Les colliers de G.Polyà

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1 Les collers de G.Polyà Nous allons c exposer un résultat de dénombrement, qu donne une méthode effcace et systématque pour compter le nombre de colorages possbles pour un ensemble sous l acton d un groupe. Il fut à l orgne utlsé en chme pour compter les somères possbles d une molécule. La démonstraton met en oeuvre quelques outls élémentares de théore des groupes, nous supposerons par la sute que la noton d acton de groupe est connue du lecteur. On peut par exemple trouver les défntons élémentares de théore des groupes ans qu un cours assez complet dans le premer chaptre de [?].Vor auss à ce propos les texte de rappels, dsponble sur ce ste. Quelques problèmes de dénombrement Commençons par énoncer tros problèmes de dénombrement : Problème. () Comben y a-t l de drapeaux (fxes) dstncts à neuf bandes dont deux nores et sept blanches? () Comben y a-t l de drapeaux (mobles) dstncts à neuf bandes dont deux nores et sept blanches? Autant le premer problème est extrêmement smple, la réponse étant ben sûr C 9 = 36 drapeaux possbles, autant le deuxème est un tout pett peu plus complqué. Il faut fare attenton de ne pas compter deux fos le même drapeau dans deux postons dfférentes. Par exemple, les deux drapeaux suvants sont dentques, pusqu obtenus par symétre axale l un par rapport à l autre. Cela dt, la soluton reste assez smple : parm les colorages du drapeau fxe, 4 sont symétrques par rapport à l axe du drapeau, et les 3 autres n en consttuent plus que 6 s l on autorse ladte réflexon. Sot au total 0 drapeaux dstncts. Problème. () De comben de façons peut-on colorer les faces d un cube (fxes) pour avor deux faces rouges, une face nore et tros faces blanches?

2 () De comben de façons peut-on colorer les faces d un cube (moble) pour avor deux faces rouges, une face nore et tros faces blanches? Là encore, la réponse à la premère queston est mmédate : le nombre recherché est C 6 C 4 = 60. Pour ce qu est de la deuxème, c est un peut plus complqué là auss : on se rend compte après quelques efforts que toutes les solutons trouvées lorsque le cube est fxe se ramènent à l une des tros stuatons suvantes, qu sont ben sûr dstnctes. Problème 3. () Comben y a-t l de collers (fxes) dstncts à 67 perles dont : deux nores et sept bleues, deux jaunes et cnquante sx blanches? () Comben y a-t l de collers (mobles) dstncts à 67 perles dont : deux nores et sept bleues, deux jaunes et cnquante sx blanches? Encore une fos, le premer problème est smple : l y a C 67 C7 65 C 58 = 67! 56! 4 7!. Sot envrons,54.05 possbltés. En revanche, dénombrer de façon smple les collers répondant à la deuxème queston relève de la gageure. Il nous faut donc trouver un outl adapté à la stuaton. Or, dans les tros problèmes que nous avons posé, la deuxème queston concerne les colorages d un ensembles modulo l acton d un groupe de transformaton de cet ensemble : dans le premer cas, l s agt du groupe à deux éléments engendré par la réflexon axale, dans le deuxème cas c est le groupe de déplacements du cube et dans le trosème cas le groupe dédral D 67, composé de l dentté, de 66 rotatons non trvales et de 67 réflexons. On pourra trouver dans [?] une ntroducton assez ben fate à la théore des groupes, par le bas notamment des groupes de tranformatons d objets géométrques tels que ceux que nous étudons c. Pour le lecteur qu un ouvrage en anglas rebute, on trouve dans [?] une présentaton presque auss ben fate, en franças. Un peu de théore des groupes Nous allons c présenter une verson qu se veut la plus détallée possble d un théorème de G. Polyà, développé à l orgne pour la chme (l s agssat alors de pouvor dénombrer les somères d une molécule donnée). On peut en trouver une verson parm les plus accessbles dans [?] (page 90/96) ; vor auss [?], consttué d une réédton en anglas de l artcle orgnel de G. Polyà, artcle nttulé Kombnatorsche Anzahlbestmmungen für de Gruppen, Graphen

