Epreuve pratique de mathématiques-informatique

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1 Epreuve pratique de mathématiques-iformatique 1. Sujets Sujets javier Autres sujets Sujets mai 008 Exercice 1. 1 : Étude d u jeu 06/008 Sujet 003 O lace trois dés bie équilibrés dot les six faces sot umérotées de 1 à 6. Alice et Bob calculet la somme des trois ombres obteus. Si la somme obteue est égale à 9, Alice gage. Si la somme obteue est égale à 10, Bob gage. Das tous les autres cas, la partie est aulée. Le but de l exercice est de détermier qui, d Alice ou de Bob, a la plus grade probabilité de gager. Étude expérimetale 1. Sur u tableur, réaliser ue simulatio de cette expériece aléatoire. Appeler l examiateur pour valider cette simulatio.. Sur u tableur, réaliser ue simulatio sur u échatillo de taille 1000 de cette expériece aléatoire et détermier, pour cette simulatio, les fréqueces de réussite respectives d Alice et de Bob. Appeler l examiateur pour valider la feuille de calcul costruite. 3. Est-il possible de cojecturer qui, d Alice ou de Bob, a la plus grade probabilité de gager? Étude mathématique Appeler l examiateur pour lui fourir cette répose et lui idiquer les méthodes prévues pour les démostratios qui suivet. O souhaite maiteat calculer la probabilité de gager d Alice et de Bob. 4. Répodre aux deux questios suivates (das importe quel ordre) : Calculer la probabilité de gager d Alice et de Bob. Qui, d Alice ou de Bob, a la plus grade probabilité de gager? Bila de la simulatio de la questio ; Répose orale à la questio 3 ; Réposes argumetées à la questio 4. Exercice 1. : Tagetes à deux courbes 06/008 Sujet 006 x Soit C 1 et C les courbes d équatios respectives y e et y e x das u repère orthoormal ( O ; u, v) du pla. Soit a u ombre réel quelcoque. O désige respectivemet par M et N les poits de C 1 et C d abscisse a et par (T 1 ) et (T ) les tagetes à C 1 et C e M et N. Les droites (T 1 ) et (T ) coupet respectivemet l axe des abscisses e P et Q. 1. Avec u logiciel de géométrie dyamique (ou ue calculatrice graphique) costruire les courbes C 1 et C et les droites (T 1 ) et (T ). Que peut-o remarquer pour les droites (T 1 ) et (T )? Epreuve pratique Maths iformatique 1 Termiale S

2 Appeler le professeur pour lui motrer le graphique créé et lui idiquer la cojecture faite au sujet de (T 1 ) et de (T ).. A l aide du logiciel émettre ue cojecture à propos de la logueur du segmet [PQ]. 3. Démotrer la cojecture émise à la questio. Appeler le professeur pour lui préseter la cojecture et la démostratio evisagée. Exposé oral de la méthode de costructio de la figure adaptée à la situatio ; Exposé oral des cojectures ; Exposé de la méthode choisie pour démotrer la derière cojecture. Exercice 1. 3 : Suites associées 06/008 Sujet 007 O cosidère les suites (a ) et (b ) défiies par : a0 0, b0 60 et, pour tout etier aturel, a b 1 1 a b 4. a b 4 1. E utilisat u tableur ou ue calculatrice, calculer les 50 premiers termes des suites (a ) et (b ).. Peut-o peser que ces suites sot covergetes et quelle cojecture peut-o formuler quat à la limite de la suite (a ) et à celle de la suite (b )? Appeler l examiateur pour vérifier les calculs et les cojectures. 3. Soiet (u ) et (v ) les suites défiies, pour tout etier aturel, par : u a b et v b a. a. Compléter la feuille de calculs avec les 5 premiers termes des suites (u ) et (v ). b. Quelle cojecture peut-o faire quat à la ature de chacue de ces suites? Appeler l examiateur pour valider la cojecture et lui idiquer commet mettre e place la vérificatio demadée à la questio suivate. c. Vérifier expérimetalemet, sur la feuille de calcul, la cojecture émise, validée par l examiateur. 4. a. Démotrer la cojecture de la questio 3. b. b. Détermier les expressios de a et b e foctio de. Appeler l examiateur, lui motrer les vérificatios faites et lui idiquer les méthodes prévues pour les démostratios qui suivet. c. Justifier les réposes doées à la questio et détermier la valeur exacte de la limite des suites (a ) et (b ). Costructio de la feuille de calcul complète ; Formulatio orale des cojectures ; Réposes argumetées à la questio 4. Exercice 1. 4 : Marche aléatoire 06/008 Sujet 010 U pio est placé sur la case de départ : Départ Le lacer d ue pièce bie équilibrée détermie le déplacemet du pio. - PILE, le pio se déplace vers la droite, - FACE, le pio se déplace vers la gauche. Epreuve pratique Maths iformatique Termiale S

3 U trajet est ue successio de 4 déplacemets. O s itéresse à l évéemet A : «le pio est reveu à la case départ après 4 déplacemets». A chaque lacer, o associe le réel +1 si le résultat est PILE et 1 si le résultat est FACE. Etude expérimetale 1. Simuler à l aide du tableur de 00 à 000 trajets du pio et estimer la fréquece de l évéemet A. Compléter le tableau suivat : Nombred essais Fréquece de A Etude mathématique Appeler l examiateur pour vérifier le tableau obteu.. O appelle X la variable aléatoire qui pred pour valeur la somme des quatre réels. a. E précisat la méthode choisie, calculer les valeurs possibles de X et le ombre de trajets possibles. Appeler l examiateur pour cotrôler la répose et lui idiquer la démarche prévue à la questio suivate. b. Calculer la probabilité de l évéemet A à l aide d u schéma de Beroulli et comparer avec l estimatio obteue. Réaliser ue simulatio e utilisat les foctios appropriées. Doer ue répose argumetée à la questio. Exercice 1. 5 : Etude de flux de populatios 06/008 Sujet 013 L objet de ce travail est l étude de flux de populatios etre trois zoes géographiques : ue ville otée A, ue zoe périphérique otée B et ue zoe de campage otée C. Pour modéliser les flux de populatio, o fait les hypothèses suivates : La populatio totale des trois zoes reste costate. Chaque aée la zoe A perd 10% de sa populatio, mais accueille 10% de la populatiode la zoe B et 1% de la populatio de la zoe C. Chaque aée la zoe B perd 10% de sa populatio, mais accueille 10% de la populatio de la zoe A et 1% de la populatio de la zoe C. Chaque aée la zoe C perd % de sa populatio. Au premier javier 008, la zoe A comptait habitats, la zoe B e comptait 000 et la zoe C e comptait O désige par a, b et c les ombres d habitats respectifs des zoes A, B et C au premier javier de l aée O admettra, pour l étude mathématique, que les ombres réels a, b et c peuvet e pas être etiers. 1. O souhaite décrire, avec le modèle ci-dessus, l évolutio des trois populatios. a. Représeter graphiquemet, à l aide du tableur, ou d ue calculatrice, les suites (a ), (b ) et (c ). b. Cojecturer le ses de variatio et la covergece des suites (a ), (b ) et (c ). Appeler l examiateur pour vérificatio des résultats obteus et des cojectures.. Pour chaque aée 008 +, soit d la différece de populatio etre les zoes A et B. Cojecturer la ature de la suite (d ). 3. O se propose de calculer les limites des suites (a ), (b ) et (c ). Appeler l examiateur pour ue vérificatio et lui idiquer les méthodes evisagées pour les démostratios qui suivet. Epreuve pratique Maths iformatique 3 Termiale S

