Cinématique du solide (mouvements simples)

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1 CINÉTIQUE DU SLIDE eia Rachid 5 0/0/04

2 I. Ciémaique du solide (mouvemes simples) Iroducio La ciémaique es la héorie parielle de la mécaique qui a pour obje la descripio des mouvemes des ssèmes phsiques (poi maériel, ssème de pois maériels, solide e ssème de solides). Ça cosise à défiir les caracérisiques du mouveme du ssème (rajecoire, viesse e accéléraios), sas eir compe i de so ierie i des forces appliquées sur lui. L ue des oios idispesables à l éablisseme de cee héorie es la oio de solide ivariable c.-à-d. solide do la disace ere deu quelcoques de ses pois rese cosae peda so mouveme. Nous ous iéressos das ce cours au mouvemes des solides peda lesquels il es pas possible de égliger les dimesios de ces deriers. Il es évide que das cerais cas u corps solide peu êre assimilé à u poi maériel, mais il eise des siuaios où les dimesios de ce derier e peuve êre égligées. Ue voiure se déplaça d u poi à u aure, par eemple, peu êre assimilée à u poi maériel si ous e cherchos pas comme elle se déplace. ar core si ous ous iéressos à la faço avec laquelle elle se déplace (le rouleme sas glisseme de ses roues) il es plus correc de égliger les dimesios de ses roues e par la suie ses dimesios. Nous commeços par rappeler ceraies oios de la ciémaique du poi ava de passer à celle du solide. 4. Rappels de la ciémaique du poi e mouveme curvilige 4.. Loi du mouveme: Soi u poi décriva ue courbe (C) das l espace. La posiio de ce poi par rappor à u repère orhoormé () es doée par le veceur posiio : r quad se déplace sur la courbe (C). La loi du mouveme sera doée alors par : r S=s( ) r r() ou () () () E défiissa ue origie sur la courbe e e l oriea o défii l abscisse curvilige s. La loi du mouveme sera doée par s=s(). 4.. iesse d u poi e mouveme curvilige: Soie 0 e les posiios de au isas e +Δ. Le veceur viesse isaaée du poi es doée par : r dr lim 0 r () 0 r r( ) eia Rachid 6 0/0/04

3 E coordoées carésiees : E coordoée curvilige : dr dr dr ds ds i j k ds ù es le veceur direceur de la agee à la rajecoire e 0 orieé das le ses posiif ds de l abscisse curvilige s, la viesse algébrique de à l isa. ds Le module de es doé par: 4..3 ccéléraios d u poi e mouveme curvilige: composaes irisèques: d d d d d d ds d avec N ds ds r d N N N es le veceur direceur de la ormale pricipale e le rao de courbure e. d es le veceur accéléraio ageielle e composaes carésiees: N d d r i j k le veceur accéléraio ormale. Le module de es doé par: 4 d 4..4 Cas d ue courbe plae (coordoées polaires): loi du mouveme: r r() Équaios paramériques: () viesses: dr d( rir) dr dir ir r rir r i ri r es la viesse radiale e r i la viesse ageielle. r i i r eia Rachid 7 0/0/04

4 ccéléraios: d d ri r i r r r r i r r i composae radiale composae rasversale 4. Classificaio des mouvemes du solide: Das ou ce qui sui o e cosidère que des solides ivariables. lors, oue éude de mouveme d u solide se subdivise e deu paries : Éude des caracérisiques du corps solide pris das so esemble (viesse agulaire pour le mouveme de roaio par eemple ). parlera de caracérisiques globales, Éude des caracérisiques de chacu de ses pois (rajecoire, viesse e accéléraios). classifie les mouvemes du solide e ciq pes :. ouveme de raslaio,. mouveme de roaio auour d u ae fie, 3. mouveme pla (parallèleme à u pla=+), 4. mouveme de roaio auour d u poi fie (3 roaios auour de 3 aes cocouras) e 5. mouveme libre (mouveme de roaio auour d u poi plus raslaio avec le poi). 4.3 ouveme de Traslaio d u solide: 4.3. Défiiio: appelle mouveme de raslaio d u solide ou mouveme peda lequel chaque droie de ce derier se déplace ou e resa parallèle à elle-même. Eemple : mouveme de la acelle d ue grade roue (arc d aracio) ou acelle d u «allo». Les propriéés du mouveme de raslaio so doées par le héorème suiva : 4.3. Théorème: u cours du mouveme de raslaio d u solide ous ses pois décrive des rajecoires égales (superposables) e à chaque isa ils possède des viesses e des accéléraios égales e module e e direcio. eia Rachid 8 0/0/04

