A RETENIR TERMINALE ES

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1 A RETENIR TERMINALE ES Ce documet est destié à "résumer" le cours de termiale. Il e préted pas coteir tout ce que vous devez savoir pour réussir l épreuve. Il est coçu pour que vous puissiez l utiliser seul. Les formulatios e sot pas toujours rigoureuses et sot parfois "traduites" pour être plus facilemet compréhesiles par tous. Elles e peuvet pas être reprises e devoirs. (elles sot alors etre guillemets) Bie etedu, ce documet complète mais e remplace pas le documet "A reteir de la première ES" qui doit être parfaitemet cou, e particulier les formules de dérivées, celles sur les suites géométriques et celles sur la loi iomiale. Peser à utiliser les questios précédetes, même si vous avez pas réussi à démotrer le résultat.

2 A RETENIR TERMINALE ES SUITES Soit q u réel différet de et u etier aturel o ul et soit ( u ) ue suite géométrique de raiso q. Alors o a : q q² q 3... q q q. u u u 2... u m premier terme de la somme Si 0 q : lim Si q Si q : lim : lim q + q q 0 qomre de termes q Méthode : pour étudier ue suite arithmético-géométrique défiie par u au. éocé défiit e gééral ue suite ( v ) par v u k. o motre que ( v ) est géométrique : o calcule v u k e remplaçat u par sa défiitio o met a e facteur o a alors v av doc la suite ( v ) est géométrique de raiso a o calcule v 0 u 0 k o exprime v e foctio de : v v 0 a o exprime u e foctio de e utilisat v : u v k v 0 a k Méthode : pour calculer ue limite. o a souvet ue suite de la forme u a q. o cherche la limite de q e utilisat le théorème ci-dessus o "remplace q par sa limite" das la formule de u pour trouver la limite de u. SUITES ET ALGORITHME Les algorithmes vus e classe sot à coaître (calcul de termes das les deux modes de défiitio d ue suite, recherche d u seuil avec ue oucle tat que).

3 A RETENIR TERMINALE ES FONCTIONS Lorsque le mot moyee apparaît das u exercice sur les foctios, il s agit e gééral de calculer ue valeur moyee à l aide d ue itégrale. GENERALITES. Graphiquemet, la cotiuité d ue foctio f sur u itervalle I se traduit par le fait que la coure représetative de f sur I peut être tracée sas lever le crayo. Théorème des valeurs itermédiaires : Soit f ue foctio cotiue sur u itervalle [a ; ]; alors pour tout réel k compris etre f(a) et f(); l équatio f(x) = k admet au mois ue solutio das l itervalle [a ; ]. Théorème : Soit f ue foctio cotiue et strictemet mootoe (croissate ou décroissate) sur u itervalle [a ; ]; alors pour tout réel k compris etre f(a) et f(); l équatio f(x) = k admet ue uique solutio das l itervalle [a ; ]. Méthode: Pour dériver ue foctio, peser à u v et u v, e particulier pour dériver xl(x) ou xex, peser à u v. Attetio pour dériver (x 2)e x 2 : o pose v(x) e x et pour dériver (x 2)( e x 2 ), o pose v(x) e x 2. Méthode. Pour trouver les variatios : o calcule la dérivée o met au même déomiateur o factorise la dérivée (peser à e a e a e ) o fait u taleau de siges avec ue lige e cherchat séparémet le sige de chaque facteur si foctio affie : + ou + (o cherche quad ax 0) si triôme : o calcule puis le triôme est du sige de a sauf etre les racies (du sige de a s il a pas de racie) ue expoetielle est toujours postive sio, o résout 0 (Attetio à chager le ses de l iégalité quad o divise par u égatif) e "elevat les l avec exp les exp avec l" o coclut e ajoutat la lige avec les variatios o calcule les valeurs "au out des flèches" e utilisat ie la formule doat f(x), pas celle doat f (x). Méthode : pour détermier le omre de solutios d ue équatio du type f(x) k : o costruit le taleau de variatio de f (souvet déjà fait das les questios précédetes) o traite séparémet chaque itervalle. pour les itervalles sur lesquels l équatio a pas de solutio, o le justifie e parlat de maximum ou de miimum de f sur l itervalle. pour les itervalles sur lesquels l équatio a ue solutio, o le justifie à l aide du théorème cidessus : o précise que f est cotiue, strictemet croissate ou décroissate et o doe les valeurs f(x) aux ores de l itervalle. o coclut e doat le omre total de solutios de l équatio et o les met das le taleau de variatio pour s aider pour les questios suivates. Pour détermier ue valeur approchée de ces solutios, o utilise le taleau de valeurs de la calculatrice e pesat à aller jusqu à 3 chiffres après la virgule si o demade ue valeur approchée à 0 2 pour pouvoir "choisir etre les deux valeurs".

