CORRIGE DES EXERCICES : Exercices de révision

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1 U.F.R. S.P.S.E. Licece de psychologie L5 PLPSTA03 Tests d'hypothèses statistiques UNIVERSITE PARIS X NANTERRE CORRIGE DES EXERCICES : Exercices de révisio Exercice 8. P{filles de 0 as}, X ombre de boes réposes au test des siges arithmétiques, variable quatitative ormale de moyee µ et d'écart-type σ, icous das P. O dispose d'u échatillo de X issu de la populatio P de taille 4 sur lequel o estime µ par x 0 et σ par, (estimatio sas biais). Test de comparaiso d'ue moyee à ue valeur théorique µ 0 : test bilatéral de l'hypothèse ulle H 0 : µµ 0 cotre l'hypothèse alterative H : µ µ 0 au risque α5%. Puisque ( X est ue variable ormale, σ est icou et 4<30, ce test est basé sur la statistique de test X ) T µ 0 S * qui suit ue loi de Studet T T 3 sous H 0. règle de décisio : o coserve H 0 (o rejette H ) au seuil α5% si la valeur observée de T, t appartiet à la régio d'acceptatio du test bilatéral au seuil α5% : IA 5% [ t ( α)/ ; t ( α)/ ] [ t 97,5% ; t 97,5% [ [,069 ;,069 ] où t 97,5%,069 est le quatile d'ordre α 0,975 de la loi T 3 (ν3 et P0,05) et ou o rejette H 0 e faveur de H (o accepte ou o valide H ) au risque maximum α5% sio, c'est-à-dire si t 'appartiet pas à IA 5%. La valeur observée de T : t ( x µ 0 ) ( 0 ) 4,333., décisio : puisque t 'appartiet pas à la régio d'acceptatio de H 0 o rejette doc H 0 e faveur de H au risque α5%. O peut accepter l'hypothèse que le ombre moye de boes réposes chez les filles de 0 as est différet de, au risque α5%. Exercice 8. P{garços de à 5 as}, X temps pour loger 50 rodelles (e m), variable quatitative de moyee µ et d'écart-type σ, icous das P. O dispose d'u échatillo de X issu de la populatio P de taille 37 sur lequel o estime µ par x,4 m et σ par s0,4 m (estimatio biaisée). Test de comparaiso d'ue moyee à ue valeur théorique µ 0,5 m : test uilatéral gauche de l'hypothèse ulle H 0 : µµ 0,5 cotre l'hypothèse alterative H : µ<µ 0,5 au risque α%. Puisque X est ue variable quelcoque, σ est icou et 37>30, ce test est basé sur : ( X µ ) la statistique de test Z 0 S * qui suit approximativemet ue loi N(0,) sous H 0. L'hypothèse alterative état uilatérale gauche, o rejettera l'hypothèse ulle H 0 pour les "petites" valeurs de Z, doc la régio de rejet est à gauche du domaie de variatio de la statistique de test Z. règle de décisio : o rejette H 0 e faveur de H (o accepte H ou o valide H ) au risque maximum α% si la valeur observée de Z, z appartiet à la régio de rejet du test uilatéral gauche au risque α% : RC % ] ; z α [ RC % ] ; z 0,99 [ ] ;,35 [ où z 0,99,35 est le quatile d'ordre α% de la loi N (0,) ou o coserve H 0 (o rejette H ) au seuil α% sio, c'est-à-dire si z 'appartiet pas à RC %. ( x ) µ La valeur observée de la statistique de test Z : z 0 (,4,5 ) 37 car l'estimatio s * 0,433 poctuelle sas biais de σ : s * 37 0, 4 0,433 m 36 décisio : puisque z 'appartiet pas à la régio de rejet de H 0 o e rejette doc pas H 0 (o coserve H 0 ou o rejette H ) au seuil α% et au risque β icou.