5 E effe : Soi (S) e mv de raslaio par rappor au repère e soie, (S) els que : r, r e r r. es ivariable. Le veceur es el que =Cse car (S) D aure par la direcio (suppor e ses) du veceur es fie car (S) effecue u mouveme de raslaio. Doc Cse peda le mouveme. De la relaio r r o e dédui que la rajecoire de se dédui de celle de par déplacemes parallèles de ous ses pois ( rajecoire de ) d ue gradeur. Les rajecoires de e so superposables. r r d dr dr d avec Doc d d 0 car Cs. Coséquece : le héorème le mouveme de raslaio d u solide es défii par le mouveme de l u de ses pois., commue à ous les pois, es la viesse de raslaio e, commue aussi à ous les pois es l accéléraio de raslaio. N : u mouveme de raslaio es e gééral différe du mouveme recilige. r r (S) (S) 4.4 ouveme de roaio auour d u ae fie: 4.4. Défiiios: appelle mouveme de roaio (d u solide) auour d u ae fie ou mouveme peda lequel deu pois du solide rese fies. La droie passa par ces deu pois es appelée ae de roaio. Du fai que le solide es ivariable, ous les pois à l ae de roaio rese fies peda le mouveme. Z 4.4. Caracérisiques globales du mouveme : Loi du mouveme: Soi u solide (S) e roaio auour de ZZ, u pla fie ' coea ZZ e u pla lié au solide e coea ZZ. ' La posiio de (S) es déermiée par l agle ere e. Défiir la posiio de (S) à chaque isa revie doc à défiir. C es la loi de roaio du solide auour de l ae fie ZZ. ' Z (S) eia Rachid 9 0/0/04

6 4.4.. iesse agulaire : Elle caracérise la rapidié de roaio du solide/ repère choisi. Si peda de alors la viesse agulaire moee es doée par : isaaée es doée par : d lim mo lim Soi 0 0 d rd. s le solide oure mo e la viesse agulaire La viesse agulaire isaaée es égale à la dérivée première par rappor au emps de l agle de roaio du solide. eceur viesse agulaire : peu représeer la viesse agulaire par u veceur glissa do : Le suppor es l ae de roaio Le module es d le sige. idique aussi bie le module que la valeur absolue. Le ses es celui d où la roaio du solide s observe das le ses coraire de la roaio des aiguilles d ue more ccéléraio agulaire : Elle caracérise la rapidié de la variaio de la viesse agulaire. Si la variaio de correspodae à u iervalle de emps es alors l accéléraio agulaire moee es doée par : mo e l accéléraio agulaire isaaée es doée par : d d d lim mo lim Soi rd. s 0 0 L accéléraio agulaire isaaée d u solide e roaio auour d u ae fie es égale à la dérivée première par au emps de la viesse agulaire ou à la dérivée secode par rappor au emps de l agle de roaio. eceur accéléraio agulaire : représee l accéléraio agulaire par le veceur glissa do : Le suppor es l ae de roaio d d Le module es = Le ses coïcide avec celui de si la roaio es accélérée, e de ses coraire si la roaio es décélérée. eia Rachid 30 0/0/04

7 Remarque : La roaio es accélérée si le module de croi avec le emps ; elle es die reardée si ce module décroi. aura alors les cofiguraios suivaes : mouveme accéléré mouveme reardé Trajecoires, viesses e accéléraios des pois d u solide e roaio auour d u ae fie: Trajecoires des pois: u cours de la roaio du solide auour d u ae fie ous ses pois, sauf ceu de so ae, décrive des circoféreces das des plas perpediculaires à l ae. Doc la rajecoire de chaque poi (qui es u cercle) se caracérise par la disace du poi à l ae qui es le rao du cercle décri par ce derier. Z C (S) R Z d ds d R ds iesses des pois: Soie e la viesse e l accéléraio de roaio du solide. Si peda l iervalle de emps le solide a ouré d u agle d alors le poi de (S) a parcouru ds = R d, voir la figure e hau. ds Rd La viesse du poi es alors R La viesse du poi d u solide e roaio auour d u ae fie es égale au produi du rao de roaio (disace du poi à l ae de roaio) par la viesse agulaire du corps. eia Rachid 3 0/0/04

8 La rajecoire du poi éa u cercle orieé das le ses du mouveme. Loi de disribuio des viesses : ou isa chaque poi i du solide à u veceur viesse age e ce poi au cercle qu il décri, das le ses i de la roaio. Le module de la viesse es doé par = R. Il e résule : i i i es poré par la agee à ce cercle e e es R i R R i 3 4 g Loi de disribuio des viesses ccéléraios des pois: a) ccéléraio ageielle : d dr R L accéléraio ageielle d u poi d u solide e roaio auour d u ae fie es le produi du rao de roaio par l accéléraio agulaire du solide. Le veceur es perpediculaire au rao de roaio R e es dirigé das le ses de roaio si celle-ci es accélérée e de ses coraire si celle-ci es reardée. b) ccéléraio ormale : ( e même ses) ( e ses coraires) R R L accéléraio ormale d u poi d u solide e roaio auour d u ae fie es le produi du rao de roaio par le carré de la viesse agulaire. Le veceur es poré par le rao de roaio e es dirigé vers le cere (ae) de roaio. c) ccéléraio oale : L accéléraio oale es la somme vecorielle de e. Soi. Comme 4 alors R e la direcio de es défiie par l agle que fai ce veceur avec le rao de roaio : g (idépedamme du poi) eia Rachid 3 0/0/04

