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1 GUIDE PRATIQUE sur le modèle sandard SST pour les rsques de marché Edon du 23 décembre 204 Table des maères Bu... 2 I. Généralés sur la quanfcaon des rsques dans le SST... 2 I. Modèle analyque... 3 I.. Verson négrale... 3 I..2 Verson smplfée... 4 I..3 Adéquaon du modèle... 5 II. Calcul des sensblés... 6 III. Descrpon des faceurs de rsque... 7 IV. Esmaon des paramères des séres emporelles... 8 IV. Marce de corrélaon défne posve... 0 V. Affecaon des flux fnancers sur les faceurs de rsque d nérê exsans... VI. Calcul de rendemens... 2 VI. Rendemens absolus... 2 VI.2 Rendemens relafs... 2 VI.3 Rendemens logarhmques... 2 VII. Indcaons bblographques... 4 Laupensrasse 27, 3003 Berne Tél , fax

2 Bu Conformémen à l ar. 43 al. 2 de l ordonnance sur la survellance OS ; RS 96.0 e au Cm 00 de la Crc. FINMA 2008/44 «SST», la FINMA défn un modèle sandard unque pour la quanfcaon des rsques fnancers. Le modèle sandard applcable aux rsques de marché es un modèle d dela-gamma. Ses paramères son mplémenés dans les emplaes SST par branche c-après «emplaes SST» ; ouefos, les calculs eux-mêmes doven êre effecués en dehors du emplae correspondan. Le emplae SST en présene une verson smplfée qu prévo une dépendance lnéare du capal poreur de rsque par rappor aux varaons des faceurs de rsque au leu d en prévor une quadraque. L enreprse d assurance ne peu ulser cee verson smplfée que lorsque l'exposon aux rsques du marché le perme. C es noammen le cas lorsque le rsque n es pas sous-esmé par l applcaon de la dépendance lnéare au leu de la dépendance quadraque. Le présen gude praque consse en un documen explcaf au sens du Cm 07 de la Crc. FINMA 08/44 «SST» sur le modèle sandard de rsque de marché ans que sur l ulsaon du emplae SST. Il comprend égalemen des nformaons générales sur la quanfcaon des rsques dans le SST. Il ne saura fonder aucune préenon. I. Généralés sur la quanfcaon des rsques dans le SST D après le SST, la solvablé d une enreprse d assurance se calcule à parr du capal dsponble à la dae de référence e des varaons poenelles de ce derner à un horzon d une année. Dans le SST, le capal dsponble à la dae de référence s appelle le capal poreur de rsque abrégé CPR. Nous parons du prncpe que le capal poreur de rsque du momen 0 es connu, alors que CPRs avec s > 0 es une valeur sochasque, c es-à-dre nconnue. Du pon de vue de la geson des rsques e du pon de vue de la survellance, son néressanes les varaons poenelles du capal poreur de rsque à un ceran horzon emporel h, so CPR h CPR. Conformémen à la praque générale relave à la geson des rsques, le capal poreur de rsque es défn comme foncon de faceurs de rsque Z,, Z d : Z Z,, Z d. avec T ; ;,, CPR CPR Z CPR Z Z, d Les faceurs de rsque généralemen ulsés son les prx exprmés sous forme de logarhmes des acons, bens mmoblers ou aux de change ou des aux d'nérê e des spreads de créd. 2/29

3 Comme déjà ndqué, l horzon emporel dans le SST es d une année. Les exgences en maère de solvablé résulan de la varaon du capal poreur de rsque sur un horzon d une année, les varaons correspondanes des faceurs de rsque doven donc généralemen êre prses en compe : Ce qu donne Z Z. CPR CPR CPR ; Z ; Z ; Z ; Z CPR CPR CPR CPR La modfcaon du capal poreur de rsque es donc une foncon des varaons des faceurs de rsque. I. Modèle analyque Dans ce qu su, nous désgnons par = 0 la dae de référence pour le SST. I.. Verson négrale Dans sa verson négrale, le modèle sandard pour les rsques de marché consdère l approxmaon suvane : Z Z 0 d d d 2 CPR Z0 CPR Z0 z 2 z z CPR CPR ou, s l on prend CPR CPR Z CPR Z 0 d d d 2 CPR Z0 CPR Z0 z 2 z z CPR T T δ 2 où,, T e δ, T d la marce des dérvés secondes, so, d désgne le veceur des dérvés premères e 3/29

4 CPR, 2 2 Z0 CPR Z0 z z z L équaon défn l approxmaon de la varaon du CPR dans la verson de négrale du modèle sandard pour les rsques de marché dela-gamma. D un pon de vue mahémaque, cela correspond à l approxmaon de deuxème ordre du développemen de Taylor qu désgne approxmavemen le len fonconnel enre les varaons du CPR e celles des faceurs de rsque. Conraremen à la verson smplfée chapre I..2 c-après, dans le cas présen, les mesures de rsque Value-a-rs VaR e l expeced shorfall de la varaon du CPR ne peuven êre déermnées analyquemen, même en paran de l hypohèse smplfcarce selon laquelle les faceurs de rsque suven une lo normale mulvarée. La dsrbuon de probablé de CPR dans peu par exemple êre dédue par nverson numérque de la foncon caracérsque ou de la foncon générarce des momens, cf. par ex. Glasserman [2] p Une alernave consse en la smulaon delagamma Mone-Carlo qu présene l'avanage de ne pas requérr d'hypohèse de normalé e es peuêre plus facle à mplémener. Touefos, la verson négrale du modèle sandard applcable aux rsques de marché par de l hypohèse, comme jusqu alors, que les varaons des faceurs de rsque son normales mulvarées. La plupar des logcels de sasque offren la possblé de smuler des veceurs normaux mulvarés à parr d'une espérance e d'une marce de covarances données pour plus de déals, cf. par ex. McNel e. al. [4], p. 66. Il s ensu que la dsrbuon smulée de CPR selon peu êre esmée par des veceurs smulés en nombre suffsan. Un esmaeur non paramérque smple de l'expeced shorfall peu êre obenu par smulaon. Il s'ag de la moyenne des varaons du CPR smulées qu dépassen la value-a-rs correspondane : ES α = N j= ΔCPR j {ΔCPRj <VaR α} N j= {ΔCPRj <VaR α} où VaR α es un esmaeur pour un quanle de la value-a-rs au seul de confance α = 0.0 e ΔCPR j dénoe la varaon du CPR obenue à la j-ème smulaon j =,, N. A désgne la foncon ndcarce : A = s l événemen A a leu, 0 snon. Vu que la value-a-rs es fable, on es confroné à une suaon de rare even lors de la smulaon. Dans la praque, un nombre de smulaons de l'ordre de devra permere d'aendre un résula sable. Selon les crconsances, une echnque de réducon de la varance do égalemen êre prse en compe cf. par ex. Asmussen [], p. 432 ou Glasserman e. al. [3]. I..2 Verson smplfée Concernan les exposons pour lesquelles l approxmaon lnéare décr suffsammen ben les varaons du CPR, l n es pas nécessare d ulser le erme quadraque. Nous obenons alors l approxmaon de la varaon du CPR dans la verson smplfée du modèle sandard pour les rsques de marché : 4/29

