Introduction aux matrices et au calcul matriciel

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Jérémie Audy
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1 Chapitre 2 : Itroductio aux matrices et au calcul matriciel Das le premier chapitre, ous avos vu la résolutio par la méthode du pivot de systèmes d équatio du type : x + 2y z 1 (S) x y + z 3 x + y 2z 3 O peut réécrire cela d ue autre faço : x y 1 3 z 3 Ce sot des matrices, et o a deux matrices coloes. I Présetatio des matrices à élémets réels A) Défiitio Ue matrice est u tableau de réels : A a 11 a 12 a 1j a 1 a 21 a 22 a 2j a a i1 a i2 a ij a i.... a m1 a m2 a mj a m A ( a ij ) avec a ij RI i 1,, m j 1,, B) Format d ue matrice Le format de la matrice A est (m, ). Soit B Le format de B est (3, 2) 26 Algèbre liéaire

2 Soit C Le format de C est (2, 3) II Les matrices particulières A) Matrices ulles Ue matrice ulle est ue matrice dot tous les élémets sot uls. Par exemple : 0 0 ou ou ecore B) Matrices trasposées O dit que la matrice A T est la trasposée de A si les coloes de A T sot formées par les liges de A. A ( a ij ) i 1,, m j 1,, A T ( t ij ) avec t ij a ji Si A est au format (m, ), A T est au format (, m). 1) Défiitio C) Matrices carrées 2) Diagoale pricipale d ue matrice carrée D) Matrices carrées particulières 1) Matrices triagulaires 2) Matrices diagoales 3) Matrices idetité Chapitre 2. Itroductio aux matrices et au calcul matriciel 27

3 4) Matrices symétriques III Opératios sur les matrices A) Somme de deux matrices B) Produit d ue matrice par u réel C) Produit d ue matrice par ue matrice (ou u vecteur) coloe à droite 1) Pricipes D) Produit de deux matrices 2) Produit d ue matrice quelcoque par ue matrice idetité 3) Produit de deux matrices diagoales de même ordre 4) La trasposée du produit de deux matrices Théorème : Soiet deux matrices A (a ij ) où a ij IR, i 1,, m ; j 1,, et B (b ij ) où b ij IR, i 1,, ; j 1,, p. O a : (AB) B A Démostratio AB a ik b kj. O a doc : (AB) a jk b ki k 1 k 1 Par ailleurs, comme A (a ij ), o a : A ( a ij ) avec a ij a ji, et comme B (b ij ), o a : B ( b ij ) avec b ij b ji. O a doc : B A b ik a kj b ki a jk. k 1 k 1 5) Matrices iverses IV Rag d ue matrice 28 Algèbre liéaire

4 A) Dépedace ou idépedace liéaire des coloes d ue matrice Défiitio de la dépedace liéaire des coloes d ue matrice Défiitio de l idépedace liéaire des coloes d ue matrice Méthode B) Dépedace ou idépedace liéaire des liges d ue matrice Défiitio de la dépedace liéaire des liges d ue matrice Défiitio de l idépedace liéaire des liges d ue matrice (même remarque) 3) Méthode Pour savoir si les liges. d ue matrice A sot liéairemet dépedates ou idépedates, o L m résout le système λ λ m L m 0. Si la seule solutio de ce système est λ 1 λ m 0, o coclut que les liges de A sot liéairemet idépedates. Si λ 1 λ m 0 est pas la seule solutio de ce système, o coclut alors que les liges de A sot liéairemet dépedates. Exemples A λ 1 + λ 2 L 2 + λ 3 L 3 0 λ λ 1 2λ 2 λ 3 0 2λ 1 + 2λ λ 2 + λ 1 2λ λ λ λ λ 1 + 2λ 2 + λ 3 0 2λ 1 + 2λ 2 + λ 3 0 λ 1 2λ 2 + λ 3 0 λ 1 + 2λ 2 + λ 3 0 2λ 1 + 2λ 2 + λ 3 0 puis résolutio par la méthode du pivot de Gauss. λ 1 2λ 2 + λ 3 0 λ 1 λ 2 λ 3 0 Coclusio : L uique solutio du système état λ 1 λ 2 λ 3 0, les liges de la matrice A 1 sot liéairemet idépedates. A Chapitre 2. Itroductio aux matrices et au calcul matriciel 29

5 λ 1 + λ 2 L 2 + λ 3 L 3 0 λ λ λ λ 1 + 2λ 2 λ 3 0 λ 1 + 2λ 2 λ 3 0 2λ 1 + 2λ 2 0 2λ 1 + 2λ 2 0 λ 3 λ 2 λ λ 1 2λ 2 + λ λ 2 [L 3 + L 3] Coclusio : Ce système ayat d autres solutios que λ 1 λ 2 λ 3 0, les liges de A 2 sot liéairemet dépedates. Défiitio Théorèmes C) Rag d ue matrice 1) Le rag des liges d ue matrice est égal au rag de ses coloes (ue matrice comporte autat de liges liéairemet idépedates que de coloes liéairemet idépedates). 2) Le rag d ue matrice e chage pas si l o remplace ue de ses coloes (liges) par ue combiaiso liéaire d elle-même et d ue autre coloe (lige) de cette matrice. 3) Le rag d ue matrice e chage pas si l o permute ses liges ou ses coloes. 4) Le rag d ue matrice triagulaire est égal à l ordre de cette matrice si les termes situés sur sa diagoale pricipale sot tous différets de 0. 5) Le rag d ue matrice A est supérieur ou égal au rag de importe laquelle de ses sous-matrices. O appelle sous-matrice de la matrice A, la matrice A à laquelle o a retiré certaie(s) de ses lige(s) et ou coloe(s). Ue matrice de plei rag ou matrice régulière est ue matrice carrée dot toutes les coloes et les liges sot liéairemet idépedates. Ue matrice régulière est doc ue matrice carrée dot le rag est égal à l ordre. D) Rag de matrices et existece de solutios des systèmes d équatios liéaires Nous avos vu qu u système d équatios liéaire peut s écrire sous la forme AX B, où X est ue matrice coloe icoue, et A et B deux matrices doées. Exemples x + 2y z 1 S 2 : x y + z 3 x + y 2z 3 x y z A X B x 1 + y 1 + z Algèbre liéaire

6 Ça dit que la quatrième coloe est ue combiaiso liéaire des trois autres, ce qui veut dire que le rag de la matrice formée par les quatre coloes e chage pas si o elève la quatrième coloe. rag Ce système a au mois ue solutio si et seulemet si o a : rag(a B) rag(a) a pas de solutio si et seulemet si o a : rag(a B) 1 + rag(a) S 2 a-t-il (au mois) ue solutio? 1 rag Doc : rag{a B} 3 rag{a} rag L 2 L 3 L 2 L 2 + 2L 3 3 car la matrice comporte trois liges Coclusio : Le système S 2 a au mois ue solutio car rag{a B} rag{a} S 3 : y z x A X B Ce système a au mois ue solutio si et seulemet si o a : rag{a B} rag{a}. Chapitre 2. Itroductio aux matrices et au calcul matriciel 31

7 rag{a B} rag{a B} 3 rag{a} L 2 2 L 3 L 2 L 3 L 2 < 3 car C 1 C 2 Coclusio : rag{a} rag{a B}, doc S 3 a pas de solutio. 32 Algèbre liéaire

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