Probabilités conditionnelles. Loi binomiale. TD

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1 MTHÉMTIQUES ENSM Cours PI Marc Bizet 0-04 Probabilités coditioelles. Loi biomiale. TD Exercice M. Cruciverbis achète u hebdomadaire chaque semaie, et il essaie systématiquemet de résoudre la grille de mots croisés proposée. Deux fois sur trois, il achète l hebdomadaire, et ue fois sur trois l hebdomadaire B. Trois fois sur quatre, il parviet à achever la grille proposée das l hebdomadaire. Il résout etièremet celle de l hebdomadaire B, plus difficile, ue fois sur deux.. Choisir des otatios et costruire u arbre podéré décrivat la situatio.. M. Cruciverbis etre chez le libraire pour acheter so hebdomadaire. Quelle est la probabilité qu il e ressorte avec l hebdomadaire B et qu il sache résoudre etièremet la grille de mots croisés qui y est proposée? Exercice fi d équiper les élèves des groupes scolaires de la commue, ue muicipalité achète auprès d u grossiste des stylos-billes de trois marques différetes,, B et C. 40 % des stylos commadés sot de marque, la mois chère ; parmi ces stylos, % sot défectueux. % des stylos commadés sot de marque B, et 0 % de ces stylos sot défectueux. % des stylos commadés sot de marque C, et % de ces stylos sot défectueux. O choisit au hasard u stylo das le stock de la muicipalité.. Costruire u arbre podéré décrivat la situatio étudiée.. Détermier la probabilité que le stylo choisi soit défectueux.. Le stylo choisi est u bo état de foctioemet. Quelle est la probabilité, au cetième près, qu il soit de marque C? Exercice Chaque mati de classe, M. Bizet peut être victime de deux évèemets idépedats : R : «il eted pas so réveil soer» ; S : «so véhicule, mal etreteu, tombe e pae». Il a observé que chaque jour de classe, la probabilité de R est égale à 0, et que celle de S est égale à 0,0. Lorsqu au mois l u des deux évèemets se produit, M. Bizet est e retard à l ENSM ; sio, il est à l heure.. Calculer la probabilité qu u jour de classe doé, M. Bizet etede so réveil soer et que so véhicule tombe e pae.. Calculer la probabilité que M. Bizet soit à l heure à l ENSM u jour de classe doé.. u cours d ue semaie, M. Bizet se red ciq fois à l ENSM. O admet que le fait qu il etede so réveil soer u jour de classe iflue pas sur le fait qu il l etede ou o les jours suivats. Quelle est la probabilité que M. Bizet etede le réveil au mois quatre fois au cours d ue semaie? rrodir le résultat à la quatrième décimale. - -

2 MTHÉMTIQUES ENSM Cours PI Marc Bizet 0-04 Exercice 4. Détermier le plus petit etier tel que la probabilité d obteir au mois la face sur lacers successifs et idépedats d u dé tétraédrique bie équilibré, soit supérieur à 0,999.. Même questio pour redre la probabilité d obteir au mois deux fois la face, supérieure à 0,999. Exercice O lace deux dés cubiques bie équilibrés dot les faces sot umérotées de à 6 ; l u est rouge et l autre bleu. Quelle est la probabilité d apparitio d ue somme des faces obteues impaire sachat que le dé bleu affiche? Exercice 6. Soit p ( B) 6 et p( B). Calculer ( ). Soit p( B) 7 et p ( ). Calculer p( B) B P.. Exercice 7 - QCM Ue expériece aléatoire est modélisée par l arbre des probabilités ci-cotre. O doe : ( ) =, p ( B) p =. = et P( B) Das chacu des cas suivats, idiquer la (ou les) boe(s) répose(s).. p( B) = a. b. c. p( B) p B = a. P ( B). ( ) b. c. p( B ). p ( B ) = a. p ( ) B b. p ( B) c p( B) = a. 6 b. p( B) c. p( B) pb ( ). p( B ) = a. p ( B) + p ( B) 6. p( B) = a pb ( ) = a. p ( B ) b. 9 0 b. 9 0 b. 4 9 p = a. p ( ) b. pb ( ) 8. B ( ) B c. p( B ) + p( B ) c c. c. ( ) p( B) p B - -