5 d CPR Z0 T CPR δ 3 z Cee smplfcaon peu généralemen êre applquée aux enreprses d'assurance dommages pour auan que leurs exposons ne conssen pas essenellemen en des acvés des long al produs à déroulemen long. Pour un porefeulle d acons pur, par exemple, l hypohèse d une approxmaon lnéare enre les varaons du CPR e les varaons de valeur des acons se jusfe. En revanche, elle ne décr pas suffsammen correcemen les varaons du CPR pour un porefeulle conenan des dérvés ou des nsrumens dépendans de aux d nérê. S une enreprse d assurance enend applquer la verson smplfée du modèle sandard pour les rsques de marché, elle do alors apporer la preuve que cela n enraîne pas une sous-esmaon du rsque. Cela peu par exemple êre le cas lorsque les sensblés des engagemens aux aux d nérê son supéreures à celles des acfs. S le rsque es sous-esmé avec la verson smplfée, l fau alors applquer la verson négrale du modèle sandard pour les rsques de marché. Dans le modèle sandard pour les rsques de marché, on par de l hypohèse selon laquelle les varaons des faceurs de rsque suven une lo normale mulvarée. Conjugué à l hypohèse de lnéaré, ce posula présene l avanage que les mesures de rsque de la valeur à rsque value-a-rs e celle de de l'expeced shorfall peuven êre déermnées analyquemen. En effe, dans le cas d une réparon selon la lo normale mulvarée pour un veceur aléaore, le produ scalare de avec un veceur d-dmensonnel δ es dsrbué selon une lo normale unvarée. Concrèemen : S ~ N μ, d e d δ R, alors δ T ~ N δ T μ, δ T δ e donc VaR T T T δ δ μ δ δ q Z T T T q Z δ δ μ δ δ ES où q Z désgne le quanle au seul d une varable aléaore Z suvan une lo normale sandard de densé noée. D une manère générale, une elle approche es connue sous le nom d approxmaon «delanormale». I..3 Adéquaon du modèle Dans le modèle sandard pour les rsques de marché, on par de l hypohèse selon laquelle les varaons des faceurs de rsque son normales mulvarées. Ce posula présene une vson smplfée de la réalé. Car dans la praque, les faceurs de rsque son souven lepourques aspec «ponu» de la densé de la probablé e, en conséquence, plus d épasseur dans les queues de dsrbuon e monren des dépendances des queues. Ces fas ds «sylsés» sylzed facs son nsuffsammen refléés par la dsrbuon normale mulvarée. Les analyses de scénaros son donc un complémen 5/29

6 mporan du modèle analyque des acfs qu permeen de corrger ce pon fable. Il es fa référence au gude praque sur les scénaros e sress ess dans le SST. Par prncpe, le modèle sandard pour les rsques de marché n es applcable, dans sa verson smplfée comme dans sa verson négrale, que s l couvre correcemen les rsques de l enreprse d assurance. Cela mplque en parculer que les proxes des faceurs de rsque reflèen ben les nvesssemens ; le nombre e la sélecon de faceurs de rsque son suffsans ; l hypohèse de l approxmaon quadraque ou lnéare es accepable. II. Calcul des sensblés Pour pouvor calculer la varaon du CPR à un horzon d une année, les dérvées du CPR doven êre déermnées en foncon des faceurs de rsque, vor 2 : CPR 2 Z0 CPR Z0, z z z Dans la verson smplfée, l ne fau calculer que les dérvées de er ordre. La verson négrale mplque la déermnaon des dérvés de er e de 2 e ordre du CPR en foncon des faceurs de rsque. Comparée à une méhode dela-normale smple, l'mplémenaon d'une méhode dela-gamma requer les élémens addonnels suvans : calcul de la marce Γ, c es-à-dre des dérvées parelles du CPR par rappor aux -ème e -ème faceurs de rsque, e noammen des dérvées parelles mxes ; les ermes ds «crossgamma» ; déermnaon de la dsrbuon de probablé de CPR. Une méhode dela-gamma requer d'esmer les dérvées de 2 e ordre du CPR en foncon des faceurs de rsque, en sus des sensblés ou des varaons des faceurs de rsque vers le hau ou vers le bas. Pour ce fare, l conven de procéder auss à des calculs de sensblés, els qu'explqués aux annexes A e B. Il ncombe à l'enreprse d assurance d explquer pour quelles rasons cerans élémens de la marce peuven êre néglgés. S pour un faceur de rsque donné, la somme s s 0 noaon cf. an- Conraremen à la méhode dela-normale, CPR n es plus normale unvarée, car au vu du erme fau rappeler qu une forme quadraque de veceurs aléaores normaux n es plus dsrbuée selon une lo normale. T l 6/29