3 und chemsche Verbndungen et paru en 937 dans Acta Mathematca, et d une seconde parte de commentares par R.C. Read. Nous avons c essayé de séparer le résultat en deux partes, afn de fare apparaître de manère plus clare l endrot où ntervent réellement l argument de théore des groupes, l solant ans du reste du théorème qu se rédut essentellement à un jeu d écrtures formelles pour aboutr à une formulaton smple et utlsable.. Notatons et premères défnton Sot X un ensemble fn, de cardnal n, sous l acton d un groupe G. Sot R l ensemble [ ; q ], c est-à-dre l ensemble des enters de à q, où q est un enter désormas fxé. Dans toute la sute, un colorage de X en (au plus) q couleurs désgnera une applcaton de X dans l ensemble R = [; q ]. On parlera d un colorage de type (n,...,n q ) pour désgner un colorage qu envoe respectvement n éléments sur la couleur ( q). Enfn on utlsera la notaton Y pour désgner le cardnal de l ensemble Y. L acton de G sur X ndut une acton naturelle sur R X, l ensemble des colorages de X en q couleurs, par : { G R X R X σ,f σ.f où σ.f désgne le colorage qu à un élément x de X assoce la couleur f(σ.x). Nous cherchons c à dénombrer les colorages possbles d un type donné modulo l acton du groupe G, c est-à-dre que l on cherche le nombre de classes d équvalence de ces colorages, sous l acton de G. Sot ξ un type de colorage (c est-à-dre un q-uplet (n,...,n q )). Défnssons R ξ comme l ensembles des colorages de type ξ. Deux colorages conjugués sous l acton de G ayant même type, les R ξ sont stables par l acton de G. Par restrcton, G ndut donc une acton de groupe sur R ξ. Défnssons également F ξ comme l ensemble des classes d équvalences de colorages de type ξ. Tout le problème, dans les tros exemples que l on s est donné en ntroducton, est de dénombrer un ensemble qu correspond à l un de ces F ξ,en effet nous cherchons à dénombrer les classes d équvalences (ou orbtes) de colorages d un type donné, sous l acton d un groupe de transformatons de l ensemble coloré.. Une premère méthode Pour compter le nombre de classes en queston, nous avons essentellement beson de pouvor applquer astuceusement la formule de Burnsde : Lemme. (Formule de Burnsde) Sot G un groupe fn agssant sur un ensemble Y fn. Alors le nombre d orbtes sous l acton de G est donné par la formule : N(σ) où N(σ) désgne l ensemble des éléments de Y fxés par σ. 3

4 Sot C l ensemble {(σ,x) G Y,σ.x = x}. Il s agt de dénombrer l ensemble C de deux façons dfférentes : l une fat ntervenr le nombre recherché, c est-àdre le nombre d orbtes, l autre permettant alors de calculer ce nombre. Tout d abord, on peut écrre : C = {(σ,x),σ.x = x} x Y Cette unon est naturellement dsjonte, nous pouvons donc passer aux cardnaux, ce qu donne : C = {(σ,x),σ.x = x} = G(x) x Y où G(x) désgne le stablsateur de x, c est-à-dre le sous groupe de G consttué des éléments qu fxent x. Or s x est un élément de Y, et s w désgne l orbte de x sous l acton de G, nous savons que tous les éléments de w ont des stablsateurs conjugués à celu de x et ont donc même cardnal que lu. On a de plus = w G(x). (C est le théorème de Lagrange.) Sot Ω l ensemble des orbtes de Y sous l acton de G. On obtent pour la somme précédente : C = G(x) w Ω x Ω = w G(x) w Ω = w Ω = Ω x Y D autre part, on peut écrre C sous la forme de l unon dsjonte : C = {(σ,x),σ.x = x} Sot en passant aux cardnaux : C = {x,σ.x = x} = N(σ) De ces deux expressons de C, on tre alors mmédatement : Ω = N(σ) Nous avons vu que pour ξ un type donné, G ndut une acton de groupe sur l ensemble R ξ. Applquons la formule de Burnsde à ces acton de groupes. Le nombre d orbtes (.e. de classes d équvalence) de colorages contenues dans R ξ est donc : F ξ = R ξ (σ) () où R ξ (σ) désgne l ensemble des colorages de R ξ fxes par σ. C est-à-dre : R ξ (σ) = {f R ξ,σ.f = f} 4

