Exo7. Espaces vectoriels. Exercices de Jean-Louis Rouget. Retrouver aussi cette fiche sur

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1 Exo7 Espaces vectoriels Exercices de Jea-Louis Rouget Retrouver aussi cette fiche sur wwwmaths-fracefr * très facile ** facile *** difficulté moyee **** difficile ***** très difficile I : Icotourable T : pour travailler et mémoriser le cours Exercice 1 *T Soit E le R-espace vectoriel des applicatios de [0,1] das R (mui de f + g et λ f usuels) (e pas hésiter à redémotrer que E est u R espace vectoriel) Soit F l esemble des applicatios de [0,1] das R vérifiat l ue des coditios suivates : 1) f (0) + f (1) = 0 2) f (0) = 0 3) f ( 1 2 ) = 1 4 4) x [0,1], f (x) + f (1 x) = 0 5) x [0,1], f (x) 0 6) 2 f (0) = f (1) + 3 Das quel cas F est-il u sous-espace vectoriel de E? [005164] Exercice 2 **T O muit R des lois produit usuelles Parmi les sous-esembles suivats F de R, lesquels sot des sousespaces vectoriels? 1) F = {(x 1,,x ) R / x 1 = 0} 2) F = {(x 1,,x ) R / x 1 = 1} 3) F = {(x 1,,x ) R / x 1 = x 2 } 4) F = {(x 1,,x ) R / x x = 0} 5) F = {(x 1,,x ) R / x 1 x 2 = 0} [005165] Exercice 3 ** Soit E u K-espace vectoriel Soiet A, B et C trois sous-espaces vectoriels de E vérifiat A B = A C, A + B = A +C et B C Motrer que B = C [005166] Exercice 4 **T Soit R N le R-espace vectoriel des suites réelles (mui des opératios usuelles) O cosidère les trois élémets de E suivats : u = (cos(θ)) N, v = (cos(θ + a)) N et w = (cos(θ + b)) N où θ, a et b sot des réels doés Motrer que (u,v,w) est ue famille liée [005167] Exercice 5 **T Soit F le sous-espace vectoriel de R 4 egedré par u = (1,2, 5,3) et v = (2, 1,4,7) Détermier λ et µ réels tels que (λ,µ, 37, 3) appartiee à F [005168] Exercice 6 **T 1

2 Motrer que a = (1,2,3) et b = (2, 1,1) egedret le même sous espace de R 3 que c = (1,0,1) et d = (0,1,1) [005169] Exercice 7 **T 1 Vérifier qu il existe ue uique applicatio liéaire de R 3 das R 2 vérifiat f ((1,0,0)) = (1,1) puis f ((0,1,0)) = (0,1) et f ((0,0,1)) = ( 1,1) Calculer f ((3, 1,4)) et f ((x,y,z)) e gééral 2 Détermier Ker f E fourir ue base Doer u supplémetaire de Ker f das R 3 et vérifier qu il est isomorphe à Im f [005170] Exercice 8 **I Soit E u K-espace vectoriel et f u élémet de L (E) 1 Motrer que [Ker f = Ker f 2 Ker f Im f = {0}] et [Im f = Im f 2 E = Ker f + Im f ] (où f 2 = f f ) 2 Par défiitio, u edomorphisme p de E est u projecteur si et seulemet si p 2 = p Motrer que [p projecteur Id p projecteur] puis que [p projecteur Imp = Ker(Id p) et Kerp = Im(Id p) et E = Kerp Imp] 3 Soiet p et q deux projecteurs, motrer que : [Kerp = Kerq p = p q et q = q p] 4 p et q état deux projecteurs vérifiat p q + q p = 0, motrer que p q = q p = 0 Doer ue coditio écessaire et suffisate pour que p + q soit u projecteur lorsque p et q le sot Das ce cas, détermier Im(p + q) et Ker(p + q) e foctio de Kerp, Kerq, Imp et Imq [005171] Exercice 9 ** Soiet E u K-espace vectoriel et A, B et C trois sous-espaces de E 1 Motrer que : (A B) + (A C) A (B +C) 2 A-t-o toujours l égalité? 3 Motrer que : (A B) + (A C) = A (B + (A C)) [005172] Exercice 10 **T Das E = R 4, o cosidère V = {(x,y,z,t) E/ x 2y = 0 et y 2z = 0} et W = {(x,y,z,t) E/ x+z = y+t} 1 Motrer que V et W sot des sous espaces vectoriels de E 2 Doer ue base de V, W et V W 3 Motrer que E = V +W [005173] Exercice 11 *** Soit f : [0,+ [ [0,2π[ R 2 (x,y) (xcosy,xsiy) 1 f est-elle ijective? surjective? 2 Soiet a, b, α et β quatre réels Motrer qu il existe (c,γ) R 2 tel que : x R, acos(x α)+bcos(x β) = ccos(x γ) 2