7 nexe A, cela conrbue à un effe dagonal-gamma. Ce faceur ne peu donc êre gnoré s, de ce fa, le rsque s en rouve sous-esmé. Toues les valeurs dans la marce de corrélaon de la feulle «Sensvaeen Gamma_Mare» du emplae SST on éé mses à zéro. Ces valeurs nulles on une explcaon puremen echnque. Elles garanssen un calcul correc des valeurs des scénaros dans la feulle «Scenaros», en cas d ulsaon de la verson smplfée du modèle sandard pour les rsques de marché approche delanormale. Les enreprses ulsan la verson négrale du modèle sandard pour les rsques de marché approche dela-gamma doven nsérer explcemen l négralé de la marce. III. Descrpon des faceurs de rsque Le modèle des rsques de marché comprend les 82 faceurs de rsque suvans : Inérês zero raes pour les devses CHF, EUR, USD, GBP calculés séparémen pour les maurés de, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0, 5, 20, 30 ans [4*3 faceurs de rsque] Volalé mplce des aux d'nérê [ faceur de rsque] Cred spread USA : AAA, AA, A, BBB [4 faceurs de rsque] Cred Spread BB [ faceur de rsque] Cred spread Europe : AAA, AA, A, BBB [4 faceurs de rsque] Swap governmen spread [ faceur de rsque] Taux de change : EUR/CHF, USD/CHF, GBP/CHF, JPY/CHF [4 faceurs de rsque] Volalé mplce des opéraons de change [ faceur de rsque] Cours des acons : MSCI Swzerland, MSCI EMU, MSCI UK, MSCI Japan, MSCI US, MSCI Pacfc ex Japan, MSCI Small Cap EMU [7 faceurs de rsque] Volalé mplce des cours des acons [ faceur de rsque] Hedge funds [ faceur de rsque] Prvae equy [ faceur de rsque] Bens mmoblers en Susse : mmobler résdenel drec, fonds mmoblers, mmobler commercal drec [3 faceurs de rsque] Parcpaons [ faceur de rsque] : s addonne au rsque de marché resan, volalé 25 %,2 Remarque sur les swap governmen spreads : les exposons de produs swap par ex. swaps e swapons sur le spread enre les aux d nérê de swap e les aux d nérê sans rsque seron désormas ms en correspondance avec ce faceur de rsque e non plus avec le faceur de rsque Cred Spread AA. 2 Une melleure modélsaon de la suaon des parcpaons en ermes de rsque consse en un loo hrough, car la sensblé de la valeur des parcpaons es prse en compe avec la varaon des faceurs de rsque. Cf. Cm 87 e 88 Crc. FINMA 08/44 «SST». 7/29

8 Remarque sur les ndces d acons : les ndces d acons du MSCI son des ndces ds de rendemen oal oal reurn ndex ; les dvdendes son ans prs en compe par la valeur de l ndce. Remarque sur la volalé mplce des aux d nérê, les hedge funds, les placemens en prvae equy, les mmeubles commercaux drecs e les parcpaons : la FINMA a ndqué des proxes précs ou valeurs forfaares pour ces faceurs de rsque concernan les volalés e les valeurs de corrélaon. Celles-c peuven êre remplacées par des esmaons propres lorsque les enreprses d assurance open pour des séres emporelles approprées afn de calculer ces valeurs. Dans un el cas, l fau alors déermner des corrélaons e des volalés propres e les nsérer drecemen dans les cellules correspondanes de la marce. L enreprse d assurance do alors s assurer que la marce en résulan es correce. Celle-c do noammen êre défne posve. Un conrôle auomaque perme de vérfer s les volalés ou les corrélaons on éé modfées. Dans le rappor SST, l enreprse d assurance do explquer les rasons pour lesquelles les proxes applqués son approprés. S el n es pas le cas, l fau prendre les valeurs de Rüd Blass fonds mmobler pour les mmeubles commercaux drecs. Remarque sur les hedge funds e les placemens en prvae equy : l para doueux que l esmaon des volalés e corrélaons reflèe correcemen le rsque de ces nvesssemens sur la base de l hsorque observable du porefeulle de hedge funds respecvemen prvae equy d une enreprse d assurance ou de l ndce en an que proxy. Il es recommandé de chosr les paramères avec prudence. La volalé esmée en nerne do êre doublée, c es-à-dre mulplée par le faceur 2. Demeuren exclus les proxes des placemens en prvae equy reposan sur des ransacons lqudes. IV. Esmaon des paramères des séres emporelles Comme nous l avons déjà ndqué, dans le modèle sandard pour les rsques de marché, on par de l hypohèse selon laquelle les varaons des faceurs de rsque son normales mulvarées. La dsrbuon normale se défn négralemen par le veceur moyen μ e la marce de covarance. Il fau esmer la srucure de la covarance auss ben dans sa verson négrale que dans sa verson smplfée, c es-à-dre les volalés e les corrélaons concernan les varaons des faceurs de rsque. Ces paramères son généralemen déermnés sur la base des rendemens mensuels des dx dernères années 3. L ulsaon de rendemens mensuels sur dx ans consue un comproms enre la quané requse de données, afn d obenr des esmaons relavemen sables, e l'acualé des données cf. Annexe C relave à la descrpon du cer Bloomberg ans que l horzon emporel dsponble e la fréquence. La relaon enre la marce de covarance e la marce de corrélaon P es la suvane : P, 3 En revanche, l ndce de performance du SW IAZI Invesmen Real Esae n es dsponble que sur une base rmesrelle. 8/29

9 où désgne la marce dagonale composée des écars-ypes volalés des varaons des faceurs de rsque comme élémens dagonaux, so d En présence de n observaons par ex. n 20 de veceurs d-dmensonnels,,n des varaons des faceurs de rsque, alors les esmaeurs sandard par la méhode des momens de μ e son obenus par : n n, S n Les deux esmaeurs e S ne son pas basés. Par n T S s j j,, on oben mmédaemen un esmaeur R r j j, L élémen de la lgne j e de la colonne se calcule par s j rj. s s jj. de la marce de corrélaon P. Il es dffcle d nerpréer la varance d une varable aléaore, car celle-c mesure l écar par rappor à la valeur moyenne au carré. C es la rason pour laquelle, dans la praque, on mesure généralemen les varaons à l'ade de l'écar-ype encore appelé «volalé». Celu-c correspond à la racne carrée de la varance. L horzon emporel du SST éan d une année, l fau donc ulser des volalés annualsées. Elles s obennen à parr des volalés des rendemens mensuels qu son mulplées par la racne carrée du nombre de mos comprs dans une année : annuel 2 mensuel S l on ne dspose que de données rmesrelles, la volalé annualsée se calcule comme su : σ annuel = 4σ rmesrel Le coeffcen de corrélaon es ndépendan de la fréquence des données observées e n a donc pas beson d'êre annualsé. 9/29

