GESTION DE LA PRODUCTION RECUEIL D EXERCICES & SOLUTIONS

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1 PROD 00 GESTION DE LA PRODUCTION RECUEIL D EXERCICES & SOLUTIONS de le Court Eléonore, Botton Quentin, Seml Pierre de le Court Eléonore. / Tél : 00/ Botton Quentin.0 / Tél : 00/ Seml Pierre B.8 / Tél : 00/ Année First session : Mthemticl nd sttisticl revisions

2 FIRST SESSION : "Mthemticl nd sttisticl revisions" Ojectifs : Se remettre en mémoire les notions de proilités et de sttistique uquelles le cours de Gestion de l Production fit référence. Contenu : - Enoncés des eercices à résoudre pges 4 à 8; - Solutions pges 9 à 6; - Tle Normle Réduite pge 7. Monitort : Eercices individuels à fire chez soi. First session : Mthemticl nd sttisticl revisions

3 Enoncés Question : échntillon fini & vleurs discrètes Supposons que nous lncions un dé 0 fois et que les vleurs prises pr le dé soient les suivntes : une fois l vleur ; fois l vleur ; fois l vleur 4; fois l vleur 5 et fois l vleur 6.. Sur se des 0 lncés de dé, clculez dns le tleu ci-dessous les différentes fréquences solues et reltives f r ƒ /n. Vleur du dé : X Si 0 lncés n0 : Fréquence reltive : f r ƒ /n nomre de fois qu on otenu une vleur donnée : ƒ fréquence solue? 0?? 4? 5? 6? Somme?. Quelle est l somme des fréquences reltives pour l ensemle de l échntillon n? Est-ce toujours vri?. Quelle est l moyenne X otenue pour cet échnllon?.4 Quelle est l médine? L moitié des oservtions se trouve d un côté de l médine, l utre moitié se trouve de l utre côté..5 Quel est le mode? C est l vleur pour lquelle l fréquence reltive est l plus grnde..6 Quelle est l différence entre l notion de fréquence reltive et celle de proilité? Pour répondre à cette question idez-vous du schém suivnt : X n0 n50 n / / / / / /6 Totu First session : Mthemticl nd sttisticl revisions

4 .7 Trvillons mintennt, non plus vec les fréquences reltives oservées dns l échntillon, mis vec les proilités d otenir,,..., 6 lors du lncé d un dé. Soit X cette vrile létoire. Représentez grphiquement cette distriution et donnez s distriution fonction mthémtique. Clculez s moyenne X, schnt que l formule de l moyenne d une distriution discrète est l suivnte : p. Epliquez. c Clculez s vrince, schnt que l formule de l vrince d une distriution discrète est l suivnte : p. Epliquez. Enfin, que représente une vrince? En quelle unité est-elle eprimée? d L vrince d'une vrile létoire dont les vleurs toment loin de l moyenne ser-t-elle plus ou moins grnde que l vrince d'une vrile létoire dont les vleurs toment près de l moyenne? e Une utre mesure de dispersion plus fréquemment utilisé est celle de l'écrt type. Celui-ci est eprimé dns les mêmes unités que les oservtions, epliqunt son utilité. Clculez cet écrt type. f Enfin, indiquez sur votre grphique l moyenne et l écrt type clculés précédemment. Question : Distriution continue. L tempérture sur l île de Ppeete oscille strictement entre [0,5]. Selon vous, à quelle type de distriution -t-on à fire ici, en supposnt que toutes les tempértures sont équiproles càd ont l même proilité de survenir?. Cette coure s ppelle densité de proilité de l vrile T. Représentez cette distriution grphiquement et donnez-en l formule mthémtique. N'ouliez ps d'indiquer sur le grphique quelle est s densité de proilité.. Schnt que l proilité d un événement se clcule pr intégrtion de l distriution, clculez les proilités suivntes : Pro X Pro X > c Pro X d Pro X <,5 e Pro X,5 f Pro < X,5 First session : Mthemticl nd sttisticl revisions 4