2 la statistique de test X qui suit approximativemet ue loi N µ σ 0, sous H 0. règle de décisio : o rejette H 0 e faveur de H (o accepte H ou o valide H ) au risque maximum α% si la valeur observée de X, x appartiet à la régio de rejet du test uilatéral gauche au risque α% : s * 0,433 RC % ] ; µ 0 z α [ ] ;,5,35 [ ] ;,5 0,093 [ ] ;,407 [ car 37 s * 37 0, 4 0,433 m et z α z 36 0,99,35 est le quatile d'ordre α 0,99 de la loi N(0,) ou o coserve H 0 (o rejette H ) au seuil α% sio, c'est-à-dire si z 'appartiet pas à RC %. décisio : puisque x,4 'appartiet pas à RC % o e rejette pas H 0 (o coserve H 0 ou o rejette H ) au seuil α% et au risque β icou. O e peut accepter l'hypothèse que le temps moye des garços de à 5 as est iférieur à,5 au seuil α% et au risque β icou. Le risque miimum pour accepter H (ou pour rejeter H 0 ) est le degré de sigificatio α obs : pour u test uilatéral gauche, c'est la probabilité d'obteir sous H 0 ue valeur de Z au mois aussi faible que celle observée z : α P( Z z) P( Z ) F ( ) F ( ) 0,977 0, 08. O pourra rejeter H 0 obs Z Z (accepter H ) pour u risque α α obs,3%. Exercice 8.3 P{lacés d u dé} X face obteue défiie sur E{,, 3, 4, 5, 6} variable qualitative à 6 modalités. O ote : p proportio de, p proportio de, p 3 proportio de 3, p 4 proportio de 4, p 5 proportio de 5 et p 6 proportio de 6, p, p, p 6 état icoues das P. L hypothèse selo laquelle le dé est bie équilibré se traduit par le fait que les 6 proportios précédetes sot égales et s écrit H 0 : p p p 3 p 4 p 5 p 6 /6 (loi uiforme sur les 6 faces). L hypothèse selo laquelle le dé 'est pas équilibré (est pipé) se traduit par le fait qu'au mois ue des proportios précédetes 'est pas égale à /6, il s'agit doc de l'hypothèse alterative H. Test du khi-deux d adéquatio à ue loi théorique au risque α0,05 : H 0 : X suit la loi théorique: loi uiforme H0: p p p3 p4 p5 p6 ou H : X e suit pas la loi théorique H: il existe i tel que p i 6 Sur u échatillo de 450 lacés, les effectifs observés i et les effectifs théoriques (attedus) sous H 0 75 sot doés par : ei 6 X face total effectif observé i effectif attedu e i Sous H 0, la statistique de test Q suit approximativemet ue loi du khi-deux à 5 ddl car et tous les e i sot supérieurs à 5. La régio de rejet du test au risque α0,05 est RC 0,05 ] q 0,95 ; [ ],07 ; [ et la régio d'acceptatio IA 5% [0 ; q ] [0 ;,07] car q,070 est le quatile d ordre 0,95 de la loi χ. 0,95 La valeur observée de Q : q ( 3) ( 5) ( 7) q RC 0,05 doc o rejette H 0 au risque α 0,05. 0,95 [ ] 804 4, Il 'y a pas adéquatio etre la loi de X et la loi théorique uiforme sur les 6 faces du dé au risque α5% ; o e peut pas coclure que le dé est équilibré au risque α5%. 6 5

3 Exercice 8.4 P{sujets privés de rêves}, X score au test d'axiété, variable quatitative de moyee µ et d'écart-type σ, icous das P. O dispose d'u échatillo de X das la populatio P de taille 40 sur lequel o estime µ par x 8,5 et σ par s8,8 (estimatio biaisée). P 0 {sujets o privés de rêves} le score moye au test d'axiété est cou et vaut µ 0 6,5 das P 0. Test de comparaiso d'ue moyee à ue valeur théorique µ 0 6,5 : test uilatéral droit de l'hypothèse ulle H 0 : µµ 0 6,5 cotre l'hypothèse alterative H : µ>µ 0 5 au risque α5%. Puisque X est ue variable quelcoque, σ est icou et 40 30, ce test est basé sur la statistique de test ( X µ ) la statistique de test Z 0 S * qui suit approximativemet ue loi N(0,) sous H 0. La régio de rejet du test uilatéral droit au risque α5% : RC 