3 MTHÉMTIQUES ENSM Cours PI Marc Bizet 0-04 Exercice 8 QCM L uivers Ω est formé de 60 résultats possibles. O a schématisé ci-cotre la répartitio des résultats possibles au sei de chacu des évèemets X, Y et Z. Pour chaque questio, détermier la (ou les) propositio(s) exacte(s) : a. p( X) = b. p( X) = c. p( Y) = 60 8 = 60 p Y Z = 7 p Y = X. a. p( X Y) = b. p( X Y) = c. p( X Y). a. p( Y Z) = b. p( Z) = c. ( ) 4. a. p ( X) = b. p ( Y) = c. ( ) Y Z Exercice 9 Ue ure cotiet ciq boules idiscerables au toucher : trois bleues et deux rouges. O tire au hasard, successivemet et sas remise, deux boules de l ure. Calculer les probabilités que : a. La secode boule tirée soit bleue sachat que la première est rouge ; b. La secode boule tirée soit rouge sachat que la première est bleue ; c. La première boule tirée soit bleue sachat que la secode est rouge ; d. La première boule tirée soit bleue sachat que les deux boules tirées sot de même couleur. Exercice 0 vrai/faux U service de recrutemet reçoit dossiers dot 6 comportet u avis favorable et les 9 autres u avis défavorable. Les dossiers sot classés au hasard. La probabilité de l évèemet : a. «Le premier dossier est favorable et le secod défavorable» est 9. b. «Les deux premiers dossiers sot favorables» est 7. c. «Les deux premiers dossiers sot défavorables» est 6 7. d. «u mois u des deux premiers dossiers est défavorable» est 6 7. e. «Das les 8 premiers dossiers, sot favorables et défavorables» est 6 4. Exercice Ue ure U cotiet trois boules oires et ue blache, ue ure V deux boules oires et deux blaches. Toutes ces boules sot idiscerables au toucher. O lace u dé régulier à six faces et si o obtiet, o tire ue boule au hasard das U, sio o tire ue boule au hasard das V. Quelle est la probabilité de tirer ue boule blache? - -

4 MTHÉMTIQUES ENSM Cours PI Marc Bizet 0-04 Exercice vrai/faux O dispose d u lot L de vis proveat pour 0 % de l usie U, 0 % de l usie V et 0 % de l usie W. La probabilité qu ue vis veat de U soit défectueuse est 0,0. La probabilité qu ue vis veat de V soit défectueuse est 0,0. La probabilité qu ue vis veat de W soit défectueuse est 0,04. O tire au hasard ue vis du lot L. 9 a. La probabilité que la vis viee de U et soit défectueuse est 00. b. La probabilité que la vis viee de U ou V est 8 0. c. La probabilité que la vis soit défectueuse sachat qu elle proviet de V est d. La probabilité que la vis soit défectueuse est e. La probabilité que la vis viee de W sachat qu elle est défectueuse est. 00. Exercice Voici la répartitio des pricipaux groupes saguis des habitats de la Frace : Groupe O Groupe Groupe B Groupe B Rhésus +,0 % 8, % 6, %,8 % Rhésus - 9,0 % 7, %, % 0, % O choisit ue persoe au hasard das la populatio fraçaise. O ote R + l évèemet «la persoe a le rhésus +», O l évèemet «la persoe est du groupe O» etc + a. Détermier p( R ) et p( R ). b. Quelle est la probabilité qu ue persoe apparteat au groupe O soit de rhésus positif? c. Les évèemets R + et O sot-ils idépedats? Exercice 4 vrai/faux U sodage auprès des Termiales du Lycée Malbouffe doe les résultats suivats : 6 % de ces Termiales regardet Master Chef. Parmi les Termiales regardat Master Chef, 40 % sot e Termiale S. Parmi les Termiales e regardat pas Master Chef, 0 % sot e Termiale S. O iterroge au hasard u élève de Termiale du Lycée Malbouffe. O ote MC l évèemet «l élève iterrogé regarde Master Chef» et TS l évèemet «l élève iterrogé est e Termiale S». =. 4 p TS =. MC pmc TS =. p MC TS =. p TS =. 00 a. p( MC TS) b. ( ) c. ( ) d. ( ) e. ( ) - 4 -