4 Méthode : pour détermier le sige d ue foctio f (ou souvet f ) : Méthode : souvet, das les questios précédetes, o a costruit le taleau de variatios et détermié l existece de solutios à l équatio f(x) 0. O les place das le taleau de variatio et o e déduit le sige de la foctio. Méthode 2 : sio, o résout l iéquatio f(x) 0 Méthode : Pour motrer qu ue foctio F doée est primitive d ue foctio f : o calcule F et o vérifie qu o otiet f. Méthode : pour détermier ue primitive d ue foctio f : o repère à quelle lige du taleau "ressemle" la foctio f. o repère la foctio u et o calcule sa dérivée u. o "fait apparaître" la formule du taleau e multipliat et divisat si écessaire f par u coefficiet réel. o "garde" le coefficiet et o applique la formule du taleau Méthode : Pour calculer ue itégrale : o regarde si o a détermié ue primitive das les questios précédetes sio, o cherche ue primitive F o calcule F() F(a) o vérifie à la calculatrice Méthode : Pour calculer ue aire : o regarde si c est l aire d ue figure géométrique coue Sio, o l exprime sous la forme d ue itégrale ou de la différece de deux itégrales si c est l aire etre deux coures. o cherche das les questios précédetes si o a déjà calculé l itégrale. Sio, o la calcule e utilisat si écessaire le fait que f(x)dx g(x)dx f(x) g(x)dx. a a a O appelle valeur moyee de la foctio f sur l itervalle [a ; ] le réel = ( )d a f x x. a Méthode : Pour lire graphiquemet u omre dérivé f (a). o écrit que le omre dérivé f (a) est le coefficiet directeur de la tagete au poit d ascisse a. o repère cette tagete sur le graphique : o se place sur a sur l axe des ascisses o "mote jusqu à la coure" o repère la droite tagete à la coure "à cet edroit" o repère deux poits sur cette tagete ("qui sot sur des carreaux") o calcule f (a) déplacemet vertical pour aller d u poit à l autre déplacemet horizotal Méthode : Pour étudier la covexité d ue foctio f et les poits d iflexio : o calcule la dérivée secode f o étudie so sige d aord e cherchat das les questios précédetes sio e procédat comme pour le sige de la dérivée o coclut : lorsque f (x) 0, f est covexe lorsque f (x) 0, f est cocave o doe les poits d iflexio : lorsque f (x) s aule et chage de sige, il y a u poit d iflexio. O calcule so ordoée e remplaçat x par so ascisse das l expressio de f.