4 a. Détermier l expressio de c et de d e foctio de. b. E déduire l expressio de a et de b e foctio de. c. Détermier les limites des suites (a ), (b ) et (c ). Ue feuille de calcul doat les valeurs de et des termes des différetes suites. U graphique représetat les suites (a ), (b ) et (c ). Les réposes argumetées aux questios de la Partie 3. Exercice 1. 6 : Distace d u poit à ue courbe 06/008 Sujet 014 Das le pla P rapporté à u repère orthoormal ( O; i, j) la courbe C est la courbe représetative de la foctio expoetielle et le poit B a pour coordoées ( ; 1). O admet que la distace BM admet u miimum quad M décrit C. Ce miimum est appelé distace du poit B à la courbe C. Le but de l exercice est de trouver la distace du poit B à la courbe C. 1. Réaliser à l aide d u logiciel ue figure dyamique correspodat à cette situatio. Appeler l examiateur pour ue vérificatio de la figure réalisée. a. M est u poit quelcoque de la courbe C. Faire ue cojecture sur la positio du poit M pour laquelle la distace BM semble miimale. O appelle ce poit M 0. b. Tracer la droite (d) perpediculaire e M 0 à la droite (BM 0 ). Quelle semble être la positio particulière de la droite (d)? Appeler l examiateur pour lui préseter les cojectures émises et lui idiquer la ou les méthodes de cotrôle prévues à la questio c.. c. Utiliser le logiciel pour cotrôler les cojectures et, évetuellemet, les rectifier.. O se propose de détermier la valeur exacte de la distace du poit B à la courbe C. Appeler l examiateur pour lui préseter les cotrôles faits et lui proposer ue méthode permettat à la fois de détermier le poit M 0 et la distace du poit B à la courbe C. a. Détermier, par le calcul, la positio du poit M 0. b. Quelle est la valeur exacte de la distace du poit B à la courbe C? 3. Vérifier, par le calcul, la cojecture formulée au 1. b. Obtetio à l écra de la figure réalisée avec le logiciel de géométrie dyamique. La formulatio des cojectures et leur cotrôle. Les stratégies de démostratio prévues pour répodre à la questio et le résultat des calculs. La vérificatio demadée à la questio 3. Exercice 1. 7 : Étude d u lieu de poits 06/008 Sujet 00 (spécialité) O cosidère le carré direct ABCD du pla orieté tel que AB ; AD. O appelle O le cetre du carré. U poit M décrit le segmet [DC]. La perpediculaire à la droite (AM) passat par A coupe (BC) e N. O appelle I le milieu de [MN]. O se propose de détermier le lieu des poits I lorsque M décrit le segmet [DC]. Étude expérimetale 1. Réaliser la figure avec u logiciel de géométrie dyamique.. Mettre e évidece avec le logiciel la ature du triagle AMN. 3. Faire afficher le lieu des poits I lorsque M décrit le segmet [DC]. Appeler l examiateur pour ue vérificatio de la figure réalisée. Epreuve pratique Maths iformatique 4 Termiale S

5 Démostratios Appeler l examiateur pour ue vérificatio des cojectures et pour lui idiquer les méthodes prévues pour les démostratios qui suivet. 4. Démotrer que le triagle AMN est rectagle isocèle (o pourra utiliser ue rotatio de cetre A). 5. E déduire la ature du triagle AIM ; établir que le poit I est l image de M par ue similitude S de cetre A dot o précisera l agle et le rapport. 6. Détermier S(D) et S(C) puis coclure sur le lieu de poits cherché. Figure réalisée avec u logiciel de géométrie dyamique Réposes argumetées pour les questios 5 et 6. Exercice 1. 8 : Recherche d u lieu géométrique 06/008 Sujet 01 (spécialité) Das le pla orieté, o cosidère u triagle rectagle isocèle ABB tel que : BB'; BA. Soit M u poit variable de la droite (BB ) et M l image de A das la rotatio de cetre M et d agle O ote I le milieu de [BB ] et J le milieu de [MM ]. O cherche à détemier le lieu du poit J lorsque M décrit la droite (BB ). 1. a. Réaliser ue figure à l aide d u logiciel de géométrie dyamique.. Appeler l examiateur pour vérificatio de la figure. b. Visualiser le lieu du poit J quad M décrit la droite (BB ). Quelle cojecture peut-o émettre? c. Que peut-o cojecturer à propos des triagles ABI et AMJ?. Soit S la similitude directe de cetre A qui trasforme B e I. a. Détermier l image du poit M par la similitude S. b. E déduire le lieu du poit J quad M décrit la droite (BB ). Visualisatio à l écra de la figure ; Appeler l examiateur pour vérificatio des cojectures. Appeler l examiateur pour faire le poit et lui idiquer la méthode prévue pour la résolutio de la questio. b. Formulatio orale des cojectures sur le lieu du poit J et sur les triagles ABI et AMJ ; Réposes argumetées aux questios. a. et. b. Exercice 1. 9 : Positios relatives das ue cofiguratio 06/008 Sujet 06 Das le pla orieté, o défiit le triagle OAB et o ote M le milieu du segmet [AB]. O costruit les triagles AOD et OBC directs, rectagles et isocèles e O. L objet du problème est d étudier les logueurs et les positios relatives des segmets [OM] et [DC]. Étude expérimetale 1. Costruire la figure décrite précédemmet à l aide d u logiciel de géométrie dyamique. Appeler l examiateur pour valider la costructio.. E modifiat le triagle OAB, émettre ue cojecture cocerat les logueurs OM et DC et ue autre au sujet des positios relatives des droites (OM) et (DC). Démostratios Appeler l examiateur pour valider les cojectures et exposer la démarche evisagée pour la preuve. Epreuve pratique Maths iformatique 5 Termiale S