5% ]z α ; []z 0,95 ; [],645; [ car la valeur critique z α z 0,95,645 est le quatile d'ordre α0,95 de la loi N(0,). La valeur observée de la statistique de test Z : z ( x ) µ 0 ( 8,5 6,5) 40,4 car 8,9 s * 40 8,8 8,9. Puisque z RC 5% o e rejette pas H 0 (o coserve H 0 ) au seuil α5% et au risque β 39 icou. la statistique de test X qui suit approximativemet ue loi N µ σ 0, sous H 0. s * La régio de rejet du test uilatéral droit au risque α5% : RC 5% ] µ 0 z α ; [ 8,9 RC 5% ] 6,5,645 ; [ ] 6,5,3 ; [ ] 8,8 ; [ car s * 40 8,8 8, 9 et z α z 0,95,645 est le quatile d'ordre α 0,95 de la loi N(0,) Puisque x 8,5 'appartiet pas à RC 5% o e rejette doc pas H 0 (o coserve H 0 ou o rejette H ) au seuil α% et au risque β icou. O e peut accepter l'hypothèse que la privatio de rêves augmete le iveau d'axiété au seuil α5% et au risque β icou. Le risque miimum pour accepter H (ou pour rejeter H 0 ) est le degré de sigificatio α obs : pour u test uilatéral droit, c'est la probabilité d'obteir sous H 0 ue valeur de Z au mois aussi élevée que celle observée z, c'est à dire que α obs P( Z z) P( Z,4) FZ (,4) 0,5948 0, 405 doc α obs 40,5%. O pourrait rejeter H 0 (accepter H ) si le risque maximum α α obs 40,5%. Exercice 8.5 P {persoes atteites de schizophréie}, X volume de l'hippocampe gauche (e cm 3 ), variable quatitative ormale de moyee µ et d'écart-type σ, icous das P. O dispose d'u échatillo de X issu de la populatio P de taille 5 sur lequel o observe : Σx i 3,4 et Σx i 37,78. Test de comparaiso d'ue moyee à ue valeur théorique µ 0,7 : test uilatéral gauche de l'hypothèse ulle H 0 : µµ 0,7 cotre l'hypothèse alterative H : µ < µ 0,7 au risque α%. ( Puisque X est ue variable ormale, σ est icou et 5<30, ce test est basé sur la statistique de test X ) T µ 0 S * qui suit ue loi de Studet T T 4 sous H 0. règle de décisio : o rejette H 0 e faveur de H (o accepte ou o valide H ) au risque maximum α% si la valeur observée de T, t appartiet à la régio de rejet du test uilatéral gauche au seuil α% : RC % ] ; t α [ ] ; t 99% [ RC % ] ;,64[ où t 99%,64 est le quatile d'ordre α0,99 de la loi T 4 (ν4 et P0,0) et ou o coserve H 0 (o rejette H ) au seuil α% sio, c'est-à-dire si t 'appartiet pas à RC %. 3

4 La valeur observée de T : t ( x µ 0 ) ( 5,56 ) 0, 09 (,56,7 ) 0,3 5 3,4,796 car x, ,78 s * et 0,3 4 37,78 (ou s (,56 ) 0, 085 s 0,085 0, 9 et 5 0,9 0, 3) 5 4 décisio : puisque t 'appartiet pas à la régio de rejet de H 0 o e rejette pas H 0 (o coserve H 0 ou o rejette H ) au seuil α5% et au risque d'erreur de d espèce β icou. O e peut pas accepter l'hypothèse que le volume moye de l'hippocampe gauche des sujets atteits de schizophréie est iférieur à,7 cm 3, au seuil α5% et au risque d'erreur de d espèce β icou. Exercice 8.6 P{patiets d u hôpital psychiatrique}, Xsaiso défiie sur E{pritemps, été, autome, hiver} variable qualitative à 4 modalités, Y réactio à u certai médicamet défiie sur F{oui, o} variable qualitative à modalités. H 0: X et Y idépedates Test du khi-deux d idépedace : au risque α5%. H: X et Y liées Sur deux échatillos appariés de X et de Y de taille 490, les effectifs observés ij et les effectifs théoriques (attedus) sous H 0 e ij otés etre parethèses : loi de Q sous H 0 : Q ~χ 3 Y réactio X saiso oui o total pritemps 55 (54,9) 64 (64,) 9 été 59 (54,9) 60 (64,) 9 α 5% autome 5 (53) 63 (6) 5 hiver 60 (63,) 77 (73,8) 37 Total x 3;5%7,8 acceptatio de H 0 rejet de H 0 IA α IA 5% IR α IR 5% Sous H 0, la statistique de test Q suit