9 Lois de disribuio des accéléraios : Soie e la viesse e l accéléraio agulaires d u solide e roaio auour d u ae fie. À u isa quelcoque e so les mêmes pour ous les pois du solide. Il e résule pour deu pois idicés e du solide : R Loi de disribuio des accéléraios pour deu pois du solide. R Si o cosidère plusieurs pois o peu écrire de ce qui précède : R R D où : 4 4 R R R, R R R e g pour ousles pois R R e R R Lois de disribuio des accéléraios les pois à de (S) Epressios vecorielles des viesses e accéléraios des pois d u solide e roaio auour d u ae fie: eceur viesse Soi (S) e roaio auour de, so veceur viesse agulaire e r le veceur posiio d u poi du solide par rappor au R repère. r C es cosa e module mais chage de direcio au cours de la roaio de (S) auour de. lors : r dr r Le module du produi vecoriel r r. si R. D aure par r es R e e so ses déped de celui de R e orieé das le ses du mouveme. Doc sa direcio e so ses coïcide avec de celui du veceur viesse Le veceur r coïcide doc e module, e direcio e e ses avec le veceur viesse défii e Le veceur viesse d u poi d u solide e roaio auour d u ae fie es le produi vecoriel du veceur viesse agulaire par le veceur posiio r du poi e quesio. Si r e alors : i j k r i j k eia Rachid 33 0/0/04

10 eceurs accéléraios ccéléraio oale : d d dr r r ε r? ccéléraio ageielle : r r r si R, Direcio de r à R e = direcio de e R C r Ses dépeda de celui de = ses de. Doc r L accéléraio ageielle d u poi d u solide e roaio auour d u ae fie es le produi vecoriel du veceur accéléraio de roaio par le veceur posiio r du poi cosidéré.? ccéléraio ormale : r r r si 90 R R, R Direcio à e = direcio de R e Ses vers le cere C ( ae) coïcida avec le ses de. C r Doc r L accéléraio ormale d u poi d u solide e roaio auour d u ae fie es le produi vecoriel du veceur viesse de roaio par le veceur viesse du poi e quesio. eia Rachid 34 0/0/04

11 . ouveme pla d u solide Iroducio Le chapire précéda a poré sur l éudie de deu mouvemes simples du solide, à savoir le mouveme de raslaio e le mouveme de roaio auour d u ae fie. Si ous combios ces mouvemes ous obeos des mouvemes composés qui so plus compliqués que les deu premiers. La combiaiso d u mouveme de raslaio avec u mouveme de roaio auour d u ae fie codui, selo la disposiio de l ae de roaio par rappor au premier mouveme (ce derier s effecua das u pla), soi à u mouveme hélicoïdal si l ae de roaio es cofodu avec la direcio de la raslaio recilige, soi à u mouveme qui se fai das u pla ou parallèleme à u pla si l ae de la roaio rese perpediculaire au pla de la raslaio. U eemple du premier pe de mouveme composé d ue raslaio e d ue roaio (mouveme hélicoïdal) es le mouveme du fore d ue perceuse. Ce mouveme es iéressa que das la mesure où l o s iéresse au mouveme d u poi sur la surface laérale du fore. Il es pas développé das ce cours. ar core ous développeros das ce chapire le deuième pe de mouveme composé c.-à-d. le cas où la roaio se fai auour d u ae qui rese perpediculaire au pla de la raslaio. Il s agi de ce qui es commuéme ommé mouveme pla. L eemple le plus simple de ce pe de mouveme es celui du mouveme de la brosse sur le ableau lors de l effaceme de ce derier. our clore cee brève iroducio sur la composiio de mouvemes, il fau savoir que la combiaiso de plusieurs raslaios résule e ue raslaio (rie d iéressa das ce cas) par core la combiaiso de plusieurs roaios auour d aes différes peu egedrer des mouvemes asse iéressas par eemple la combiaiso de rois roaios auour de rois aes cocouras résule e u mouveme auour d u poi fie. Ce derier sera développé das le siième chapire. 5. Caracérisiques globales du mouveme pla 5.. Defiiio: appelle mouveme pla d u solide ou mouveme au cours duquel ous les pois du solide se déplace parallèleme à u pla appelé pla de base. Eemple : mouveme de la brosse sur le ableau. () 5.. ropriéé: Soi u pla de base ( ), u solide ( ) e mouveme arallèleme à ( ), N u segme de ( )/ N ( ) e ( )//( ) / ( ) ( )= (S) ; (S) secio hachurée sur le schéma ci core. N ( ) N (S) e N (S)=L. ussi: ( ) e mouveme parallèleme à ( ) (S) e mouveme das ( ). u cours du mouveme, N e (S) rese ere eu. Doc u poi N, so mouveme rese ideique à celui de L= de N e de (S). Si ous imagios que ( )= i N i, i, alors pour éudier le mouveme de ( ) il suffi d éudier le mouveme de (S) das so pla ( ). ' N L eia Rachid 35 0/0/04