5 MTHÉMTIQUES ENSM Cours PI Marc Bizet 0-04 Exercice vrai/faux Le retour des vis : o dispose d u lot L de vis proveat pour 0 % de l usie U et 70 % de l usie V. La probabilité qu ue vis veat de U soit défectueuse p. La probabilité qu ue vis veat de V soit défectueuse p. O tire ue vis du lot. a. O a écessairemet p = p. p b. La probabilité que la vis viee de U et soit défectueuse est 0. 7p c. La probabilité que la vis soit défectueuse sachat qu elle viet de V est 0. Exercice 6 Deis le jardiier etretiet le jardi de Reé. Deis : «deux fois sur trois, si j arrose le mati, il pleut le soir!» Reé : «oui, mais quad vous arrosez pas le mati, c'est-à-dire trois jours sur quatre, il e pleut pas le soir quatre fois sur ciq!» raud arrive u soir à l improviste das le jardi de Reé. Quelle est la probabilité qu il pleuve? Exercice 7 À u carrefour doté d u feu tricolore, o a remarqué que : % des véhicules s arrêtet au feu vert ; 6 % des véhicules s arrêtet au feu orage (comme le code de la route le demade) ; 97 % des véhicules s arrêtet au feu rouge. O décide d observer le comportemet d u véhicule se présetat au carrefour. O admet que l état du feu, à l arrivée du véhicule, est aléatoire, et que la probabilité que le feu soit vert est de 0,6, celle qu il soit orage de 0, et celle qu il soit rouge de 0,.. Quelle est la probabilité que le véhicule observé s arrête?. Le véhicule est passé. Quelle est la probabilité qu il l ait fait au feu rouge? Exercice 8 a. Soiet deux évèemets et B vérifiat : p( ) 4 ; p( B) ; ( ) sot-ils idépedats? b. et B sot deux évèemets idépedats tels que : p( ) ; ( ) p( B ). c. Soiet et B deux évèemets tels que : p( ) 8 ; p( B) ; ( ) pb ( ). et B sot-ils idépedats? p B 8. et B P B 7. Calculer p B 86. Calculer Exercice 9 O lace simultaémet deux dés équilibrés, u rouge et u vert, dot les faces sot umérotées de à 6. O cosidère les évèemets suivats : R : «le uméro sorti sur le dé rouge est pair» ; V : «le uméro sorti sur le dé vert est pair» ; S : «la somme des uméros sortis est paire». a. Démotrer que S et V sot idépedats. b. Les évèemets S et R sot-ils idépedats? c. Les évèemets S et V R sot-ils idépedats? - -

6 MTHÉMTIQUES ENSM Cours PI Marc Bizet 0-04 Exercice 0 U sac cotiet 4 jetos umérotés respectivemet, 0, 0, et idiscerables au toucher. O tire u jeto du sac, o ote so uméro x et o le remet das le sac ; o tire u secod jeto, o ote so uméro y et o le remet das le sac ; puis o tire u troisième jeto, o ote so uméro z et o le remet das le sac. Tous les jetos ot la même probabilité d être tirés. À chaque tirage de trois jetos, o associe, das l espace mui O; i; j; k le poit M de coordoées d u repère orthoormal ( ) ( x; y;z ). Sur le graphique ci-cotre, sot placés les 7 poits correspodat aux différetes positios possibles du poit M. Les coordoées du poit sot ( ; ; ) das le repère O ; i ; j ; k. O ote C le cube BCDEFGH. ( ). Démotrer que la probabilité que le poit M soit e vaut. O ote E l évèemet «M est sur l axe des abscisses». Démotrer que p( E ) = Soit P le pla passat par O et orthogoal au vecteur ( ; ; ) a. Détermier ue équatio cartésiee du pla P. b. Tracer e couleur sur le graphique ci-dessus, la sectio du pla P et du cube C. c. O ote E l évèemet «M appartiet à