approximativemet ue loi du khi-deux à 3 ddl, car et tous les e ij sot supérieurs à 5. La régio de rejet du test au risque 5% est RC 5% ] q 95% ; [ ]7,85 ; [ et la régio d'acceptatio IA 5% [0 ; q 95% ] [0 ; 7,85] car q 95% 7,85 est le quatile d ordre 0,95 de la loi χ 3. La valeur observée de Q vaut : ( 55 54,9) ( 64 64,) ( 59 54,9) ( 60 64,) ( 5 53) ( 63 6) ( 60 63,) ( 77 73,8) q 54,9 64, 54,9 64, , 73,8 0, ( 0,) 4, ( 4,) ( ) ( 3,) 3, 54,9 64, 54,9 64, , 73,8 0, 4, 3, 54,9 64, 54,9 64, 53 6 q 0,905 RC 5% doc o e rejette pas H 0 au seuil α5%. 4 63, 0, ,8 Il existe pas de lie etre la saiso et la réactio au seuil α5% et au risque de ème espèce β icou. Exercice 8.7 P{ouvriers travaillat e usie}, X ombre d'accidets subis das l'aée défiie sur E{0,,, 3 ou plus} variable qualitative à 4 modalités. O ote p proportio d'ouvriers 'ayat subi aucu accidet, p proportio d'ouvriers ayat subi accidet, p 3 proportio d'ouvriers ayat subi accidets, p 4 proportio d'ouvriers ayat subi 3 accidets ou plus, p, p, p 4 état icoues das P. L hypothèse émise selo laquelle le ombre d'accidets subis das l'aée suit la loi théorique s écrit H 0 : p 0,57, p 0,3 p 3 0,08 et p 4 0,03 Test du khi-deux d adéquatio à ue loi théorique au risque α5% : H0 : X suit la loi théorique ou H0 : p 0,57 p 0,3 p3 0,08 p4 0,03 H : X e suit pas la loi théorique H : il existe i tel que pi différet de la loi théorique

5 Sur u échatillo de 0 ouvriers, les effectifs observés i et les effectifs théoriques (attedus) e i sous H 0 sot doés par : X 0 3 ou plus total ombre d'accidets subis effectif observé i effectif attedu e i 0 0,575,4 0 0,5770,4 0 0,577,6 0 0,576,6 0 Sous H 0, la statistique de test Q suit approximativemet ue loi du khi-deux à 3 ddl car 0 30 et tous les e i sot supérieurs à 5. La régio de rejet du test au risque α5% est RC 5% ] q 95% ; [ ]7,85 ; [ et la régio d'acceptatio IA 5% [0 ; ] [0 ; 7,85] car q 7,85 est le quatile d ordre 0,95 de la loi χ. La valeur observée de Q : q 95% % 95 ( 54 5,4) ( 50 70,4) ( 5 7,6) ( 6,6) ( 8,6) ( 0,4) (,6) ( 5,6) q 5,4 70,4 7,6 6,6 5,4 q 7,570 RC % doc o rejette H 0 e faveur de H au risque α5%. O e peut pas accepter l'hypothèse émise : il 'y a pas adéquatio etre la loi de X et la loi théorique sur les ombres d'accidets subis par a par les ouvriers travaillat e usie au risque α5%. 70,4 7,6 6,6 3 Exercice 8.8 P {efat de 7 as de mère alcoolique chroique durat la grossesse} P {efat de 7 as de mère 'ayat eu aucue tedace à l'alcoolisme durat la grossesse} X score de QI de l'efat, variable quatitative X score de QI de l'efat das P de moyee µ et d'écart-type σ icous das P X score de QI de l'efat das P de moyee µ et d'écart-type σ icous das P O observe : u échatillo de X issu de P de taille 6 pour lequel le score moye µ est estimé par x 78 et l'écart-type du score σ est estimé par s 8,8 (estimatio biaisée) u échatillo de X issu de P de taille pour lequel le score moye µ est estimé par x 99 et l'écart-type du score σ est estimé par s 0,3 (estimatio biaisée) L'hypothèse que l'alcool cotrarie le développemet cérébral préatal se traduit par le fait que le score de QI moye des efats de mère alcoolique chroique durat la grossesse µ est iférieur à celui des efats de mère 'ayat eu aucue tedace à l'alcoolisme durat la grossesse µ : µ < µ. Tester l'hypothèse émise reviet doc à comparer les deux moyees µ et µ à partir de deux échatillos idépedats e utilisat le test uilatéral de l'hypothèse ulle H 0 : µ µ cotre l'hypothèse alterative H : µ < µ au risque α5%. Test de comparaiso de deux moyees µ et µ à partir de deux échatillos idépedats : test de l'hypothèse ulle H 0 : µ µ cotre l'hypothèse alterative H : µ < µ au risque uilatéral α5%. Les variables X et X état ormales das P et P et de variaces icoues égales ( 6 < 30 et < 30) ce test est basé sur : X X la statistique de test de Studet T qui suit ue loi de Studet T T 6 sous H 0. S* Sous l'hypothèse alterative uilatérale H : µ < µ les valeurs de X ot tedace à être iférieures à celles de X doc les valeurs de T ot tedace à être égatives, c'est-à-dire que la régio de rejet du test est à gauche du domaie de variatio de T. La régio de rejet du test uilatéral au risque α5% : RC 5% ] ; t 0,95 [] ;,746[ où t 0,95,746 est le quatile d'ordre α0,95 de la loi T 6 (ν6 et P0,0). L'écart-type observé biaisé de X das P : s 8,8 et l'écart-type observé biaisé de X das P : s 0,3 La variace commue σ de X das P et de X das P est estimée par la variace observée sas biais : s s s 6 8,8 0,3 0,05 d'où 0, 6 * x x La valeur observée de la statistique de test T : t , 6 4,58 5,05

6 règle de décisio - o rejette H 0 e faveur de H au risque α5% si la valeur observée de T, t appartiet à RC 5% ] ;,746[ la régio de rejet du test uilatéral au risque α5% et - o coserve H 0 (o rejette H ) au seuil α5% sio, c'est-à-dire si t 'appartiet pas à RC 5%. décisio La valeur observée t appartiet à la régio de rejet de H 0 : o rejette doc H 0 e faveur de H au risque α5%. X X la statistique de test de Studet T qui suit ue loi de Studet T S* T 6 sous H 0. Sous l'hypothèse alterative uilatérale H : µ > µ les valeurs de X ot tedace à être supérieures à celles de X doc les valeurs de T ot tedace à être positives, c'est-à-dire que la régio de rejet du test est à droite du domaie de variatio de T. La régio de rejet du test uilatéral au risque α5% : RC 5% ] t 0,95 ; [],746; [ où t 0,95,746 est le quatile d'ordre α0,95 de la loi T 6 (ν6 et P0,0). x x La valeur observée de la statistique de test T : t , 58 car 0,. 5,05 0, 6 règle de décisio - o rejette H 0 e faveur de H au risque α5% si la valeur observée de T, t appartiet à RC 5% ],746; [ la régio de rejet du test uilatéral au risque α5% et - o coserve H 0 (o rejette H ) au seuil α5% sio, c'est-à-dire si t 'appartiet pas à RC 5%. décisio La valeur observée t appartiet à la régio de rejet de H 0 : o rejette doc H 0 e faveur de H au risque α5%. Le score de QI moye des efats de mère alcoolique chroique durat la grossesse est iférieur à celui des efats de mère 'ayat eu aucue tedace à l'alcoolisme durat la grossesse au risque α5%, ce qui cofirme l'hypothèse que l'alcool cotrarie le développemet cérébral préatal, au risque α5%. Exercice 8.9 P{persoes}, Xopiio sur l avortemet défiie sur E{pour, idifféret, cotre} variable qualitative à 3 modalités, Y ombre d aées de scolarité défiie sur F{mois de 8 as, etre 8 et as, plus de as} variable qualitative à 3 modalités. H 0: X et Y idépedates ) Test du khi-deux d idépedace : au risque α5%. H: X et Y liées Sur deux échatillos appariés de X et de Y de taille 776, les effectifs observés ij et les effectifs théoriques (attedus) sous H 0 e ij otés etre parethèses : Y opiio sur l'avortemet X scolarité pour idifféret cotre total mois de 8 as 3 (45,) 3 (,4) 56 (43,5) 0 etre 8 et as 7 (79,) 89 (85,0) 77 (7,9) 437 plus de as 6 (93,8) 39 (44,6) 74 (90,6) 9 total Sous H 0, la statistique de test Q suit approximativemet ue loi du khi-deux à 4 ddl car et tous les e ij sot supérieurs à 5. La régio de rejet du test au risque α0,05 est RC 5% ] q 0,95 ; [ ] 9,488 ; [ et la régio d'acceptatio IA 5% [ 0 ; 9,488] car q 0,95 9,488 est le quatile d ordre 0,95 de la loi χ 4. La valeur observée de Q vaut : q ( 3 45,) ( 3,4) ( 56 43,5) ( 7 79,) ( 89 85) ( 77 7,9) 45,,4 43,5 79, ( 6 93,8) ( 39 44,6) ( 74 90,6) 93,8 44,6 90,6 q 7,708 RC 5% doc o rejette H 0 au risque α5%. 85 7,708 7,9 Il existe u lie etre l'opiio sur l'avortemet et la durée de la scolarité au risque α5%. 6