3 3 Soit E le R-espace vectoriel des applicatios de R das R Soit F = {u E/ (a,b,α,β) R 4 tel que x R, u(x) = a cos(x α) + b cos(2x β)} Motrer que F est u sous-espace vectoriel de E 4 Détermier {cosx,six,cos(2x),si(2x),1,cos 2 x,si 2 x} F 5 Motrer que (cosx,six,cos(2x),si(2x)) est ue famille libre de F [005174] Exercice 12 ** Soit C l esemble des applicatios de R das R, croissates sur R 1 C est-il u espace vectoriel (pour les opératios usuelles)? 2 Motrer que V = { f R R / (g,h) C 2 tel que f = g h} est u R-espace vectoriel [005175] Exercice 13 ** Motrer que la commutativité de la loi + est ue coséquece des autres axiomes de la structure d espace vectoriel [005176] Exercice 14 *** Soiet E u K-espace vectoriel et A, B et C trois sous-espaces vectoriels de E Motrer que (A B) + (B C) + (C A) (A + B) (B +C) (C + A) [005177] Exercice 15 **IT Soiet u = (1,1,,1) et F = Vect(u) puis G = {(x 1,,x ) R / x x = 0} Motrer que G est u sous-espace vectoriel de R et que R = F G [005178] Exercice 16 **** 1 Soit u etier aturel Motrer que si est pas u carré parfait alors / Q 2 Soit E = {a + b 2 + c 3 + d 6, (a,b,c,d) Q 4 } Vérifier que E est u Q-espace vectoriel puis détermier ue base de E [005179] Exercice 17 ***T Das E = R R, étudier la liberté des familles suivates A de vecteurs de E : 1 a, b et c état trois réels doés, A = ( f a, f b, f c ) où, pour tout réel x, f u (x) = si(x + u) 2 A = ( f ) Z où, pour tout réel x, f (x) = x A = (x x α ) α R (ici E = (]0;+ [) 2 ) 4 A = (x x a ) a R [005180] Exercice 18 **** Soit E u K-espace vectoriel et soit (u,v) (L (E)) 2 1 Motrer que [Kerv Keru w L (E)/ u = w v] 3

4 2 E déduire que [v ijectif w L (E)/ w v = Id E ] [005181] Exercice 19 *** Soit E = R[X] le R-espace vectoriel des polyômes à coefficiets réels Soit f : E E f est-elle liéaire, ijective, surjective? Fourir u supplémetaire de Ker f P P Mêmes questios avec g : E E P x 0 P(t) dt [005182] Retrouver cette fiche et d autres exercices de maths sur exo7emathfr 4

5 Correctio de l exercice 1 1 La foctio ulle est das F et e particulier, F Soiet alors ( f,g) F 2 et (λ,µ) R 2 (λ f + µg)(0) + (λ f + µg)(1) = λ( f (0) + f (1)) + µ(g(0) + g(1)) = 0 Par suite, λ f + µg est das F O a motré que : F est doc u sous-espace vectoriel de E 2 Même démarche et même coclusio F et ( f,g) F 2, (λ,µ) R 2, λ f + µg F 3 F e cotiet pas la foctio ulle et est doc pas u sous-espace vectoriel de E 4 La foctio ulle est das F et e particulier, F Soiet alors ( f,g) F 2 et (λ,µ) R 2 Pour x élémet de [0,1], (λ f + µg)(x) + (λ f + µg)(1 x) = λ( f (x) + f (1 x)) + µ(g(x) + g(1 x)) = 0 et λ f + µg est das F F est u sous-espace vectoriel de E Remarque Les graphes des foctios cosidérés sot symétriques par rapport au poit ( 1 2,0) 5 F cotiet la foctio costate 1 mais pas so opposé la foctio costate 1 et est doc pas u sous-espace vectoriel de E 6 F e cotiet pas la foctio ulle et est doc pas u sous-espace vectoriel de E Correctio de l exercice 2 Das les cas où F est u sous-espace, o a à chaque fois trois démarches possibles pour le vérifier : - Utiliser la caractérisatio d u sous-espace vectoriel - Obteir F comme oyau d ue forme liéaire ou plus gééralemet, comme oyau d ue applicatio liéaire - Obteir F comme sous-espace egedré par ue famille de vecteurs Je vous détaille ue seule fois les trois démarches 1 1ère démarche F cotiet le vecteur ul (0,,0) et doc F Soiet alors ((x 1,,x ),(x 1,,x )) F 2 et (λ,µ) R 2 O a λ(x 1,,x ) + µ(x 1,,x ) = (λx 1 + µx 1,,λx + µx ) avec λx 1 + µx 1 = 0 Doc, λ(x 1,,x ) + µ(x 1,,x ) F F est u sous-espace vectoriel de R 2ème démarche L applicatio (x 1,,x ) x 1 est ue forme liéaire sur R et F e est leoyau F est doc u sous-espace vectoriel de R 3ème démarche F = {(0,x 2,,x ), (x 2,,x ) R 1 } = {x 2 (0,1,0,,0) + + x (0,,0,1), (x 2,,x ) R 1 } = Vect((0,1,0,,0),,(0,,0,1)) F est doc u sous-espace vectoriel de R 2 F e cotiet pas le vecteur ul et est doc pas u sous-espace vectoriel de R 3 (Ici, 2) L applicatio (x 1,,x ) x 1 x 2 est ue forme liéaire sur R et F e est le oyau F est doc u sous-espace vectoriel de R 4 L applicatio (x 1,,x ) x x est ue forme liéaire sur R et F e est le oyau F est doc u sous-espace vectoriel de R 5 (Ici, 2) Les vecteurs e 1 = (1,0,,0) et e 2 = (0,1,0,0) sot das F mais e 1 + e 2 = (1,1,00) y est pas F est doc pas u sous espace vectoriel de E Remarque F est la réuio des sous-espaces {(x 1,,x ) R / x 1 = 0} et {(x 1,,x ) R / x 2 = 0} 5