P». Quelle est la probabilité de l évèemet E? 4. O désige par B la boule de cetre O et de rayo,. O ote E l évèemet «M appartiet à la boule B». Détermier la probabilité de l évèemet E.. Exercice O a truqué u dé de sorte que les probabilités d apparitio de chaque face lors d u lacer soiet doées par le tableau ci-cotre. Numéro 4 6 Probabilité 0,4 0, 0, 0,0 x y. Détermier x et y sachat que l apparitio du est quatre fois plus probable que celle du 6.. Calculer la probabilité d apparitio d u uméro impair.. Calculer la probabilité d apparitio du sachat que le uméro sorti est impair. Exercice Das ue famille doée, o suppose qu à chaque aissace, la probabilité d avoir ue fille est la même que celle d avoir u garço. O ote l évèemet «la famille a au plus ue fille» et B l évèemet «la famille a des efats des deux sexes». Les évèemets et B sot-ils idépedats : a. das ue famille de deux efats? b. das ue famille de trois efats? - 6 -

7 MTHÉMTIQUES ENSM Cours PI Marc Bizet 0-04 Exercice Deux grossistes proposet des bulbes de tulipe. Le premier produit des bulbes à fleur rouge dot 90 % doet ue fleur. Le secod produit des bulbes à fleurs jaues dot 80 % doet ue fleur. U bulbe doe au plus ue fleur. U horticulteur achète 70 % de ses bulbes au premier grossiste et le reste au secod. Il plate u bulbe tiré au hasard das so stock. Quelle est la probabilité que ce bulbe fleurisse? Exercice 4 Ue etreprise fabrique ue grade quatité de stylos destiés à être livrés das des grades surfaces. O prélève au hasard u stylo das ue importate livraiso et o appelle E l évèemet p E 04. «le stylo a u défaut de fabricatio». O suppose que ( ) O prélève au hasard vigt stylos das la livraiso. Le ombre importat de stylos permet d assimiler ce prélèvemet à u tirage avec remise de vigt stylos. O appelle X la variable aléatoire égale au ombre de stylos ayat u défaut de fabricatio das u prélèvemet de vigt stylos.. Justifier que la variable aléatoire X suit ue loi biomiale. Préciser les paramètres de cette loi.. Le directeur de l etreprise préted que das u tel prélèvemet, il y a eviro trois chaces sur quatre qu aucu stylo ait u défaut. -t-il raiso? Justifier par u calcul.. Ces stylos sot ragés, par vigt, das des boîtes et livrés das u supermarché das des cartos de 0 boîtes. Le gérat du supermarché, qui reçoit les cartos, affirme qu il y a aussi trois chaces sur quatre qu aucu stylo ait u défaut das u carto de 0 boîtes. -t-il raiso? Justifier par u calcul. Exercice QCU ( seule boe répose). Ue ure comporte ciq boules oires et trois boules rouges idiscerables au toucher. O extrait successivemet et sas remise deux boules das l ure. La probabilité d obteir deux boules rouges est : 7 a. b. c. d u cours d ue épidémie de grippe, o vaccie le tiers d ue populatio. Parmi les grippés, u sur dix est vaccié. La probabilité qu ue persoe choisie au hasard das la populatio soit grippée est 0,. La probabilité pour u idividu vaccié de cette populatio de cotracter la grippe est égale à : a. 0 b. 40 c. d. 0 Exercice 6 ecore des aissaces Das ue materité, o observe aissaces, etier strictemet positif. O admet que das cette materité la probabilité qu u ouveau-é soit ue fille est de 0, 49. Les aissaces sot supposées idépedates.. Combie de aissaces faut-il attedre pour que la probabilité qu il aisse au mois ue fille soit supérieure à 0, 9?. Combie de aissaces faut-il attedre pour que la probabilité qu il aisse au mois deux filles soit supérieure à 0, 9? - 7 -

