,46 3,5 6,06 0,04 8,06 Note de cours rédgée par : Smon Véna Page 6

7 Note de cours rédgée par : Smon Véna Page 7 Eercce : Vecteurs dans un plan cartésen. a) b) c) d) C 3 3 e) C car C