III - Fonctions de densité de probabilité fondamentales. 30/10/2007 PHYS-F-301 G. Wilquet 1

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1 III - Fonctons de densté de probablté fondamentales 30/0/007 PHYS-F-30 G. Wlquet

2 Un grand nombre de varables aléatores décrvant des processus relatfs à tous les domanes de l observaton expérmentale sont dstrbuées exactement ou approxmatvement suvant des fonctons de densté de probablté (ou des convolutons de fdp) aux proprétés mathématques smples assocées à tros types de processus défns par des règles très générales: les processus de Bernoull : dstrbutons bnomale et multnomale,... les processus de Posson : dstrbutons de Posson, exponentelle,... les processus de Gauss: dstrbuton gaussenne ou normale. Jakob Bernoull Sméon Dens Posson Carl Fredrch Gauss Chaptre III

3 Processus de Bernoull pour des varables aléatores dscrètes à valeurs entères postves ou nulles Dstrbuton multnomale Un processus a k résultats possbles A,A,,A k. Chaque résultat A a une probablté p de se réalser. Les A représentent l ensemble des résultats possbles Probablté d'observer r = r,r,...r résultats de type A, A..A. k k = k, k p = ( r p, n) sur un ensemble de n = r essas étant donné p : f = = = nombre de combnasons réalsant la confguraton k = n! r! k p r r n! rj Moyenne μ = E r = p = np [ ] n k k r = 0 j= r! j j= ( r μ ) np ( p) Var = = ance σ E Varables corrélées; correlaton négatve: r n r n p p probablté de réalser la confguraton k j k= σ j = j ρj = = j Chaptre III 3 p p ( p )( p )

4 Dstrbuton bnomale Cas partculer où k= : r = r p = p succès r = n-r p = -p échec Probablté d'observer r succès et n r échecs sur n essas f ( r ) = n! ( ) ( ) r p,n p p r! n r! n r f(r) n=0 p=0. p=0.5 p=0.8 [ ] Moyenne μ = E r = np ( r μ ) Varance σ = E = np( p) ( ) Relaton lnéare entre les varables: r + n r = n ρ =- σ = n p( p ) r Chaptre III 4

5 Dstrbuton bnomale négatve Probablté d un r eme succès précsément au n eme essas ( ) ( ) ( ) ( n )! ( ) ( ) ( ) r P n r,p = P r n,p P,p = p p p r! n r! n r n! r P(n r, p ) = p p r! ( )!( n r) E[ n] r / p Moyenne μ = = ( ) ( μ) ( ) Varance σ = E n = r p n r Dstrbuton géométrque Cas partculer où r= n ( p) E[ n ] P(n p) = p Moyenne μ = = / p ( n μ) ( ) Varance σ = E = p / p / p Chaptre III 5

6 Exemples de dstrbutons bnomales et multnomales L effcacté quantque (QE) de la photocathode d un photo-senseur exposé à un flux de photons est la probablté d émsson d un électron par effet photoélectrque par photon ncdent. A λ = 500 nm (E γ =hc/λ), QE = 0%. Probablté d émsson de 5 photo-électrons pour un sgnal ncdent de 50 photons? 50! f(., )... 5! 35! = 0 08 = 003 Le méson K + a 6 modes de désntégraton prncpaux: La probablté d observer r, r 6 événements dans chacun des 6 modes pour un total de n événements a la forme multnomale f (r p,n) La probablté d observer r événements du type pour un total de n événements a la forme bnomale f (r p,n) + + K μν p = K μνπ μ p = K e νπ e p 3 = K π π p 4 = K π π π p 5 = K π π π p 6 =. Chaptre III 6 μ

7 Processus de Posson pour des varables aléatores dscrètes à valeurs entères postves ou nulles Un processus est dt Possonen s: le nombre de succès sur un ntervalle (de temps, d'espace,...) Δ x pett est 0 ou [ x,x Δ x] ([ + Δ ]) = Δ [ + Δ ] = Δ la probablté de succès sur l'ntervalle + est - proportonnelle à - ndépendante de x Δ x : P x,x x x ( ) P x,x x x 0 La constante de proportonnalté est l'ntervalle moyen entre deux succès et est la densté de succès par unté d'ntervalle. Chaptre III 7

8 Δ x P ( ) ( ) Démonstraton de la fdp de la dstrbuton de Posson 0 Δx = P Δx = P0 ( x+ Δx) = P0 ( x) P0 ( Δx est l'ntervalle moyen entre deux succès ) est le nombre moyen de succès par unté d'ntervalle Δ x P0 ( x) P0 ( x) x est un ntervalle exprmé dans les untés de x P0 ( x+ Δ x) P0 ( x) μ = est un nombre réel sans dmenson, c'est le nombre = P0 ( x) Δx moyen de succès sur l'ntervalle x dp0 ( x) = P ( x) x 0 dx P0 ( x) = e P( 0 0) = P x x P x P x P x P x ( + Δ ) = ( ) ( Δ ) + ( ) ( Δ ) r r r 0 Δx Δx = Pr ( x) + Pr ( x) Pr ( x+ Δ x) Pr ( x) = ( Pr ( x) Pr ( x) ) Δx dpr ( x) r = ( Pr ( x) Pr ( x) ) dx x Pr ( x) = e x r! P0 ( x) = e r μ x P(x) r = f(r μ) = μ e avec μ = r! x Chaptre III 8

