maîtriser le cours (page 221)

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1 Applictio : Il s git d rchrchr u primitiv du tp [Acos() Bsi()] F() - cos( ) - si( ) t G() - cos( ) - si( ) ) L prité d f st immédit doc st smétriqu pr rpport à l (O) - t f (t) t doc f st strictmt décroisst sur [ [ d plus, f() t lim ft () t b) Pour tout rél, F() prim l ir u du N t N domi : F( ) prim l opposé d N N ft () N t N l ir u du domi : or t N N ft () ot mêm ir, doc F( ) F() t F st impir c) Pour tout rél d [ [, F () f() Aisi F > t F st strictmt croisst sur [ [ L limit d F corrspod à l ir «sous l courb» sur [ [, doc lim F() ) Pour tout tir, u v [ f () f ()] b) Pour tout, u v > O chrch lors u tir tl qu < soit > O put prdr pour () l tir : () E c) Tblu ds cdrmts obtus à l clcultric : TD () F(), [,,], [,,] [,,], [,,9] [,9,] 9 [,,] L objctif d c TD st d rlir ls otios d ciémtiqu u clcul itégrl : prssio itégrl d l distc prcouru pr u mobil sur u vitss mo t vlur mo d l foctio vitss Pour tout t d [ [, (t) v(t) Doc v st u primitiv d sur [ [ t t t t (t t ) (t ) (t ) (t)dt v(t)dt Applictio umériqu Pr itégrtio pr prtis : ( ) t - ( ) t - t dt - ( t ) t, dt d où ( ) 9, soit ( ) m t ( V M ) t ( ) ( t - t ) t t t t L vlur mo d l foctio v sur [t t ] st : t - ( t vt ()dt t ) t t V t t t M Applictio umériqu V M 9, - vt ()dt ( ) soit V M, m s Corrigés ds rcics mîtrisr l cours (pg ) t Notio d itégrl Prmièrs propriétés ) I(f) b) I(f) c) I(f) si N N f() si < < t I(f) si N N f() si N < si N N t I(f) I(f) - I(f) Dssi M( ) t st l dmi-crcl d ctr O t d ro situé ds l dmi-pl d équtio I(f) Dssi M( ) ( ) ( ) t st l dmi-crcl d ctr A( ) t d ro situé ds l dmi-pl d équtio I(f) Corrigé ds l mul CHAP Itégrtio t primitivs

2 Ecdrmt, vlur mo ) Pour tout d [ ] : N N I N J b) Pour tout t d [ ] : I J t t t c) Pour tout d [ ] : si N si N si I N J ) Pour tout t d : lt l ltdt l dt ltdt l b) Pour tout d [ ] : - N - d N d - d N c) Pour tout t d : N si(t ) N N, si( t ) dt N (iéglité d l mo) Corrigé ds l mul 9 Ls résultts s obtit utilist l iéglité d l mo ) Pour tout t d [ ] : N N N N t t dt b) Pour tout d [ ] : N N N d N c) Pour tout d [ ] : l N l( ) N l l N l( ) d N l l µ Or, st l dmi-crcl d ctr O t d ro situé ds l dmi-pl d équtio d, doc d t µ ) f()d µ b) f()d µ l c) f()d f ()d µ ) Pour tout d [ ] : N - N N N N µ N - d b) Pour tout d [ ] : N l N N l d N N µ N c) Pour tout d [ ] : N N ( ) N d N ( ) N µ N Commtir : Si f st u foctio cotiu sur [ b], ( < b), boré pr ls réls m t M, d près l iéglité d l mo, b m(b ) N f ( )d N M(b ), d où m N N M, b - b f ( )d doc m N µ N M (Cci justifi l om d «iéglité d l mo») t Primitivs ) F () t t f() b) F () cos si f() ) F () f() - ( ) b) F () f() [ ( ) ] - ( ) ) F () l l f() b) F () f() l Corrigé ds l mul ) Oui, cr G() F() b) Oui, cr G() F() ) Oui, cr G() F() b) Oui, cr G() F() 9 No, cr G F st ps costt sur I : G F G F ) F() b) F() c) F() 9 ) F() b) F() c) F() - ) F() b) F() c) F() ) F() - - b) F() c) F() ) F() ( ) b) F() - ( ) c) F() ( ) d) F() ( ) 9 ) F() ( b) F() ) ( ) c) F() ( )

3 ) F() b) F() - ( ) c) F() ( ) ) F() si( ) cos( ) b) F() si cos() c) F() cos ) F() si b) F() si si si c) F() t 9 ) F() l( ) b) F() l( ) c) F() l( ) ) F() b) F() c) F() d) F() cos ) F() I b) F() I ] [ - ( ) c) F() I ) F() cos I b) F() si I c) F() si cos I Corrigé ds l mul ) F() I b) F() I c) F() l( ) l( ) l l - I ] [ Clculs d itégrls ) I b) I c) I - l ) I b) I c) I d) I ) I - b) I c) I l ) I b) I c) I d) I 9 ) I b) I c) I l d) I ) I l l b) I ( ) c) I - d) I ( ) Corrigé ds l mul ) I l - b) I l l c) I I d d l J d d l Γ désig l courb d l rstrictio d f à [ ] M( ) Γ ( ), N N, Γ st l qurt d crcl d ctr A( ) t d ro défii pour N N t I f()d f()d l J f()d f()d l ) I ( lt t lt)dt tdt - b) J l( t )dt c) K O costdt f() -, 9 - -, b I - d -d l l l f() -, (, b, c ) I ( )d l l -d Corrigé ds l mul costdt costdt costdt I d - d l l( ) si cos( ), cos - cos( ) si cos( ) cos( ) cos ( ) cos( ) cos( ) cos( ) cos( ) CHAP Itégrtio t primitivs