10 Généralemen, les propréés sasques des séres emporelles fnancères évoluen en foncon de la fréquence des observaons : les rendemens journalers, par exemple, présenen un uross coeffcen d aplassemen plus élevé que celu des rendemens mensuels. IV. Marce de corrélaon défne posve La marce de corrélaon R calculée au moyen de l esmaeur déermné c-avan n'es souven pas défne posve 4, car le modèle sandard pour les rsques de marché compore de nombreux faceurs de rsque d nérê qu son exrêmemen corrélés. Pour que le calcul so pernen, l fau adaper en conséquence la marce de corrélaon esmée. La méhode pragmaque suvane perme d obenr une marce défne posve à parr de l esmaon nale. La marce de corrélaon esmée R présene les valeurs propres,, n e les veceurs orhogonaux propres v, v2,, v n. désgne la marce n x n, qu présene les valeurs propres désgne la marce n x n, don la -ème colonne,, n sur les dagonales prncpales e snon 0 ; V es défne par le -ème veceur propre v. On oben alors R T VV. S la marce de corrélaon esmée R n es pas défne posve, alors m valeurs propres son négaves. Nous désgnons ces valeurs propres par,,, 2 m où I, 2,, m désgne l ensemble des ndces enre e n correspondan aux valeurs propres négaves. Nous défnssons manenan une nouvelle marce ~, où, à parr de, nous remplaçons les valeurs propres négaves par respecvemen le mnmum de 0 5 e de la valeur propre mulplée par : ~, mn,0 I, Il en résule une nouvelle marce défne posve au moyen de 5 ~ T. R V ~ V I. Comme la marce de corrélaon R ~ ans obenue ne compore généralemen pas que des uns sur les dagonales, l fau encore procéder à la ransformaon suvane des données pour obenr une marce de corrélaon : 4 Une marce quadraque A es de défne posve s b T Ab 0 se vérfe pour ous les veceurs b 0 es de sem-défne posve s b T Ab 0 se vérfe pour ous les veceurs b 0. Une marce quadraque es défne posve lorsque oues ses valeurs propres son posves. Elle es sem-défne posve lorsque les valeurs propres son posves ou nulles.. Elle 0/29

11 rj rj. r r jj S une enreprse d assurance déermne elle-même la srucure de covarance des faceurs de rsque, alors les valeurs propres négaves de la marce de corrélaon qu on éé remplacées doven êre menonnées dans le rappor SST. V. Affecaon des flux fnancers sur les faceurs de rsque d nérê exsans Pour garanr une qualé suffsane des données concernan les faceurs de rsque, les flux fnancers son foncon des faceurs de rsque exsans afn de déermner leur sensblé aux aux d nérê. Exposons aux aux d nérê : Pour les maurés de 0 à 9 ans : d une manère générale, la mauré d un cash flow es arronde à l année enère supéreure. Par exemple, la valeur acuelle d un cash flow qu écho après 2 ans e 4 mos es calculée avec le aux d nérê pour 3 ans e une durée fcve de 3 ans. Pour les maurés de 0 à 2 ans : mauré de 0 ans. Pour les maurés de 3 à 7 ans : mauré de 5 ans. Pour les maurés de 8 à 24 ans : mauré de 20 ans. Pour les maurés de 25 à 50 ans : mauré de 30 ans. Remarque : cee affecaon consse en une smplfcaon grossère, car elle ne perme généralemen n de manenr la valeur acuelle des flux de résorere, n les sensblés aux aux. Chaque flux devra pluô êre foncon de deux paners vosns de aux d nérê l e r, afn de conserver la valeur acuelle ou comme les sensblés aux aux d nérê. Cela mplque qu un flux c arrvan à échéance au momen avec 0 l r devra êre répar en ros flux de résorere fcfs : c lower l, c upper r e c 00. La suaon de résorere au momen 0 es nécessare pour manenr les sensblés aux aux d nérê, mas auss la valeur acuelle. Les ros nconnues peuven alors êre calculées à l ade d un sysème d équaons lnéares. Il s ensu une affecaon sur les buces vosns de aux d nérê l e r qu perme de manenr la valeur acuelle e la duraon sensblé aux aux d nérê. /29

12 VI. Calcul de rendemens Il exse pluseurs méhodes pour calculer les rendemens. Nous dsnguons les rendemens absolus des rendemens relafs e des rendemens logarhmques. Nous désgnons par Z le faceur de rsque ou la valeur d un nsrumen au momen. VI. Rendemens absolus Les rendemens absolus se défnssen de la manère suvane abs Z Z e son habuellemen ulsés pour les varaons des aux d nérê e des spreads de créd, car pour les rendemens logarhmques des aux d nérê e des spreads l hypohèse de la dsrbuon normale s'avère neemen mons approprée que pour les rendemens absolus. VI.2 Rendemens relafs Les rendemens smples ou relafs son défns comme Z Z Z rel, VI.3 Rendemens logarhmques Dans la praque, ce son les rendemens logarhmques qu son le plus souven ulsés. Ils son égalemen appelés rendemens composés en connu e se défnssen comme su : où Z log log Z Z logz log, log désgne le logarhme naurel. Comme log x x s applque à peu près aux pes x, nous obenons Z Z Z Z Z log Z log. Z Z log rel 2/29

13 3/29 La varaon de valeur d un porefeulle par exemple consué unquemen d acons S V d s exprme de la manère suvane à l ade des varaons logarhmques des cours des acons log log S S log : d Z Z d Z Z d d Z e S e e e e S S V V log, où log S Z e. log log log S S S S Z Z log, Cela sgnfe que les rendemens logarhmques permeen d exprmer la varaon de valeur du porefeulle d acons. La varaon lnéarsée des valeurs s oben en enan compe de x e x pour les pes x : d S V V log,. Dans ce cas, l approxmaon de deuxème ordre es la suvane d S V V 2 2 log, log,. Chaque varaon de valeur ou de prx peu êre exprmée en rendemens smples ou composés en connu. Le rendemen composé en connu log es ransformé par la formule log rel e en un rendemen relaf. A l nverse, le rendemen smple rel correspond au rendemen logarhmque log donné par log rel log.