6 3. Proposer ue démostratio des cojectures faites. Costructio de la figure ; Éocé des deux cojectures ; Réposes argumetées à la questio 3. Exercice : Courbes et équatios 06/008 Sujet 08 Soit m u réel. O cherche à détermier le ombre de solutios réelles das l itervalle [ 5 ; 5] de l équatio : x x 1 me x 0 (E). 1. Das cette questio o pose m =. A l aide d u grapheur (logiciel ou calculatrice), doer u ecadremet d amplitude 10 1 de l uique solutio de (E).. Soit f la foctio défiie sur [ 5 ; 5] par : Appeler l examiateur pour validatio du résultat et de la méthode employée. f x x x 1 e x. A l aide d u grapheur, racer la courbe représetative de f et émettre ue cojecture quat au ombre de solutios de l équatio f x l itervalle [ 5 ; 5], e foctio des valeurs de m. 3. Démotrer que, pour tout m, l équatio (E) et l équatio f x das l itervalle [ 5 ; 5]. 4. Répodre au problème posé. m das Appeler l examiateur pour validatio de la cojecture. m ot le même esemble de solutios Présetatio de la méthode de résolutio utilisée e 1. et graphique correspodat ; Représetatio graphique et éocé de la cojecture pour la questio. ; Réposes argumetées aux questios 3. et 4. Exercice : Optimisatio das l espace 06/008 Sujet 09 Das l espace rapporté à u repère orthoormal ( O; i, j, k ), o cosidère les poits A(0, 6, 0), B(0, 0, 8), C(10, 0, 8). M est u poit apparteat au segmet [OB]. Le pla passat par M et orthogoal à la droite (OB) coupe la droite (AC) e P. Partie expérimetale 1. E utilisat u logiciel de géométrie, costruire ue figure traduisat l éocé. Appeler l examiateur pour la vérificatio de la costructio.. O ote respectivemet N et Q les poits d itersectio du pla avec les droites (OC) et (AB) et l o admet que le quadrilatère MNPQ est u rectagle. E déplaçat le poit M, émettre ue cojecture quat à la positio de ce poit redat maximale l aire du rectagle. Partie démostratio O ote z = OM. 3. Exprimer e foctio de z les logueurs MN et MQ. 4. Démotrer la cojecture émise e. La figure réalisée avec le logiciel ; Les démostratios demadées das les questios 3. et 4. Appeler l examiateur pour valider la cojecture. Epreuve pratique Maths iformatique 6 Termiale S

7 Exercice 1. 1 : Comportemet d ue suite récurrete 06/008 Sujet 030 Soit u 1 u ombre réel fixé. O cosidère la suite récurrete u de premier terme u 1 et telle que pour tout u etier aturel o ul, u E utilisat ue calculatrice ou u tableur, calculer les premiers termes de cette suite et e réaliser ue représetatio graphique. Le choix du ombre de termes et de la valeur de u 1 est laissé au cadidat, qui e testera plusieurs, dot u E foctio des différetes valeurs de u 1 : a. émettre ue cojecture sur le ses de variatio de la suite u ; b. émettre ue cojecture sur la limite de la suite u. 3. Das cette questio o suppose que u Appeler l examiateur pour vérifier les calculs faits. Appeler l examiateur pour valider les deux cojectures et idiquer la méthode prévue pour les démostratios de la questio 3. a. Démotrer qu à partir d u certai rag 0, à préciser, la suite u est décroissate. b. Démotrer que la suite u est covergete et préciser sa limite. Ecras motrat les calculs ayat permis d émettre les deux cojectures. Démarches et réposes argumetées pour la questio 3. Exercice : Sectio plae d u tétraèdre, optimisatio d ue distace 06/008 Sujet 033 Das l espace rapporté à u repère orthoormal ( O; i, j, k ), o défiit les poits A(1, 0, 0), B(0, 1, 0) et C(0, 0, 1) et le poit I milieu du segmet [AB]. Partie expérimetale 1. a. A l aide d u logiciel de géométrie das l espace, représeter le tétraèdre OABC et le poit I. b. Pour u poit M du segmet [AC], o défiit le pla P passat par le poit I et orthogoal à la doite (IM). Tracer la sectio du tétraèdre OABC par le pla P. c. Le pla P coupe la droite (OB) e u poit N. Costruire le poit N et tracer le segmet [MN]. Appeler l examiateur pour lui préseter la figure costruite.. Étudier à l aide du logiciel, les variatios de la logueur MN et cojecturer la positio du poit M, sur le segmet [AC], telle que cette logueur soit miimale. Quelle est, d après le logiciel, cette logueur miimale? Démostratio Appeler l examiateur pour lui préseter les observatios faites et les résultats obteus. AM O défiit le réel t et o admet que les coordoées des poits M et N sot respectivemet AC M 1 t,0, t N 0, t,0. et 3. Calculer la logueur MN e foctio de t. 4. Détermier la valeur de t pour laquelle cette logueur est miimale. 5. Doer la valeur miimale prise par la logueur MN. Appeler l examiateur pour lui expliquer la méthode prévue pour détermier le miimum de cette logueur. Epreuve pratique Maths iformatique 7 Termiale S

8 Réalisatio d ue figure à l aide d u logiciel de géométrie dyamique ; Présetatio orale, à partir de l écra, des cojectures ; Solutio argumetée de la questio 4. Exercice : Cercles et similitudes 06/008 Sujet 039 (spécialité) O cosidère u triagle équilatéral direct O 1 O O 3, le milieu O du segmet [O 1 O ] et le cercle C de cetre O 1 passat par O. O ote A u poit du cercle C distict du poit O. Pour tout poit Mdu cercle C, o ote M 1 le poit symétrique de M par rapport à O puis M le poit tel que le triagle MM 1 M soit équilatéral direct. Etude expérimetale 1. A l aide d u logiciel de géométrie dyamique, costruire le triagle O 1 O O 3, placer le poit O et tracer le cercle C. Appeler l examiateur pour vérifier la costructio.. Le poit A état costruit sur le cercle C, costruire le poit A associé au poit A par le procédé idiqué das le préambule. Appeler l examiateur pour vérifier la costructio. 3. Placer u autre poit, oté M, sur le cercle C et costruire le poit M associé à ce poit. Visualiser la courbe (ou lieu) que semble décrire le poit M lorsque le poit M décrit le cercle C et émettre ue cojecture à ce propos. Appeler l examiateur pour exposer votre cojecture. 4. Lorsque les poits M et A sot disticts, les droites (AM) et (A M ) se coupet e u poit P. Placer le poit P sur la figure. Emettre ue cojecture cocerat le lieu décrit par le poit P lorsque le poit M décrit le cercle C privé du poit A. Démostratios Appeler l examiateur pour exposer votre cojecture et lui idiquer les méthodes prévues pour les démostratios qui suivet. 5. Motrer qu il existe ue similitude directe de cetre O par laquelle le poit M du cercle C a pour image le poit M. Préciser l agle et le rapport de cette similitude. 6. Détermier le lieu du poit M lorsque le poit M décrit le cercle C. 7. Préciser le lieu du poit P lorsque le poit M décrit le cercle C privé du poit A. Réalisatio d ue figure avec u logiciel de géométrie dyamique ; Répose argumetée pour les questios 5. et 6. ; Iformatios obteues cocerat le poit P. Exercice : Suite défiie par ue moyee arithmétique 06/008 Sujet 044 O cosidère la suite (u ) défiie pour tout etier strictemet positif par : Partie expérimetale k u k. 1. A l aide d u tableur ou d ue calculatrice, représeter graphiquemet les 50 premiers termes de la suite (u ).. Emettre ue cojecture sur le type de foctio f telle que, pour tout etier etre 1 et 50, o ait : u f. Appeler l examiateur pour exposer votre cojecture et proposer ue méthode pour la préciser. Epreuve pratique Maths iformatique 8 Termiale S