6 Correctio de l exercice 3 Il suffit de motrer que C B Soit x u élémet de C Alors x A +C = A + B et il existe (y,z) A B tel que x = y + z Mais z B C et doc, puisque C est u sous-espace vectoriel de E, y = x z est das C Doc, y A C = A B et e particulier y est das B Fialemet, x = y+z est das B O a motré que tout élémet de C est das B et doc que, C B Puisque d autre part B C, o a B = C Correctio de l exercice 4 Soit u = (si(θ)) N O a : u = 1u + 0u, puis v = cosau siau, puis w = cosbu sibu Les trois vecteurs u, v et w sot doc combiaisos liéaires des deux vecteurs u et u et costituet par suite ue famille liée (p + 1 combiaisos liéaires de p vecteurs costituet ue famille liée) Correctio de l exercice 5 Soit (λ,µ) R 2 (λ,µ, 37, 3) F (a,b) R 2 / (λ,µ, 37, 3) = au + bv (a,b) R 2 / (a,b) R 2 / a + 2b = λ 2a b = µ a = b = { λ = ( µ = ) a + 2b = λ 2a b = µ 5a + 4b = 37 3a + 7b = 3 { λ = 5 47 µ = Correctio de l exercice 6 Posos F = Vect(a, b) et G = Vect(c, d) Motros que c et d sot das F λ + 2µ = 1 c F (λ,µ) R 2 / c = λa + µb (λ,µ) R 2 / 2λ µ = 0 3λ + µ = 1 (λ,µ) R 2 / λ = 1 5 µ = 2 5 3λ + µ = 1 Puisque = 1, le système précédet admet bie u couple (λ,µ) solutio et c est das F Plus précisémet, c = 1 5 a b λ + 2µ = 0 d F (λ,µ) R 2 / d = λa + µb (λ,µ) R 2 / 2λ µ = 1 3λ + µ = 1 (λ,µ) R 2 / λ = 2 5 µ = 1 5 3λ + µ = 1 Puisque = 1, le système précédet admet bie u couple (λ,µ) solutio et d est das F Plus précisémet, d = 2 5 a 1 5b E résumé, {c,d} F et doc G = Vect(c,d) F Motros que a et b sot das G mais les égalités c = 1 5 a b et d = 2 5 a 1 5b fourisset a = c + 2d et b = 2c d Par suite, {a,b} G et doc F = Vect(a,b) G Fialemet F = G Correctio de l exercice 7 6

7 1 Si f existe alors écessairemet, pour tout (x,y,z) R 3 : f ((x,y,z)) = x f ((1,0,0)) + y f ((0,1,0)) + z f ((0,0,1)) = x(1,1) + y(0,1) + z( 1,1) = (x z,x + y + z) O e déduit l uicité de f Réciproquemet, f aisi défiie vérifie bie les trois égalités de l éocé Il reste doc à se covaicre que f est liéaire Soiet ((x,y,z),(x,y,z )) (R 3 ) 2 et (λ,µ) R 2 f (λ(x,y,z) + µ(x,y,z )) = f ((λx + µx,λy + µy,λz + µz )) = ((λx + µx ) (λz + µz ),(λx + µx ) + (λy + µy ) + (λz + µz )) = λ(x z,x + y + z) + µ(x z,x + y + z ) = λ f ((x,y,z)) + µ f ((x,y,z )) f est doc liéaire et coviet O e déduit l existece de f O a alors f ((3, 1,4)) = (3 4, ) = ( 1,6) Remarque La démostratio de la liéarité de f ci-dessus est e fait superflue car le cours doe l expressio géérale d ue applicatio liéaire de R das R p 2 Détermiatio de Ker f Soit (x,y,z) R 3 { (x,y,z) R 3 x z = 0 f ((x,y,z)) = (0,0) (x z,x + y + z) = (0,0) x + y + z = 0 { z = x y = 2x Doc, Ker f = {(x, 2x,x), x R} = {x(1, 2,1), x R} = Vect((1, 2,1)) La famille ((1, 2,1)) egedre Ker f et est libre Doc, la famille ((1, 2,1)) est ue base de Ker f Détermiatio de Im f Soit (x,y ) R 2 (x,y ) Im f (x,y,z) R 3 / f ((x,y,z)) = (x,y ) { { (x,y,z) R 3 x z = x / x + y + z = y (x,y,z) R 3 z = x x / y = 2x + x + y { z = x x le système d icoue (x, y, z) : y = 2x + x + y a au mois ue solutio Or, le triplet (0,x + y, x ) est solutio et le système proposé admet ue solutio Par suite, tout (x,y ) de R 2 est das Im f et fialemet, Im f = R 2 Détermiatio d u supplémetaire de Ker f Posos e 1 = (1, 2,1), e 2 = (1,0,0) et e 3 = (0,1,0) puis F = Vect(e 2,e 3 ) et motros que R 3 = Ker f F Tout d abord, Ker f F = {0} E effet : (x,y,z) Ker f F (a,b,c) R 3 / (x,y,z) = ae 1 = be 2 + ce 3 x = a = b (a,b,c) R 3 / y = 2a = c x = y = z = 0 z = a = 0 Vérifios esuite que Ker f + F = R 3 7