14 Par exemple, un rendemen relaf de 5 % correspond à un rendemen logarhmque de 4,88 %. Ces deux rendemens, que ce so le 5 % smple ou le 4,88 % composé en connu, reflèen la même varaon de valeur ; seul le ype de rémunéraon sous-jacene dffère : smple annuelle dans le premer cas, connue dans le second. Une aure parcularé mporane des rendemens logarhmques résde dans le fa que les rendemens logarhmques sur pluseurs pérodes s enenden comme la somme des rendemens de chacune des pérodes : T log 0, T logz T logz 0 log Le ableau suvan récapule les méhodes ulsées pour le calcul des rendemens concernan les dfférens faceurs de rsque. A ce suje, se reporer égalemen à la lse des faceurs de rsque du chapre III c-dessus. Caégore Taux d'nérê Volalé mplce des aux d nérê Cred spreads Cours de change Volalé mplce des monnaes Cours des acons Volalé mplce des cours des acons Hedge funds Prvae equy Bens mmoblers Parcpaons Méhode ulsée pour le calcul du rendemen absolue logarhmque absolue logarhmque logarhmque logarhmque logarhmque logarhmque logarhmque logarhmque logarhmque Tableau : Méhodes ulsées pour le calcul du rendemen des faceurs de rsque VII. Indcaons bblographques [] Asmussen, S Sochasc Smulaon. Sprnger. [2] Glasserman, P Mone Carlo Mehods n Fnancal Engneerng. Sprnger. [3] Glasserman, P., Hedelberger, P., and Shahabuddn, P Varance Reducon Technques for Esmang Value-a-Rs. Managemen Scence, Vol. 46, No. 0. [4] Mc Nel, A., Frey, R. and Embrechs, P Quanave Rs Managemen. Conceps, Technques and Tools. Prnceon Unversy Press. 4/29

15 Annexe A : sensblés pour une méhode dela-gamma Sensblé / dérvée Esmaeur Commenare δ = CPR z CPR, z + h, CPR, z h, 2h = s + s 2h Sensblés / varaons vers le hau e vers le bas [smlare à la méhode dela-normale]. Varaons absolues h pour aux d nérê e spreads de créd ou varaons relaves h h z snon, vor annexe B. Γ = 2 CPR CPR, z + h, CPR, z, 2 2 z h Elémens dagonaux de la marce Γ + CPR, z h, CPR, z, h 2 = s + + s h 2 Γ = 2 CPR z z CPR, z + h,, z + h, CPR, z + h,, z h, 4h h Elémens mxes cross-gamma de la marce Γ + CPR, z h,, z h, CPR, z h,, z + h, 4h h De manère générale : s + fx + h fx hf x + 2 h2 f x ; s fx h fx hf x + 2 h2 f x Il s ensu : s + s 2h f x, s + +s h 2 f x. 5/29

16 Annexe B : npu pour le calcul des sensblés des rsques de marché pour le SST Remarque mporane : les varaons h e h des faceurs de rsque nécessares au calcul des sensblés e s enenden comme des varaons absolues pour les aux d nérê e les spreads de créd se reporer à l annexe A. En revanche, concernan les aures faceurs de rsque pour lesquels l on consdère des varaons composées en connu ou logarhmques, ces varaons s enenden de manère relave, c es-à-dre : En conséquence, la varaon 0 % du faceur de rsque Z logs par Z 0. Z logs 0.log S. logs logs do ensue êre dvsée par 2 0% logs.,,,, CPR z h z CPR z h z 2hz Z logs mplque la chose suvane : l fau déermner la valeur du CPR en remplaçan. respecvemen par Z 0. Z logs 0.log S 0.9log S logs 0.9. La dfférence Les sensblés doven porer sur oues les posons du blan. L npu des sensblés a leu séparémen pour les acfs e les passfs. Acfs Comprend les sensblés de ous les acfs de ous les dérvés lés aux acfs par exemple opons en oblgaons converbles ou en produs srucurés de ous les dérvés fnancers par exemple opons sur acons ou ndces d acons, fuures sur ndce, swap de aux d nérê, caps/floors, F-Forwards, F-Swaps, Currency-Swaps. Passfs Comprend les sensblés de ous les passfs de oues les opons e garanes lées à des passfs par exemple garane du aux d nérê mnmum. Opons e garanes mplces Les sensblés des produs dérvés e celles des produs dérvés mplces ne doven pas êre enregsrées séparémen dans le ableur, mas doven êre ndquées séparémen dans le rappor pour la FINMA séparaon pour dérvés fnancers, dérvés lés aux acfs, dérvés lés aux passfs. 6/29

17 S les posons des dérvés son mporanes, l se peu que le modèle sandard pour les rsques de marché ne so pas appropré du fa de son approxmaon quadraque ou de son approxmaon lnéare en cas d approche smplfée ; l fau alors applquer un modèle nerne. Un lned produs en unés de compe e compes séparés separae accouns Concernan les acfs e les passfs, l fau menonner les sensblés pour les placemens en capaux découlan des produs en unés de compe e des compes séparés, à mons qu l ne so prouvé ndubablemen qu elles son parfaemen denques. Calcul du rsque d nérê applcable pour oues les monnaes D une manère générale, la durée d un cash flow es arronde à l année enère supéreure. Par exemple, la valeur acuelle d un cash flow qu écho après 2,3 ans es calculée avec le aux d nérê pour 3 ans e une durée fcve de 3 ans. 7/29