7 ) P {persoes dot la durée de scolarité est iférieure à 8 as} X rejet de l'avortemet (opiio cotre) défiie sur E{oui, o} variable qualitative à modalités avec p proportio de persoes qui rejettet l'avortemet, icoue das P. O dispose d'u échatillo de X issu de la populatio P, de taille sur lequel o estime p par f 56 0, L'hypothèse que le rejet est majoritaire pour ces idividus correspod au fait que das la populatio P, la proportio de ceux qui rejettet l'avortemet p est supérieure à p 0 50%. Test de comparaiso d'ue proportio à la proportio théorique p 0 50%0,5 : H 0 : p p 0 0,5 cotre H : p > p 0 0,5 alterative uilatérale droite, au risque α5%. Sous H 0, puisque 0 30, p 0 ( p 0 ) 0 0,555 5, ce test est basé sur la statistique de test : ( F p 0 ) ( F Z 0,5) 0 qui suit approximativemet ue loi N(0,) sous H 0 p 0( p 0 ) 0,5( 0,5) Sous l'hypothèse alterative uilatérale H : p > p 0 0,5 les valeurs de F ot tedace à être supérieures à p 0 0,5 doc les valeurs de Z ot tedace à être positives, c'est-à-dire que la régio de rejet du test est à droite du domaie de variatio de Z. La régio de rejet du test uilatéral droit au risque α5% : RC 5% ]z α ; []z 0,95 ; [],645; [ car la valeur critique z α z 0,95,645 est le quatile d'ordre α0,95 de la loi N(0,). règle de décisio - o rejette H 0 e faveur de H au risque α5% si la valeur observée de Z, z appartiet à la régio de rejet du test uilatéral droit au risque α5% : RC 5% ]z α ; []z 0,95 ; [],645; [ et - o coserve H 0 (o rejette H ) au seuil α5% sio, c'est-à-dire si z 'appartiet pas à RC 5%. décisio ( f p 0 ) ( 0,509 0,5) 0 0,095 La valeur observée de la statistique de test Z : z 0,9 p 0( p 0 ) 0,5 0,5 0,5 Puisque z 'appartiet pas à la régio de rejet de H 0 o coserve doc H 0 (o rejette H ) au seuil α5%. F qui suit approximativemet ue loi p 0 ( p 0 ) N p, 0 sous H 0 Sous l'hypothèse alterative uilatérale H : p > p 0 0,5 les valeurs de F ot tedace à être supérieures à p 0 0,5, c'est-à-dire que la régio de rejet du test est à droite de p 0 0,5. p0( p0) La régio de rejet du test uilatéral droit au risque α5% : RCα p0 z α ; d'où RC 5% ] 0,5 z 0,95 0,0477 ; [ ] 0,5,645 0,0477 ; [ ] 0,5 0,0784 ; [ ] 0,578 ; [ où z α z 0,95,645 est le quatile d'ordre α0,95 de la loi N(0,). règle de décisio - o rejette H 0 (o accepte H ou o valide H ) au risque α5% si la valeur observée de F, f appartiet à la régio de rejet du test uilatéral droit au risque α5% : RC 5% ]0,578 ; [ et - o coserve H 0 (o rejette H ) au seuil α5% sio, c'est-à-dire si z 'appartiet pas à RC 5%. décisio La valeur observée de la statistique de test F : f 0,509 Puisque f 'appartiet pas à la régio de rejet de H 0 o coserve doc H 0 (o rejette H ) au seuil α5%. O e peut pas accepter l'hypothèse que le rejet est majoritaire (plus de 50%) chez les persoes dot la scolarité est iférieure à 8 as, au seuil α5% et au risque de secode espèce β icou. Le risque miimum pour accepter H (ou pour rejeter H 0 ) est le degré de sigificatio α obs : c'est la probabilité d'obteir sous H 0 ue valeur de Z au mois aussi élevée que celle observée z, c'est à dire que αobs P( Z z) P( Z 0,89) FZ ( 0,89) FZ ( 0,9) 0,5753 0, 447. O accepterait H (rejetterait H 0 ) pour u risque maximum α α obs 4,5% risque miimum. (α obs P H0 (F f) P H0 (F 0,509) P(Z z) P(Z 0,89) F Z (0,9)0,447). 7