5 .4 Intuitivement, quelle est l moyenne X d'une distriution uniforme? Mthémtiquement, l moyenne d une distriution de proilité continue se clcule pr l formule suivnte : X 0 p d Comprez cette formule vec celle de l question.7.. Qu en déduisez-vous? Enfin, que vut cette moyenne dns l'eemple donné ci-dessus?.5 L formule de l vrince d une distriution continue est l suivnte : p d. Schnt cel, clculez l vrince d une distriution de proilité uniforme. Epliquez et comprez à l formule de l question.7.c. Que vut cette vrince dns l eemple donné ci-dessus?.6 Clculez l écrt type de cette distriution et représentez-le sur votre grphique..7 Supposons mintennt que, pour des risons prtiques évidentes, l on rrondisse systémtiquement les tempértures mesurées à l unité l plus proche. Ainsi, une tempérture de 0,4 ser rrondie à 0, tndis qu une tempérture de 0,55 ser rrondie à. Soit Y l vrile létoire discrète décrivnt cette tempérture rrondie nomres létoires entiers llnt de 0 à 5. Pour Y : représentez l distriution de proilité et comprez à l question.; clculez les proilités de l question. et comprez; c clculez l moyenne et comprez à l question.4; d clculez l vrince et comprez à l question.5; e clculez l écrt type et comprez à l question.6. Question : échntillon fini & vleurs continues Soit une entreprise qui frique des tues de différentes longueurs. Une des mchines est sensée découper des tues de 0 cm de longueur. Le responsle de l qulité vient de prélever un échntillon de tue pour vérifier l précision de l mchine. Soit sur les 0 tues prélevés, l clssifiction suivnte : Fréquence solue Entre 8, 5 et 9,5 cm Entre 9,5 et 0,5 cm 5 Entre 0,5 et.5 cm Fréquence reltive. Clculez les fréquences reltives.. Dessinez un histogrmme.. Quelle est l moyenne de l échntillon? First session : Mthemticl nd sttisticl revisions 5

6 .4 Si l on prélevit 00 tues, de quel type de distriution cel se rpprocherit-il? Question 4 4. Pour eucoup de vriles létoires, l distriution de proilité une forme de cloche. On l'ppelle l coure normle ou de Guss. Cette distriution pprît être un modèle risonnle pour le comportements de certins nomreu phénomènes létoires. Représentez grphiquement cette distriution Nµ, et indiquez y les deu prmètres suivnts : moyenne µ et écrt type. 4. L distriution normle permet églement de clculer des intervlles de confince. Ainsi, on pourr pr eemple certifier que dns 95 % des cs, un nomre létoire se trouver dns l'intervlle µ ; µ +. Indiquez sur votre µ, µ +, µ ; µ + grphique les intervlles de confince suivnts : [ ] et [ µ, µ + ]. 4. Représentez sur un même grphique deu distriutions normles de même moyenne mis d écrts types différentes. 4.4 Pour pouvoir clculer plus fcilement des proilités vec une distriution normle, on utilise l distriution normle réduite N0,. Celle-ci est identique à l première mis stndrdisée, à svoir, distriuée utour d'une moyenne µ 0 et d'un écrt type. L'eemple ci-dessous représente l correspondnce entre l distriution normle et l distriution normle réduite. µ µ µ µ µ + µ + µ Νµ, Ν0, Schnt que X est distriué selon une Νµ, et Z selon une N0,, vérifiez les églités suivntes : Pro X µ Pro Z 0 Pro X µ + Pro Z First session : Mthemticl nd sttisticl revisions 6

7 Pro X µ + k Pro Z k Ces églités peuvent se vérifier en comprnt les intégrles surfces, qui sont identiques. On remrque donc isément que ces deu distriutions sont identiques mis construites à une échelle différente. Pour psser d une distriution à l utre, nous X µ utilisons : Z. Ainsi, Pro < X < pro µ < Z < µ. 4.5 Enfin, pour une distriution N69,, clculez les proilités suivntes : Pro X > 74 Pro X 74 c Pro 70 X 74 Question 5 : Vriles létoires à deu résultts possiles : Loi Binomile Considérons d ord les fmilles où il y urit ectement trois nissnces. L proilité d voir un grçon à n importe quelle nissnce est de 5%. 5. Le see à l première nissnce n influence ucunement le see des nissnces suivntes. Quelle est l hypothèse sttistique sous-jcente? 5. Quelle est l proilité d voir une fmille où il y urit d ord un grçon, puis une fille et enfin un grçon résoudre vec un rre de proilité? 5. Quelle est l proilité d voir u moins deu filles? 5.4 Quelle est l proilité d voir ectement une fille? Eprimez votre réponse en employnt l distriution inomile. First session : Mthemticl nd sttisticl revisions 7