18 Descrpon Taux d nérê zero raes CHF ; EUR ; USD ; GBP re année Varaon h 00 bps Imporance Calcul de la sensblé Posons devan êre prses en compe Effe sur la valeur acuelle Nouvelle évaluaon des posons Toues les posons sensbles aux aux d une varaon de la sensbles aux aux d nérê avec d nérê, comme courbe des aux enre 0 e une courbe des aux supéreure oblgaons,,0 an. nféreure de 00 bps par rappor oblgaons converbles, à la courbe nale sur une pérode créds, de 0 à,0 an, c es-à-dre que sur prês, la pérode 0,00 an, la courbe hypohèques, oblgaons, nale es relevée abassée unformémen de 00 bps. garanes du aux d nérê, swaps de aux d nérê, Cec s applque à oues les caps/floors, courbes des aux pas unquemen F-forwards, aux courbes sans rsque. F-swaps. Taux d nérê zero raes CHF ; EUR ; USD ; GBP 2 e année 00 bps Effe sur la valeur acuelle d une varaon de la courbe des aux enre,0 e 2,0 ans. S l évaluaon de cerans acfs mplque d escomper à l ade d un rendemen spécfque à ces nsrumens par ex. évaluaon d un emprun d enreprse, l fau déermner l écar de rendemen cred spread relaf au aux d nérê sans rsque, l escomper avec le aux d nérê majoré de 00 bps ajoué au cred spread e affecer le résula à la pérode d un an. Smlare au calcul applcable pour le aux d nérê zero raes de la re année Ne pas enr compe des bens mmoblers pour ce faceur de rsque. 8/29

19 Descrpon Taux d nérê zero raes CHF ; EUR ; USD ; GBP 3 e année Taux d nérê zero raes CHF; EUR; USD; GBP 4 e année Taux d nérê zero raes CHF ; EUR ; USD ; GBP 5 e année Taux d nérê zero raes CHF ; EUR ; USD ; GBP 6 e année Taux d nérê zero raes CHF ; EUR ; USD ; GBP 7 e année Taux d nérê zero raes CHF ; EUR ; USD ; GBP 8 e année Varaon h 00 bps 00 bps 00 bps 00 bps 00 bps 00 bps Imporance Calcul de la sensblé Posons devan êre prses en compe Effe sur la valeur acuelle d une varaon de la courbe des aux courbe d escompe enre 2,0 e 3,0 ans. Effe sur la valeur acuelle d une varaon de la courbe des aux courbe d escompe enre 3,0 e 4,0 ans. Effe sur la valeur acuelle d une varaon de la courbe des aux courbe d escompe enre 4,0 e 5,0 ans. Effe sur la valeur acuelle d une varaon de la courbe des aux courbe d escompe enre 5,0 e 6,0 ans. Effe sur la valeur acuelle d une varaon de la courbe des aux courbe d escompe enre 6,0 e 7,0 ans. Effe sur la valeur acuelle d une varaon de la courbe des aux courbe d escompe enre 7,0 e 8 ans. 9/29

20 Descrpon Taux d nérê zero raes CHF ; EUR ; USD ; GBP 9 e année Taux d nérê zero raes CHF ; EUR ; USD ; GBP 0 e année Taux d nérê zero raes CHF ; EUR ; USD ; GBP 5 e année Taux d nérê zero raes CHF ; EUR ; USD ; GBP 20 e année Taux d nérê zero raes CHF ; EUR ; USD ; GBP 30 e année Volalé mplce des aux d nérê Varaon h 00 bps 00 bps 00 bps 00 bps 00 bps 0 % relaf Imporance Calcul de la sensblé Posons devan êre prses en compe Effe sur la valeur acuelle d une varaon de la courbe des aux courbe d escompe enre 8,0 e 9 ans. Effe sur la valeur acuelle d une varaon de la courbe des aux courbe d escompe enre 9,0 e 2 ans. Effe sur la valeur acuelle d une varaon de la courbe des aux courbe d escompe enre 2,0 e 7 ans. Effe sur la valeur acuelle d une varaon de la courbe des aux courbe d escompe enre 7,0 e 24 ans. Effe sur la valeur acuelle d une varaon de la courbe des aux courbe d escompe enre 24,0 e 50 ans. Effe sur la valeur acuelle d nsrumens fnancers ayan une sensblé au aux d nérê, en cas d augmenaon ou de dmnuon de la volalé mplce de 0 %. Varaon de 0 % de la volalé Toues les posons don les valeurs réagssen au changemen des volalés mplces des aux d nérê comme : Opons sur les posons sensbles aux aux d nérê, par ex. oblgaons hypohèques swaps de aux 20/29

21 Descrpon Varaon h Spread de créd 00 bps Effe sur la valeur acuelle d une varaon de 00 bps des spreads de créd dfférence enre les aux applcables aux placemens comporan des rsques de créd e ceux n en comporan pas. Imporance Calcul de la sensblé Posons devan êre prses en compe forwards Opons spécfques ou négrées sur aux d nérê, p. ex. Caps / floors caple / floorle Collars Varaon de la valeur acuelle qu découle d une ranslaon de 00 bps de la courbe des aux. S l évaluaon de cerans placemens comporan des rsques de créd découle de l escompe avec un rendemen spécfque à l nsrumen consdéré par ex. évaluaon d un emprun d enreprse, l fau mesurer la varaon de valeur en cas d augmenaon/de réducon du rendemen de 00 bps. Le rsque de spread pore sur les nsrumens fnancers don les valeurs réagssen aux varaons des spreads de créd. Les rsques de spread concernen égalemen oues les posons exposées à un rsque de conrepare. Son excepés les oblgaons souveranes e les dérvés correspondans 5 lbellés dans une devse conrôlable par l Ea consdéré, s le modèle de rsque ulsé comprend des faceurs de rsque d nérê dans cee devse. Dans le cas du modèle sandard pour les rsques de marché, l s ag des oblgaons fédérales susses e des empruns d Ea du Royaume-Un e des Eas-Uns, mas pas de ceux des pays de la zone euro. Il fau enr compe auss de oues les créances découlan de dérvés sur rsque de créd e de créances comporan des rsques de créd découlan d opons mplces lées à des nsrumens fnancers négocables e lqudes. Concernan les cred spread USA AAA, AA, A, BBB, l s ag de oues les pos- 5 Il fau néanmons enr compe d un évenuel rsque de spread de l émeeur d un el produ dérvé par ex. une banque qu éme des opons sur les empruns d'ea amércans. 2/29