4 I d cos( )d cos( )d - - ) I (Posr u() l, u (), v (), v() ) b) I (Posr u(t) lt, u (t), v (t), v(t) t ) t ) I (Posr u(), u (), v () cos, v() si ) b) J (Posr u(), u (), v (), v() ) ) I (Posr u(), u (), v () si(), v() cos() ) b) J (Posr u(), u (), v (), v() ) Corrigé ds l mul F() tcostdt si cos (Posr u(t) t, u (t), v (t) cost, v(t) sit ) F() t ltdt l 9 9 (Posr u(t) lt, u (t), v (t) t, v(t) - t ) t lt F() t dt l (Posr u(t) lt, u (t), v (t), v(t) ) t - t F() t t dt (Posr u(t) t, u (t), v (t), v(t) ) t t t pour pprdr à chrchr (pg ) 9 Étblir u iéglité Ls outils : Clcul itégrl Eprssio d u ir pr u itégrl Compriso d irs Ls objctifs : Svoir démotrr u iéglité Svoir primr l ccroissmt d u foctio sous form itégrl ) Sur [ b], l foctio t sit st cotiu t positiv b doc I sitdt rprést l ir sous l courb si b) Air du trpèz ABCD : T ( si sib) ( b ) ( b ) sib ( b ) si L scod trm d ctt somm st positif doc : T ( b ) sib Aisi I T ( b ) sib, d où : cos cosb N ( b ) sib c) Lorsqu, l risomt précédt s ppliqu cosidért l trigl rctgl OBC, d ir bsib, t l iéglité st cor vérifié Lorsqu b, l iéglité à démotrr s écrit cos t ll st trivilmt vérifié Rchrchr u primitiv Ls outils : Itégrtio pr prtis Dérivtios succssivs Rltios foctiolls Ls objctifs : Svoir clculr u primitiv Svoir prévoir u doubl itégrtio pr prtis Svoir étblir ds rltios tr dérivés succssivs ) f st cotiu sur d où l résultt d près l théorèm b) Posr u (t) si(t), u (t) cos(t), v (t) t, v (t) t, d où l résultt pr itégrtio pr prtis ) Pr u scod itégrtio pr prtis : t cos ( t)dt cos( ) t si( t)dt cos( ) F() b) F() si( ) [ cos( ) F() ], d où : F() cos( ) si( ) ) f () [cos() si()] f () [cos() si()] b) f () f () f (),, b c) U primitiv sur d f st défii pr : f () f() cos( ) si( ) Not : O rtrouv (à u costt près) l prssio du b) Primitivs d P() Ls outils : Idtifictio d du écriturs polomils Dérivtio Form itégrl d u primitiv Itégrtio pr prtis Ls objctifs : Svoir prouvr l istc d u primitiv d u tp doé Svoir clculr sur ds polôms Svoir prévoir u tripl itégrtio pr prtis

5 Pour tout rél : F () f() (P () P()) ( ) P () P() Immédit : d(p) N Not : Il st isé d prouvr qu fit, d(p) Pour tout rél, ( b) (b c) c d pr idtifictio ds cofficits :, b, c 9, d t P() 9 O vérifi isémt qu P() pour dérivé () Aisi F : ( 9 ) st u primitiv sur d f Pr trois itégrtios pr prtis succssivs : F() ( t t t ) t dt t t t [ ( t ) ] t ( t t )dt ( ) G() [] G() t ( t t )dt t t [ ( t ) ] t ( t )dt ( ) H() [] H() t ( t )dt t [ ( t ) ] t dt ( ) ( ) [] D où F() ( 9 ) F st l primitiv d f, sur, qui s ul d où ( 9 ) st u primitiv du tp chrché U suit d itégrls Ls outils : Itégrtio pr prtis Clcul lgébriqu Ecdrmts d itégrls Ls objctifs : Svoir clculr l trm géérl d u suit d itégrls Svoir étblir puis ploitr u rltio d récurrc Svoir prouvr l covrgc d u suit I I ) Pour tout tir ( ) : I sitsi tdt [ cost si t] ( ) cos t si tdt ( ) ( si t)si tdt, soit I ( )(I I ) b) D où I - I Pour tout tir k : k I k I I k I k k k k I k I I I ) Pour tout tir, si > sur, doc I > b) Pr multiplictio mmbr à mmbr t simplifictio : k I k k I, k k k soit I k k k k Not : O put primr I k à l id d l ottio fctorill : I k ( k)! k ( k! ) c) D mêm : I k k k I, k k soit I k k k k k Not : O put primr I k à l id d l ottio fctorill : I k k ( k! ) ( k )! Prologmt : ) Pour tout d, N si N, d où l rgmt ds puisscs succssivs : N si N si N si N b) Pr itégrtio d cs iéglités sur, < I N I N I N I I d près b), doc N - N D près l théorèm d cdrmt, lim - D près : ( ) ( ) D où u - t lim u Covrgc d u suit d itégrls Ls outils : I I I I I I Compriso d foctios Ss d vritio d u suit Théorèm d cdrmt Ls objctifs : Svoir étudir l covrgc d u suit Svoir comprr ds itégrls Svoir étblir t ploitr u rltio d récurrc Cojcturs : (u ) st décroisst t covrgt vrs ) Pour tout t d [ ], N t N t I I D où - t - N - or, - I - I t I I t I I N N, d où N f (t) N f (t) [] t t b) Pr itégrtio d cs iéglités sur [ ], N u N u doc l suit (u ) st décroisst CHAP Itégrtio t primitivs