8 Solutions Question. Vleur du dé : X Si n 0 : ƒ fréquence Fréquence reltive : f r ƒ /n solue Somme. L somme des fréquences reltives pour l ensemle de l échntillon n est de. L somme des fréquences reltives doit toujours être égle à.. Moyenne 4,5.4 Médine 5.5 Mode 5 ou 6.6 Proilité limite de l fréquence reltive n tend vers. L fréquence reltive est liée à un échntillon fini que l on oservé..7. 0,8 0,6 0,4 0, 0,0 0,08 0,06 0,04 0,0 0, L distriution est l suivnte : / 6 si {,,, 4, 5, 6} p 0 sinon First session : Mthemticl nd sttisticl revisions 8

9 .7. X /6 * + /6 * + /6 * + /6 * 4 + /6 * 5 + /6 * 6,5.7.c L vrince est une mesure typique de dispersion. Elle eprime l'importnce des écrts entre les oservtions et l moyenne. Elle est eprimées en unités., 5 * / 6 +, 5 * / 6 +, 5 * / 6 + 4, 5 * / 6 +, * / +, * / , 9.7.d Elle ur une vrince plus importnte..7.e. 8,7..7.f 0,8 0,6 0,4 0, 0,0 0,08,7,7 0,06 0,04 0,0 0,00 µ First session : Mthemticl nd sttisticl revisions 9

10 Question. Distriution continue uniforme. / - Densité de Proilité L formule mthémtique de cette distriution est l suivnte : si p 0 si < 0 si < si 0 5 p 5 0 sinon.. Pro X X p d 0 cr l fonction étnt continue, on une chnce infime de tomer ectement sur cette vleur. Ceci reste vri pour toute distriution continue... Pro X > /5 cr j'i /5 de chnces de tomer dns [, ], /5 de chnces de tomer dns [, 4], /5 de chnces de tomer dns [4, 5]. Mthémtiquement, cel se clcule de l mnière suivnte : 5 5 p d d [ ] c Pro X /5 Pro X 0..d Pro X <,5 7/0..e Pro X,5 7/0 5 5 First session : Mthemticl nd sttisticl revisions 0

11 First session : Mthemticl nd sttisticl revisions..f Pro X,5 Pro X - Pro X,5 /5 - /0 /0. Selon l formule mthémtique, on trouve évidemment ectement l même proilité..4 µ ,. Mthémtiquement, cel donne : d d d p + + L comprison entre p d et p est directe. Dns les deu cs, nous considérons tous les cs intégrle de - à + ou somme sur tous les cs possiles. Et, dns chque cs, nous multiplions l vleur oservée pr s proilité p d ou p..5 08, 0 5 Cette formule est otenue : 4 d d p L'écrt type se trouve en prennt l rcine crrée de l vrince. Ici, il est de, ,04 0,08 0, 0,6 0, X Densité de Proilité µ,44,44

12 .7. Pro 0, 0, 0, 0, 0, 0, µ.7. Pro X 0,0 Pro X > 0,0 + 0,0 + 0,0 0,50 Pro X 0,0 + 0,0 + 0,0 + 0,0 0,70 Pro X <,5 0,0 + 0,0 + 0,0 + 0,0 0,70 Pro X,5 0,70 Pro < X,5 0,0.7.c µ 0 * 0, + * 0, + * 0, + * 0, + 4 * 0, + 5 * 0,,5.7.d 0-,5 * 0, + -,5 * 0, +-,5 *0, + -,5 é *0, + 4 -,5 * 0, + 5-,5 * 0,,5.7.e,5 Question. Fréquence solue Fréquence reltive Entre 8, 5 et 9,5 cm 0. Entre 9,5 et 0,5 cm Entre 0,5 et.5 cm 0. First session : Mthemticl nd sttisticl revisions

13 . 5 4 Entre 8, 5 et 9,5 cm Entre 9,5 et0,5 cm Entre 0,5 et.5 cm 0 Fréquence solue. 9 * * * 0. 9,9.4 Tend vers une normle Question 4 4. L moyenne est centrle et l'écrt type se situe u point d'infleion de l coure. u point d' infleion de l coure µ First session : Mthemticl nd sttisticl revisions