22 Descrpon Varaon h Imporance Calcul de la sensblé Posons devan êre prses en compe ons comporan des rsques de créd comme les empruns e les prês d enreprses e de créancers publcs ssus d Amérque du Nord e du Sud, de l Exrême-Oren e de la régon Ase- Pacfque avec la noaon correspondane. La noaon BBB es arbuée aux posons ne comporan pas de noaon approuvée par la FINMA. Concernan les cred spread Europa AAA, AA, A, BBB, l s ag de oues les posons comporan des rsques de créd comme les empruns e les prês d enreprses e de créancers publcs comme les Eas, les canons e les Bundesländer ans que les communes ssus d Europe y comprs des Eas de la CEI, du Proche-Oren e d Afrque [EMEA] avec la noaon nvesmen grade correspondane. En oure, les hypohèques susses relèven de la noaon A. La noaon BBB es arbuée aux posons ne comporan pas de noaon approuvée par la FINMA. Concernan les cred spread BB, l s ag de oues les posons comporan des rsques de créd e présenan une qualé sub-nvesmen grade don les exposons nféreures à la noaon BB ne doven pas êre maérelles. Concernan les spreads swap govern- 22/29

23 F EUR/CHF F USD/CHF F GBP/CHF F JPY/CHF Descrpon Varaon h 0 % 0 % 0 % 0 % Volalé F mplce 0 % relaf Acons : Susse EMU Eas-Uns Grande-Breagne Japon 0 % Imporance Calcul de la sensblé Posons devan êre prses en compe men, l s ag de oues les posons des produs swap par ex. swaps e swapons. Effe sur la valeur acuelle d une varaon du aux de change EUR/CHF de 0 %. Effe sur la valeur acuelle d une varaon du aux de change USD/CHF de 0 %. Effe sur la valeur acuelle d une varaon du aux de change GBP/CHF de 0 %. Effe sur la valeur acuelle d une varaon du aux de change JPY/CHF de 0 %. Effe sur la valeur acuelle d nsrumens fnancers avec une sensblé sur les volalés mplces des devses en cas de modfcaon de la volalé mplce de 0 %. Effe sur la valeur acuelle d une modfcaon des cours des acons de 0 %. Nouveau calcul de oues les posons avec un cours EUR/CHF supéreur/nféreur de 0 % par rappor au cours nal. Toues les posons e ous les dérvés qu comporen une composane en EUR par ex. la jambe EUR d un F-swap EUR/GBP. Vor «F EUR/CHF» Vor «F EUR/CHF» Nouveau calcul des posons en cas de varaon de 0 % de la volalé. Nouveau calcul des posons en cas de varaon de 0 % du cours des acons/de l ndce. Toues les posons don les valeurs réagssen au changemen de la F-volalé mplce. Toues les posons sensbles à cerans cours d acons ou à cerans ndces d acons. Il fau enr compe des dérvés, mas auss des opons mplces par ex. en empruns converbles. 23/29

24 Descrpon Ase-Pacfque sans Japon Small Cap EMU Volalé mplce des acons Varaon h 0 % relaf Hedge funds 0 % Effe sur la valeur acuelle d une varaon des évaluaons des hedge funds de 0 %. Prvae equy 0 % Effe sur la valeur acuelle d une varaon de 0 % sur les placemens ayan valeur de prvae equy. Immobler résdenel drec en Susse Fonds mmobler Susse 0 % 0 % Imporance Calcul de la sensblé Posons devan êre prses en compe Il ne fau pas enr compe de l effe sur les posons dans les propres res d acons, mas de l effe sur les dérvés lbellés dans les propres res par ex. Lepos. Parellemen, les parcpaons ne doven pas êre prses en compe. Effe sur la valeur acuelle Nouveau calcul des posons en Toues les posons don les valeurs réagssen d nsrumens fnancers cas de varaon de 0 % du cours au changemen des volalés avec une sensblé sur de l ndce. mplces des acons les volalés mplces des acons / ndces d acons en cas de varaon de la volalé mplce de 0 %. Effe sur la valeur acuelle d une varaon de l ndce mmobler de 0 %. Effe sur la valeur acuelle d une varaon du cours du fonds mmobler de Nouveau calcul des posons en cas de varaon de 0 % du nveau des évaluaons des hedge funds. Nouveau calcul des posons en cas de varaon de 0 % des cours des placemens. Nouveau calcul des posons en cas de varaon de 0 % des prx de l mmobler. Nouveau calcul des posons en cas de varaon de 0 % du cours des socéés mmoblères. Tous les placemens consuan des engagemens dans des hedge funds, en parculer hedge funds placemens drecs, funds of hedge funds fonds de fonds Tous les placemens consuan des engagemens dans des prvae equy, en parculer prvae equy funds, socéés de prvae equy Dversfcaons en : mmobler résdenel, mmobler mxe avec mons de 50 % de surface commercale, bâmens susmenonnés en consrucon. Fonds mmoblers coés en bourse. 24/29

25 Descrpon Immeubles commercaux drecs en Susse Varaon h 0 % Imporance Calcul de la sensblé Posons devan êre prses en compe 0 %. Effe sur la valeur acuelle d une varaon de 0 % des socéés mmoblères. Parcpaons 0 % Effe sur la valeur acuelle d une varaon de 0 % des valeurs des parcpaons. Nouveau calcul des posons en cas de varaon de 0 % du cours des socéés mmoblères. Nouveau calcul des posons en cas de varaon de 0 % des cours des parcpaons. Immeubles commercaux nvesssemen drec ou mmeubles pour usage propre, mmobler mxe avec mons de 50 % de surface commercale, bâmens susmenonnés en consrucon. Parcpaons : ou placemen drec sans les bens mmoblers, les placemens en prvae equy, les bons de parcpaon e de joussance pour lequel un loo hrough n es pas appropré. 25/29