12 Éocé de la propriéé : our éudier le mouveme pla d u solide il suffi d éudier seuleme le mouveme pla d ue secio (S) formée par le solide e u pla parallèle au pla de base Équaios du mouveme pla: Soi (S) e (S) osiio de (S) = posiio de (S)/. r la posiio de es coue quad o coai les Coordoées du poi e la direcio de / ou. e la direcio de / es doée par. Das le emps = () Équaios du mouveme pla avec comme pôle. (S ) 5..4 Décomposiio e mouvemes élémeaires: Soi u solide e mouveme pla, (S) ue secio représea le solide e soie les deu posiios erêmes I e II de (S). our passer de I à II, o peu imagier que (S) la secio (S) effecue d abord u mouve- me de raslaio de sore que se déplace e resa // à elle-même ( e ) puis la secio (S) c.-à-d. effecue ue roaio d agle auour de ( fie, passe de à ). I II Le poi es das ce cas le pôle e il peu I êre quelcoque. Théorème : Le mouveme pla d u solide peu êre cosidéré comme ue composiio d u mouveme de raslaio avec u pôle peda lequel ous les pois du solide se déplace de la même faço que le pôle e d u mouveme de roaio auour du pôle. Si l o revie au équaios du mouveme ( ) défiisse le mouveme de raslaio avec v ( ) viesse e accéléraio de raslaio. () défii le mouveme de roaio auour du pôle avec : e d e d d viesse e accéléraio agulaires. eia Rachid 36 0/0/04

13 5. Trajecoires des pois d u solide e mouveme pla: Soi (S), =l e, = =Cse. C-à-d : cos( ) si( ) l cos( ) l si( ) l Ces deu derières équaios déermie la loi du mouveme du poi e doe e même emps l équaio de la rajecoire de ce derier sous forme paramérique. 5.3 iesses des pois d u solide e mouveme pla: 5.3. Théorème d Euler: La viesse de ou poi d u solide e mouveme pla es la somme vecorielle (géomérique) de la viesse d u poi pris comme pôle e de la viesse «de roaio» du poi cosidéré auour du pôle r / r E effe r r r d dr dr dr d' aprés Euler dr r Cse e module / où es le veceur viesse agulaire (isaaée) ou de roaio auour de. d où : Cosrucio graphique : o représee e el que de la roaio. sera la somme vecorielle de e e.? r d., e e dirigée das le ses eia Rachid 37 0/0/04

14 Le héorème d Euler résule e ue relaio qui peu êre cosidérée comme ue loi de disribuio vecorielle des viesses des pois d u solide e mouveme pla. Celle-ci perme de cosruire graphiqueme à parir de e (voir cosrucio graphique sur la page précédee) ce qui codui, moea u peu de calcul, à la déermiaio du module e de la direcio de cee viesse. Cepeda para de cee formule vecorielle o peu par des méhodes plus simples e avec mois de calcul déermier facileme les viesses des pois d u solide e mouveme pla Théorème des projecios des viesses de deu pois d u solide e mouveme pla (héorème d équiprojecivié) : Soie deu pois e (S) e mouveme pla de viesses e / e soi u veceur direceur de. ( ). u. u. u proj. u proj 0 / / ;. 0 car u. u u cos cos Soi: cos cos (*) Éocé du héorème : Les projecios des viesses de deu pois d u solide e mouveme pla sur la droie joiga ces deu pois so égales ere elles. lors si 3 des 4 paramères α, β, e so cous, o dédui la valeur du 4 ième paramère de la relaio (*) Déermiaio des viesses à l aide du CI : Ue deuième méhode simple de déermiaio des viesses des pois d u solide e mouveme pla es basée sur la oio du CI ou CIR (Cere Isaaé des iesses ou Cere Isaaé de Roaio). our se faire o imagie que le mouveme pla es ue successio de roaios isaaées auour d u cere qui chage de posiio das le emps. Comme o parle de cere de roaio, forcéme ce derier doi avoir à l isa cosidéré ue viesse liéaire ulle Défiiio du CI: Le CI (ou CIR) es le poi de la secio (S) e mouveme pla (ou de so pla) do la viesse (absolue) à l isa doé es égale à éro c.-à-d. Si es CI alors 0. eia Rachid 38 0/0/04