6 c) L grphiqu prmt d cojcturr qu ctt limit st ) Pour tout t d [ ], N N t N f (t) N t [] t b) Pr itégrtio sur [ ], - N u N - d où N u N - ( ) D près l théorèm d cdrmt, lim u ) D près l rmrqu, f (t) f (t) t pr itégrtio sur [ ], u u - [] t b) u dt t t dt [ t l( t) ] l c) Pour tout, f (t) > sur ] ], doc u > D près [], u -, doc u < u - D où l cdrmt N u N -, puis l covrgc d l suit (u ) vrs pour progrssr (pg ) Clculs d primitivs ) F() - ( ) b) F() ( ) c) F() d) F() - ( ) ) F() l( ) b) F() l( ) c) F() l( d) F() l( si) ) ) F() b) F() c) F() d) F() ) F() si b) F() - si c) F() l d) F() ) F() l b) F() l(l) c) F() l( ) 9 Corrigé ds l mul u () cos si cos cos - cos ( cos ) cos - cos - cos D où v() u () - Ls primitivs d v sur cos sot défiis pr [u() t] k, k Or V(), doc k t V() - si cos t f() - F() l( ) f() F() l( ) f() - F() l( ) ) F() l( ) l( ) l( 9) b) F() l( ) l( ) l(9 ) c) F() l( ) l( ) l( 9) f() - ( ) F() l( ) - f() F() ( ) - Corrigé ds l mul f() ( ) ( ) F() f() ( ) ( ) F() ( ) ( ) f() ( ) ( ) F() ( ) ( ) f() cos( si ) cos cossi F() si si f() si( si ) si( cos ) si sicos F() cos cos f() si[si cos ] si( cos )cos si[cos cos ] F() cos cos f() cos[si cos ] cossi ( si ) cos[si si si ] F() si si si 9 9

7 Pour ls rcics à, l liéristio à l id ds ombrs compls été bordé u chpitr, TD, pg, mis ll put ussi êtr trité à prtir ds formuls : si - cos( ), cos - cos( ) [] f() si cos( ) cos( ) F() si( ) - si( ) Empl d liéristio à l id ds formuls [] f() cos [ cos ] cos( ) [ cos( ) cos ( ) ] cos( ) cos( ) cos( ) cos( ) F() si( ) - si( ) f() si cos i i - i i i - ( i i )( i i i i ) - [ i i ( i i ) ( i i ) ] - cos( ) - cos( ) - cos( ) - F() si( ) - si( ) - si( ) - 9 i i f() cos si i i i - ( i i )( i i i i ) - [ i i ( i i ) ( i i ) ( i i ) ] - cos( ) cos( ) cos( ) cos - F() si( ) - si( ) si( ) si - 9 Corrigé ds l mul 9 f () (cos si) f () (cos si) f() f () f (), b F() f () f(), d où F() (cos si) 9 F() ( b c d) F () [ (b ) (c b) d c] Pour tout rél, F () f(), b, c, d F() 9 S il ist u tl polôm P, lors P st o costt t pour tout rél d ] [, F (), soit : P () P( ) D où ( )P () P() ( ) [] P st lors u polôm d dgré O pos P() b c d L coditio [] s écrit : (b ) (c b) c d, d où pr idtifictio ds cofficits :, b -, c, d O vérifi qu l polôm P obtu st bi solutio Aisi F() - L tu d ccroissmt d F st défii pour tout > pr : T() F ( ) F ( ) ( ) - - ( ) ( ) ( ) d où lim T() F st dérivbl vc F () f() doc F st u primitiv d f sur [ [ Clculs d itégrls 9 I - J - 9 I J 9 I l J l l 9 I J ( ) 9 I J 9 I J 99 I J -, b, c, I l l, b, c, J l I l J l - -, d où : ( ) ( ) - I l l, d où J 9 l ) f impir : I b) f impir : I ) f impir : I b) f impir : I CHAP Itégrtio t primitivs