8 (x,y,z) Ker f + F (a,b,c) R 3 / (x,y,z) = ae 1 + be 2 + ce 3 a + b = x (a,b,c) R 3 / 2a + c = y a = z (a,b,c) R 3 / a = z b = x z c = y + 2z Le système précédet (d icoue (a,b,c)) admet doc toujours ue solutio et o a motré que R 3 = Ker f + F Fialemet, R 3 = Ker f F et F est u supplémetaire de Ker f das R 3 Vérifios efi que F est isomorphe à Im f Mais, F = {(x,y,0), (x,y) R 2 } et ϕ : F R 2 est clairemet u isomorphisme de F sur Im f (= R 2 ) (x,y,0) (x,y) Correctio de l exercice 8 1 O a toujours Ker f Ker f 2 E effet, si x est u vecteur de Ker f, alors f 2 (x) = f ( f (x)) = f (0) = 0 (car f est liéaire) et x est das Ker f 2 Motros alors que : [Ker f = Ker f 2 Ker f Im f = {0}] Supposos que Ker f = Ker f 2 et motros que Ker f Im f = {0} Soit x Ker f Im f Alors, d ue part f(x) = 0 et d autre part, il existe y élémet de E tel que x = f (y) Mais alors, f 2 (y) = f (x) = 0 et y Ker f 2 = Ker f Doc, x = f (y) = 0 O a motré que Ker f = Ker f 2 Ker f Im f = {0} Supposos que Ker f Im f = {0} et motros que Ker f = Ker f 2 Soit x Ker f 2 Alors f ( f (x)) = 0 et doc f (x) Ker f Im f = {0} Doc, f (x) = 0 et x est das Ker f O a aisi motré que Ker f 2 Ker f et, puisque l o a toujours Ker f Ker f 2, o a fialemet Ker f = Ker f 2 O a motré que Ker f Im f = {0} Ker f = Ker f 2 O a toujours Im f 2 Im f E effet : y Im f 2 x E/ y = f 2 (x) = f ( f (x)) y Im f Supposos que Im f = Im f 2 et motros que Ker f + Im f = E Soit x E Puisque f (x) Im f = Im f 2, il existe t E tel que f (x) = f 2 (t) Soit alors z = f (t) et y = x f (t) O a bie x = y + z et z Im f De plus, f (y) = f (x) f ( f (t)) = 0 et y est bie élémet de Ker f O a doc motré que E = Ker f + Im f Supposos que Ker f + Im f = E et motros que Im f = Im f 2 Soit x E Il existe (y,z) Ker f Im f tel que x = y + z Mais alors f (x) = f (z) Im f 2 car z est das Im f Aisi, pour tout x de E, f (x) est das Im f 2 ce qui motre que Im f Im f 2 et comme o a toujours Im f 2 Im f, o a motré que Im f = Im f 2 2 Id p projecteur (Id p) 2 = Id p Id 2p + p 2 = Id p p 2 = p p projecteur Soit x u élémet de E x Imp y E/ x = p(y) Mais alors p(x) = p 2 (y) = p(y) = x Doc, x E, (x Imp p(x) = x) Réciproquemet, si p(x) = x alors bie sûr, x est das Imp Fialemet, pour tout vecteur x de E, x Imp p(x) = x (Id p)(x) = 0 x Ker(Id p) O a motré que Imp = Ker(Id p) E appliquat ce qui précède à Id p qui est égalemet u projecteur, o obtiet Im(Id p) = Ker(Id (Id p)) = Kerp Efi, puisque p 2 = p et doc e particulier que Kerp = Kerp 2 et Imp = Imp 2, le 1) motre que E = Kerp Imp 3 p = p q et q = q p p (Id q) = 0 et q (Id p) = 0 Im(Id q) Kerp et Im(Id p) Kerq Kerq Kerp et Kerp Kerq (d après 2)) Kerp = Kerq 8