15 Théorème d eisece e d uicié du CI: Eisece du CI : Soi (S) e mouveme pla ( 0) (S) : pôle e sa viesse 0 Si es CI ( 0 ) d après le héorème d Euler 0 ; es la viesse de roaio de auour de. Doc e das le ses de la roaio (ses de) r e das la roaio auour de (ses de ). lors, se rouvera sur la à à ue disace par rappor à. Comme 0 eise. Uicié : Soie e deu CI. Si o pred comme pôle o peu écrire : ' 0 ' 0 ' 0 or 0 doc = 0 es cofodu avec d où l uicié du CI. Éocé du héorème : u cours du mouveme pla ( 0) d ue secio (S) il eise à ou isa das so pla u e seuleme u poi do la viesse (absolue) es égale à éro. Remarque : La oio du CI qui cosidère le mouveme pla comme ue successio de roaios isaaées auour des posiios successives de ce poi pariculier codui à la oio de «base e roulae». E effe ce derier décri das u pla fie ue première courbe fie ommée base e das u pla lié au solide ue deuième courbe mobile désigée par roulae. Il fau savoir qu il es possible de déermier les équaios de ces courbes e qu elles peuve faire parie, d ue ceraie maière, de cerais problèmes du mouveme pla. Touefois ous e cosidéros pas ces problèmes e ous ous coeos ici de les cier sas rerer das les déails Déermiaio des viesses au moe du CI: Soi (S) e mouveme pla avec 0, CI,, e C (S) C Théorème d ' Euler (S) C C C r 0 e das le ses de la roaio (ses de ) (S ) 0 ' eia Rachid 39 0/0/04

16 CI à CI à C C e das le ses de la roaio e C C e C das le ses de la roaio. C Théorème: La viesse d u poi d u corps solide e mouveme pla es égale, e module, au produi de la viesse agulaire de roaio par la disace du CI au poi cosidéré e elle es perpediculaire e ce poi au segme le joiga avec le CI das le ses de la roaio. Des rois relaios précédees doa les viesses des pois ous pouvos déduire : C, loi de disribuio des viesses auour du CI C ou pouvoir maiea uiliser le CI il fau d abord le localiser. La recherche de sa posiio sera cosidérer das le paragraphe suiva Déermiaio de la posiio du CI: a) Coues : direcios de deu viesses direcio de direcio de au direcios des deu viesses (S) b) Coues deu viesses e Direcios //,, e. au deu viesses e la droie joiga les erémiés des deu derières. Remarque : Das le cas «ses opposés» les viesses peuve êre égales e module. Direcios //,, e de même ses e ou o à. même ses ses opposés Il s agi das ces deu siuaios de raslaios isaaées. eia Rachid 40 0/0/04

17 c. Secio plae (S) e rouleme sas glisseme sur u coour fie (L) Le CI es le poi de coac. (S ) Remarque : La base ici es le coour fie (L) e la roulae es la secio (S) (L ) 5.4 ccéléraios des pois d u solide e mouveme pla: 5.4. Théorème de Rivals: Soie e (S) Théorème: d L accéléraio d u poi d u solide e mouveme pla es la somme géomérique de l accéléraio d u poi pris comme pôle e de l accéléraio de roaio auour du pôle. Epressio vecorielle de e focio de e : d d d d γ γ avec : poréepar la à e das le ses du mouveme de roaio auour de si celui - ci es accéléré e das le ses coraire si celui - ci es reardé. poréepar Ll accéléraio ci-dessus de. es le veceur somme de das le ses vers. es la somme vecorielle de, e faisa u agle arcg avec e rapporé au poi e de, d où la cosrucio graphique de module 4 eia Rachid 4 0/0/04

18 odule de : rojecio de ( γ ) / : γ / : e valeurs algébrique s γ 5.4. Déermiaio des accéléraios des pois au moe du CI: Comme das le cas du CI le CI (Cere Isaaé des ccéléraios) ou CG (Cere Géomérique des ccéléraios) es u poi do l accéléraio absolue es ulle Théorème : Si e d ue secio plae (S) représea u solide e mouveme pla e so pas simulaéme ulles, il eise à ou isa u e seuleme u poi do l accéléraio absolue es égale à éro. Ce poi es ommé CI ou CG. La démosraio de l eisece e de l uicié du CI es ideique à celle du CI. ( ) Eisece : Soie e d ue secio plae (S), u poi de (S) e Q le CI. E cosidéra comme pôle, d après Rivals : or 0 Q Q Q 4 Q soi Q e, Q arcg Doc le CI Q se rouve sur la droie passa par e faisa u agle avec (l agle es représeé oujours das le ses de ) à ue disaceq. 4 Uicié : (ideique à celle du CI) rocédure de déermiaio du CI : our déermier le CI Q coaissa d u poi de (S), e,. déermie à parir deg,. o mèe par le poi sous l agle par rappor à ue droie ( ) de elle sore qu elle soi e avace sur si le mouveme es accéléré e e reard si ce derier es reardé. 3. o pore sur ( ) le segme Q égal à Le poi aisi obeu es le CI.. 4 Q Q eia Rachid 4 0/0/04

19 5.4.. Théorème : La oio du CI perme de raier les accéléraios des pois d u solide e mouveme pla comme si ce derier es ue roaio auour du CI. Si o pred le CI Q comme pôle alors pou ou de (S) o peu écrire : avec Q Q Q Q 4 e, Q arcg Éocé du héorème : L accéléraio de ou poi d u solide e mouveme pla es égale à so accéléraio das le mouveme de roaio auour du CI Loi de disribuio des accéléraios: Du héorème précéde o e dédui : Q Q 4 4 Q Q Q Q Loi de disribuio des accéléraios Les accéléraios des pois d u solide e mouveme pla so proporioelles à leurs disaces au CI. eia Rachid 43 0/0/04

