Cours MPSI Chaînes de Solides 1 CHAINES DE SOLIDES

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1 Cous MPSI Chînes de Soldes A Chînes ouvete, femée, complee CHAINES DE SIDES Gphe de stuctue (gphe des lsons) Dns le gphe des lsons d'un mécnsme, les dfféents soldes du mécnsme sont schémtsés p des cecles et les lsons p des cs Eemple smple : () : son glssèe d'e () : Appu pln de nomle (3) : son Hélcoïdle d'e (, ) (4) : Pvot Glssnt d'e (, ) (5) : née ectlgne d'e( I, ) et de nomle (6) : Appu pln de nomle Chîne ouvete n ppelle chîne ouvete une chîne de n soldes ssemblés p n lsons en sée Ce tpe de chîne est cctéstque des bs mnpulteus (Robot) S Pvot d e S Pvot d e S S Pvot d e

2 Cous MPSI Chînes de Soldes 3 Chîne Femée n ppelle chîne femée une chîne ouvete dont les deu soldes etêmes ont une lson ente eu es n soldes sont elés p n lsons Ce tpe de chîne est cctéstque des mécnsmes à tnsfomton de mouvement (pompe, moteu, éducteu, ) S Pvot glssnt d e Pvot d e S Pvot glssnt d e S Pvot d e S 4 Chîne Complee Une chîne complee est une chîne cnémtque consttuée de pluseus chînes femées mbquées Nombe cclomtque Soent N le nombe de soldes, le nombe de lsons de l chîne complee n monte p l théoe des gphes que le nombe de chînes contnues ndépendntes est : ν n ν est ppelé nombe cclomtque de l chîne complee connssnce du nombe cclomtque est ntéessnte c elle pemet de défn de nombe mnml de chîne à étude pou déce le mécnsme Pou un mécnsme nt le gphe de lson c-conte: N 4 5 ν 5 4 Cette chîne compote deu chînes ndépendntes

3 Cous MPSI Chînes de Soldes 3 b Anlse géométque et cnémtque Pou le chînes femées ou complees, l est possble d éce pou chque ccle ndépendnt (chîne ndépendnte) : des eltons géométques ente les pmètes Elles sont obtenues en élsnt des femetues géométques de chînes Des eltons cnémtques ente les vtesses (dévée des pmètes) Elles sont obtenues en élsnt des femetues cnémtques de chîne Femetue géométque : * n éct une ou des équtons vectoelles, de l fome suvnte : A A A A A ù les ponts A A 3 sont des ponts ptcules du mécnsme (cente de lson, pont de contct, ) * Et on echeche dns l mesue du possble une elton ngule ente les pmètes ngules défnssnt l oentton eltve des bses : θ En pojetnt dns une bse chose, nous obtenons un sstème (S ) d équtons scles elnt les pmètes géométques du poblème Eemple : n donne : A AB b B ( t) θ (t) (t ) A B S S Femetue géométque : S β, ) ( A AB B et θ β Femetue cnémtque : n éct, pou chque chîne ndépendnte l somme tosoelle suvnte : / 3 / S / epésente le toseu dstbuteu des vtesses de l lson ente le solde et le solde j j S Remques : Cette composton de mouvement dot especte l ode des soldes stués dns le gphe de stuctue n obtent deu équtons vectoelles En pojetnt dns une bse chose, nous obtenons un sstème (S ) de 6 équtons scles elnt les vtesses

4 Cous MPSI Chînes de Soldes 4 Ce sstème d équtons (S ) est le dévé du sstème (S ) Eemple : Femetue cnémtque { } { } { } { } ω Sot le sstème (S ) / 3 3 / / o, ω o, 3 ω 3 / ω / 3 o,3 / o, / B sons cnémtquement équvlentes n ppelle lson cnémtquement équvlente ente deu pèces, l lson qu se substtuet à l'ensemble des lsons élsées ente ces pèces vec ou sns pèce nteméde lson équvlente est l lson qu le même compotement que cette ssocton de lsons, c'est à de qu tnsmet les mêmes ctons mécnques et qu utose le même mouvement eltf Sot un mécnsme dont le gphe des lsons est le suvnt lson (-) est l lson équvlente ente les pèces et sons en pllèle ) défnton N lsons sont dsposées en pllèle ente deu soldes s chque lson ele dectement chque solde