8 MTHÉMTIQUES ENSM Cours PI Marc Bizet 0-04 Exercice 7 QCU (répose uique) U lecteur d ue bibliothèque est passioé de romas policiers et de biographies. Cette bibliothèque lui propose 0 romas policiers et 0 biographies. 40 % des écrivais de romas policiers sot fraçais et 70 % des écrivais de biographies sot fraçais. Le lecteur choisit u livre au hasard parmi les 00 ouvrages.. La probabilité que le lecteur choisisse u roma policier est : a. 0,4 b. 0,7 c. 0. Le lecteur ayat choisi u roma policier, la probabilité que l auteur soit fraçais est : a. 0, b. 0,8 c. 0,4. La probabilité que le lecteur choisisse u roma policier fraçais est : a., b. 0,4 c. 0, 4. La probabilité que le lecteur choisisse u livre d u écrivai fraçais est : a. 0,9 b. 0,7 c. 0,47. La probabilité que le lecteur ait choisi u roma policier sachat que l écrivai est fraçais est : 4 a. b. c. 0, Le lecteur est veu vigt fois à la bibliothèque, la probabilité qu il ait choisi au mois u roma policier est : 0, b. 0 0, 7 a. ( ) 0 c. 0, 7 ( 0, ) 0 Exercice 8 Ue ure cotiet 00 boules idiscerables au toucher : 90 rouges et 0 oires. Ue ure B cotiet égalemet 00 boules idiscerables au toucher : 0 rouges et 70 oires. O lace u dé cubique équilibré dot les faces sot umérotées de à 6. Si le uméro obteu est, o tire ue boule das l ure ; sio o tire ue boule das l ure B. O ote l évèemet «tirer ue boule de l ure», B l évèemet «tirer ue boule de l ure B», R l évèemet «tirer ue boule rouge» et N l évèemet «tirer ue boule oire».. Costruire u arbre illustrat la situatio.. Décrire par ue phrase l évèemet R et calculer sa probabilité. p R 40.. Motrer que ( ) 4. Sachat que la boule obteu est rouge, calculer la probabilité qu elle proviee de l ure.. Les évèemets et R sot-ils idépedats? Exercice 9 vrai/faux O lace deux dés dot les faces sot umérotées de à 6. pour chaque dé, les probabilités d obteir ue des six faces sot égales. O ote S la somme des poits des faces supérieures. Si S, o gage 0 poits, si < S o gage 0 poits, si < S < 0 o gage poits et si 0 s o gage poit. O ote X la variable aléatoire doat le ombre de poits par lacer. a. p( X = 0) = p( X = ) = = 9 p X = 8 p X 0 = 8 64 E X = 9 b. p( X ) c. ( ) d. ( ) e. ( ) - 8 -

9 MTHÉMTIQUES ENSM Cours PI Marc Bizet 0-04 Exercice 0 U carré de 0 cm est partagé selo les 0 zoes suivates : U disque D de rayo cm ; 8 secteurs S, S,, S 8 de même aire délimités par les frotières du disque D et du disque D de même cetre et de rayo 9 cm ; Ue zoe R etre le disque D et le bord du carré. O place u poit aléatoiremet das le carré. La probabilité de placer le poit das ue zoe quelcoque est proportioelle à l aire de cette zoe.. Détermier la probabilité p( D ) pour que le poit soit placé das le disque D.. Détermier la probabilité p( S ) pour que le poit soit placé das le secteur S.. O utilisera pour la suite les valeurs approchées suivates : p D 0, ( ) = et pour tout k apparteat à { ; ; ; ; ; ; ; }, ( ) p S 078. À cette situatio aléatoire est associé le jeu suivat : U poit placé das le disque D fait gager 0 euros ; U poit placé das le secteur k fait gager k euros pour tout k apparteat à ; ; ; 4; ; 6; 7; 8 ; { } U poit placé das la zoe R fait perdre 4 euros. O ote X la variable aléatoire égale au gai algébrique. p R pour que le poit soit placé das la zoe R. Calculer a. Calculer la probabilité ( ) l espérace de X. b. O joue deux fois de suite. O a doc placé deux poits de maière idépedate das le carré. Calculer la probabilité d obteir