20 I. ouveme d u solide aa u poi fie 6. Defiiio appelle mouveme d u solde aa u poi fie (ou mouveme auour d u poi fie) ou mouveme peda lequel u poi du solide (ou ivariableme lié au solide) rese fie. Eemple : mouveme de la oupie quad so pied rese fie. 6. Équaios du mouveme/ agles d Euler: Soi u solide (S) e mouveme auour d u poi fie Cofodu avec l origie du référeiel fie () e le référeiel ( ) lié au solide (S). La posiio de (S)/ () es coue quad celle de ( )/ () es coue. r la posiio de )/ () es déermiée par les cosius direceurs des aes, e c.-à-d. a ij elles que : i ai a j a3k X j ai a j a3k k a3i a3 j a33k ù i, j e k so les veceurs direceurs de () e i, j e k so les veceurs direceurs de ( ). Doc apparemme la posiio de ( ) par rappor à () es défiie par les 9 paramères (cosius direceurs) a ij e ces deriers so liés par les 6 relaios suivaes : i i j j k k i j i k j k 0 i i j j k k Sacha que : i j i k j k 0 Les a ij e so pas idépedas ; 3 seuleme d ere eu le so e par suie la posiio de ( ) (e celle de (S)) es défiie quad o défii 3 de ces deriers. Euler a pesé à 3 agles qui pore depuis so Nom. Z (S) Y eia Rachid 44 0/0/04

21 gles d Euler : Soie les repères fie () e mobile ( ). rologeos le pla jusqu à ce qu il coupe le pla horioal. L iersecio des deu plas aisi obeue, rieée es désigée par N e s appelle : e odale ou lige des œuds de veceur direceur. L agle es l agle de précessio, k i i k j j L agle L agle celui de la uaio e celui de la roaio propre. N Ces agles défiisse complèeme la posiio de (S) das l espace relaiveme à. u cours du mouveme ces agles varie avec le emps e les équaios du mouveme sero doées par: f f f 3 Équaios du mouveme de roaio d u solide auour d u poi fie. 6.3 Décomposiio de la roaio auour d u poi fie e rois roaios auour de rois aes différes : vie de voir que le mouveme de (S) auour de es lié à la variaio des agles de précessio, de uaio e de roaio propre avec le emps. Ces variaios d agles doe 3 roaios auour des aes, N e. Eamios chaque roaio séparéme.. Roaio d agle e d ae : Cee roaio fai passer l ae à N e l ae à U c.-à-d. le rièdre () au rièdre (NU). De la figure ci-core o e dédui : cos i si j u cos i si j k k cos i si j u - si i cos j k k u i j U N eia Rachid 45 0/0/04

22 Soi e écriure maricielle : i cos si 0 u T j avec T si cos 0 marice de passage du rièdre fie () au k k 0 0 rièdre mobile (NU). E faisa varier le solide ourera auour de l ae avec ue viesse agulaire : k. Roaio d agle e d ae N : Cee roaio fai passer l ae U à e l ae à c.-à-d. le rièdre (NU) au rièdre (N ). De la figure ci-core o e dédui : u cos u si k k k - si u cos k k v Soi e écriure maricielle : u U N 0 0 v T u avec T 0 cos si marice de passage du rièdre fie (NU) au k k 0 si cos rièdre mobile (N ). E faisa varier le solide ourera auour de l ae N avec ue viesse agulaire : N 3. Roaio d agle e d ae : Cee roaio fai passer l ae N à e l ae à c.-à-d. le rièdre (N ) au rièdre ( ). De la figure ci-core o e dédui : i cos si v j si cos v k k j v i N Soi e écriure maricielle : eia Rachid 46 0/0/04

23 i j T v avec k k cos si 0 T si cos 0 marice de passage du rièdre fie (N ) au 0 0 rièdre mobile ( ). E faisa varier le solide ourera auour de l ae avec ue viesse agulaire : k 6.4 e, viesse e accéléraio isaaés de roaio : 6.4. iesse agulaire isaaée : E composa les rois roaios o fera passer le rièdre () au rièdre ( ). E i i écriure maricielle o aura : j T j avec T T. T. T k k E faisa varier simulaéme, e le solide ourera auour de avec ue viesse agulaire isaaée : N k k Le veceur viesse agulaire es variable e module e e direcio e isaaé de roaio (IR): Théorème d Euler d lember : N N Tou déplaceme d u solide posséda u poi fie e peu se réaliser que par ue roaio de ce derier auour d u cerai ae passa par le poi fie e quesio. E effe de la composiio de o e dédui que la roaio du solide auour de es à ou isa ue roaio auour d u ae qui pore le veceur viesse agulaire. Comme la direcio de es variable das le emps, l ae chage de direcio (S lui aussi avec le emps. C es doc u ae isaaé de roaio Équaio de l ae isaaé de roaio : ar aalogie avec le CI l ae isaaé de roaio, e abrégé IR, es u ae du solide (ou lié au solide) do ous les pois o à ou isa des viesses ulles. eia Rachid 47 0/0/04

