Correction du baccalauréat S Nouvelle-Calédonie novembre 2007

Transcription

1 Durée : 4 heures Correctio du baccalauréat S Nouvelle-Calédoie ovembre 007 EXERCICE 1 Commu à tous les cadidats 4 poits 1 Avec z = x+ iy, z+ z = 9+i x+ iy+ x iy = 9+i x+ iy = 9+i et par ideticatio x =, y = 1 Répose c Par les différetes solutios possibles z+i = z i deux complexes cojugués ot le même module ; z i = i z i = iz i) = iz i = iz+ i Répose c O pose z = r e iθ ; 1+i = ei π 1 + i ) = e i π Doc 1+i = z r e iθ = π r ei +θ) Répose b 4 ) +i= + i 1 = e i π ) 6 Doc +i = e i π 6 est u imagiaire pur si et seulemet si u de ses argumets est égal à k+ 1) π Doc π 6 = k+ 1) π = 6k+ Répose b z i = z+ 1 AM = BM doc M appartiet à la médiatrice de [AB] qui est bie la perpediculaire à [ab] coteat O Répose c 6 z 1+i = 4i ΩM = Les poits appartieet doc au cercle de cetreωet de rayo Pour tout poit M de ce cercle o a OM = OΩ + ΩM qui se traduit e termes d affixes par z= 1 i+e iθ avec θ réel Répose c 7 C est l image de B das la rotatio de cetre A et d agle π D où c a= ib a) c = a+ ib a) c = 4+ii 4)=1 4i Répose a z 8 z 1 = z z =z z avec z 1) soit z z+ =0 O trouve les deux solutios 1 i ; 1+i Répose c EXERCICE Commu à tous les cadidats poits 1 a Arbre podéré

2 Correctio du baccalauréat S 0,0 0, F 1 0,97 0,0 0,7 0,98 b Calculer p D F 1 )= p F 1 D)=0, 0,0= 0,007 De même p F D)=0,7 0,0= 0,01 Doc pd)= p F 1 D)+ p F D)= 0,007 +0,01 = 0,0 c O sait que p D F 1 )= p D F 1) p F 1 ) F = 0,0 0,09 = 1 La probabilité d avoir k composats défectueux sur 0 est : px = k)= 0) k 0,0 k 1 0,0) 0 k épreuve de Beroulli avec = 0 et p = 0,0 ) La probabilité d avoir au mois deux composats défectueux est égale à : px )=1 px = 0) px = 1)=1 0, ,0 0, ,10 Doc px ) 0,1 a O sait que px > )= + λe λt dt = [ e λt] + = e λ = 0, Or e λ l 0, = 0, λ = l0, λ = 0,4 7 0, b px < 8)=1 px 8)=1 + D où px 8)=1 px < 8) 1 0,8 0,16 8 λe λt dt = 1 e 0, 8 0,8 c La loi état sas vieillissemet la probabilité est px > ) = 0, EXERCICE Commu à tous les cadidats 6 poits Partie B Soit f la foctio défiie sur R par f x)=e x x 1 et soit C ) sa courbe représetative das u repère orthoormal du pla La droite D) d équatio y = x 1 est asymptote à C ) O a représeté sur la feuille aexe la courbe C ) et la droite D) 1 Pour M A, MX ; Y ) T ) Y f a) X a = f a) Y ea + a+ 1 = e a X a 1 Y e a +a+1=x a)e a 1) Y = e a a 1 ae a +a+x e a 1) Y = X e a 1)+ e a 1 a) 1 Cette tagete T ) coupe la droite D) au poit N X ; Y ) Y = X 1= X e a 1)+e a 1 a) 1 X e a = e a a 1) X = b= a 1 b a= 1 Pour costruire la tagete T ) à C ) au poit M d abscisse a, il suffit de costruire le poit de D) d abscisse a 1 et la tagete est obteue e joigat ce poit à M Exemple ci-dessous avec a = 1, Nouvelle-Calédoie ovembre 007

3 Correctio du baccalauréat S C ) O D) Partie C Graphiquemet o lit f x) 0 f 0)=0) O a doc quel que soit x R, e x x+ 1 E appliquat cette iégalité à x = 1, o obtiet 1) e et e l appliquat à x = 1 1 o obtiet ) e La foctio x x, N état croissate 1) e 1+ 1 ) 1+ 1 ) e e 1 ) 4 De même ) e ) +1 e ) 1+ 1 ) ) +1 Nouvelle-Calédoie ovembre 007