u gai total positif ou ul. c. Soit u etier aturel supérieur ou égal à deux. O joue fois de suite. O a doc placé poits de maière idépedate das le carré. Calculer la probabilité p d obteir au mois u poit placé das le disque D. Détermier la plus petite valeur de telle que p 0, 9. Exercice Ue ure cotiet 0 boules blaches et boules rouges, état u etier aturel supérieur ou égal à. O fait tirer à u joueur des boules de l ure. chaque tirage, toutes les boules ot la même probabilité d être tirées. Pour chaque boule blache tirée, il gage euros, et pour chaque boule rouge tirée, il perd euros.. Le joueur tire deux fois successivemet et sas remise ue boule de l ure. 0 a. Démotrer que : p( X = ) = ( ) ( ) b. Calculer e foctio de la probabilité correspodat aux autres valeurs prises par la variable X. c. Vérifier que l espérace mathématique de la variable X vaut : E( X) = ( )( ) d. Détermier les valeurs de pour lesquelles l espérace mathématique est strictemet positive.. Le joueur tire 0 fois successivemet et avec remise ue boule de l ure. Les tirages sot idépedats. Détermier la valeur miimale de l etier afi que la probabilité d obteir au mois ue boule rouge au cours de ces 0 tirages soit strictemet supérieure à 0,999. k - 9 -

10 MTHÉMTIQUES ENSM Cours PI Marc Bizet 0-04 Exercice Ue associatio orgaise des promeades e motage. Douze guides emmèet chacu, pour la jourée, u groupe de persoes dès le lever du soleil. L été, il y a plus de demades que de guides et chaque groupe doit s iscrire la veille de la promeade. Mais l expériece des derières aées prouve que la probabilité que chacu des groupes iscrits e se présete pas au départ de la promeade est de. O admettra que les groupes iscrits se présetet idépedammet les us 8 des autres. Les probabilités demadées serot arrodies au cetième le plus proche.. Motrer que la probabilité qu u jour doé les groupes iscrits soiet tous présets est comprise etre 0,0 et 0,.. O désige par X la variable aléatoire égale au ombre de jours où les groupes iscrits se sot tous présetés au départ lors d u mois de 0 jours. Motrer que X suit ue loi biomiale dot o précisera les paramètres.. Doer la sigificatio des évèemets X = 0 puis X = 0 et calculer la probabilité de ces évèemets. E X. Quelle sigificatio peut-o doer à ce résultat? 4. Préciser l espérace ( ). Ue somme de crédit (la moaie locale) est demadée à chaque groupe pour la jourée. Cette somme est réglée au départ de la promeade. Das le cas où le groupe e se présete pas au départ, l associatio e gage pas le crédit que ce groupe aurait versé pour la jourée. O omme S la variable aléatoire égale à la somme, e crédits, perçue par l associatio pour u jour doé. S =. Calculer la probabilité de l évèemet [ ] 6. Préciser l espérace mathématique de S. Exercice O cosidère deux ures U et U. L ure U cotiet 7 boules blaches et boules oires idiscerables au toucher. L ure U cotiet boule blache et 9 boules oires idiscerables au toucher. O réalise des tirages e procédat de la maière suivate : Etape : o tire au hasard ue boule das U, o ote sa couleur et o la remet das U. Etape ( ) : o Si la boule tirée à l étape ( ) est blache, o tire au hasard ue boule das U, o ote sa couleur et o la remet das U. o Si la boule tirée à l étape ( ) est oire, o tire au hasard ue boule das U, o ote sa couleur et o la remet das U. O ote l évèemet «le tirage a lieu das l ure U à l étape» et p sa probabilité. O a doc p =.. Calculer p.. Motrer que pour tout etier aturel o ul, p+ 8p + 0, 0. O pourra s aider d u arbre podéré.. Calculer p. 4. a. Démotrer par récurrece que pour tout etier aturel o ul, p > 0,. b. Démotrer que la suite ( p ) est décroissate. c. E déduire que la suite ( p ) est covergete vers u réel oté l. d. Justifier que l vérifie l équatio : l 8l + 0, 0. E déduire la valeur de l