9 3. Mettre e place la stratégie validée par l examiateur et détermier précisémet la foctio f. Démostratios Appeler l examiateur, lui idiquer la foctio f trouvée et lui proposer ue méthode pour résoudre la questio a. Démotrer que pour tout etier aturel o ul, o a u f l examiateur. où f est la foctio validée par b. E déduire ue formule simple doat la somme des carrés des premiers etiers strictemet positifs. Des explicatios orales et à l écra pour les questios 1. à 3. ; Les réposes argumetées à la questio 4. Exercice : Poits équidistats d ue droite et d u poit 06/008 Sujet 045 O cosidère das le pla (P) ue droite D et u poit F o situé sur cette droite. Il s agit de détermier l esemble G, lieu géométrique des poits du pla équidistats de D et de F. 1. A l aide d u logiciel de géométrie dyamique, costruire la droite D et le poit F. Costruire égalemet u poit H sur la droite D et la droite T perpediculaire à D e H. Appeler l examiateur pour vérifier la figure et exposer la démarche evisagée pour la suite de la costructio.. Costruire u poit M de T équidistat de F et de H. Costruire le lieu géométrique du poit M lorsque le poit H décrit la droite D. Quelle cojecture peut-o faire sur la ature de G? Appeler l examiateur pour lui motrer la figure et lui idiquer votre cojecture. 3. O cosidère u repère orthoormal direct ( O; i, j) tel que D est la droite O; i et le poit F est sur la droite O; j. Pour u poit M (x, y) quelcoque du pla, o cosidère le poit H, projeté orthogoal de M sur la droite D. a. Calculer MF et MH e foctio de x et y et e déduire ue coditio liat x et y pour que le poit M soit équidistat de F et de D. b. Doer alors ue équatio de G et coclure. Réaliser ue figure adaptée à la situatio ; Expressios de MF et MH ; Réposes argumetées pour la questio 3. b. Exercice : Tétraèdre trirectagle 06/008 Sujet 06 Das l espace rapporté à u repère orthoormé d origie O, o costruit le tétraèdre OABC avec : A(, 0, 0), B(0,, 0) et C(0, 0, ). Ce tétraèdre est dit «trirectagle» car trois de ses faces sot des triagles rectagles. Pour tout poit M du segmet [AB], o costruit le projeté orthogoal H du poit O sur la droite (MC). 1. Proposer, à l aide d u logiciel de géométrie dyamique, ue figure traduisat la situatio et costruire le lieu des poits H lorsque le poit M décrit le segmet [AB]. Quel semble être le lieu du poit H? Appeler l examiateur pour vérifier le tracé du lieu et la cojecture. Epreuve pratique Maths iformatique 9 Termiale S

10 . Cojecturer les positios du poit M sur le segmet [AB] pour lesquelles la logueur CH semble maximale, miimale. 3. O se propose de démotrer les cojectures émises. a. Démotrer la double égalité : CMCO. CH. CO CO. Appeler l examiateur pour vérifier ces cojectures. Appeler l examiateur pour lui idiquer les stratégies reteues pour répodre aux questios b. et c. suivates. b. Valider ou ivalider alors les cojectures faites à la questio. Calculer les extremums de CH. c. Le lieu de H est-il u arc de cercle? Expressio des cojectures des questios 1. et. Réposes argumetées à la questio 3. Exercice : Restes modulo p 06/008 Sujet 063 (spécialité) Le but de cet exercice est d étudier les restes modulo p (p etier strictemet supérieur à 1) des suites (u ) défiies par : u a b, a et b état deux etiers aturels doés. 1. Costruire ue feuille de calcul doat les restes modulo 0 des 0 premiers termes de la suite (u ) défiie par u 1 5. Appeler l examiateur.. Adapter la feuille de calcul de faço à obteir les restes modulo p des 0 premiers termes de la suite défiie par u a b,, de telle maière qu o puisse modifier les valeurs de a, b et p. Notez sur votre feuille les restes obteus das les cas particuliers suivats : a. p = 0 et u 5 3 ; b. p = 7 et u 5 3. Quelle cojecture peut-o formuler quat aux suites formées par ces restes euclidies? 3. Démostratio de la cojecture : Appeler l examiateur pour vérifier la cojecture émise. a. Motrer que, parmi les ombres u 0, u 1,..., u p, il existe deux ombres ayat le même reste das la divisio euclidiee par p, pour p etier aturel o ul. b. Soiet 0 et 0 T les rags de ces deux ombres ( T 0). Motrer que at est u multiple de p. c. E déduire que pour tout etier aturel k, ut k et u k ot le même reste das la divisio euclidiee par p. d Démotrer alors la cojecture. Feuille de calcul correspodat aux diverses suites. Les démostratios de la questio 3. Exercice : Suite aléatoire 06/008 Sujet 066 O cosidère ue suite (S ) défiie par le lacer d ue pièce équilibrée de la faço suivate : S 0 = 0 et S +1 = S + 1 si o obtiet PILE, S +1 = S 1 si o obtiet FACE. O ote A l évéemet «obteir S = 0». O s itéresse à la probabilité de réaliser l évéemet A pour u etier o ul doé. Epreuve pratique Maths iformatique 10 Termiale S

11 Etude expérimetale 1. E utilisat u tableur, effectuer ue simulatio doat les 11 premiers termes de suites défiies de la même faço que (S ). Existe-t-il des valeurs de pour lesquelles l évéemet A est impossible? Justifier votre répose. Appeler l examiateur pour préseter votre simulatio et votre justificatio.. a. Doer les fréqueces d apparitio de l évéemet A pour variat de 1 à 10. b. Faire d autres simulatios de même taille pour compléter le tableau suivat : Fréqueces d apparitio de A Simulatio 1 Simulatio Simulatio 3 Simulatio 4 Simulatio 5 Etude mathématique 3. Détermier les probabilités de réaliser les évéemets A, A 4 et A Doer ue expressio de p(a ) e foctio de la parité de. Appeler l examiateur pour ue vérificatio. Appeler l examiateur pour ue vérificatio. Présetatio orale des premiers termes des suites puis du tableau des fréqueces des 5 simulatios ; Calcul de p(a ), de p(a 4 ) et de p(a 6 ) ; Justificatio de la méthode de calcul de p(a ). Exercice 1. 0 : Calcul approché d ue itégrale 06/008 Sujet O cosidère l itégrale f 1 1 x x I f x dx, où la foctio f est défiie, pour tout ombre réel x, par 0. I est ue itégrale dot o e sait pas, e termiale S, calculer la valeur exacte. Le but de l exercice cosiste doc à e détermier u ecadremet d amplitude 10. Pour cela o coviet d appliquer ue méthode dite des «rectagles» et de partager l itervalle [0 ; 1] e itervalles de même amplitude, état u etier aturel o ul. 1. Das cette questio o doe à la valeur 4. Quel ecadremet de l itégrale I le dessi ci-dessous suggère t-il? Quelle est l amplitude de cet ecadremet? Epreuve pratique Maths iformatique 11 Termiale S