5 Il sufft donc, pour résoudre nos tros problèmes, de pouvor dénombrer les ensembles R ξ (σ) pour chaque élément σ du groupe G. Cela dt, tout cela reste assez fastdeux et nous allons vor que ces problèmes se smplfent en utlsant quelques notatons adéquates..3 Applcaton à nos problèmes () Dans le cas du drapeau, le groupe d sométre est consttué de l dentté et de la réflexon axale. Le nombre de colorages à bandes nores et 7 bandes blanches fxés par l dentté est C 9 = 36. Le nombre de colorages à bandes nores et 7 bandes blanches fxés par la réflexton axale est lu de 4 (les bandes nores sont nécessarement symétrques). En applquant la formule (), on trouve donc un nombre d orbtes de drapeaux à bandes nores et 7 bandes blanches de : (C 9 + C 4 ) = 0 () Le groupe qu nous ntéresse c est le groupe de déplacements du cube, qu possède 4 éléments : L dentté, qu fxe tous les colorages possbles du cube avec deux faces rouges, une face nore et tros faces blanches, sot 60 colorages possbles. Les sx rotatons d angle plus ou mons π autour des tros axes passant par les mleu de deux faces opposées. Ces rotatons lassent fxes deux faces et ont chacune un 4-cycle. Un colorage fxé par une telle rotaton a donc au mons 4 faces de la même couleur. Aucun colorage avec deux faces rouges, une face nore et tros faces blanches n est donc fxé par une telle rotaton. Les tros rotaton d angle π autour de ces mêmes axes. Là, l y a deux -cycles au leu du 4-cycle. L un de ces deux cycles dot être consttué de faces rouges, l autre de faces blanches. Les deux faces restantes sont alors dans le désordre nore et rouge. Pour une telle rotaton, l y a donc = 4 colorage fxés du type voulu (à multpler par 3 au fnal car nous avons tros rotaton de cette sorte). Les sx rotatons d angle π autour des sx axes jognant les mleux de deux arêtes opposées, qu ont chacune tros -cycles. Un colorage fxé par une rotaton de cette sorte possède nécessarement un nombre de faces par de chaque couleur... Enfn, les hut rotatons d angle plus ou mons π autour des quatre 3 axes jognant deux sommets opposés. Ces rotatons ont chacune deux 3-cycles. Là encore elles ne fxent aucun colorage du type désré. Au total, le nombre de cubes dfférents avec deux faces rouges, une face nore et tros faces blanches est donc ben, en applquant la formule () : ( ) = 3 4 5