8 Exercice 8.0 P {patiets ayat u médeci traitat choisi}, P {patiets ayat u médeci traitat imposé}, Xscore au test mesurat le iveau de satisfactio, variable quatitative otée X das P de moyee µ et d'écart-type σ, icous das P et otée X das P de moyee µ et d'écart-type σ, icous das P. O dispose d'u échatillo de X issu de P de taille 35 et d'u échatillo de X issu de P de taille 35, idépedats sur lesquels o estime µ par x 65,07 et µ par x 56,47. Test de comparaiso de deux moyees à partir de deux échatillos idépedats : test uilatéral de l'hypothèse ulle H 0 : µ µ cotre l'hypothèse alterative H : µ >µ au risque α5%. Puisque les X X tailles des échatillos 35>30 et 35>30 le test est basé sur la statistique de test Z qui suit S* S* approximativemet ue loi N(0,) sous H 0. La régio de rejet du test uilatéral au risque α5% est RC 5% ],645 ; ] où la valeur critique z α z 0,95,645 est le quatile d ordre α0,95 de la loi N(0,). La variace observée sas biais das P : s 35 5, 38,46 (s *5,44) 34 la variace observée sas biais das P : 35 s 4,58 8,83 (s *4,79) 34 x x 65,07 56,47 la valeur observée de la statistique de test Z : z, 387 appartiet à la régio 8,83 38, de rejet de H 0 : o rejette H 0 e faveur de H au risque α5%. O peut accepter l'hypothèse que la possibilité de choisir so médeci a ue ifluece bééfique sur le iveau de satisfactio, au risque α5%. Exercice 8.3 P {ouvriers de l'etreprise}, X opiio des ouvriers vis à vis de la réforme P {cadres moyes de l'etreprise}, X opiio des cadres moyes vis à vis de la réforme P 3 {cadres supérieurs de l'etreprise}, X 3 opiio des cadres supérieurs vis à vis de la réforme X, X et X 3 variables qualitatives à modalités défiies sur E{favorable, opposé}. Test du khi-deux d homogééité sur 3 populatios avec ue variable à modalités c est à dire u test de comparaiso de trois proportios sur 3 échatillos idépedats (procédure bilatérale) : p proportio d' opiio favorable chez les ouvriers H 0 : p p p 3 où p proportio d' opiio favorable chez les cadres moyes H : p p ou p p3 ou p p 3 p proportio d' opiio favorable chez les cadres supérieurs 3 Sur trois échatillos idépedats de X, X et X 3 de tailles 85, 75 et 3 40, les effectifs observés ij et les effectifs théoriques (attedus) sous H 0 e ij otés etre parethèses : X opiio ouvriers cadres moyes cadres supérieurs total favorable 84 (88,) 49 (49,5) 3 (6,4) 64 opposé 0 (96,9) 6 (5,5) 9 (3,6) 36 total Sous H 0, la statistique de test Q suit approximativemet ue loi du khi-deux à ddl car et tous les e ij sot supérieurs à 5. La régio de rejet du test au risque α% est RC % ] q ; []9,0 ; [ car q 99% est le quatile d ordre 0,99 de la loi χ, et la valeur observée de Q : % 99 8

9 ( 84 88,) ( 49 49,5) ( 3 6,4) ( 0 96,9) ( 6 5,5) ( 9 3,6) q 88, 49,5 6,4 96,9 5,5 3,6 q 4, 0,5 4,6 0,63 0,05,357,635 88, 96,9 49,5 5,5 6,4 3,6 q,635 RC 0% doc o e rejette pas H 0 au seuil α% et au risque de ème espèce β icou. Das l'etreprise, l'opiio vis à vis de la réforme e diffère pas selo le type d'emploi, au seuil α% et au risque de ème espèce β. Les proportios d'opiio favorable à la réforme e sot pas différetes selo le type d'emploi, au seuil α0% et au risque de ème espèce β. 9