8 I l( ) l I I -, d où : d d I (I I ) I - l Corrigé ds l mul f() ( ) f () f () ( ) d où f() f () f () f() f () f () doc u primitiv d f sur st défii pr F() f() f () ( ) D où : I F() F() f() si f () si cos f () cos si d où f() f () cos f() cos f () doc u primitiv d f sur st défii pr F() si f () si cos D où : I F F() Clculs à l id ds irs Dssi : I(f) Dssi : I(f) l l Corrigé ds l mul Γ st l qurt d crcl d ctr O t d ro r situé ds l prmir qudrt r r d r r - r r d r - r Γ O r f () - f () O utilis u itrpréttio pr ls irs st l img d pr T i doc : I ir( ) ir( ) d 9 ) I(f) O O st l img d pr doc : T j b) I(f) - - O c) I(f) 9 - I ir( ) ir( ) Or, ir( ) ( ) ir( ) doc I Rmrqu : U clcul dirct à prtir ds prssios d f () t f () prmt d obtir l résultt O O Dssi : I(f) l l O

9 ) k f N N, k f k soit N N k k k k, doc N N k k k k b) Amplitud : [f() f()] -, N I N, f st décroisst t positiv sur [ ] Pr l méthod ds rctgls : [ f () f () ] -, d où < Il suffit qu N doc O put prdr À l clcultric, à l id du progrmm du TD, pg 9 :, N I N, Rmrqu : L coditio st sulmt suffist l précisio put êtr obtu vt l rg f() si N N si < N L foctio ir st défii pr : si N N F() si < N Pour tout d [ [ ] ], F st dérivbl t F () f() Pour tout h tl qu < h <, h T(h) - F ( h) F (), h h doc lim T(h) h Pour tout h tl qu < h <, k ( h) T(h) - F ( h) F () h, h h doc lim T(h) h Aisi F st dérivbl vc F () f() F st doc u primitiv d f sur [ ] f() si N < si N N E évlut ls irs ds trpèzs idiqués, o défiit F() Si N <, F() ( ) ( ) Si N N, F() ( ) Pour tout d [ [ ] ], F st dérivbl t F () f() Pour tout h > ds I, h h T(h) F () h F () h, h h doc lim T(h) h Pour tout h < ds I, h T(h) F () h F () h, h h doc lim T(h) h F st doc dérivbl vc F () f() Aisi F st l primitiv d f sur [ ] tll qu F() Pour ls démostrtios t pr ls irs, o tritr qu ls cs où f st d sig costt sur [ ] Pr mpl, si f st positiv Pour N N, F() ft ()dt ir( ) désig l domi smétriqu d pr rpport à (O) F( ) ft ()dt ft ()dt ir( ) ir( ) F() Doc F st impir Pr mpl, si f st positiv sur [ ] Pour N N, F() ft ()dt ir( ) désig l domi smétriqu d pr rpport à O F( ) ft ()dt ft ()dt ir( ) ir( ) F() Doc F st pir ) F() t F( ) sot dérivbls sur [ ] doc G l st G () F () F () f() f(), cr f st pir G st doc costt sur [ ] Or G() doc G st l foctio ull Aisi, pour tout d [ ], F() F() t F st impir b) O pos H() F() F( ) D mêm, H () F () F () f() f(), cr f st impir H st l foctio ull sur [ ] d où F st pir Itégrtio pr prtis 9 F(t) l( t )dt ltdt ( l ) (voir l rcic résolu, pg ) Not : U itégrtio pr prtis ss trsformtio d l(t ) st ussi possibl F(t) ( t ) sitdt h [( t ) cost] costdt ( ) cos si CHAP Itégrtio t primitivs 9

10 F() l( t )dt [( t ) l( t ) ] dt ( ) l( ) l Not : N ps oublir qu l choi d u primitiv (à u costt près) put fcilitr ls clculs F() ( t ) t dt ( t ) t ( t ) t dt ( ) G() Or G() ( t ) t t dt ( ), doc F() Corrigé ds l mul F() ( l t) dt t( lt) [ ] ltdt (l) G() Or G() ltdt l (voir l rcic résolu, pg ), doc F() (l) l ) F() [ tcos( lt) ] si( lt) dt cos(l) G() b) G() [ tsi( lt) ] cos( lt) dt si(l) F() F() [cos(l) si(l) ] G() [ cos(l) si(l) ] I t [ cost] t sitdt cos J J t t [ si ] t costdt si I I (si cos ) t J ( si cos ) J() l( t )dt [( t ) l( t ) ] λ λ dt λ ( )l( ) (λ )l(λ ) ( λ) ) Pour tout t d ] [, o pos : F(t) (t )l(t ) t F (t) l(t ), doc F st u primitiv d t l(t ) sur ] [ Pour tout t d ] [, t > t t >, d où : H() λ λ [ t l( t ) l( t ) ]dt tdt λ J( ) l( t )dt λ ( )l( ) (λ )l(λ ) ( λ) ( )l( ) (λ )l(λ ) ( λ) ( )l( ) ( )l( ) λ λ (λ )l(λ ) (λ )l(λ ) b) lim [( )l( )] lim ulu, d où : vc σ(λ) λ (λ )l(λ ) (λ )l(λ ) f () - I l [ ( ) ] l - I J u lim H() l σ(λ), λ - d [ ] d J D où J [ I] l - Not : Ds l itégrtio pr prtis, écrir : 9 K [ cos( ) ] si( )d K Or K [ si( ) ] cos( )d K, doc : K K, d où K - I J d I J K cos( )d D où : I ( K) ( ), J ( K) ( ) I cos( ) d d K ( ) - ( ) D mêm : J cos( ) d d K ( ) ) f () b) I [ l( ) ] l( ) l( ) ) J I d K d b)k d [ ] d J c) J I l( ) l( ) K J I l( ) l( ) -d