6 (3) Le groupe qu nous ntéresse c est le groupe de déplacements du coller, c est-à-dre D 67. Il se compose de : L dentté, qu fxe C 67 C7 65 C 58 colorages du coller en deux perles nores, sept bleues, deux jaunes et cnquante cnq blanches. Soxante sx rotatons, qu n ont chacune qu un seul cycle, à 67 éléments (en effet 67 est premer, donc chacune des rotatons engendre toutes les autres). Un colorage fxé par une telle rotaton est donc nécessarement unforme (toutes les perles de la même couleur. Enfn, soxante sept réflexons dont les axes sont respectvement les soxante sept axes de symétre du coller, chacun coupant une perle en deux et lassant 33 perles entères de chaque côté. Ces réflexons ont chacune une perle fxe et trente tros -cycles. Un telle réflexon fxe donc un nombre de colorages en deux perles nores, sept bleues, deux jaunes et cnquante cnq blanches de : C 33 C 3 C3 3 En effet, nous avons C 33 = 33 chox pour les deux perles nores, qu dovent être symétrques par rapport à l axe de la réflexon, pus 3 chox pour les perles jaunes, et enfn C 3 3 façon de chosr tros pares de perles bleues (la septème étant nécessarement la perle traversée par l axe de la réflexon). Le nombre de collers (mobles) dstncts à 67 perles dont deux nores, sept bleues, deux jaunes et cnquante sx blanches est donc, en applquant la formule () : ( C C 7 65 C C 33 C 3 3) C3 Sot envrons,9.0 3 solutons. Cet exemple llustre ben l effcacté de la méthode : le résultat se calcule assez faclement, alors qu l est hors de queston de dénombrer les colorages à la man comme pour les deux premers problèmes. 3 Le formalsme du théorème de Polyà Nous venont de vor comment résoudre tous les problèmes du type de ceux qu nous ntéressent c en applcant la formule (), qu est un cas partculer de la formule de Burnsde. Cela dt, tout cela reste assez fastdeux et nous allons vor que ces problèmes se smplfent grandement en utlsant quelques notatons adéquates. Cec au détrment peut être d un peu de clarté : l outl est performant mas un peu mons ntutf. 3. Un polynôme adapté Nous allons par la sute consdérer les couleurs (les enters,..., q) comme des ndétermnées. Plus précsément : 6

7 Défnton Sot A l anneau Q[X,...,X q ], et w l applcaton de R dans A qu à assoce l ndétermnée X. Sot f un colorage de X. On défnt le pods de f, noté W(f), par la formule : W(f) = x X w(f(x)) Ce pods se calcule asément : l découle de sa défnton que le pods d un colorage de type (n,...,n q ) est X n...xnq q. Exemple : Par exemple, s l ensemble X possède 4 éléments a,a,a 3,a 4 que l on colore en tros couleurs, le colorage : f : a,a 3,a 3,a 4 aura pour pods w()w(3)w()w() = X X X 3. Notons que nous avons une bjecton naturelle entre pods et types de colorages. Par la sute, la lettre ξ désgnera un élément de l anneau A, c est-à-dre un pods. Et les résultats obtenus précédemment sur le cardnal des F ξ restent ben sûr valables s l on parle de pods. En partculer, deux colorages conjugués sous l acton de G ont donc même pods. On peut alors défnr le pods d une classe d équvalence de colorage par : ( ) f W = W(f) où f désgne un représentant quelconque de la classe f. Défnton L nventare W des colorages de X sous l acton de G est le polynôme : W = ( ) f W f F Exemple Pour reprendre l exemple précédent, dans lequel l ensemble X a 4 éléments et n est sous l acton d aucun groupe (c est-à-dre que le groupe G est rédut à l dentté et que l on peut dentfer les colorages et les classes de colorages toutes rédutes à un seul élément), l nventare des colorages sera : W = (X + X + X 3 ) 4 En effet chaque terme du développement de ce polynôme peut être assocé à un unque colorage de l ensemble X = {a,a,a 3,a 4 }. Proprété 3. Le nombre de colorages de type (n,...,n q ) (à équvalence près) est égal au coeffcent du monôme en X n... Xnq q dans l nventare W. En effet l on a construt le polynôme W pour qu l at cette proprété : chaque classe d équvalence de colorage de type (n,...,n q ) ayant pour pods X n...xnq q, l on retrouve dans W autant de tels monômes qu l y a de classe d équvalence de colorage de type (n,...,n q ). 7