12 1 y 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0, 0, , 0,4 0,6 0,8 1 1, x Faire calculer cet ecadremet par la calculatrice ou le tableur. Appeler l examiateur pour ue vérificatio de l ecadremet trouvé.. O souhaite pouvoir gééraliser, à etier aturel o ul quelcoque, l ecadremet obteu das le cas où = 4. a. Modifier l orgaisatio du calcul pour obteir l ecadremet de I et so amplitude das le cas où = 10 puis où = 0. Appeler l examiateur pour ue vérificatio de l automatisatio effectuée. b. Cojecturer ue valeur de à partir de laquelle l ecadremet de I obteu a ue amplitude iférieure ou égale à 10. Appeler l examiateur pour lui idiquer la cojecture émise et lui idiquer les méthodes evisagées pour la questio suivate. 3. Proposer des élémets permettat de justifier que, pour la valeur trouvée e. b., l amplitude de l ecadremet est bie iférieure ou égale à 10. Ecadremets de I obteus sur calculatrice ou tableur pour les valeurs de demadées. Stratégie de démostratio du résultat cojecturé à la questio. b. Exercice 1. 1 : Etude de deux lieux géométriques 06/008 Sujet 07 O cosidère u tétraèdre ABCD et u poit I quelcoque du segmet [AB]. Le pla parallèle au pla (BCD) passat par I coupe la droite (AC) e J et la droite (AD) e K. O désige par L l isobarycetre des trois poits I, J et K. O cosidère le poit H projeté orthogoal du poit C sur la droite (BL). Le but de l exercice est de détermier le lieu géométrique du poit L aisi que celui du poit H, lorsque le poit I décrit le segmet [AB]. Expérimetatio Epreuve pratique Maths iformatique 1 Termiale S

13 1. Réaliser à l aide d u logiciel ue figure géométrique correspodat à cette situatio.. Visualiser quelques positios du poit L pour des positios différetes du poit I sur le segmet[ab]. O aura itérêt à utiliser le mode «trace» si cette foctio est dispoible das le logiciel utilisé. Quel semble être le lieu géométrique du poit L? Appeler l examiateur pour ue vérificatio de la cojecture faite. 3. Visualiser quelques positios du poit H pour des positios différetes du poit I sur le segmet [AB]. Quel semble être le lieu géométrique du poit H? Démostratios 4. Démotrer ue des deux cojectures émises. Appeler l examiateur pour ue vérificatio de la cojecture faite. Obtetio à l écra de la figure demadée das les questios et 3. Ue des stratégies de démostratio prévues pour répodre à la questio 4. Exercice 1. : Etude du reste d ue divisio euclidiee 06/008 Sujet 073 (spécialité) Pour tout etier aturel o ul o cosidère les deux ombres etiers N 3 1 et D 1. Le but de l exercice cosiste à détermier, suivat les valeurs de, le reste de la divisio eclidiee de N par D. Expérimetatio 1. Détermier, à l aide d u logiciel, les valeurs du reste de la divisio euclidiee de N par D, pour toutes les valeurs de comprises etre 1 et 50.. Représeter graphiquemet ce reste e foctio de. Appeler l examiateur pour ue vérificatio de la représetatio obteue. 3. Cojecturer, suivat les valeurs de, l expressio du reste de la divisio eclidiee de N par D. Justificatios 4. La cojecture formulée est-elle vraie? Justifier. Appeler l examiateur pour ue vérificatio de la cojecture trouvée. Obtetio à l écra de la représetatio demadée das la questio. de la partie I. La cojecture faite das la questio 3. de la partie I. La stratégie prévue pour valider ou ivalider la cojecture faite. Exercice 1. 3 : Etude de lieux géométriques 06/008 Sujet 090 Das le pla mui d u repère orthoormal direct ( O ; u, v), o cosidère les poits A(1 ; 0) et B(0 ; 1). A tout poit M du segmet [AB], o associe les poits P et Q, projetés orthogoaux respectifs de M sur les droites (OA) et (OB), et les poits R et S, sommets du carré PRQS de diagoale [PQ] tels que PR ; PS. O ote aussi I le milieu du segmet [PQ]. Le but de l exercice est d étudier les lieux des poits R et S lorsque M décrit le segmet [AB]. 1. a. Réaliser ue figure à l aide d u logiciel de géométrie dyamique. Appeler l examiateur pour vérificatio de la figure. b. Visualiser les lieux des poits R et S quad M décrit le segmet [AB], puis émettre ue cojecture sur la ature de ces lieux. Epreuve pratique Maths iformatique 13 Termiale S

14 c. Détermier de maière expérimetale ue équatio du lieu du poit S. Appeler l examiateur pour vérificatio de la cojecture. Appeler l examiateur pour vérifier la répose et expliquer les maipulatios effectuées.. Das cette questio, o se propose d étudier ces cojectures e se plaçat das le pla complexe. O x 0 ;1. appelle x l abscisse du poit M, avec a. Motrer que l affixe de M est : xi1 x. b. Détermier l affixe de R ou celle de S. Justifier l ue des cojectures émises à la questio 1. Visualisatio à l écra de la figure ; Démarches et réposes argumetées pour les questios. a. et. b. Exercice 1. 4 : Triagle iscrit das ue courbe doée 06/008 Sujet Le pla est rapporté à u repère orthoormal ( O ; i, j). O appelle (E) la courbe d équatio y. x O désige par a, b, c trois réels o uls, deux à deux disticts, puis par A, B, C les poits de (E) d abscisses respectives a, b, c. Le poit H est l orthocetre du triagle ABC. O appelle C le cercle circoscrit au triagle ABC, so cetre est le poit E. Le poit D est le symétrique du poit H par rapport à O. Le but de l exercice est d observer la positio de certais poits de la figure et d étudier celle du poit H. 1. a. Costruire la figure à l aide d u logiciel de géométrie. b. Faire varier a, b, c et émettre ue ou deux cojectures cocerat : la positio du poit H ; la positio du poit D. Appeler l examiateur pour lui motrer la figure costruite. Appeler l examiateur pour vérifier les cojectures. c. A l aide de maipulatios appropriées, émettre ue cojecture sur les ordoées des poits D et H e foctio de a, b, c, puis sur l abscisse de H.. Démotrer la cojecture émise sur les coordoées du poit H. Appeler l examiateur pour vérifier la cojecture. 3. Proposer ue démarche permettat de démotrer la (ou les) cojecture(s) faite(s) pour le poit D (o e demade pas les calculs mais uiquemet le pla proposé). Figure réalisée avec le logiciel de géométrie. Démarches et réposes argumetées pour les questios. et 3. Exercice 1. 5 : Solutios d ue relatio de cogruece 06/008 Sujet 097 (spécialité) Le but du problème est de détermier tous les etiers aturels vérifiat la propriété P : «+ 11 est divisible par + 11». 1. E utilisat u tableur ou ue calculatrice détermier tous les etiers aturels iférieurs ou égaux à 11 = 11 vérifiat la propriété P. Appeler l examiateur, lui doer le résultat trouvé et expliquer la méthode utilisée. Epreuve pratique Maths iformatique 14 Termiale S

15 . O se propose, das cette partie., de démotrer que tout etier aturel vérifiat la propriété P est iférieur ou égal à 11. a. Pour tout etier aturel, calculer a Appeler l examiateur, lui doer la valeur trouvée pour a et lui idiquer la méthode prévue pour résoudre la questio. b. b. Démotrer que tout vérifiat la propriété P est iférieur ou égal à Coclure e doat l esemble des etiers aturels vérifiat la propriété P. Explicatios orales pour les questios 1. et. a. et 3. ; Répose argumetée à la questio. b. Epreuve pratique Maths iformatique 15 Termiale S

16 . Sujets javier 007 Exercice 1. 6 : Sujet 001 : Expressio du terme de rag d ue suite récurrete O cosidère la suite récurrete (u ) de premier terme u 0 = 0 et telle que, pour tout etier aturel, u 1 u E utilisat u tableur ou ue calculatrice calculer et représeter graphiquemet les 0 premiers termes de cette suite. Le uage de poits obteus a-t-il ue particularité? Si oui laquelle? Appeler l examiateur pour ue vérificatio de la particularité trouvée. état doé, o peut calculer la valeur de u si o coaît la valeur de u 1. O voudrait à préset pouvoir calculer, pour importe quelle valeur de l etier aturel o ul, la valeur de u sas pour autat coaître la valeur de u 1. Pour cela il faudrait disposer d ue formule doat u e foctio de. a. A l aide des observatios faites das la première questio, cojecturer ue formule doat, pour importe quelle valeur de l etier aturel, u e foctio de. b. Démotrer cette formule. Appeler l examiateur pour ue vérificatio de la formule trouvée Le uage de poits attedu das la questio 1 et la particularité trouvée à ce uage. La stratégie de démostratio reteue à la questio aisi que les étapes de cette démostratio. Exercice 1. 7 : Sujet 00 : Recherche d u lieu géométrique Das le pla P, o doe quatre poits O, A, B et C et u cercle ( ) de cetre O. Le poit M est u poit quelcoque variable sur le cercle ( ). O associe au poit M l uique poit M du pla P défii par l égalité : MM' MA MB MC. Il s agit de détermier le lieu géométrique L du poit M lorsque le lieu géométrique du poit M est le cercle ( ). 1. a. à l aide d u logiciel de géométrie plae costruire les poits O, A, B et C, le cercle ( ) et u poit libre M sur ce cercle. b. Costruire le poit M associé à M. Appeler l examiateur pour ue vérificatio de la costructio faite c. E observat plusieurs positios du poit M faire ue cojecture sur la ature de la trasformatio du pla qui trasforme M e M aisi que la ature du lieu géométrique du poit M. Appeler l examiateur pour ue vérificatio de la figure réalisée et de la cojecture faite. a. Détermier par le calcul la ature de la trasformatio du pla qui trasforme le poit M e le poit M. b. Détermier le lieu géométrique L du poit M. La figure réalisée avec le logiciel de géométrie dyamique. Le calcul permettat d obteir la ature de la trasformatio. La caractérisatio du lieu géométrique de M et sa justificatio. Exercice 1. 8 : Sujet 003 : Problème d optimisatio O décide de mettre e place u système de collecte des eaux de pluie sur la façade d ue maiso. Sur cette façade, de forme rectagulaire, deux tuyaux obliques doivet récupérer les eaux de pluies pour les déverser das u tuyau vertical aboutissat à u réservoir. O doe ci-dessous le pla de cette façade aisi que quelques dimesios, exprimées e mètre. Epreuve pratique Maths iformatique 16 Termiale S

17 A AB=10 m B M BC=6 m D H C Sur ce pla : [AM] et [BM] représetet les deux premiers tuyaux ; [MH] représete le troisième tuyau ; (MH) est la médiatrice de [DC]. O souhaite trouver la positio du poit M sur la façade de cette maiso qui permet de miimiser la logueur des tuyaux à acheter et doc la dépese à effectuer. O ote Q le projeté orthogoal de M sur (BC) et o pred comme variable la mesure e radia de l agle aigu BMQ. 1. a. Utiliser u logiciel de géométrie pour simuler la situatio décrite précédemmet. b. E déduire ue valeur approchée au cetième de la valeur de qui red miimale la logueur des tuyaux. Détermier, grâce au logiciel, ue valeur approchée au cetième de la logueur miimale totale des tuyaux. Appeler l examiateur pour ue vérificatio de la costructio et des réposes trouvées. O défiit la foctio g : g: g MA MH sur l itervalle 0;. a. O ote g la foctio dérivée de g. Démotrer que g si 1 ' 5. cos b. Détermier la valeur exacte de qui miimise la logueur des tuyaux. Les réposes attedues das la questio 1. Les démostratios attedues das la questio. Exercice 1. 9 : Sujet 004 : Nombre de solutios d ue équatio O doe u réel k. O s itéresse au ombre de solutios de l équatio (E) : l x kx pour x strictemet positif. 1. E utilisat u logiciel de costructio graphique ou ue calculatrice graphique : a. Cojecturer, suivat les valeurs de k, le ombre de solutios de l équatio (E). Appeler l examiateur pour valider la cojecture. b. Si k > 0, trouver graphiquemet ue valeur approchée de k pour laquelle l équatio (E) a ue uique solutio.. Démotrer que pour k < 0, l équatio (E) a ue uique solutio. Appeler l examiateur pour vérifier la valeur trouvée Epreuve pratique Maths iformatique 17 Termiale S