11 MTHÉMTIQUES ENSM Cours PI Marc Bizet 0-04 Exercice 4 u cours d ue equête téléphoique, la probabilité que le correspodat e décroche pas au premier appel est de 0, 4 et s il décroche, la probabilité qu il répode au questioaire est de 0,.. O ote D «la persoe décroche à l appel» et R «la persoe répod au questioaire lors de l appel». Calculer p( R ).. Lorsqu ue persoe e décroche pas au premier appel, o la cotacte ue secode fois. La probabilité qu elle e répode pas ue secode fois est 0,, et la probabilité qu elle répode au questioaire sachat qu elle décroche est 0,. Si ue persoe e décroche pas o plus au secod appel, o e la cotacte plus. R est l évèemet «la persoe répod au p R. questioaire». Calculer ( ). Sachat qu ue persoe a répodu au questioaire, calculer la probabilité qu elle l ait fait lors du premier appel. 4. U equêteur a ue liste de persoes à cotacter. Les sodages auprès des persoes d ue même liste sot idépedats. Quelle est la probabilité pour que % des persoes répodet au questioaire? Exercice Pierre et Claude jouet au teis. Les deux joueurs ot la même chace de gager la première partie. Par la suite, lorsque Pierre gage ue partie, la probabilité qu il gage la suivate est 0,7. S il perd ue partie, la probabilité qu il perde la suivate est 0,8. Das tout l exercice, est u etier aturel o ul. O cosidère les évèemets : G :«Pierre gage la -ième partie». P :«Pierre perd la -ième partie». O pose p = p( G ) et q p( P ) =.. Recherche d ue relatio de récurrece. a. Détermier p puis les probabilités coditioelles p ( G ) et ( ) G p G. P b. Justifier l égalité p + q =. c. Démotrer que pour tout etier aturel o ul, p+ p + 0,. p. O pose, pour tout etier aturel o ul, v = p. v e foctio de.. Etude de la suite ( ) a. Prouver que la suite ( v ) est ue suite géométrique et exprimer b. E déduire l expressio de p e foctio de. c. Détermier la limite de la suite ( p ) quad ted vers +. Iterpréter le résultat. T l évèemet «le test est positif». O va étudier la valeur prédictive positive du test ( ) Exercice 6 Ue maladie atteit ue fractio x (comprise etre 0 et ) d ue populatio. O veut tester systématiquemet tous les idividus de cette populatio pour savoir s ils sot porteurs de la maladie. U laboratoire pharmacologique produit u test de dépistage dot les caractéristiques sot les suivats : La probabilité qu u idividu atteit ait u test positif est 0, 99 ; La probabilité qu u idividu o atteit ait u test égatif est 0, 99. O teste u idividu au hasard das la populatio. O ote l évèemet «l idividu est atteit» et p, c est-àdire la probabilité qu u idividu dot le test est positif soit effectivemet atteit.. Costruire u arbre podéré de cette expériece aléatoire. T - -

12 MTHÉMTIQUES ENSM Cours PI Marc Bizet Calculer la probabilité de l évèemet T.. Etablir que la valeur prédictive positive ( ) f ( x) 99x = 98x + 4. Etudier les variatios de f sur [ ; ] 0.. Reproduire et compléter le tableau. rrodir à p du test est doée par la foctio T 4 0 près. x 0, 00 0, 0 0, 0, 0, 9 p T ( ) p T ( ) 6. Que deviet l efficacité de ce test si o e l applique qu à ue populatio présetat des symptômes de la maladie? - -