Réseaux linéaires. C Fig 1-a Fig 1-b Fig 1-c Fig 1-d

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1 etour au menu éseaux lnéares Défntons Un réseau électrque lnéare est un ensemble de dpôles lnéares, relés par des conducteurs de résstance néglgeable. On suppose que le réseau content au mons un générateur. Un réseau est consttué de b «branches» connectées par n «nœuds» et formant m «malles». Un nœud est un pont de joncton de pluseurs conducteurs. Une branche est une porton de crcut entre deux nœuds. Une malle est un parcours fermé, consttué de branches et ne passant qu une seule fos par un nœud donné. A B A E B A E F B B A C D D D D C e C C Fg -a Fg -b Fg -c Fg -d EXEPLES. -a Pour ce réseau, on a b, n 0, m. -b : b, EAD, E, EBC. n, E et. m, AEDA, EBCE, ABCDA. -c : b 5, EAD, EF, E, F, FBC. n, E, F,. m 6, AEDA, EFE, FBCF, AFDA, EBCE, ABCD. -d : b 6, AB, BC, CD, DA, BD, AeC. n 4, A, B, C, D. m 7, ABDA, BCDB, ABCDA, ABCeA, ADCeA, ABDCeA, ADBCeA. éseaux en régme permanent Connassant les f.e.m. des générateurs et les résstances du réseau, résoudre celu-c c est détermner l ntensté du courant qu crcule dans chacune des branches.. éthode générale de résoluton Il exste b branches dans le réseau donc b courants nconnus. Les n nœuds et les m malles donnent a pror n + m équatons. Comme en général n + m > b, l faut trouver un système complet de b équatons lnéarement ndépendantes. Comme l exste n nœuds ndépendants, l faut étuder b n + malles. Équatons pour les nœuds Le nœud d ndce est la joncton de p branches (d ndce j) parcourues par des courants I j.

2 La lo de conservaton de l électrcté (premère lo de Krchhoff) s écrt sous la forme algébrque suvante : p I j 0 j Équatons des malles La malle d ndce content q branches. La dfférence de potentel entre les extrémtés de la branche j s écrt U j. Comme la malle consttue un parcours fermé, on a (seconde lo de Krchhoff) : () q U j 0 j () En procédant unquement à des regroupements en sére, on peut transformer toute branche j de la malle en un générateur de f.e.m. E j en sére avec une résstance j parcourue par le courant I j. (S la branche ne content pas de générateur alors E j 0). La lo des malles peut donc auss s écrre sous la forme : q q E. I 0 () j j j Les sommes sont des sommes algébrques et l écrture correcte des sgnes des dfférences de potentel consttue la seule dffculté du problème. j j La méthode la plus ratonnelle consste à fare le chox d un sens de parcours sur la malle étudée (chox arbtrare) et à chosr pour chaque branche un sens pour le courant. La f.e.m. d un générateur est comptée avec le sgne de la borne par laquelle on entre dans celu-c. Les d.d.p. aux bornes des résstances sont postves s le courant dans la branche a le même sens que le sens de parcours et négatves dans le cas contrare. On écrt que la somme des tensons est nulle. S à l ssue du calcul, on obtent pour le courant d une branche une valeur négatve, c est que le courant réel de cette branche crcule dans le sens opposé à celu qu a été chos.. On obtent un système lnéare de équatons à nconnues de la forme : qu peut s écrre sous la forme matrcelle suvante : E E E (4) [].(I) (V) (5) [] est une matrce dont la dmenson des éléments est celle d une résstance. (I) et (V) sont des vecteurs colonnes à éléments.. ésoluton du système En multplant à gauche la matrce [] par son nverse, on tre : S la branche content un récepteur polarsé, l faut fare l'étude pour les deux sens du courant. Selon celu-c, le «récepteur» se comporte sot comme un récepteur sot comme un générateur.