18 Pour la questio 1. b., recopier la valeur approchée obteue pour k. Répose écrite pour la questio. Exercice : Sujet 005 : Comportemet d ue suite défiie par ue relatio de récurrece Ue suite v est défiie par so premier terme v 0 et par la relatio de récurrece : 1 pour tout etier aturel, v1 v A l aide de la calculatrice ou du tableur, émettre ue cojecture sur la limite l de la suite v, selo les valeurs de v 0.. La suite w est défiie pour tout etier aturel par w = v l. Appeler l examiateur pour valider la cojecture a. Observer à la calculatrice ou au tableur les premiers rags de la suite w. Quelle semble être la ature de la suite w? est-elle arithmétique? géométrique? i arithmétique, i géométrique? b. Démotrer la propriété cojecturée sur la ature de la suite w. c. Exprimer pour tout etier aturel, w puis v e foctio de. d. Détermier la limite de la suite v. e. Ce résultat est-il cohéret avec l expérimetatio? Réposes écrites pour les questios. b.,. c.,. d.,. e. Exercice : Sujet 007 : Courbe représetative de la foctio expoetielle O désige par a u ombre réel. Appeler l examiateur pour valider la cojecture Das u repère orthoormal du pla, o cosidère la courbe C, représetative de la foctio expoetielle et la droite D a d équatio y = ax. 1. E utilisat u logiciel de costructio graphique ou ue calculatrice graphique, dire si les propositios suivates semblet vraies ou fausses : Propositio 1 : La courbe C est au-dessus de D 1. Propositio : Pour tout réel x, e 3x. x Propositio 3 : Il existe ue valeur de a pour laquelle la droite D a est tagete à la courbe C. Appeler l examiateur pour vérifier les réposes. E utilisat u logiciel de costructio graphique ou ue calculatrice graphique, cojecturer, suivat les valeurs du réel a, la positio relative de C et D a. 3. Justifier la propositio 3 de la questio 1. Répose écrite pour la questio 3. Exercice 1. 3 : Sujet 008 : Plaètes et ajustemet Appeler l examiateur pour valider la cojecture Le tableau ci-cotre doe, pour chaque plaète du système solaire, sa période de révolutio et le rayo de l orbite cosidérée comme circulaire. A B C Plaète r (e m) T (e s) Mercure 5.79E E+06 Epreuve pratique Maths iformatique 18 Termiale S

19 Véus 1.08E E+07 Terre 1.49E E+07 Mars.8E E+07 Jupiter 7.78E E+08 Sature 1.4E E+08 Uraus.87E+1.66E+09 Neptue 4.50E+1 5.0E Etrer sur ue feuille de calcul d u tableur les doées des coloes A, B et C. Tracer à l aide du tableur le graphique représetat la période T e foctio du rayo r. Combie de poits apparaisset ettemet sur le graphique? Les idetifier et expliquer le phéomèe.. Faire afficher le graphique doat l(t) e foctio de l(r). Combie de poits apparaisset sur le graphique et que costatez-vous? Appeler l examiateur pour lui motrer les graphiques obteus 3. Détermier, à l aide du tableur le coefficiet directeur d ue droite qui permet de doer u ajustemet des poits représetés. Quelle est l équatio de la droite que l o peut reteir expérimetalemet? Appeler l examiateur pour lui préseter la procédure reteue et cotrôler le résultat 4. E déduire que pour les huit plaètes étudiées, T k r 3 où k est ue costate réelle. Vérifier avec le tableur. Pour la questio 1, ue aalyse argumetée du graphique obteu est attedue. Pour la questio, ue aalyse du ouveau graphique obteu est attedue. L argumetatio fera l objet des questios suivates. Pour la questio 3, préciser la méthode de calcul choisie pour établir ue équatio de la droite d ajustemet. Pour la questio 4, ue rédactio détaillée du calcul de la valeur de k est attedue. Exercice : Sujet 011 : Simulatio d ue expériece aléatoire, lois de probabilités O dispose d ue roue divisée e trois secteurs idetiques umérotés 1, et 3. O suppose qu après rotatio, la roue s arrête sur l u des trois secteurs de faço équiprobable. O fait tourer successivemet trois fois de suite la roue das le ses trigoométrique e supposat que chaque résultat est idépedat des deux autres. S désige la variable aléatoire défiie par la somme des trois uméros obteus. La variable aléatoire D est le uméro obteu lors de la secode rotatio. 1. Sur u tableur réaliser ue simulatio de taille 100 de cette expériece. Appeler l examiateur e cas de difficulté et pour valider.. Détermier pour cette simulatio les répartitios des fréqueces de la variable aléatoire S. Appeler l examiateur pour valider les résultats. 3. E utilisat les résultats cous sur la répétitio d expérieces idépedates, détermier les lois de probabilités des variables aléatoires S et D. 4. La simulatio du. est-elle cohérete avec les valeurs théoriques obteues au 3.? 5. Les évèemets «S=3» et «D=1» sot-ils idépedats? Epreuve pratique Maths iformatique 19 Termiale S

20 Pour les questios 3 et 5, les réposes sot à justifier. Pour la questio 4, ue rapide explicatio de la cohérece est demadée. Exercice : sujet 01 : Etude de lieux géométriques M A B I O C S Le triagle ABC représete ue équerre telle que AB = 3, AC = 6 et l agle e B est droit. Les poits A et C glisset respectivemet sur les demi-droites perpediculaires [OM) et [OS). Le poit I est le milieu du segmet [AC]. O s itéresse aux lieux des poits I et B. 1. Observer les propriétés géométriques de la figure. Avec u logiciel de géométrie, costruire ue figure dyamique illustrat la situatio. Appeler l examiateur pour vérifier la costructio ou e cas de difficulté. Visualiser, à l aide du logiciel, le lieu du poit I quad C décrit la demi-droite [OS). Quelle cojecture peut-o émettre sur la ature de ce lieu? Appeler l examiateur pour valider la cojecture 3. Visualiser, à l aide du logiciel, le lieu du poit B quad C décrit la demi-droite [OS). Quelle cojecture peut-o émettre sur la ature de ce lieu? Appeler l examiateur pour valider la cojecture 4. a. Doer les mesures des agles de l équerre, puis celle de AOB (A distict de O). b. E déduire que le lieu de B est iclus das ue courbe simple dot o précisera la ature. c. Démotrer que : OB 6si OAB. d. E déduire le lieu de B. Répose écrite pour la questio 4. Exercice : Sujet 013 : Orthocetre Das le pla, ABC est u triagle quelcoque. O ote K le cetre de so cercle circoscrit et H so orthocetre. O s itéresse au lieu (L) des poits H quad C se déplace sur ue droite parallèle à la droite (AB). 1. a. Faire ue figure avec u logiciel de géométrie dyamique, faisat apparaître les poits A et B, le poit C sur ue droite parallèle à la droite (AB), le triagle ABC, le poit H et le poit K. Afficher la trace du poit H quad C varie sur la parallèle à (AB). Epreuve pratique Maths iformatique 0 Termiale S