26 Annexe C : descrpon de l ndce de Bloomberg / orgne des données Faceur de rsque Tcer Bloomberg Fréquence Dae de débu Taux d nérê CHF zero raes Taux d nérê EUR zero raes A 2A 3A 4A 5A 6A 7A 8A 9A 0A 5A 20A 30A A 2A 3A 4A 5A 6A 7A 8A 9A 0A 5A 20A 30A Données BNS 6 Quodenne 995 I030Y Index I0302Y Index I0303Y Index I0304Y Index I0305Y Index I0306Y Index I0307Y Index I0308Y Index I0309Y Index I030Y Index I035Y Index I0320Y Index I0330Y Index Quodenne L hsorque des données es publé sur le se Inerne de la FINMA. 26/29

27 Faceur de rsque Tcer Bloomberg Fréquence Dae de débu Taux d nérê USD zero raes Taux d nérê GPB zero raes Volalé mplce des aux d nérê A 2A 3A 4A 5A 6A 7A 8A 9A 0A 5A 20A 30A A 2A 3A 4A 5A 6A 7A 8A 9A 0A 5A 20A 30A I0250Y Index I02502Y Index I02503Y Index I02504Y Index I02505Y Index I02506Y Index I02507Y Index I02508Y Index I02509Y Index I0250Y Index I0255Y Index I02520Y Index I02530Y Index I0220Y Index I02202Y Index I02203Y Index I02204Y Index I02205Y Index I02206Y Index I02207Y Index I02208Y Index I02209Y Index I0220Y Index I0225Y Index I02220Y Index I02230Y Index Quodenne 995 Quodenne CHF SFSV00 Quodenne A parr de fn /29

28 Faceur de rsque Tcer Bloomberg Fréquence Dae de débu Cred spread USA : AAA, AA, A, BBB Cred spread BB Cred spread Europe : AAA, AA, A, BBB Spread de Swap- Governmen Devses Volalé F mplce Moody's Index mons empruns d Ea amércans à 30 ans Treasury Dfférence du Bloomberg Far Mare Curve BB à dx ans par rappor au proxy de la FINMA à dx ans pour les aux d nérê sans rsque lbellés en USD. Dfférence du Bloomberg Far Mare Curve à dx ans correspondan à la noaon par rappor au proxy de la FINMA à dx ans pour les aux d nérê sans rsque à dx ans lbellés en EUR. Comme le proxy Bloomberg pour les AAA Euro Spreads a éé suspendu en novembre 20, la sére hsorque ndquée es une exrapolaon. Dfférence des swaps en CHF à dx ans par rappor aux govy en CHF à dx ans EUR/CHF USD/CHF GPB/CHF JPY/CHF USD/CHF ATM à 3 mos Opons MOODCAAA Index - GT30 GOVT, MOODCAA Index - GT30 GOVT, MOODCA Index - GT30 GOVT, MOODCBAA Index - GT30 GOVT Quodenne AAA e BBB à parr de 983 Le rese à parr de C8840Y Index - I0250Y Index Quodenne A parr de novembre 2002 AAA : C6640Y Index - I030Y Index AA :C6670Y Index - I030Y Index A : C6700Y Index - I030Y Index BBB : C6730Y Index - I030Y Index Quodenne A parr de mars 2002 BBB à parr de ma 2000 I0570 Y Index I0820Y Index Quodenne A parr de débu 995 SFEC Curncy SFUS Curncy SFBP Curncy SFJY Curncy Quodenne 980 USDCHFV3M Curncy Quodenne Avrl /29

29 Faceur de rsque Tcer Bloomberg Fréquence Dae de débu Acons : Susse EMU Eas-Uns Grande-Breagne Japon Ase-Pacfque sans Japon Small Cap EMU Volalé mplce des acons Hedge funds MSCI Toal Reurn Indces : Swzerland EMU USA Uned Kngdom Japan Pacfc ex Japan Small Cap EMU GDDLSZ Index GDDLEMU Index GDDLUS Index GDDLUK Index GDDLJN Index GDDUPJ Index MEMSC Index Mensuelle 970 VI VI Index Quodenne 994 HFRI Fund of Funds Compose HFRIFOF Mensuelle A parr de débu 990 Index Prvae equy LP Drec Index LPIDITR Quodenne A parr de débu 999 Immobler SW IAZI Invesmen Real Esae Performance Index Indce mmobler de Rüd Blass IREALC Index Trmesrelle 986 DBCHREE Index Mensuelle 990, quodenne à parr du Remarques : Les fréquences e daes de débu menonnées c ndquen la dsponblé des données e non leur ulsaon. Dans le modèle sandard pour les rsques de marché, l'esmaon de la marce de corrélaon e des volalés repose sur des données à fréquence mensuelle, à l'excepon de l ndce CIFI. L hsorque ulsé es de 0 ans. En cas de fréquence mensuelle, ceranes valeurs mensuelles moyennes son publées sur Bloomberg. Il fau veller à ben reprendre les valeurs de fn de mos. Moody s puble des séres emporelles quodennes e mensuelles pour les rendemens sur les empruns d enreprses aux Eas-Uns concernan dfférenes classes de noaon. Moody s calcule les rendemens des empruns d enreprse sur les porefeulles présenan une durée résduelle de 30 ans. Les rendemens d empruns d Ea avec une durée résduelle de 30 ans on donc éé ulsés. Dans le cas d une fréquence mensuelle, les données de Bloomberg relaves aux ndces Moody s ne corresponden pas aux valeurs en fn de mos, mas aux valeurs mensuelles moyennes. En conséquence, pour le calcul des valeurs en fn de mos des spreads reposan sur les ndces Moody s, on déermne la dernère valeur de chaque mos à parr des valeurs quodennes, dmnuées du rendemen correspondan des res d Ea. 29/29

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