9 Dstrbuton de Posson comme cas lmte de la dstrbuton bnomale Cas lmte de la bnomale quand : n grand nombre d'essas p 0 pette probablté de succès np μ nombre moyen de succès fn Probablté d'avor r (enter) succès étant donné le nombre moyen μ (réel) de succès f ( r μ ) r! r μ = μ e s'obtent à partr de la fdp bnomale et de la relaton lm Moyenne μ f(r) Varance σ = lm np p = np = μ p 0 ( ) Bnomale: 0 r n Posson: 0 r ( lm n ) f ( r μ ) mas 0 n n π n n! = n n e Posson μ = 4.8 Bnomale n = 40 p = 0. np = 4.8 Chaptre III 9 r

10 Exemples de dstrbutons de Posson -Emsson de photons par onsaton d un plastque scntllant C est n phénomène possonnen : la probablté qu un photon sot éms sur une dstance Δl est proportonnelle à Δl et ndépendante de la dstance l parcourue par la partcule onsante depus l émsson précédente d un photon. -La secton effcace d'émsson de photons de scntllaton par une partcule au mnmum 0 d'onsaton est d'envron 7 0 cm ( p 0 ) La densté de centre dffuseurs (électrons) est de 3 N Aρ Z cm A ( n ) - Le nombre moyen de photons éms est 7 0 cm 3 0 cm cm (np μ fn ) Probablté d'emsson de 5 photons par une couche de 0 μm de polyvnyltoluène: μ = / 000 = 0 P( ) = e. 5! Chaptre III 0

11 -Désntégraton de noyaux radoactfs C est n phénomène possonnen : la probablté qu à un noyau radoactf de se désntégrer pendant un laps de temps Δt est proportonnel à Δt et ndépendant du temps écoulé depus sa créaton -Ve moyenne de U est de ans taux de désntégraton 0 Hz ( p 0 ) 5 - Nombre de noyaux dans une source de μ g 0 (n ) - Taux moyen de désntégarton dans la source: 0 0 (np μ fn ) s 5-4 Hz 0Hz - Probablté d'observer 5 désntégratons en s : 5 0 P( 5 0 ) = 0 e ! Chaptre III

12 3-Contenu d un hstogramme n(x) Sot: - n événements reparts dans k classes - n événements dans la classe défne par X x < X - n= + k = n - p probablté pour que X x < X + S le nombre de classes k est grand de sorte que p =,k x x + x Chaptre III n ( μ ) La fdp bnomale de n peut être approxmée par une fdp de Posson f n avec μ = np Le contenu n de chaque bote fluctue ndépendamment : n n k = = μ = np ( ) ( ) ( p ) Les varatons sur n sont surestmée par l'approxmaton : σ Posson = σ bnomale ( ) = σ ( ) p 0 σ ( ) La fdp des n est une multnomale f n n, p avec μ = np =,k Lm Posson bnomale ( p ) = np La forme multnomale assure la conservaton du nombre total d'événements: tout événement appartent à une et une seule classe. σ ( ) Pour une classe partculère, la fdp de n est une bnomale f n n, p de même μ et σ σ

13 Dstrbuton exponentelle [ x,x dx] Probablté d'un premer succès sur l'ntervalle + lors d'un processus possonen. Sot la dstance moyenne entre deux succès. x x dx x P 0( [ 0,x] ) P( [ x,x+ dx] ) = e = e dx 0! 0 Moyenne μ = Varance σ = x f ( x ) = e Lo de décrossance exponentelle de toute populaton par processus possonnen Probablté pour que la valeur de x où a leu le premer succès sot : y x x0 e dy = e x 0 x 0 x 0 f(x) e x x < x0 = e Dstrbuton du nombre d'événements r parm un total de n tels que x x 0 : x0 fdp bnomale f r n,p = e Chaptre III 3 x

14 Relaton entre dstrbutons exponentelle et de Posson Longueur d nteracton d une partcule dans un mleu de longueur moyenne d nteracton λ Fasceau de protons de très haute énerge l l l l l l l l l m Fe n n n3 n4 n5 σ λ elast pfe el cm pour E 50GeV AFe = 0.9 m: moyenne de la dstrbuton exponentelle des elast σ N ρ pfe A Fe m μel =.:moyenne de la dstrbuton posonnènne des n 0.9m l Chaptre III 4

15 μ =. par el m λ = el 0.9m nel par m lel ( m) f el n. ( n μ. ). e el el = = ( ) 09 n! el f l λ = 09. m = e el el 09. l el. Chaptre III 5