3 [ ].[].(I) [ (I) [].(U) ].(V) [].(U) La dmenson des éléments de [] est celle d une conductance. La valeur du courant dans la branche j est donc : I. U j j Il est auss possble d utlser la méthode de Kramer pour la résoluton du système. S Δ est le détermnant de la matrce [], Δ j le détermnant de la matrce obtenue en remplaçant la j e colonne de [] par la colonne (V), on a : j I j Δ Δ S, l est plus smple d utlser la méthode de substtuton pour résoudre le système. Dès que est supéreur à, la résoluton manuelle du système est fastdeuse. On cherche alors à mettre en oeuvre les méthodes de smplfcaton des réseaux qu permettent de n étuder que les branches pertnentes. (6). Lo de Poullet Dans le cas où le réseau ne comporte qu une malle, l est possble de transformer le crcut ntal en un crcut ne comportant qu un seul générateur, dont la f.e.m. est la somme algébrque des f.e.m. des générateurs de la malle ( E E ) et une seule résstance. E I Fg. L ntensté dans le crcut est donc : I E E Cette relaton consttue la lo de Poullet..4 Exemples a éthode générale On cherche les courants dans toutes les branches du crcut de la fgure. Le chox du sens des courants dans les 5 branches est arbtrare. Il y a pour cet exemple tros courants à calculer I, I et I car la lo des nœuds en B et C donne : I 4 I I et I 5 I I + Fg. Claude Poullet (physcen franças)

4 Les flèches en pontllés volets ndquent les sens de parcours, choss arbtrarement, des malles étudées. Pour la malle ABFA, on obtent : (V A V B ) + (V B V F ) + (V F V ) + (V V A ) 0 Sot : (I I ) + +.(I ) 0 De même : 6.(I I ) +.(I ) + 7.(I I ) 0 (malle FBCEF) 7(I I ) + 4.(I ) 6 0 (malle ECDE) D ou la représentaton matrcelle du système : I I I 6 Pour résoudre ce système lnéare, l sufft d nverser la matrce : on la transpose, pus on remplace dans la transposée chaque terme par son cofacteur(attenton au sgne) dvsé par le détermnant. On peut auss utlser un logcel spécalsé. Clquez c pour résoudre cet exemple. I I I ésoluton par la méthode de Kramer : (pour obtenr la varable, on dvse le détermnant de la matrce obtenue en remplaçant la e colonne par la colonne des constantes par le détermnant de la matrce ntale I ,0 A; I 0,86 A; I,09 A EAQUE : Comme I 5 0, A est négatf, le courant dans la branche CE crcule dans le sens contrare à celu de la flèche de la fgure. Les courants réels I et I crculent dans le sens contrare des flèches. b éthode par substtutons fg. 4 On cherche à détermner V A se en équaton : I I + I malle BAB : malle CAC : ésoluton : De la dfférence (a).(b), on tre : 40 5 sot I, A. V A A 0,5 V. et donc : I,5 A et I 0,05 (a) (b)

5 Théorème de llman V V I I VA I Vref fg.5 V I V On consdère un nœud A auquel aboutssent branches ; les potentels V des extrémtés des branches sont tous défns par rapport à un même potentel de référence V ref ; est la résstance de la branche et sa conductance. La lo des nœuds s écrt : I I + I + + I 0 V VA V VA V VA V V ). + V V ). + + (V V ). ( A ( A A 0 A. V. V Le potentel du pont A par rapport à celu de la référence commune est donc : V. V A (8) EXEPLE : Sur le schéma de la fgure 4, on prend le pont comme orgne des potentels. On a donc V B V, V C 0 V, V 0. VB V V + C + V A V A , V emarques : Sot I le courant dans la branche. Il peut être ntéressant d écrre le théorème de llman sous la forme suvante : I + V. V A Le théorème de llman (qu est une autre façon d écrre la lo des nœuds) permet dans de nombreux cas de résoudre rapdement un réseau mas l faut l applquer correctement : Lors de la mse en œuvre, ne pas oubler de fare fgurer au dénomnateur les branches dont le potentel de l extrémté est nul! Clquez c pour fare d autres exercces. 4 Théorème de superposton Ce théorème découle drectement de la lnéarté des équatons de Krchhoff : un dpôle consttué de dpôles lnéares est un dpôle lnéare. Dans un réseau lnéare, l est possble de remplacer un ensemble de dpôles par un dpôle équvalent. La relaton (6) montre que le courant I j dans une branche est la somme de termes de la forme j. U, les j ayant la dmenson d une conductance. Jacob llman (physcen amércan) contemporan