8 3. Le théorème de Polyà Théorème 3. (G.Polyà) L nventare W se calcule par la formule : W = n = ( X X q) e (σ) où e (σ) désgne le nombre de cycles de longueur de σ. Utlsant la proprété??, on obtent comme expresson de l nventare : W = F ξ ξ ξ A Mas alors, grâce à l égalté (), on peut remplacer F ξ par sa valeur pour trouver : W = ξ R ξ (σ) ξ A = () ξ R ξ (σ) ξ A Comme les éléments de R ξ (σ) sont par défnton de pods ξ, on a : ξ R ξ (σ) = ξ f R ξ (σ) = f R ξ (σ) W(f) Et lorsque l on somme ces expresson sur tous les éléments ξ de A, l vent : ξ R ξ (σ) = W(f) = W(f) ξ A ξ A f R ξ (σ) f R ξ (σ) ξ A Or l unon des ensembles R ξ (σ) lorsque ξ décrt A n est autre que l ensemble des colorages fxés par σ, on obtent : ξ R ξ (σ) = W(f) ξ A f R X,σ.f=f Lemme 3.3 Sot σ un élément de G. Alors on obtent l expresson de la somme W(f) par la formule : f R X,σ.f=f n ( X X e (σ) q) = Les colorages fxés par un élément σ de G sont clarement les colorages constants sur chaque cycle de l élément σ. Sot (X,...,X p ) une énumératon des cycles de σ. Sot (m,...,m p ) les cardnaux des ensembles (X,...,X p ). On a une bjecton naturelle entre l ensemble des colorages de X fxés par σ et l ensemble des colorages de S = [ ; p ] : à un colorage f de X fxé par σ, on assoce le colorage ϕ(f) de S qu à p assoce la couleur de X par le colorage f. Reformulé de cette façon, on obtent pour la somme précédente l expresson : 8

9 f R X,σ.f=f W(f) = g R S W ( ϕ (g) ) Or, pour g R S, on a mmédatement W ( ϕ (g) ) = D où l expresson : f R X,σ.f=f W(f) = g R S p = w (g())m p = w (g())m. Enfn on reconnaît dans cette dernère expresson le développement de l expresson : p = w(y) m = y R p ( X m = X m ) q En regroupant les facteurs dentques (.e. de même degré) et en ndçant le produt par le degré des facteurs, on obtent : ( X X e (σ) q) N où e (σ) est le nombre de cycles de σ de longueur. Et comme l ensemble X a exactement n éléments, les cycles de σ sont au plus de longueur n et l on peut borner notre produt par n. Il vent : f R X,σ.f=f W(f) = n X =( X ) e (σ) q Remplaçant dans l égalté () l expresson ξ R ξ (σ) par cette dernère valeur, on obtent le résultat voulu, à savor : W = n = ξ A ( X X q) e (σ) Corollare 3.4 Le nombre total de colorages de X sous l acton de G en au plus q couleurs est obtenu en calculant : W(,...,) = n = e (σ) En effet la valeur de W au q-uplet (,...,) n est autre que la somme des coeffcents de tous les monômes de W, sot d après la proprété?? la somme des nombres de colorage de tous les types possbles. Et d après le théorème de Polyà, cette valeur est ben obtenue par l expresson n = e(σ). 9