11 N N impliqu N N t N N impliqu N si() N, doc N si() N Pr itégrtio sur, N I N D près l théorèm d cdrmt, lim I Pour tout > t pour tout t d [ ], - N N t D près l iéglité d l mo sur [ ], - N N, soit N l( ) N t dt - t st l primitiv sur d t, qui s ul, d où l écritur itégrl ) Pour tout t d, N tt N N t t N b) Pour tout d, d près l iéglité d l mo sur [ ] : Ecdrmt Théorèm d l mo N ( t t)dt N, soit N t N Corrigé ds l mul si si costdt Pour tout rél t, cost N, d où costdt N, doc si si N Not : L coséquc d l iéglité d l mo st util vc ds vlurs bsolus, ls bors sot lors qulcoqus u () u () u u(), doc v () u() v () v v(), doc N Aisi pour tout d [ ], N N [] [ ] [ ] N N - N - N - - ( ) D où N - N - [] ( ) ) Vérifictio immédit b) Pour tout d [ ], d près [] t ) : N - N - Pr itégrtio sur [ ] : N I N - l, d où, N IN, I, (à près) ) g () - g () l( ) g l T A : l b) P ir(oipa) u l l ir (OIBA) - l l( ) l[ ( ) ] u ir(oipa) N g ()d N ir(oiba), soit : l N N g ()d l[ ( ) ] I [ l( )] l( )d l( ) g ()d D où l cdrmt : l( ) l[ ( ) ] N I N l( ) l, soit - l N I N l - )I - l I I I d l - b) I I d - Pour tout d [ ], - N - N t >, d où - N - N Pr itégrtio sur [ ], - N I N - ( ) - lim lim -, doc : ( ) lim I I I - N N -, d près l théorèm d cdr- ( ) mt, lim CHAP Itégrtio t primitivs

12 Clcul d irs t d volums 9 f()d - cm f()d cm f()d cm f()d cm (f égtiv sur [ ]) l( t)dt [( t) l( t) ] dt l cm l égtiv sur l f()d ( ) l ([ ] d) ( l ) ( ) l cm Si, (α) α si, (α) lα si, (α) - - α Si, lim (α) si, lim (α) α α si, lim (α) - α L ir sous l courb sur l itrvll [ [ st ifii si ou t égl à - u dès qu ir( ) d u ir( ) d ir( ) - u ir( ) ir( ) ir( ) u u d Pour tout d, u u, doc (u ) st rithmétiqu d riso Ds ] [, l( ) f()d F() F( ) F( ) f()d vc F primitiv sur [ ] d l foctio : () l( ) U primitiv d l foctio l( ) st défii pr : G() t l( )dt [( t ) l( t ) ] dt ( ) l( ) l Aisi o put prdr F() ( ) l( ), d où o déduit qu ( )l( ) u l f()d F() F() F( ) f()d vc F primitiv d f sur [ ] U primitiv d l foctio ( ) st défii pr F() ( t ) t dt Pr doubl itégrtio pr prtis : F() [ ( t ) t ] t t dt ( ) G( ) G() [ t t ] tdt, d où F() ( ) Aisi ( ) u Corrigé ds l mul st smétriqu pr rpport à (O), doc m st tl qu l ir d st l moitié d cll d m m ( )d, ( )d m soit m m, d où : m t m 9 lim [f() ( )] lim, d où l résultt Pour tout rél, f() ( ) > doc st u-dssus d d λ λ S [f() ( )]d d ( λ ) u Équtio d l tgt T B : λ ( λ) λ, d où C( λ ) S λ u, d où S S (idépdt d λ) T B A O T : 9 (FD) : [ f() ( 9 ) ]d [ f() ]d 9 [ f() ( ) ]d B ( )d ( )d 9 ( )d u C O klm