9 4 p q+q p = 0 p q = (p p) q = p (p q) = p (q p) et de même, q p = q p p = p q p E particulier, p q = q p et doc 0 = p q + q p = 2p q = 2q p puis p q = q p = 0 La réciproque est immédiate p+q projecteur (p+q) 2 = p+q p 2 + pq+qp+q 2 = p+q pq+qp = 0 pq = qp = 0 (d après ci-dessus) Esuite, Im(p + q) = {p(x) + q(x), x E} {p(x) + q(y), (x,y) E 2 } = Imp + Imq Réciproquemet, soit z u élémet de Imp + Imq Il existe deux vecteurs x et y de E tels que z = p(x) + q(y) Mais alors, p(z) = p 2 (x) + pq(y) = p(x) et q(z) = qp(x) + q 2 (y) = q(y) et doc z = p(x) + p(y) = p(z) + q(z) = (p + q)(z) Im(p + q) Doc, Imp + Imq Im(p + q) et fialemet, Im(p + q) = Imp + Imq Kerp Kerq = {x E/ p(x) = q(x) = 0} {x E/ p(x) + q(x) = 0} = Ker(p + q) Réciproquemet, si x est élémet de Ker(p + q) alors p(x) + q(x) = 0 Par suite, p(x) = p 2 (x) + pq(x) = p(p(x)+q(x)) = p(0) = 0 et q(x) = qp(x)+q 2 (x) = q(0) = 0 Doc, p(x) = q(x) = 0 et x Kerp Kerq Fialemet, Ker(p + q) = Kerp Kerq Correctio de l exercice 9 1 Soit x E x (A B) + (A C) y A B, z A C/ x = y + z y et z sot das A et doc x = y + z est das A car A est u sous-espace vectoriel de E Puis y est das B et z est das C et doc x = y + z est das B +C Fialemet, x E, [x (A B) + (A C) x A (B +C)] Autre démarche (A B B et A C C) (A B)+(A C) B+C puis (A B A et A C A (A B)+(A C) A + A = A, et fialemet (A B) + (A C) A (B +C) 2 Si o essaie de démotrer l iclusio cotraire, le raisoemet coice car la somme y + z peut être das A sas que i y, i z e soiet das A Cotre-exemple Das R 2, o cosidère A = R(1,0) = {(x,0), x R}, B = R(0,1) et C = R(1,1) B +C = R 2 et A (B +C) = A mais A B = {0} et A C = {0} et doc (A B) + (A C) = {0} A (B +C) 3 A B B (A B)+(A C) B+(A C) mais aussi (A B)+(A C) A+A = A Doc, (A B)+ (A C) A (B + (A C)) Iversemet, soit x A (B+(A C)) alors x = y+z où y est das B et z est das A C Mais alors, x et z sot das A et doc y = x z est das A et même plus précisémet das A B Doc, x (A B)+(A C) Doc, A (B + (A C)) (A B) + (A C) et fialemet, A (B + (A C)) = (A B) + (A C) Correctio de l exercice 10 1 Pour (x,y,z,t) R 4, o pose f ((x,y,z,t)) = x 2y, g((x,y,z,t)) = y 2z et h((x,y,z,t)) = x y + z t f, g et h sot des formes liéaires sur R 4 Doc, V = Ker f Kerg est u sous-espace vectoriel de R 4 e tat qu itersectio de sous-espaces vectoriels de R 4 et W = Kerh est u sous-espace vectoriel de R 4 2 Soit (x,y,z,t) R 4 { x = 2y (x,y,z,t) V y = 2z { x = 4z y = 2z Doc, V = {(4z,2z,z,t), (z,t) R 2 } = Vect(e 1,e 2 ) où e 1 = (4,2,1,0) et e 2 = (0,0,0,1) Motros alors que (e 1,e 2 ) est libre Soit (z,t) R 2 9