10 3.3 Applcaton à nos tros problèmes () Dans le cas du drapeau, le groupe d sométre est consttué de l dentté et de la réflexon axale. L dentté possède 9 cycles de longueur, ce qu nous donne un terme en (X + X ) 9. La réflexon possède un cycle de longueur et 4 cycles de longueur, ce qu nous donne un terme en (X + X ) ( X 4. + ) X Au total, l nventare des colorages en deux couleurs est donc : W = ( (X + X ) 9 + (X + X )(X + X )4) Le nombre de colorages ayant bandes nores (couleur ) et 7 bandes blanches (couleur ) est donc le coeffcent de X X7 dans le polynôme W, c est-à-dre : (C 9 + C 4 ) = 0 () Le groupe qu nous ntéresse c est le groupe de déplacements du cube, qu possède 4 éléments : L dentté, qu nous donne le terme (X + X + X 3 ) 6. Les sx rotatons d angle plus ou mons π autour des tros axes passant par les mleu de deux faces opposées. Ces rotatons lassent fxes deux faces et ont chacune un 4-cycle. Le terme correspondant est donc 6(X + X + X 3 ) ( X 4 + X4 + 3) X4. Les tros rotaton d angle π autour de ces mêmes axes. Là, l y a deux -cycles au leu du 4-cycle. Le terme correspondant est donc 3(X + X + X 3 ) ( X + X + X 3 Les sx rotatons d angle π autour des sx axes jognant les mleux de deux arêtes opposées, qu ont chacune tros -cycles. Ce qu nous donne le terme 6 ( X + X + X 3) 3. Les hut rotatons d angle plus ou mons π autour des quatre axes jognant deux sommets opposés. Ces rotatons ont chacune deux 3-cycles. 3 Ce qu nous donne le terme 8 ( X 3. + X3 + 3) X3 Au total, l nventare des colorages est donc : W = ( (X + X + X 3 ) 6 + 6(X + X + X 3 ) ( X X4 + ) ) X4 3 + ( 3(X + X + X 3 ) ( X 4 + X + ) ) X ( 6 ( X + X + 3 ( 3) X + 8 X 3 + X 3 + ) ) X3 3 Pour trouver la réponse à notre problème, l sufft de calculer le coeffcent du terme en X X X 3 3 dans l expresson développée de W. On se rend rapdement compte que seuls les deux premers termes nous donnent des monômes en X X X 3 3, et que le coeffcent cherché est 4 (C 6 C 4 + 3C C ) = 3! ) 0

11 Notons enfn que le nombre de colorages possbles du cube en tros couleurs au plus est, d après le corollare du théorème de Polyà : W(,,) = 57. (3) Le groupe qu nous ntéresse c est le groupe de déplacements du coller, c est-à-dre D 67. Il se compose de : L dentté, qu nous donne le terme (X + X + X 3 + X 4 ) 67. soxante sx rotatons, qu n ont chacune qu un seul cycle, à 67 éléments (en effet 67 est premer, donc chacune des rotatons engendre toutes les autres). Cec nous donne le terme 66(X 67 + X67 + X X67 4 ). Enfn, soxante sept réflexons dont les axes sont respectvement les soxante sept axes de symétre du coller, chacun coupant une perle en deux et lassant 33 perles entères de chaque côté. Ces réflexons ont chacune une perle fxe et trente tros -cycles. Nous obtenons le terme 67(X + X + X 3 + X 4 )(X + X + X 3 + X 4 )33. D où l nventare des colorages, qu est cette fos : W = ( (X + X + X 3 + X 4 ) ( X X67 + X ) ) X (X + X + X 3 + X 4 ) ( X + X + X 3 + ) 33 X 4 Le nombre de collers dstncts à 67 perles dont deux nores (couleur ), sept bleues (couleur ), deux jaunes (couleur 3) et cnquante sx blanches (couleur 4) est donc le coeffcent de X X7 X 3 X55 4 dans le polynôme W. ( On trouve : C C 7 65 C C 33 C3 3 ) C 9. Sot envrons,9.0 3 solutons. N.B. L ntérêt de cette méthode par rapport à celle développée dans la parte précédente ne saute peut-être pas aux yeux. Il résde essentellement dans le caractère unfcateur du polynôme défn. En effet calculer le nombre de colorages du cubes ayant une face rouge, une nore et les quatre dernères blanches est c mmédat, tands qu avec notre premère méthode, l aurat fallu tout reprendre. Idem pour ce qu est de calculer le nombre de collers possble s l on change en bleu deux perles blanches, par exemple. Références [] D. Perrn, Cours d algèbre, Ecole Normale Supéreure, 990. [] L. Comtet, Analyse Combnatore II, PUF Le mathématcen, 970. [3] M.A. Armstrong, Groups and Symetry, Sprnger, Undergraduate texts n Mathematcs. [4] P.S. Alexandroff, Introducton à la théore des groupes, Dunod. [5] G. Polyà and R.C.Read, Combnatoral Enumeraton of Groups, Graphs, and Chemcal Compounds, Sprnger 987.