13 Coditios : f(), f (), ft ()dt D où l sstèm Aisi, b, c : X O pos Y ds l rpèr (I i, j ), : Y X X X rprést l foctio X X X X défii sur cll-ci st impir doc I st ctr d smétri d lim [f() ( )] lim lim ( post u ) Doc d : st smptot à f() ( ) positio λ b c b c b b b c bc u u u u-dssus d d u-dssous d d poit commu ) (λ) d ( λ ) cm b) lim (λ) cm λ c) (λ) λ D où λ N doc λ l O pourr prdr λ l( ), Corrigé ds l mul E riso d l smétri pr rpport u pl psst pr O t prpdiculir à (O), il suffit d risor vc u pl d coup défii pour N N r L sctio st u couro circulir ctré sur (O) d ir : [(d r ) (d r ) ] dr Or r st tl qu r r doc S() d r r r V S()d d r r, d d - doc V dr (Voir l rcic pour l clcul d l itégrl) pl d coup AJ d JK JL r A K J L J r L r I f () ( ) f () f S f()d Pr itégrtio pr prtis S, cm ) Ls réls, b, c sot tls qu pour tout rél, G () f (), soit : [ (b ) b c] ( ), d où, pr idtifictio,, b, c - b) L sctio du solid pr u pl prpdiculir à l (O) st u disqu d ir S() f () S()d f ()d, cm - ( ) β f β ()d ( b c)d β ( α) [ ( β αβ α ) b( β α) c] h - [ ( β αβ α ) b( β α) c] D utr prt : B B B [ α bα c] [ β bβ c] α β b α β c [ ( α αβ β ) b( α β) c] Aisi h (B B B ) Il s git d u pplictio vc f() -, O α ( β α ) P() R - R - R ( ) D près l formul «ds trois ivu» : [R R R ] 9, soit m α b ( β α ) c( β α) CHAP Itégrtio t primitivs

14 Suits t itégrls Corrigé ds l mul Pr itégrtio pr prtis, I ) S k f k D où l idé d psr à l méthod ds rctgls b) f () ( ) f () f f st cotiu, strictmt croisst sur [ ] S rprést l somm ds irs ds rctgls supériurs ssociés à l subdivisio d [ ] sous-itrvlls d mêm mplitud L suit (S ) covrg doc vrs I f()d, O 9 ) I ( ) d ( ) [ ] d b) Pour tout d [ ], N N t >, doc : N ( ) N!! Pr itégrtio sur [ ], N I N! d D où N I N ( t, d près l théorèm! ) d cdrmt, lim I c) I ( )! ( ) d ( )! ( ) [ ] ( ) ( ) d ( [ )! ( )!I ] ( )! I ) ( )I doc l rltio st vri u rg O suppos l rltio vri pour u tir, lors : ( ) ( )! ( ) I ( ) ( )! ( ), ( )! I ( ) I doc ll st vri u rg D où l résultt pour tout ( ) b) Or lim I doc lim () I J ) I [ cos ] si d J J [ si ] si d I I J b) d où I t J I J - lim I lim - lim J - lim - t ϕ (t) ϕ ) ϕ (t) - ( t ) b) Pour tout t d [ ], t N ϕ(t) t N t, d où pr itégrtio sur [ ], t dt N N ϕ() t t dt t dt soit : N u N [] c) O pos h, lors : lim h lim - h h Pr pssg à l limit ds [], N N ) Pour tout t d [ ], ϕ(t) - t t - ( t ) t t I ϕ()dt t l t dt [ t l( t ) ] t b) L foctio t st strictmt croisst sur [ ] : t pour tout t d [ ], N N d où, puisqu ϕ(t) > : ϕ(t) N ϕ(t) N ϕ(t) t Pr itégrtio sur [ ], I N u N I c) D près l théorèm d cdrmt, (u ) covrg vrs I ) Pour tout d ] [, < l < Pour tout tir, (l) > t l >, d où ( l)(l) >, soit (l) (l) > b) I I [( l ) ( l ) ]d >, doc (I ) st décroisst

15 c) Pour tout t tout d [ ], (l), doc I I st décroisst mioré pr, doc ll covrg ) I ltdt [ tlt] dt b) Pour tout, I ( l ) d ( l ) [ ] ( ) ( l ) d ( )I [] c) I, I, I 9, ) D près [], ( )I I t I, doc : ( )I N Aisi N I N - t, d près l théorèm d cdrmt, (I ) covrg vrs b) D près [], I (I I ) D où I (I I ) or, lim (I I ) doc lim I Pour tout d ] [, f () - ( ) lim f(), lim f() lim ( l ) l( ) f () f α - l d l- α - l d α αl α l( α ) l α α α t ft ()dt dt t lt dt α lα αl α l( α ) l α ( α ) l α l ) Pour tout d [k k ], - N N k k k d près l iéglité d l mo, - N N k d k k k k b) d l( k ) lk l- k k fk () k D près ), - N fk () N, d où : k k k N f(k) N -, soit N f(k) N - k k kk ( ) ) Vérifictio immédit b) S , d où lim S α c) D près b), N f() N -, ( ) N f( ) N ( ) ( ) N f() N ( ) d où l sommtio : N f(k) N S Or, lim k S doc, d près l théorèm d cdr- mt, lim fk () k ) D près b), f(k) k k d k Pr sommtio ds rltios écrits pour k à k, k fk () k k t, utilist l rl- tio d Chsls, fk () u d, soit : fk () u l( ) l, k d où : fk () u l l - k b) Aisi u fk () l l -, d où : k lim u l I () d f ()!! f () f () D plus, f () f ()d f (), soit I () I ()! Pour tout, I () I () f () I () I () f () I () I () f () I () I () f () Pr sommtio, I () I () f (), soit : k k k k d ( )! I () I () [ f () f () ]d k! I () k - k! k k k k! ) Pour tout, f sur I doc u u prim l ir sous sur [ ] u b) Pour tout d [ ], < N d où, pr multiplictio pr, N N, soit N f () N!!!! CHAP Itégrtio t primitivs

