RESEAUX LINEAIRES EN REGIME SINUSOIDAL FORCE (RSF)

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1 ESEAX LINEAIES EN EGIME SINSOIDAL FOE (SF) ESEAX LINEAIES EN EGIME SINSOIDAL FOE (SF) Plan (lquer sur le ttre pour accéder au paragraphe) ********************** I. Exemple prélmnare... II. La notaton complexe.... III. Impédance et admttance complexe IV. Théorèmes pour les crcuts lnéares en SF... 6 V. Etude du crcut L sére en SF VI. Pussance en régme snusoïdal forcé.... ********************** I. Exemple prélmnare. e(t ) ~ Almentons un crcut (,) par un générateur snusoïdal de fem e(t) = E cos ωt. Alors : e(t) = + u = o u+ u L équaton dfférentelle sur est donc : τ u o + u = E cos ωt () En régme SF, on ne s ntéresse qu à une soluton partculère de cette équaton, et on cherche : = cos (ωt + ϕ) Alors : o u = - ω sn (ωt + ϕ) Et en reportant dans () : - ωτ sn (ωt +ϕ) + cos (ωt + ϕ) = E cos ωt Ans : sn ωt cos ϕ + cos ωt sn ϕ cos ωt cos ϕ sn ωt sn ϕ cos ωt [ω τ sn ϕ + cos ϕ] + sn ωt [- ω τ cos ϕ sn ϕ] = E cos ωt, t ce qu mplque : - ωτ cos ϕ - sn ϕ = 0 E - ωτ sn ϕ - cos ϕ = Page Franços MOAND EduKlub S.A. Extrat gratut de document, le document orgnal comporte 5 pages.

2 ESEAX LINEAIES EN EGIME SINSOIDAL FOE (SF) On en dédut : cos ϕ = - τ ω sn ϕ = cos ϕ = τω + τω + τ ω Donc : = E + τ ω On vot que, pour un crcut très smple, les calculs en notaton réelle sont assez longs. Nous allons donc utlser la notaton complexe, qu permettra de résoudre de manère élégante et assez rapde les exercces et problèmes sur les crcuts lnéares en SF. II. La notaton complexe. II.. Défntons. Sot x(t) = X cos (ωt + ϕ) une grandeur snusoïdale de pulsaton x. *On assoce à x(t) sa grandeur complexe nstantanée : x(t) = X e j( ωt + ϕ) em. : en physque, " " = / e Π évter une confuson avec l ntensté. est souvent noté "j", en partculer en électrcté pour On a alors : x(t) = e (x(t)) *On pose auss : X = X M e = X (ou parfos X = X e e ) X est l ampltude complexe assocée à x(t) : pour une pulsaton ω donnée, la connassance de X donne X et ϕ, donc caractérse parfatement la grandeur x(t). Page Franços MOAND EduKlub S.A. Extrat gratut de document, le document orgnal comporte 5 pages.

3 ESEAX LINEAIES EN EGIME SINSOIDAL FOE (SF) II.. Intérêt : l s agt de remplacer toute relaton dfférentelle lnéare par une relaton lnéare non dfférentelle. En effet : o x = (jω) x oo x = (jω) x = - ω x x (n) = (jω) n x Dérver en notaton complexe revent donc à multpler par jω. em. : j = / e Π, et on retrouve que dérver une foncton snusoïdale revent à ajouter Π / à l argument (rotaton de Π ) : d (cos ωt) = cos (ωt + Π /) = - sn ωt dt De même : x (t) dt = x jω III. Impédance et admttance complexe. Alors : Nous admettrons c la proprété mathématque suvante : x(t) = y(t), t x(t) = y(t) III.. ésstance : (t) A B = (t) = (t) On pose alors : u = = Z I - mpédance complexe du dpôle Pour une résstance : Page 3 Franços MOAND EduKlub S.A. Extrat gratut de document, le document orgnal comporte 5 pages.

4 ESEAX LINEAIES EN EGIME SINSOIDAL FOE (SF) III.. Bobne : (t) L = L o (t) = L o (t) Ans : u = (jlω) : jlω jω III.3. ondensateur : (t) (t) = o u (t) (t) = o = (jωu) Ans u = : III.4. Généralsaton : sot un dpôle AB en SF : A (t) B Dpôle Posons : (t) = I cos ωt (t) = I j t e ω = cos (ωt+ϕ) = j t e ω e On défnt alors : u = I -, mpédance complexe du dpôle Y = - u = Z, admttance complexe du dpôle On vot alors que : I («mpédance» en Ω du dpôle) Arg ϕ = déphasage u/ Page 4 Franços MOAND EduKlub S.A. Extrat gratut de document, le document orgnal comporte 5 pages.

5 ESEAX LINEAIES EN EGIME SINSOIDAL FOE (SF) De même : Y = Y = I = Z (en S) Arg Y = - ϕ = déphasage /u Notaton : I Z B A = Z I Et on retendra : Z = Z = ϕ = 0 Z L = j L ω Z L = L w ϕ = + Π/ Z = Z = ω ϕ = -Π/ III.5. Exemples de calcul : les los des nœuds et des malles restant valables en notaton complexe, on aura : Y = Z Y en sére en parallèle L + Y = + Y = + jlω + ω + jlω Lω ϕ = - Arctan ω + ω Lω Lω ϕ = - Arctan ω ϕ ± Π/ Page 5 Franços MOAND EduKlub S.A. Extrat gratut de document, le document orgnal comporte 5 pages.

6 ESEAX LINEAIES EN EGIME SINSOIDAL FOE (SF) em. : dans tous les calculs en SF, on retrouve des groupements sans dmenson, du type : Lω ω,, Lω (ce qu permet de vérfer l homogénété des résultats obtenus). IV. Théorèmes pour les crcuts lnéares en SF. La relaton u = Z généralsant, en notaton complexe, la lo d Ohm ; les los des nœuds et des malles restant valables en notaton complexe : tous les théorèmes vus en I et II (dvseurs de tenson et courant, théorème de Mllmann, transformaton trangle/étole, théorème de superposton, théorème de Thévenn/Norton) restent valables en SF, à condton d utlser la notaton complexe. IV.. Dvseur de tenson. Z = Z Z + Z Z Ex : e s s = + e Sot s = + e em. : on retrouve l exemple prélmnare, et donc beaucoup plus rapdement que : s = e + ω Page 6 Franços MOAND EduKlub S.A. Extrat gratut de document, le document orgnal comporte 5 pages.