4 Correctio du baccalauréat S ) e e 1+ 1 ) +1 motre que e majore 1+ 1 ) 4 s écrit e 1+ 1 ) 1+ 1 ) e 1+ 1 ) 1+ 1 ) O obtiet doc l ecadremet : + 1 e 1+ 1 ) e Par applicatio du théorème des «gedarmes», car lim 1+ 1 ) = e + ) + 1 lim = 1, + 1 e EXERCICE 4 Cadidats ayat pas suivi l eseigemet de spécialité poits 1 a La droite OH) état orthogoale au pla ABC) est orthogoale à toute droite de ce pla, doc à la droite BC) La droite OA) perpediculaire à OB) et à OC) est orthogoale au pla OBC) ; elle est doc orthogoale à toute droite de ce pla et e particulier à BC) b Soit ) AH BC = AO + OH BC = AO BC + OH BC = 0+0=0 Coclusio : les droites AH) et BC) sot perpediculaires c D après la questio précédete AH) est hauteur du triagle ABC), de même que BH) et CH), doc H est l orthocetre du triagle ABC) a Soit ax + by + cz = d ue équatio du pla ABC) E écrivat que A, B et C ot des coordoées qui vérifiet cette équatio, o obtiet a= d, b = d et c = d E preat d = 6, o obtiet ue équatio : Mx ; y ; z) ABC) 6x+ y+ z = 6 b La questio précédete motre qu u vecteur ormal à ABC) est 6 ; ; ) Doc Mx ; y ; z) D) OM = t x = 6t, t R y = t z = t x = 6t y = t c Hx ; y ; z) D) ABC) z = t 6x+ y+ z = 6 6t+ 9t+ 4t = 6 t = Doc H a pour coordoées 49 ; ; 1 ) 49 a La distace du poit O au pla ABC) est la plus courte distace de O au pla ABC) : c est doc OH ) 6 ) 18 ) 1 O a OH = + + = = 4 49 Coclusio OH= 4 49 = 6 7 Nouvelle-Calédoie 4 ovembre 007

5 Correctio du baccalauréat S b O a 1) V OABC)= A ABC) OH = A OAB) OC Or OAB) est u triagle rectagle dot l aire est égale à 1 et OC = O a doc 1) A ABC) 6 7 = 1 A ABC)= 7 ) c A OAB) +A O AC) +A OBC) = = = 49 ) 7 4 = Doc le carré de l aire du triagle ABC est égal à la somme des carrés des aires des autres faces de ce tétraèdre EXERCICE 4 Cadidats ayat suivi l eseigemet de spécialité poits 1 a O a 6 = 6 mod 11, doc 6 ) mod 11 ou ecore mod 11 car = 4=11 +1 Le reste de la divisio euclidiee de 6 10 par 11 est doc 1 b 6 1 mod, doc mod Le reste de la divisio euclidiee de 6 4 par est 1 c O a vu que [11], doc 6 10) = 1 [11] De même mod, doc 6 4) 10 = = 1 mod ; doc [] d Les questios précédetes motret que est u multiple de 11 et de, doc de 11 = qui sot premiers etre eux Das cette questio x et y désiget des etiers relatifs a 6 et 40 sot multiples de, doc 6x 40y l est aussi, alors que 1 e l est pas Coclusio : l équatio 6x 40y = 1 a pas de solutio das Z Z b 17 et 40 sot premiers etre eux Il existe doc au mois u couple u ; v) tel que 17u 40v = 1 c O a D où 40= ) 17=6 + ) 6= 1+1 ) 1= 6 4) 1= )= ) 1= )= ) La derière égalité peut s écrire 17 7) 40)=1, qui motre que le couple 7 ; ) est solutio de l équatio E ) { 17x 40y = 1 d O a le système par différece) 17 7) 40 4) = 1 17x+ 7) 40y+ 4)= 0 17x+ 7)= 40y+ 4) 7) Or o a vu que 17 et 40 sot premiers etre eux : d après le théorème de Gauss 40 divise 17x+ 7) et est premier avec 17, il divise doc x+ 7 Il existe doc k Z tel que x+ 7=40k x= 7+40k E reportat das 7) et e simplifiat par 40, o obtiet 17k = y+4 y = 4+17k Les solutios de E ) sot doc tous les couples 7+40k ; 4+17k) avec k Z Nouvelle-Calédoie ovembre 007

6 Correctio du baccalauréat S Soit u couple x ; y) solutio de E ) Si x N et x < 40, alors 0< 7+ 40k < 40 7<40k < 47 0< k < Il y a ue seule solutio k = 1 qui doe x 0 = Effectivemet : 17 =61= a 17 b [] a 17) b [] a 17 b [] D après la questio précédete 17 1 = 40 14, doc a 17 = a a a b [] Or a 40 1 [] a [] Coclusio : a b [] [] Nouvelle-Calédoie 6 ovembre 007