24 Soi l IR, e so // alors 0 Doc l équaio de l IR sous forme vecorielle es r 0 avec r Si e r das le repère fie () alors l équaio de l IR eprimée das ce même repère es :. our eprimer l équaio de l IR das le repère mobile il suffi d eprimer e r das ce même repère. La oio de l IR perme d imagier le mouveme du solide auour d u poi fie comme ue série de roaios isaaées de viesses agulaires auour d aes isaaés successifs passa le poi fie. Les posiios successives de l ae egedre das l espace ue aoïde (das le cas simple u côe de révoluio), adis que l erémié du veceur décri ue courbe sur cee surface ccéléraio isaaée : L accéléraio agulaire du solide, qui eprime la variaio de (e direcio e e d module) e focio du emps es : Ce veceur es age à la courbe que décri l erémié du veceur à l isa cosidéré. représee ce veceur sur u ae passa par e parallèle à cee agee qu o appelle : e des ccéléraios Isaaées. L I es représeé par E sur la figure ci-core. 3 E 6.5 Epressios de das les repères fie e mobile/ équaios ciémaiques d Euler : ara de l epressio de ( k k ), si o eprime ous les veceurs à l aide de la base ( i, j, k ) o obie : eia Rachid 48 0/0/04

25 cos i si j, u si i cos k e k si u cos k si si i si cos j cos k Soi : k cos i si j si si i si cos j cos k c.-à-d. aura comme composaes : cos si si si si cos cos epressios des composaes de das le repère fie si o eprime ous les veceurs à l aide de la base ( i, j, k ) o obie : cos i si j, v si i cos j k cos k si v cos k si si i si cos j aura comme composaes : cos si si si si cos cos epressios des composaes de das le repère mobile Les formules aisi obeues so appelées équaios ciémaiques d Euler. Remarquer que s eprimera aussi bie das le repère fie que das le repère mobile. Ce veceur aura comme composaes das le repère fie : e das le repère mobile. so module sera. eia Rachid 49 0/0/04

26 6.6 iesses des pois d u solide e roaio auour d u poi fie: Soi u solide (S) e roaio auour du poi fie, so veceur viesse agulaire e l IR. Éa doé qu à chaque isa le mouveme de roaio auour du poi es ue roaio auour de l ae isaaé, le poi de (S) décri e ce mome u cercle auour de (perpediculaireme à ce derier) e h. où h es la disace de à. e au pla formé par l ae e le poi, das le ses de roaio du solide. Cepeda l ae chage de posiio que se soi par rappor au solide ou par rappor au repère fie. La gradeur de h, coraireme au mouveme de roaio auour d u ae fie es pas cosae. lors o uilisera souve la formule vecorielle d Euler pour eprimer la viesse du poi : r, r éa le veceur posiio du poi par rappor à aura comme composaes, comme module das le repère fie ou e. Le ses déped de celui de (c.-à-d. ses de roaio auour de ). r h das le repère mobile. e de direcio e à r Loi de disribuio des viesses : Soie e de pois de (S) qui es e roaio auour d u poi fie. r r r r Les rois veceurs so cosas e module mais variables e direcio alors : d r r d r d r d Loi de disribuio des viesses. Théorème des projecios : Soie e deu pois de (S) qui es e roaio auour d u poi fie. eia Rachid 50 0/0/04

27 uliplia la relaio vecorielle par le veceur direceur de à savoir u o obie : proj u. u. u. 0 car proj Epressio du héorème des projecios. 6.7 ccéléraios des pois du solide e roaio auour d u poi fie: Soie e les veceurs viesses e accéléraios agulaires isaaées du solide (S) e roaio auour du poi fie, u poi de ce derier différe de. r, r éa le veceur posiio du poi /. d d dr r r r E, r a) Le produi vecoriel r es appelé accéléraio de roaio e oé ; elle a : Comme module : r si h avec h la disace du poi à l ae isaaé des accéléraios E, Comme direcio : la e au pla r,e, h h Comme ses : celui du coé d où la roaio la plus coure de vers r se voi das le ses coraire à celui des aiguilles d ue more. b) Le produi vecoriel es appelé accéléraio aipèe e oé ; elle a : Comme module : si 90 h isaaé de roaio, avec h la disace du poi à l ae Comme direcio : la e à eia Rachid 5 0/0/04

28 eia Rachid 5 0/0/04 Comme ses : celui de vers l ae. Remarque : e e so pas forceme ere elles e par suie :, cos arfois o a recours à la méhode aalique. ara de l epressio r r e eprima r, e das le même repère o déermie les composaes de das ce derier pour passer au calcul du module ou selo le repère uilisé.