5 Cous MPSI Chînes de Soldes 5 b) son équvlente e toseu dstbuteu des vtesses de l lson équvlente dot ête comptble vec tous les toseus dstbuteus des vtesses des lsons ente les deu soldes S et S { / } Toseu dstbuteu des vtesses de l lson équvlente / Toseu dstbuteu des vtesses de l lson n éc los : { } Pou N lson, on obtent 6N condtons Eemple : Ae épulé D Hpothèse n : > D { } { } Appu Pln () Schém ctuel Ω ω Appu pln de nomle, ' Ω Pvot glssnt d e (, ) ' W, Ω b c 6 nconnues,/ s t n pose : Pvot glssnt () Détemnton de l lson cnémtque équvlente et du schém équvlent e toseu cnémtque équvlent dot especte les deu égltés suvntes : ω ω b b b c { } c c et { } donc W s s s t t t lson équvlente dspose d un toseu dstbuteu des vtesses tel que : Ω { } Fome d une lson pvot d e (, ),/ Schém équvlent :

6 Cous MPSI Chînes de Soldes 6 Appu Pln () Schém ctuel Hpothèse n : >,3 D Ω, ω Appu pln de nomle Ω W ', ' née nnule d e ), ( D née nnule () n pose : Ω t s c b, / 6 nconnues Détemnton de l lson cnémtque équvlente et du schém équvlent e toseu cnémtque équvlent dot especte les deu égltés suvntes : et t s c b ω donc t s W c b t s c b ω lson équvlente dspose d un toseu dstbuteu des vtesses tel que :,/ / Ω Fome d une lson pvot d e ), ( Schém équvlent :

7 Cous MPSI Chînes de Soldes 7 sons en sée ) défnton Dns une chîne de soldes llnt du solde u solde n, l este un ensemble de lsons en sée, s chque solde possède une unque lson vec le solde qu le pécède (à l ecepton du peme ) et une unque lson vec le solde suvnt (à l ecepton du dene n) b) son équvlente e toseu dstbuteu des vtesses de l lson équvlente epésente le mouvement du solde S n p ppot u solde S fome du toseu dstbuteu des vtesses de l lson équvlente s obtent en écvnt l composton des mouvements des dfféentes pèces consttunt l chîne / n Toseu dstbuteu des vtesses de l lson /n équvlente / Toseu dstbuteu des vtesses de l lson ente le j solde et j n éc los : { / n} { / } { } { / n } on obtent 6 équtons pou détemne les 6 nconnues du toseu équvlent Eemple n : Ptn à otule () () : son Rotule ente S et : son Appu pln ente et S n se popose de détemne l lson équvlente u deu lsons en sée ente S et S et le schém cnémtque équvlent Pou cel détemnons le toseu cnémtque équvlent à cette lson

8 Cous MPSI Chînes de Soldes 8 Schém cnémtque Schém cnémtque équvlent Intéèt de l élston d une lson ponctuelle à l de d un ppu pln et d une otule est d vo des lsons à contct sufcque u leu d un contct ponctuel (pesson nfne)

9 Cous MPSI Chînes de Soldes 9 C Gphe de stuctue Gphe des lsons élémentes Dns le gphe des lsons élémentes chque couple de sufce en contct est modélsé p une lson élémente en foncton des mouvements pems p l lson Eemple vo e épulé Gphe mnml des lsons usuelles Dns le gphe mnml des lsons usuelles on emplcé chque ensemble de lsons élémentes en pllèle ou en sée p s lson cnémtquement équvlente o eemples pécédents (e épulé et ptn à otule) D Schém cnémtque Schém cnémtque mnml e schém cnémtque mnml est une epésentton modélsée du mécnsme e schém cnémtque mnml dot pemette de compende le fonctonnement du mécnsme, l dot uss compote le pmétge des dfféents soldes Un bon schém cnémtque est cl, lsble, pécs, concs Un schém cnémtque n'est jms unque epésentton peut ête plne dns une ou pluseus vues ou ben en pespectve e schém cnémtque mnml est détemné à pt du gphe mnml des lsons - es soldes sont epésentés p des tts fles - es lsons ente soldes ndéfombles sont epésentées p les smboles nomlsés - es éléments de contct sont epésentés p les smboles nomlsés - es postons eltves de chque lson sont espectées Clsses d'équvlence cnémtque Toutes les pèces étnt en lson complète (encstement) ente elles (ucun mouvement eltf) sont egoupées dns une même clsse d'équvlence cnémtque P conventon nous noteons chque clsse d'équvlence p le numéo de l pèce le plus pett de l clsse Dns le schém chque clsse d'équvlence est epésentée p un seul solde 3 Autes schéms ) Schéms technologques 'objectf des schéms technologques est de meu fe compende ou de meu défn les cho technologques En foncton de l'objectf d'utlston l décomposton peut ête mpotnte et peut à l lmte ête l tducton du gphe des lsons élémentes b) Schém des mouvements Dns le schém des mouvements, on epend le schém cnémtque mnml dns luel on pmète l poston des dfféents soldes pou détemne l lo d'entée/sote du mécnsme Dns ce cs, on pend son de epésente le schém dns une confguton où le pmétge est utlsble