16 c) Pr itégrtio sur [ ], N u N, soit :! d N u N ( )! D près l théorèm d cdrmt, lim u d) Or u -, doc k k! - ( u k k! ) D où lim - k! F () l( ) sur ] [ F > sur ] [ doc F st strictmt croisst Pour tout t d [ ], - N N (décroissc t d l foctio ivrs sur [ ]) D près l théorèm d l mo, - N N dt t soit : - N l( N ) O pos t ( > ), d où : N l( t ) N t t Pr itégrtio sur [ ] : N F() N, t dt t dt soit l( t) N F() N, doc : t l l( N F() N ) Pr pssg à l limit : l N N ) Sur [ ], l foctio t l( t ) st décroisst, d où N l( t ) N l( ) t, d près l iéglité d l mo, N u N l( ) b) D près l théorèm d cdrmt, (u ) covrg vrs S u k k k t t (d près l rltio d Chsls), soit S F( ) Or lim F( ), doc (S ) covrg vrs l(!) lk Pr compriso ds irs : ltdt N lk N ltdt (L prmièr itégrl st mjoré pr l somm ds irs ds rctgls «supériurs» lors qu l scod st mioré pr cll ds rctgls «ifériurs») D où ltdt N l(!) N ltdt [] k k k l( t ) dt l( t ) dt k k O Pour tout tir, u - l(! ) - l(! ) l( ) l Pour tout >, ltdt [ tlt] dt l Doc, d près [] : l N l(!) N ( ) l( ), d où pr divisio pr l > : - N u N ( ) l( ) [] l l l Or - - doc lim - D plus : l l l ( ) l( ) l l - - -, l d où lim ( ) l( ) l Aisi ls trms trêms d l iéglité [] ot pour limit t, d près l théorèm d cdrmt, (u ) covrg vrs Vri ou fu? Vri : pt d (AB) : b vlur mo : µ - b b d - ( b b ) Fu : F( ) pour dérivé : F ( ) f( ) 9 Vri : ds u rpèr orthogol, ls courbs ssociés à t t t t t sot smétriqus pr rpport à (O) Si st l domi situé tr ls droits d équtios,, t l courb d équtio, lors : t dt ir( ) ir( ), t dt vc domi smétriqu d pr rpport à (O) D où l résultt ( ) l l - l b Not : O put ussi fir u clcul dirct

17 Fu : sur [ ], t ϕ(t) - t st impir t cr pour tout t, ϕ( t) - t ϕ(t) t - t t Aisi l itégrl st ull Vri : pr itégrtio pr prtis : b b b tf ()dt t [ tf() t ] ft ()dt b b bf() b f() ft ()dt ft ()dt D où l résultt Fu : cotr-mpl : sur [ [, f(t) t t f(t) N t Alors F(t) ( u )du ( t ) t : F(t) > t sur Rmrqu : O pos, pour tout t d [ [, φ(t) F(t) t φ (t) f(t) t, doc φ (t) N φ st décroisst sur [ [ vc φ() L vlur d φ() F() st lors détrmit t φ (t) φ? Fu : - pour primitiv sur ] [ l foctio l( ) l l - ( st égtif sur ] [) Vri : si f dmt u tll primitiv F, lors : F() sur ] [, F() b sur ] [ F st dérivbl doc cotiu, d où : F() lim F() lim F() soit b Aisi pour tout, F() Mis lors, F () E prticulir F (), c qui st bsurd puisqu pr hpothès, F () f() Doc f ps d primitiv sur problèms d sthès (pg 9) Prti A Γ : g () : g() L sig d g détrmi l ss d vritio d g g () Prti B f () ( ) f () ( ) Pour tout rél, f () f () ( ), doc f st u solutio d (E) ) f solutio d (E) f f f f f f f f (f f ) (f f ) f solutio d (E) u f f solutio d (E ) b) (E ) : Solutios ds : u() C C Ls solutios d (E) sot ls foctios f du tp f u f Doc f() ( C), C g() t g() ( C) d où C Aisi g() ( ) h() ( C) t h () Or h () ( C ) doc C Aisi h() ( ) Prti C f () lim f() lim f() f () f T : O ) F st u primitiv d f sur équivut à, pour tout rél, F () f(), soit : [ ( b) b c] ( ), d où, b, c Aisi F() ( ) α b) (α) f()d [( α α ) α ] cm Not : (α) cm α lim T α CHAP Itégrtio t primitivs