5 Méthode : Pour étudier les positios relatives des coures de deux foctios f et g : o calcule f(x) g(x) o cherche le sige : d aord e cherchat das les questios précédetes sio e procédat comme pour le sige de la dérivée Méthode : Pour étudier les positios relatives de la coure d ue foctio f et d ue droite d équatio y ax : Méthode : o cherche das les questios précédetes si la droite est tagete à la coure de f o étudie la covexité de f o coclut : si f est covexe, sa coure est au-dessus de ses tagetes si f est cocave, sa coure est e dessous de ses tagetes Méthode 2 : sio, o utilise la méthode précédete avec g(x) ax. FONCTION EXPONENTIELLE. O peut oter e x pour exp(x) (se lit "expoetielle x") exp() = e e ; exp(0) e 0 e 0 = et pour tout réel x; e x > 0. Pour tous réels a et et pour tout etier : e a + = e a e e a = e a e a = ea e Taleau de variatio et coure de la foctio expoetielle : (e a ) = e a x 0+ f (x) f(x) + 0 e a a a e a e a a Si u est ue foctio dérivale sur I, alors e u est dérivale sur I et (e u ) = u e u. Méthode : Pour résoudre ue équatio de la forme exp(x) a : o applique la foctio l "de chaque côté" FONCTION LOGARITHME NEPERIEN. Pour tout réel x strictemet positif, l(x) est l uique réel tel que e l(x) x. O a aussi l( e x ) x. Taleau de variatio et coure de la foctio l : La foctio l est dérivale sur +* et sa dérivée est la foctio iverse : l (x) x x 0 + f(x)

6 l(a) l() a l(a) l() a l(a) 0 a foctios l et exp sot symétriques par rapport à la droite d équatio y x. Pour tous réels a et de et pour tout de, o a : l(a) = l(a) + l(). l( a ) = l(a). l(a ) = l(a). l( a ) = l(a) l(). l( a) = l(a). Méthode : Pour résoudre ue équatio de la forme l(x) a : o applique la foctio exp "de chaque côté" Méthode : Pour détermier le plus petit etier tel que a : o applique "l de chaque côté" o utilise le fait que l( a ) l(a) o otiet e divisat par l(a) "de chaque côté". Attetio : si a, l(a) 0 doc o chage le ses de l iégalité. o arrodit à l etier supérieur Méthode : Pour résoudre l équatio x a d icoue x : o applique "l de chaque côté" o utilise le fait que l( x ) l(x) o divise par "de chaque côté" o applique la foctio exp "de chaque côté" pour oteir x

7 A RETENIR TERMINALE ES PROBABILITES Lorsque le mot moyee apparaît das u exercice de proailités, il s agit e gééral de calculer ue espérace. PROBABILITES CONDITIONNELLES. La proailité de A sachat B, otée P B (A) est le omre P(A B) C est ue proailité coditioelle P(B) Formule des proailités totales: Si l uivers d ue expériece aléatoire est la réuio d évéemets A ; A 2 ;... A d évéemets deux à deux icompatiles, o dite que A ; A 2 ;... A formet ue partitio de. Pour tout évéemet B, o a alors P(B) P( A B) P( A 2 B )... P( A B) P A (B) P( A ) P A2 (B) P( A 2 )... P A (B) P( A ) Lie avec l arre : P A (B) B A B A P(A) P A ( B ) B A B P( A ) P A (B) B A B A P A ( B ) B A B iveau iveau 2 Proailités Proailités coditioelles Méthode : Pour résoudre u exercice de proailité. O commece toujours par traduire l éocé au rouillo : avec des proailités et avec u arre. O traduit de même chaque questio. Lorsque la première questio est "doer la proailité coditioelle...", la répose est gééralemet das l éocé. Pour détermier la proailité d u évéemet : o utilise l arre ou la formule des proailités totales. Lorsque la derière questio cocere ue proailité coditioelle, o utilise la défiitio : P(A B) P B (A) P(B) Lorsqu o effectue plusieurs tirages ou plusieurs fois la même expériece, peser à la loi iomiale : das la rédactio, faire apparaître la répétitio, l idépedace, l épreuve de Beroulli. pour calculer P(X ) utiliser la calculatrice pour calculer P(X ) utiliser la calculatrice pour calculer P(X 8), calculer P(X 7) à la calculatrice LOIS CONTINUES. Ue foctio f défiie sur u itervalle I est ue desité de proailité sur I si : f est cotiue et positive sur I et l aire sous la coure de f est égale à. Ue variale aléatoire X suit la loi de desité f si pour tout itervalle J coteu das I, o a : M(x y) xϵj et 0 y f(x) P(XϵJ) = aire du domaie défii par { } Alors P(a X ) P(a X ) P(a X ) P(a X ) f(x)dx et P(X a) 0 a