16 Dstrbuton d Erlang Généralsaton de la dstrbuton exponentelle [ + ] eme Probablté d'un succès sur l'ntervalle lors d'un processus possonen. k x,x dx Sot la dstance moyenne entre deux succès f ( x k, ) = x! ( k ) k e x μ = k σ = k Dstrbuton gamma Généralsaton de la dstrbuton d'erlang. k enter α réel ( k- )! Γ ( α) Chaptre III 6

17 Convoluton de dstrbutons bnomales et possonennes Somme de varables dstrbuées suvant des fdp possonennes Sot r et r deux varables dstrbuées suvant des fdp de Posson de moyenne μ et μ.. La varable r + r est dstrbuée suvant une fdp de Posson de moyenne μ + μ Produt de varables dstrbuées suvant des fdp possonenne et bnomale Sot r une varable dstrbuée suvant une bnomale de moyenne np (n essas, probablté p de succès). Sot n, le nombre d essas, dstrbué suvant une dstrbuton de Posson de moyenne μ. Le nombre de succès r est dstrbué suvant une fdp de Posson de moyenne pμ. Chaptre III 7

18 Exemple de convoluton: effcacté d un compteur à détecter une partcule onsante Le nombre moyen de photons éms par une couche de 0. mm de plastque scntllant traversé par une partcule chargée au mnmum d'onsaton est de μ = 00. γ Le sgnal photonque dot traverser m de scntllateur de longueur d'absorpton λ=0.5 m pour attendre la photocathode d'un photo-senseur. x 05 p e. 05 La fracton de photons attegnant le photo-senseur est donc dx e. λ = = = et leur nombre est dstrbué suvant une fdp de Posson de moyenne p μ = = 8 λ γ L'effcacté quantque (nombre d'électron éms par photon ncdent) de la photocathode du photo-senseur est p = 0. QE Le nombre d'électrons éms par la photocathode est dstrbué suvant une fdp de Posson de moyenne p p μ = = 56.. QE λ γ L'effcacté ε du détecteur à détecter des partcules onsantes est la probablté qu'un sgnal d'au mons un photo-électron sot ems par la photocathode: 56. ε = -P( ) = e = = Chaptre III 8

19 Processus de Gauss pour des varables aléatores contnues La dstrbuton normale ou gaussenne fondamentale en statstque comme cas lmte des grands échantllons ben que pratquement aucun processus naturel ne sot strctement gaussen. Bonne approxmaton des dstrbutons symétrques «en cloche». La dstrbuton de Posson (et donc la dstrbuton bnomale) tend vers une dstrbuton normale à la lmte des grands échantllons. Théorème central lmte: La moyenne d un échantllon est dstrbuée normalement à la lmte des grands échantllons. De même pour la somme de varables aléatores ndépendantes: erreur statstque sur des mesures complexes résultant de mesures élémentares ndépendantes. Les statstques (moyenne, varance) des échantllons suvent des dstrbutons (ch-carré, Student, Fsher) construtes à partr de la dstrbuton normale. Ces dstrbutons tendent vers la dstrbuton normale à la lmte des grands échantllons. Chaptre III 9

20 Dstrbuton normale ou gaussenne f (y) Foncton de densté de probablté ( x μ ) f(x μσ, ) = e σ = N( μσ, ) πσ Varable standardsée: centrée sur μ et normalsée à σ x μ y = μy = 0 et σ y = σ x = σ y+ μ 0 y f(y, ) = e = N( 0, ) π μ+ nσ ( μ σ μ σ) ( μ σ ) P n x + n = f x, dx μ nσ ( μ σ μ σ ) ( μ σ μ σ ) = F + n, = F n, n P(μ n σ < x < μ+ n σ) F( y) P= P= Chaptre III 0 y = y = x μ σ x μ σ

21 Dstrbuton normale comme cas lmte de la dstrbuton de Posson r μ lmμ μ e = e r! πμ ( r μ ) μ f Posson (μ=0) N(μ=0,σ =0) Exemple: contenu d un hstogramme S le nombre d événements n est grand et toutes les probabltés p par classe sont pettes (le nombre de botes est grand) : La dstrbuton bnomale f(n n,p ) du contenu de chaque classe peut être approxmé par une dstrbuton de Posson f(n np ) r S le nombre d événements n dans chaque bote est grand: La dstrbuton de Posson f(n np ) du contenu de chaque bote peut être approxmé par une dstrbuton normale N(n np, np ) Chaptre III

22 Dstrbuton bnormale et multnormale de varables ndépendantes f ( x,x) = e π σ σ ( ) Dstrbutons bnormale et multnormale ( π) ( x μ ) ( x μ ) + σ σ ( x μ ) n = σ f x e x x,..., x = = n n σ = ( ) n Dstrbuton bnormale de varables corrélées f ( x,x) = e ρ π σ σ ( x μ ) ( x μ ) ( x μ )( x μ ) + ρ ( ρ ) σ σ σ σ Chaptre III