6 L ntensté du courant dans une branche d un réseau comprenant pluseurs générateurs est la somme des ntenstés, que ferat passer, dans cette branche, chaque générateur consdéré solément comme actf, les autres générateurs du réseau étant alors passfs. endre passf un générateur, c est le remplacer par sa résstance nterne. EXEPLE : Sur le schéma de la fgure 4, on remplace successvement chaque générateur par un court-crcut. S E 0 la résstance équvalente entre A et est (5 Ω // 0 Ω) 6 Ω U est la tenson aux bornes d une résstance de 6 Ω dans un crcut de résstance totale égale à 6 Ω almenté par une tenson E. U.6/(0 + 6) 4,5 V S E 0 la résstance équvalente entre A et est (0 Ω // 0 Ω) 5 Ω La tenson U ndute entre A et par le seul générateur E est égale à : U 0.5/(5 + 5) 5 V On en dédut : V A U + U 0,5 V Clquez c pour fare d autres exercces sur le prncpe de superposton. 5 Crcuts équvalents 5. Théorème de Thévenn 4 On consdère un réseau comprenant des dpôles actfs et passfs et on s ntéresse au fonctonnement d un dpôle D partculer. Il est traversé par un courant I et la d.d.p. entre ses bornes est U. Supposons que D sot solé du reste du réseau. S ce reste de réseau est actf, la f.e.m. mesurée entre A et B vaut E T : c est la tenson en crcut ouvert. S l est rendu passf c est-àdre s les générateurs sont remplacés par leurs résstances nternes, la résstance mesurée entre A et B vaut T. On remplace D par une source de tenson déale de f.e.m. U. D après le théorème de superposton, le fonctonnement du crcut est nchangé. Le courant I est la superposton d un courant I P correspondant à la passvaton de toutes les sources autres que U et d un courant I A où seule la source U est passvée : I I P + I A éseau passvé éseau actvé A U B A B Fg. 6 I P Dpôle actvé I A Dpôle passvé 4 Lous Thévenn (physcen franças) S le générateur qu remplace D est seul à être actf le reste du réseau est équvalent à T : I P U/ T S on passve ce générateur, l est équvalent à une résstance nulle : le reste du réseau débte dans ce fl le courant I A E T / T Ce courant est le courant de court-crcut entre A et B. I I A + I P E T / T U/ T L équaton du crcut équvalent est donc :