8 Défiitio : Soit X ue variale aléatoire suivat la loi de desité f sur l itervalle [a mathématique de X est le réel défii par E(X) xf(x)dx. a ]. L espérace LOI UNIFORME SUR UN INTERVALLE [a ] Elle correspod à l expériece aléatoire cosistat à choisir u réel au hasard das l itervalle [a ]. Elle a pour desité de proailité la foctio costate f défiie sur [a ] par f(x) a. Soit X la variale aléatoire suivat la loi uiforme sur [a ]. Alors pour tous réels et de [a ] avec : P( X ) et E(X) a a 2 LOIS NORMALES. Loi ormale cetrée réduite : Ue variale aléatoire Z suit la loi ormale stadard (0 ) lorsque sa desité de proailité est la foctio défiie sur IR par : (x) = 2 e x² 2. Alors P(a Z ) a (t)dt. O e sait pas calculer l itégrale car o e coaît pas de primitive de φ doc o utilise la calculatrice ou ue tale. O a E(Z) 0 et (Z). La coure de est ue coure e cloche cetrée e 0. Loi ormale N( ; ²) : Défiitio : désige u réel et u réel strictemet positif. La variale X suit la loi ormale de paramètres et ², otée N( ; ²),lorsque la variale aléatoire cetrée réduite X - suit la loi N(0 ; ). O a alors E(X) et (X) Attetio : c est ² qui apparaît das le om de la loi : Si X suit la loi ( 4), alors (X) 4 2. Soit X ue variale aléatoire suivat la loi N( ; ²). O a : P(Xϵ[ - ; + ]) 0,68 P(Xϵ[ -2 ; +2 ]) 0,95 P(Xϵ[ -3 ; +3 ]) 0,99 Méthode : Pour détermier ue proailité avec ue loi ormale. La calculatrice e permet que de calculer P(a X ) avec a et réels. O trace à mai levée la coure de la foctio de desité (cetrée e ). O hachure le domaie sous la coure dot l aire est la proailité cherchée. O utilise le fait que l aire des domaies à droite et à gauche de la droite d équatio x est 0,5 pour se rameer à ue proailité que la calculatrice peut doer. X 385 X X Z 5 Aisi P(X 385) 0,96 PZ 5 5 0,96 PZ 5 0,96 0,04.,75 (d après la calculatrice) 8,568

9 FLUCTUATION Méthode : Pour détermier si o accepte ou si o refuse ue hypothèse sur la proportio d u caractère: O suppose que l hypothèse est vraie et que la proportio du caractère est p. O vérifie les hypothèses : 30 ; p 5 et ( p) 5 O détermie l itervalle de fluctuatio asymptotique au seuil de 95% : I [ ] p,96 p( p ) p,96 p( p ) O coclut : Si f os appartiet à l itervalle de fluctuatio, o e peut pas rejeter l hypothèse au seuil de 95%. Si f os appartiet pas à l itervalle de fluctuatio, o rejette l hypothèse au seuil de 95%. Remarque : le risque de rejeter ue populatio coforme est iférieur à 5%. ESTIMATION. Défiitio : O oserve ue fréquece f os sur u échatillo de taille. O appelle u itervalle de cofiace p au iveau de cofiace de 95% l itervalle f os f os Méthode : Estimer ue proportio icoue. Parmi les idividus sodés, la fréquece du caractère oservé est f. O cherche à détermier la proportio p du caractère das l esemle de la populatio. Avec u risque d erreur de 5%, p appartiet à l itervalle f f.