29 E : Eercices d applicaio sur la ciémaique du solide : eda la phase de démarrage la loi du mouveme de roaio d ue roue auour de so ae 3 es doée par(), e radias e e secodes. 3. déermier la viesse agulaire e l accéléraio agulaire à l isa = 30 s.. à parir de ce isa le mouveme devie uiforme. Déermier le ombre de ours par miue. 3. reveos à la phase de démarrage. Qu elles sero la viesse e l accéléraio oale d u poi siué à 0.8 m de l ae de roaio au mome où so accéléraio ormale sera égale à so accéléraio ageielle. E déduire la direcio de l accéléraio oale. E : Les machos e glissa le log des guides reciliges e so reliés par la ige de logueur L comme idiquée sur la figure. Le macho se déplace à viesse cosae v. Déermier les équaios du mouveme de, e supposa qu iiialeme éai cofodu avec. redre le poi comme pôle, e =, éa l agle de roaio du mouveme pla. Figure ω φ α Figure E 3 : La maivelle de logueur L oure à = Cos auour de. La ige ariculée e à peu glisser à l iérieure du macho creu pivoa auour de ; = L/.. rouver les équaios du mouveme de la ige e les coordoées du poi à cee derière el que = L (predre comme pôle).. déermier la viesse du poi de cofodu avec au momes où = 0, 45 e 90. L agle es idiqué sur la figure. α D C D C E Figure 4 Figure 3 Figure 5 eia Rachid 53 0/0/04

30 E 4 : Ue ige oure auour de l ae avec ω s e eraie la ige D do les pois e C so ariculés sur des machos qui se déplace suiva les guides pour e pour C (voir figure 3 sur la page précédee). Déermier la viesse du poi D pour φ 45 si ==C=R e D=L. E 5 : Soi le ssème ariculé de la figure 4, sur la page précédee. L esemble es asrei à se déplacer das le pla de la figure, éa fie. Déermier par cosrucio le poi do la viesse es dirigée suiva e rouver l epressio de celle-ci à l isa où si = R e ω =ω. E 6 : Le ssème bielle-maivelle de la figure 5, sur la page précédee, es ariculé au poi média C de la bielle à la bielle CD du deuième ssème bielle- maivelle EDC. - Déermier ω ED das la posiio idiquée sur la figure si E es vericale, ω =8s, = 5 cm e DE = 00 cm. E 7 : Soi le mécaisme LD de commade d ue presse hdraulique de la figure 6. Déermier l accéléraio du piso D γ e l accéléraio agulaire de la bielle ε si das la D posiio idiquée sur la figure e pour L =s -, L =4s - e = 5 cm. E 8 : L éléme du mécaisme ariculé oure à ω = ω =cose. Déermier la viesse agulaire e l accéléraio agulaire de aisi que le veceur accéléraio liéaire du poi das la posiio idiquée sur la figure 7 si = = a. L 30 L ω L Figure 6 D Figure 7 E 9 : Soi ue roue de rao R = 0,5 m, roula sas glisseme sur u rail horioal. ) Déermier l accéléraio d u poi siué sur la jae (périphérie) de la roue, si le cere de cee derière se déplace uiforméme à la viesse v. E déduire le module de l accéléraio d u poi siué à R/ de l ae. eia Rachid 54 0/0/04

31 ) Si maiea le mouveme de es plus uiforme mais avec ue viesse v = 0,5 m/s e ue décéléraio = - 0,5 m/s, rouver le CI e si es cofodu avec le CI aisi que, éa le milieu de. E 0 : U carré CD de coé 0 cm effecue u mouveme pla. Trouver la posiio du CI e les veceurs accéléraios des sommes C e D si à ce isa 0 m/ s. L accéléraio de es porée par D de vers D e celle de par de vers. E : U obus, au cours de so mouveme das l amosphère, oure auour de so ae de smérie C avec ue viesse agulaire, C éa le cere de gravié de l obus. L ae C oure simulaéme, avec la viesse agulaire, auour de l ae Cς dirigé suiva la agee à la rajecoire du cere C, comme idiqué sur la figure 8. Déermier la viesse du poi de l obus das so mouveme de roaio auour de C, si C = r e si le segme C es perpediculaire à l ae C ; l agle ere C e Cς vau. C Figure 8 Trajecoire de C h r Figure 9 Figure 0 E : U côe de haueur h = 4 cm, de rao de base r = 3 cm, roule sas glisser sur le pla horioal, so somme éa fie au poi (figure 9). Représeer sur la figure, e puis déermier e l'accéléraio agulaire du côe, si la viesse du cere C de la base du côe es v C = 48 cm/s. E 3: Le côe II, de la figure 0, do l agle au somme es de 45 roule sas glisser à l iérieur du côe fie I do l agle au somme es de 90. La haueur du côe mobile es = 00 cm. Le cere de sa base décri ue circoférece e 0,5 s.. déermier les veceurs viesses agulaires de précessio (auour de l ae ), de roaio propre (auour de ) e oale, l IR correspoda à la cofiguraio du côe II aisi que so veceur accéléraio agulaire absolue e l I correspoda (IR : ae isaaé de roaio, I : ae des accéléraios isaaées).. les viesses e les accéléraios des pois, e du côe mobile (voir la figure 0 pour la localisaio de e ). C I II eia Rachid 55 0/0/04