7 U E T Cette équaton est celle d un générateur de tenson que l on nomme le générateur de Thévenn du crcut. Les deux crcuts de la fgure 7 sont équvalents et l applcaton de la lo de Poullet au crcut de drote donne de façon trvale : E T ( T + D) T Fg. 7 Un réseau lnéare, vu entre deux bornes A et B, peut être remplacé par un générateur de tenson de f.e.m. E T et de résstance nterne T. E T est la d.d.p. mesurée à vde entre A et B. T est la résstance mesurée entre A et B quand D est retré du crcut et que tous les générateurs du réseau sont remplacés par leurs résstances nternes. 5. Théorème de Norton C est la transformaton duale de celle de Thévenn. La source de tenson (E T, T ) est remplacée par une source de courant (I N, N ). Fg. 8 S on remplace D par un court-crcut, le courant qu crcule entre A et B est : I N E T / T E T / N E T. N N est la résstance entre A et B quand les générateurs du réseau sont passvés. L équaton du crcut équvalent est donc : I I.U Un réseau lnéare, vu entre deux bornes A et B, peut être remplacé par une source de courant d ntensté I N et de résstance nterne N. I N est le courant de court-crcut entre A et B. T est la résstance mesurée entre A et B quand D est retré du crcut et que tous les générateurs du réseau sont remplacés par leurs résstances nternes. La connassance d un modèle équvalent permet la déducton mmédate du modèle dual car T N Les paramètres des générateurs équvalents sont relés par : E. I Quand on étude un dpôle partculer d un réseau, les méthodes de Thévenn et de Norton sont très effcaces car elles permettent de remplacer un crcut complexe par un crcut élémentare dans lequel les calculs sont mmédats. 5. Exemples d applcaton On cherche, en utlsant des équvalents Thévenn et Norton du crcut de la fgure 4, à détermner U V A N N T T N

8 Équvalent Thévenn La parte du crcut stuée à drote de A (malle ACA) est remplacée par le générateur E T, T. La résstance T est celle qu est vue entre A et quand E est remplacé par un courtcrcut : T (0 Ω // 5 Ω) 6 Ω. La tenson E T est la d.d.p. entre A et quand la parte gauche du crcut est débranchée. C est la chute de tenson dans la résstance A qu est almentée par le générateur E en sére avec AC : E T 0.{0/(0+5)} 8 V. On forme ans une malle unque dans laquelle le courant est égal à : I ( + 8) / (0 + 6),5 A. Fg. 8 On en dédut V A V AB + V B 0.,5 + 0,5 V Équvalent Norton On remplace le générateur E et la résstance entre BA par le générateur de Norton équvalent (I /0, A et 0 Ω). On fat de même pour le générateur E : I 0/5 4/ A et 5 Ω. L ensemble est équvalent à un générateur de courant I I + I qu débte dans une résstance 0 équvalente à (0 Ω // 5 Ω // 0 Ω) sot 0/8 Ω. La d.d.p. entre A et est donc : 0 0,5 V. On peut noter sur cet exemple la complète analoge entre les théorèmes de Norton et de llman. Clquez c pour fare d autres exercces. 6 Théorème de Kennelly 5 La transformaton suvante est parfos utlsée pour la smplfcaton de crcuts comportant des dérvatons. Équvalence étole-trangle Les deux crcuts de la fgure sont équvalents s les valeurs de leurs résstances sont lées par les relatons ndquées c-dessous. Fg. 5 Arthur Kennelly (physcen amércan) 86-99

9 Le passage de la structure trangle (ABC) à la structure étole (OABC) s obtent par les relatons : S on déconnecte le pont A, l dot y avor égalté des mpédances entre B et C. Z + // ( + ). On tre les tros égaltés suvantes : ; + ; En sommant les premères égaltés et en retranchant la e, on dédut : Pour la transformaton nverse, on rele B et C : la conductance entre A et B-C s écrt alors : Z a ( Z a // ou + ( // ) + + On calcule de même /Z b et /Z c et l on calcule /Z a + /Z b /Z c Il vent : sot : On peut auss écrre que : S S + +. as comme : on dédut : + + Les relatons récproques sont équvalentes à : Clquez c pour tester ces relatons Concluson Les dfférentes méthodes étudées sont équvalentes mas pour l étude d un réseau partculer certanes sont meux adaptées que d autres. La prncpale dffculté de ce type de problèmes est de trouver la méthode la plus pertnente. La méthode de llman, souvent très effcace, n est pas la panacée et la méthode de Thévenn dot être utlsée auss souvent que possble car elle permet de transformer des crcuts complexes en des crcuts types élémentares. La mse en œuvre smultanée de pluseurs méthodes peut auss s avérer utle. etour au menu