18 Prti A g () ( ) ( ) lim g () g () l g Sur l itrvll [ [, g st cotiu strictmt décroisst t chg d sig doc l équtio g() dmt u solutio uiqu α g, t g(),9 sot d sigs cotrirs, doc < α < ) T : - - l b) - - l, d où v,9 t v, g(v ), t g(v ), sot d sigs cotrirs, doc,9 < α <,9 c) g() sur [ α] g() < sur ]α [ Prti B Tu d ccroissmt d f : lorsqu, T() - f() f () l( ) O pos h, lim T() lim l( h) h h Doc f st dérivbl t f ( f st u foctio impir, il suffit d étudir ss vritios sur - Pour tout >, f () l( ) - g - () f st du sig d g lim α f () f(α) f f() l lim l - - O pos pour tout d ] [, ϕ() l( ) ϕ () - ϕ () ϕ Aisi pour tout d ] [, ϕ() N doc l( ) N [] l lim T : L positio d t T st détrmié pr l sig d l foctio différc : d() : () - l( ) Or pour tout rél, >, doc d près [] : l( ) N l sig d d() st l opposé d clui d Aisi, st u-dssus d T sur ] [, u-dssous sur ] [ t T coup O Not : «trvrs» s tgt O l origi O st u poit d iflio T O r Prti C r Pour r >, F(r) ft ()dt ir( ) f st impir doc st smétriqu pr rpport à O Si st l domi smétriqu d pr rpport à O : r F( r) ft ()dt ir( ) ft ()dt r D où F( r) F(r) Aisi F st pir F () f() F D près B, pour tout t d [ ], N f() N t, d où pr itégrtio, N F() N Pour tout rél t, N N t t N t N t l(t ) N l(t ) N l(t ) l( t ) N- l( t ) N - l( t ) [] t t t Pour, J() lt dt ( l ) t F() ft ()dt ft ()dt F () ft ()dt Or, pour tout t d [ ], d près [], lt N f(t) N l lt, t t t d où, pr itégrtio sur [ ], J() N ft ()dt N l l F(), t, joutt F() à chqu mmbr : F() J() N F() N F() l l J(), soit F() (l) N F() N F() l l (l) [] O déduit qu lim F() Pour, d près (), F - () ( l ) F - N - () N F () l - l ( - l ) Or lim l ( l ) t lim - l, lim doc, d près l théorèm d cdrmt, lim F - ()

19 F lim f() Pour tout d I, f() - f() > t lim [f() ], doc d : st smptot à t, sur I, st u-dssus d d st cotiu t positiv sur I, doc m d prim l ir ( u) du domi sous l courb sur [ m] D où l o déduit qu : m d ) u - m u b) MNH st u trigl rctgl isocèl d hpotésus [MN], d où MN ( m m) ) OM i j OM X u Y v X( i j ) Y( i j ) (X Y) i (X Y) j D où ls formuls d chgmt d rpèr X ( ) équivlts à Y ( ) O ot :, t Γ : XY, X XY XY M X Y X X Y M Γ XY Réciproqumt, M Γ X <YN < N D cs iéglités o déduit : d où puis > Aisi M Γ M f > Doc Γ, O X Y X Y b) Ds l rpèr (O u, v ), K st tl qu : X K X A ( A A ) H st tl qu Y H Y M ( M M ) (m m ) L uité d ir du ouvu rpèr st u, d où : m m ( ) ( m m ) -dx - dx X X Aisi ( m m ) l l l( m m ) u m c) m - m m l( ) ( m m), m d où d m m l( m m ) Prti A f () ( ) lim f() f() f () f O Pr itégrtio pr prtis, I f()d [ ( )] d Prti B ) Sur [ ], N N, d où N N, puis : N N b) J - c) Pr itégrtio d l iéglité ) sur [ ], - N I N - Pour, I d [ ] ( ) d ()I ) k ()! I ()! ()I ()(! I ) ()k CHAP Itégrtio t primitivs 9

20 b) k I Aisi k O suppos qu il ist u tir ( ) tl qu k lors k ()k doc k D où l résultt c) Pour tout, < - N I N - < doc I Pr l bsurd : si!, lors I! k, c qui cotrdit l résultt précédt Doc! ) Si q, lors q divis! t doc! p q b) Si étit u rtiol p, lors pour q, o urit q!! p tir, c qui st bsurd d près c) q Doc st irrtiol pour chrchr plus (pg ) 9 Sur [ ], f() f () f () f 9, S t d Aisi st ussi u primitiv d ( cos si ) f sur I ( ) ( cos si ) [ cos( ) ( ) cos( ( )) ] ( - ) ( ) Pour tout tir, ( ) I ( ) ( ) O O chrch l vlur du cofficit dirctur t d d tl qu l ir S rprést l moitié d l ir S sous l courb S ( )d L itrsctio d d t pour coordoés ( t t t ) t t S ( f() t)d (( t) )d ( t) t ( - t) Doc t st tl qu ( t) t comm t st écssirmt positif, t U primitiv sur d () si st défii pr F() t sitdt Pr doubl itégrtio pr prtis, F() t t [ si ] t costdt si t [ cost] sitdt si cos F() D où F() ( cos si ) ( - ) ( ) I (I ) st u suit géométriqu d riso q t d prmir trm I ( ) S I p p st l somm ds prmirs trms d ctt suit géométriqu, d où S I q q I Or q < d où lim S -, soit lim S q Not : D près l rltio d Chsls, ( ) S t sitdt t lim ( ) t si tdt R st l ro d l dmi-sphèr L sctio d Σ pr u pl prpdiculir à l (O), défii pr l hutur ( N N h) st u couro circulir ctré sur l Ro itériur : ρ tl qu ρ R h Ro tériur : r tl qu r R Air d l couro : S() (r ρ ) (h ) h h D où S()d ( h )d h - Not : C volum équivut à clui d l dmi-boul d ro h