10 ze 1 +te 2 = 0 (4z,2z,z,t) = (0,0,0,0) z = t = 0 Doc, (e 1,e 2 ) est ue base de V Pour (x,y,z,t) R 4, (x,y,z,t) W t = x y + z Doc, W = {(x,y,z,x y + z), (x,y,z) R 3 } = Vect(e 1,e 2,e 3 ) où e 1 = (1,0,0,1), e 2 = (0,1,0, 1) et e 3 = (0,0,1,1) Motros alors que (e 1,e 2,e 3 ) est libre Soit (x,y,z) R3 xe 1 + ye 2 + ze 3 = 0 (x,y,z,x y + z) = (0,0,0,0) x = y = z = 0 Doc, (e 1,e 2,e 3 ) est ue base de W Soit (x,y,z,t) R4 (x,y,z,t) V W x = 2y y = 2z x y + z t = 0 x = 4z y = 2z t = 3z Doc, V W = {(4z,2z,z,3z), z R} = Vect(e) où e = (4,2,1,3) De plus, e état o ul, la famille (e) est libre et est doc ue base de V W 3 Soit u = (x,y,z,t) u vecteur de R 4 O cherche v = (4α,2α,α,β) V et w = (a,b,c,a b + c) W tels que u = v + w 4α + a = x 2α + b = y u = v + w α + c = z β + a b + c = t a = x 4α b = y 2α c = z α β = x + y z +t 3α et α = 0, β = x+y z+t, a = x, b = y et c = z covieet Doc, u R 4, (v,w) V W/ u = v+w O a motré que R 4 = V +W Correctio de l exercice 11 1 Pour tout (y,y ) élémet de [0,2π[ 2, f ((0,y)) = f ((0,y )) et f est pas ijective Motros que f est surjective Soit (X,Y ) R 2 - Si X = Y = 0, f ((0,0)) = (0,0) - Si X = 0 et Y > 0, f ((Y, π 2 )) = (0,Y ) avec (Y, π 2 ) élémet de [0,+ [ [0,2π[ - Si X = 0 et Y < 0, f (( Y, 3π 2 )) = (0,Y ) avec ( Y, 3π 2 ) élémet de [0,+ [ [0,2π[ - Si X > 0 et Y 0, f (( X 2 +Y 2,Arcta Y X )) = (X,Y ) avec ( X 2 +Y 2,Arcta Y X ) élémet de [0, + [ [0, 2π[ - Si X < 0 et Y 0, f (( X 2 +Y 2,π + Arcta Y X )) = (X,Y ) avec ( X 2 +Y 2,π + Arcta Y X ) élémet de [0, + [ [0, 2π[ - Si X > 0 et Y < 0, f (( X 2 +Y 2,2π + Arcta Y X )) = (X,Y ) avec ( X 2 +Y 2,2π + Arcta Y X ) élémet de [0, + [ [0, 2π[ - Si X < 0 et Y < 0, f (( X 2 +Y 2,π + Arcta Y X )) = (X,Y ) avec ( X 2 +Y 2,π + Arcta Y X ) élémet de [0, + [ [0, 2π[ 2 Pour tout réel x, o a acos(x α) + bcos(x β) = (acosα + bcosβ)cosx + (asiα + bsiβ)six D après 1), f est surjective et il existe (c,γ) élémet de [0,+ [ [0,2π[ tel que acosα +bcosβ = ccosγ et asiα + bsiβ = csiγ Doc, (c,γ) [0,+ [ [0,2π[/ x R, acos(x α)+bcos(x β) = c(cosxcosγ +sixsiγ) = ccos(x γ) 10

11 3 F est o vide car cotiet l applicatio ulle et est coteu das E De plus, pour x réel, acos(x α) + bcos(2x β) + a cos(x α ) + b cos(2x β ) = acos(x α) + a cos(x α ) + bcos(2x β) + b cos(2x β ) = a cos(x α ) + b cos(2x β ), pour u certai (a,b,α,β ) (d après 2)) F est u sous-espace vectoriel de E 4 Pour tout réel x, cosx = 1cos(x 0) + 0cos(2x 0) et x cosx est élémet de F Pour tout réel x, six = 1cos(x π 2 ) + 0cos(2x 0) et x six est élémet de F Pour tout réel x, cos(2x) = 0 cos(x 0) + 1 cos(2x 0) et x cos(2x) est élémet de F Pour tout réel x, si(2x) = 0cos(x 0) + 1cos(2x π 2 ) et x si(2x) est élémet de F D autre part, pour tout réel x, cos(2x) = 2cos 2 x 1 = 1 2si 2 x et doc, Motros alors que 1 / F O suppose qu il existe (a,b,α,β) R 4 tel que E dérivat deux fois, o obtiet : et doc e additioat x 1 F x cos 2 x F x si 2 x F x R, acos(x α) + bcos(2x β) = 1 x R, acos(x α) 4bcos(2x β) = 0, x R, 3bcos(2x β) = 1, ce qui est impossible (pour x = π 4 + β 2, o trouve 0) Doc, aucue des trois derières foctios est das F 5 O a vu que (x cosx, x six, x cos(2x), x si(2x)) est ue famille d élémets de F Motros que cette famille est libre Soit (a,b,c,d) R 4 Supposos que x R, acosx+bsix+ccos(2x)+d si(2x) = 0 E dérivat deux fois, o obtiet x R, acosx bsix 4ccos(2x) 4d si(2x) = 0 et e additioat : x R, 3ccos(2x) 3d si(2x) = 0 Doc, x R, { acosx + bsix = 0 ccos(2x) + d si(2x) = 0 x = 0 fourit a = c = 0 puis x = π 4 fourit b = d = 0 Doc, (x cosx, x six, x cos(2x), x si(2x)) est ue famille libre d élémets de F Correctio de l exercice 12 1 C cotiet l idetité de R, mais e cotiet pas so opposé Doc, C est pas u espace vectoriel 2 Motros que V est u sous-espace vectoriel de l espace vectoriel des applicatios de R das R V est déjà o vide car cotiet la foctio ulle (0 = 0 0) Soit ( f 1, f 2 ) V 2 Il existe (g 1,g 2,h 1,h 2 ) C 4 tel que f 1 = g 1 h 1 et f 2 = g 2 h 2 Mais alors, f 1 + f 2 = (g 1 +g 2 ) (h 1 +h 2 ) Or, ue somme de foctios croissates sur R est croissate sur R, et doc, g 1 +g 2 et h 1 + h 2 sot des élémets de C ou ecore f 1 + f 2 est das V Soit f V et λ R Il existe (g,h) V 2 tel que f = g h et doc λ f = λg λh 11