14 4. 68% 95% 99,70% µ µ µ µ µ + µ + µ + 4. Deu distriutions normles de même moyenne mis d écrts types différents Pro X µ Pro X µ µ µ Pro Z Pro X µ + Pro 4.4.c Pro X µ + k Pro X µ µ + µ Pro Z X µ µ + k µ Pro Z k First session : Mthemticl nd sttisticl revisions 4

15 4.5. Pro X > 74 Pro Z > 74-69/ Pro Z >, voir dns les tles normles réduites quel est le Z correspondnt à l proilité clculée Pro X pour l même rison que dns l'eercice c Pro 70 X 74 Pro X > 70 ProX > 74 ProZ > 70-69/- ProZ > 74-69/ ProZ >0.- ProZ > Question 5 : Loi inomile 5. Indépendnce des événements 5. Progrçon * Profille * Progrçon 0.5*0.48*0.5 % 5. Protrois filles + Pro filles et puis un grçon + Pro fille, grçon et puis fille + Pro grçon et puis filles 0.48*0.48* *0.48* *0.5* *0.48* % 5.4Profille et puis deu grçons + Pro grçon, fille et grçon enfin + Prodeu grçons et fille 0.48*0.5* *0.48* *0.5*0.489 % Loi inomile : n p s s π π s n s emple: proilité d voir ectement s filles et n-s grçons dns une fmille de n enfnts sn. n n! s s! n s! Proilité d voir ectement une fille question 5.4 dns une fmille de trois! p ,48 0,5 * 0,48* 0,5 9%!! Pour voir s vec s dns ce cs filles prmi n vec n dns ce cs événements, il fut que s événements s soient du type fille 0,48 s et que n-s événements soient du type ps fille - 0,48 n-s. De plus, ces événements peuvent rriver dns des ordres différents : pr eemple, dns ce cs-ci, fille - grçon - grçon, n grçon - fille - grçon, grçon - grçon - fille. C est s qui clcule le nomre d ordres différents d voir ces s événements fille dns n événements. Ainsi, si on cherche l proilité d voir s filles dns un ordre précis, on utilise s ns p s π π. L proilité d voir une seule fille, née en premier lieu dns une fmille de trois : * p ,48 0,5 0,48* 0,5 %? First session : Mthemticl nd sttisticl revisions 5

16 Distriution normle N0, z nomre d'écrts types Pz Pro [ z ] p d N 0, z N 0, z Ez nomre moyen de mnqunts z p d z Pz Ez E-z 0,0000 0,5000 0,989 0,989 0,000 0,460 0,509 0,4509 0,000 0,407 0,069 0,5069 0,000 0,8 0,668 0,5668 0,4000 0,446 0,04 0,604 0,5000 0,085 0,978 0,6978 0,6000 0,74 0,687 0,7687 0,7000 0,40 0,49 0,849 0,8000 0,9 0,0 0,90 0,9000 0,84 0,004,0004,0000 0,587 0,08,08,000 0,57 0,0686,686,000 0,5 0,056,56,000 0,0968 0,0455,455,4000 0,0808 0,067,467,5000 0,0668 0,09,59,6000 0,0548 0,0,6,7000 0,0446 0,08,78,8000 0,059 0,04,84,9000 0,087 0,0,9,0000 0,08 0,0085,0085,000 0,079 0,0065,065,000 0,09 0,0049,049,000 0,007 0,007,07,4000 0,008 0,007,407,5000 0,006 0,000,500,6000 0,0047 0,005,605,7000 0,005 0,00,70,8000 0,006 0,0008,8008,9000 0,009 0,0005,9005,0000 0,004 0,0004,0004,000 0,000 0,000,00,000 0,0007 0,000,00,000 0,0005 0,000,00,4000 0,000 0,000,400,5000 0,000 0,000,500,6000 0,000 0,0000,6000,7000 0,000 0,0000,7000,8000 0,000 0,0000,8000,9000 0,000 0,0000,9000 4,0000 0,0000 0,0000 4,0000 First session : Mthemticl nd sttisticl revisions 6