12 Si λ 0, λg et λh sot croissates sur R et λ f est das V Si λ < 0, o écrit λ f = ( λh) ( λg), et puisque λg et λh sot croissates sur R, λ f est ecore das V V est doc u sous-espace vectoriel de l espace vectoriel des applicatios de R das R Correctio de l exercice 13 Soit (x,y) E 2 (1+1)(x+y) = 1(x+y)+1(x+y) = (x+y)+(x+y) = x+y+x+y mais aussi (1+1)(x+y) = (1+1)x+ (1 + 1)y = x + x + y + y Efi, (E,+) état u groupe, tout élémet est régulier et e particulier x est régulier à gauche et y est régulier à droite O a motré que pour tout couple (x,y) élémet de E 2, x + y = y + x Correctio de l exercice 14 Soit F = (A B) + (A C) + (B C) F A + A + B = A + B puis F A +C +C = A +C puis F B +C +C = B +C et fialemet F (A + B) (A +C) (B +C) Correctio de l exercice 15 F = Vect(u) est u sous espace vectoriel de R et G est u sous espace vectoriel de R, car est le oyau de la forme liéaire (x 1,,x ) x x Soit x = (x 1,,x ) R et soit λ R Doc, et doc, x λu G (x 1 λ,,x λ) G k λ) = 0 λ = k=1(x 1 x R,!λ R/ x λu G, k=1 x k R = F G Le projeté sur F parallèlemet à G d u vecteur x = (x 1,,x ) est 1 k u = ( k=1x 1 k,, k=1x 1 et le projeté du même vecteur sur G parallèlemet à F est k=1 x k ) x ( 1 k )u = (x 1 k=1x 1 k,,x k=1x 1 k=1 x k ) Correctio de l exercice 16 1 Soit u etier aturel supèrieur ou égal à 2 Si Q, il existe (a,b) (N ) 2 tel que = a b ou ecore tel que b2 = a 2 Mais alors, par uicité de la décompositio d u etier aturel supèrieur ou égal à 2 e facteurs premiers, tous les facteurs premiers de ot u exposat pair ce qui sigifie exactemet que est u carré parfait Si = 0 ou = 1, Q et est d autre part u carré parfait O a motré que : ou ecore par cotrapositio N, ( Q est u carré parfait) N, ( est pas u carré parfait / Q) 12

13 2 D après 1), 2, 3 et 6 sot irratioels E = Vect Q (1, 2, 3, 6) et doc, E est u Q-espace vectoriel et (1, 2, 3, 6) e est ue famille géératrice Motros que cette famille est Q-libre Soit (a,b,c,d) Q 4 a + b 2 + c 3 + d 6 = 0 (a + d 6) 2 = ( b 2 c 3) 2 a 2 + 2ad 6 + 6d 2 = 2b 2 + 2bc 6 + 3c 2 a 2 2b 2 3c 2 + 6d 2 = 2( ad + bc) 6 Puisque 6 / Q, o obtiet a 2 2b 2 3c 2 +6d 2 = 2( ad +bc) = 0 (car si bc ad 0, 6 = a2 2b 2 3c 2 +6d 2 2( ad+bc) Q) ou ecore, De même, { a 2 3c 2 = 2b 2 6d 2 (1) ad = bc (2) a + b 2 + c 3 + d 6 = 0 (a + c 3) 2 = ( b 2 d 6) 2 (a 2 + 2ac 3 + 3c 2 = 2b 2 + 4bd 3 + 6d 2 { a 2 + 3c 2 = 2b 2 + 6d 2 (3) ac = 2bd (4) (puisque 3 est irratioel) E additioat et e retrachat (1) et (3), o obtiet a 2 = 2b 2 et c 2 = 2d 2 Puisque 2 est irratioel, o e peut avoir b 0 (car alors 2 = ± a b Q) ou d 0 Doc, b = d = 0 puis a = c = 0 Fialemet, la famille (1, 2, 3, 6) est Q-libre et est doc ue base de E Correctio de l exercice 17 1 Notos respectivemet g et h, les foctios sius et cosius f a = cosag+siah, f b = cosbg+sibh et f c = coscg+sich Doc, f a, f b et f c sot trois combiaisos liéaires des deux foctios g et h et costituet doc ue famille liée (p+1 combiaisos liéaires de p vecteurs doés costituet ue famille liée) 2 f 0, f 1 et f 2 sot trois combiaisos liéaires des deux foctios x 1 et x x Doc, la famille ( f 0, f 1, f 2 ) est ue famille liée puis la famille ( f ) Z est liée e tat que sur-famille d ue famille liée 3 Pour α réel doé et x > 0, posos f α (x) = x α Soiet u etier aturel supérieur ou égal à 2, puis (α 1,,α ) R tel que α 1 < < α Soit ecore (λ 1,,λ ) R λ k f αk = 0 x ]0;+ [, k=1 λ k x α k = 0 x ]0;+ [, k=1 λ k x α k α = 0, k=1 (e divisat les deux membres par x α ) Das cette derière égalité, o fait tedre x vers + et o obtiet λ = 0 Puis, par récurrece descedate, λ 1 = = λ 1 = 0 O a motré que toute sous-famille fiie de la famille ( f α ) α R est libre et doc, la famille ( f α ) α R est libre 4 Pour a réel doé et x réel, posos f a (x) = x a Soiet u etier aturel supérieur ou égal à 2, puis a 1,,a, réels deux à deux disticts Soit (λ 1,,λ ) R tel que k=1 λ k f ak = 0 S il existe i {1,,} tel que λ i 0 alors, f ai = 1 λ i λ k f ak k i Mais cette derière égalité est impossible car f ai est pas dérivable e a i alors que 1 λ i k i λ k f ak l est Doc, tous les λ i sot uls 13

14 Correctio de l exercice 18 1 Soit (u,v)((l (E)) 2 O suppose qu il existe w L (E) tel que u = w v Soit x u élémet de Kerv Alors v(x) = 0 et doc u(x) = w(v(x)) = w(0) = 0 Mais alors, x est das Keru Doc Kerv Keru Supposos que Kerv Keru O cherche à défiir w, élémet de L (E) tel que w v = u Il faut défiir précisémet w sur Imv car sur E \ Imv, o a aucue autre cotraite que la liéarité Soit y u élémet de Imv (Il existe x élémet de E tel que y = v(x) O a alors evie de poser w(y) = u(x) mais le problème est que y, élémet de Imv doé peut avoir plusieurs atécédets x, x et o peut avoir u(x) u(x ) de sorte que l o aurait même pas défii ue applicatio w) Soiet x et x deux élémets de E tels que v(x) = v(x ) = y alors v(x x ) = 0 et doc x x Kerv Keru Par suite, u(x x ) = 0 ou ecore u(x) = u(x ) E résumé, pour y élémet doé de Imv, il existe x élémet de E tel que v(x) = y O pose alors w(y) = u(x) e otat que w(y) est bie uiquemet défii, car e déped pas du choix de l atécédet x de y par v w est pas ecore défii sur E tout etier Notos F u supplémetaire quelcoque de Imv das E (l existece de F est admise) Soit X u élémet de E Il existe deux vecteurs y et z, de Imv et F respectivemet, tels que X = y + z O pose alors w(x) = u(x) où x est u atécédet quelcoque de y par v (o a pris pour restrictio de w à F l applicatio ulle) w aisi défiie est ue applicatio de E das E car, pour X doé y est uiquemet défii puis u(x) est uiquemet défii (mais pas écessairemet x) Soit x u élémet de E et y = v(x) w(v(x)) = w(y) = w(y + 0) = u(x) (car 1)y est das Imv 2)0 est das F 3) x est u atécédet de y par v) et doc w v = u Motros que w est liéaire Soiet, avec les otatios précédetes, X 1 = y 1 + z 1 et X 2 = y 2 + z 2 w(x 1 + X 2 ) = w((y 1 + y 2 ) + (z 1 + z 2 )) = u(x 1 + x 2 ) = u(x 1 ) + u(x 2 ) = w(x 1 ) + w(x 2 ) (car y 1 + y 2 = v(x 1 ) + v(x 2 ) = v(x 1 + x2)) et 2 O applique 1) à u = Id w(λx) = w(λy + λz) = u(λx) = λu(x) = λw(x) v ijective Kerv = {0} Kerv = KerId w L (E)/ w v = Id Correctio de l exercice 19 1 P E, f (P) = P est u polyôme et doc f est ue applicatio de E vers E (P,Q) E 2, (λ,µ) R 2, f (λp + µq) = (λp + µq) = λp + µq = λ f (P) + µ f (Q) et f est u edomorphisme de E Soit P E P Ker f P = 0 P est costat Ker f est pas ul et f est pas ijective Soiet Q E puis P le polyôme défii par : x R, P(x) = x 0 Q(t) dt P est bie u polyôme tel que f (P) = Q f est surjective Soit F = {P E/ P(0) = 0} F est u sous espace de E e tat que oyau de la forme liéaire P P(0) Ker f F = {0} car si u polyôme est costat et s aule e 0, ce polyôme est ul Efi, si P est u polyôme quelcoque, P = P(0)+(P P(0)) et P s écrit bie comme la somme d u polyôme costat et d u polyôme s aulat e 0 Fialemet E = Ker f F 2 O motre facilemet que g est u edomorphisme de E P Kerg x R, x 0 P(t) dt = 0 x R, P(x) = 0 (e dérivat) Doc, Kerg = {0} et doc g est ijective Si P est das Img alors P(0) = 0 ce qui motre que g est pas surjective De plus, si P(0) = 0 alors x 0 P (t) dt = P(x) P(0) = P(x) ce qui motre que P = g(p ) est das Img et doc que Img = {P E/ P(0) = 0} 14

15 15