21 Faire ue cojecture cocerat la ature du lieu des poits H b. Vérifier à l aide du logiciel (la vérificatio par le calcul est pas demadée ici) l égalité (e) : KH KA KB KC. Appeler l examiateur. à partir de cette questio, le pla est rapporté à u repère orthoormal ( O; i, j) ; les poits A et B sot doés par leurs coordoées : A( 1 ; 1) et B(1 ; 1). Le poit C est sur l axe des abscisses et a pour abscisse u réel x. a. Demader à ouveau le lieu (L) des poits H. b. Quelle e serait ue équatio? 3. Vérifier la cojecture émise e traçat le lieu des poits H grâce à so équatio. x 4. E admettat que K a pour coordoées 0; déduire les coordoées de H puis l équatio de (L). Calculs et démostratio relatifs à la questio 4. Appeler l examiateur et l égalité (e) doée à la première questio, e Exercice : Sujet 015 : Distace de deux droites das l espace 1. L espace est rapporté à u repère orthoormal ( O; i, j, k ). A l aide d u logiciel de géométrie das l espace, faire figurer les poits A(0 ; 0 ; 1), B( 1 ; 1 ; 0) et C(1 ; 1 ; 1), les droites (OB) et (AC), u poit M mobile sur la droite (OB) et u poit N mobile sur la droite (AC).. Afficher la distace MN et essayer de placer des poits M et N de faço à miimiser cette distace. Doer ue valeur approximative de cette distace miimale. Appeler l examiateur pour vérifier la figure 3. Combie de couples de poits (M ; N) répodat à cette coditio de distace miimale semble-t-il y avoir? Afficher les coordoées de ces poits. 4. Quelles semblet être les positios respectives des droites (MN) et (OB) d ue part, et (MN) et (AC) d autre part? Mettre e évidece cette cojecture, à l aide du logiciel. Appeler l examiateur pour vérificatio 5. Calculer MN. (O pourra écrire OM tob et AN kac. Vos résultats cofirmet-ils certaies de vos cojectures? Réposes aux questios posées das les questios, 3 et 4. Calculs et démostratio relatifs à la questio 5. Exercice : Sujet 016 : Modélisatio d ue situatio géométrique U agriculteur doit se redre du poit C de so champ à sa ferme F. Il se trouve à 3 kilomètres de la route qui mèe à la ferme, et à 5 kilomètres de cette derière, comme idiqué sur la figure suivate : Epreuve pratique Maths iformatique 1 Termiale S

22 Route H M Ferme F C Champ O cosidère que : * Les poits H, M et F sot aligés sur le bord de la route ; * CH = 3 ; CF = 5 ; * La droite (CH) est perpediculaire à la droite (HF). O ote x la distace HM. Le fermier cherche à écoomiser sa cosommatio de carburat. Il sait que sa cosommatio est : * d u litre de carburat par kilomètre parcouru sur la route * de k litres de carburat par kilomètre parcouru à travers champs (le facteur k, avec k > 1, déped de l état du terrai : plus le terrai est accideté plus k est grad). O admettra pour réaliser l étude expérimetale que la foctio «cosommatio de carburat», otée f k, f x k x 9 4 x. est défiie par : pour tout réel x de [0 ; 4], I. étude expérimetale k 1. Recherche de la cosommatio miimale pour k = : o cherche das cette questio à savoir e quel poit M il faut rejoidre la route, das le cas où la cosommatio à travers champ est le double de celle sur la route. a. Tracer sur la calculatrice ou le tableur, e choisissat ue feêtre adaptée, la représetatio graphique de la foctio f. b. Détermier graphiquemet ou à l aide d ue table de valeurs u ecadremet à 10 1 près de la distace HM e kilomètres correspodat à la valeur miimale de la cosommatio de carburat. Appeler l examiateur. Détermiatio graphique de la valeur limite k 0 : le fermier, qui a u grad ses pratique, pese que si k est iférieur à ue certaie valeur limite k 0, il est pas utile de rejoidre la route et que couper directemet à travers champ est pas plus cher! O cherche à vérifier cette affirmatio. a. Tracer sur la calculatrice ou le tableur, e choisissat ue feêtre adaptée, les représetatios graphiques des foctios f k pour k {1,1 ; 1, ; 1,3 ; 1,4 ; 1,5 ; 1,6 ; 1,7 ; 1,8 ; 1,9 ; }. b. Calculer f k (4) et iterpréter cette valeur das le cadre du problème. Appeler l examiateur pour vérificatio des courbes c. Observer, expliquer et cojecturer la valeur k 0 au-dessous de laquelle il est iutile de chercher à rejoidre la route. II. Détermiatio de la foctio «cosommatio» 1. Exprimer CM e foctio de x. f x k x 9 4 x.. Démotrer que, pour tout réel x de [0 ; 4], Partie I. k 1.b. Doer la valeur de la distace, e kilomètres, correspodat à la valeur miimale de la cosommatio de carburat. Epreuve pratique Maths iformatique Termiale S

23 . b. et. c. Doer la valeur exacte de f k (4), iterprétatio. Doer la valeur expérimetale de k 0 et expliquer. Partie II. Rédactio des justificatios demadées. Exercice : Sujet 019 : Spécialité, Cryptographie Le but de cet exercice est le cryptage et décryptage d u message utilisat le «chiffremet à clef secrète». O utilisera le codage iformatique des lettres avec le code ASCII. Le message choisi est ue citatio de Migo McLaughli (jouraliste et écrivai américaie, ). I- Expérimetatio Prélimiaire : E iformatique, le code ASCII cosiste à associer à chaque caractère (lettre de l alphabet, chiffre, sige de poctuatio,...) u code umérique que l o appelle so code ASCII. Par exemple, le code de A est 65, celui de B est 66, celui de a est 97, celui de l espace est 3... Le code utilisé est u etier tel que Sytaxe : Das la plupart des tableurs, la foctio «code» revoie le code ASCII. La foctio réciproque est otée «CAR». O etre «= CODE( A )» pour obteir le ombre 65 et o etre «=CAR(65)» pour obteir la lettre A. 1. Cryptage a. E utilisat le code ASCII, coder le message suivat : Das l arithmétique de l amour, u plus u égal... Das la zoe de saisie du message, o e mettra qu ue seule lettre par cellule et o oubliera pas de taper u espace pour séparer les mots. La zoe de saisie du message est la lige 1 à partir de la cellule B1. Le message codé avec le code ASCII apparaitra sur la lige à partir de la cellule B. Appeler l examiateur b. Le code ASCII e costituat pas u codage bie secret, la lige 3 cosiste à crypter le code ASCII e utilisat le cryptage suivat : O ote C la foctio de cryptage qui, à tout etier apparteat à [0; 55] associe le reste de la divisio de 7 par 56. Soit C() ce reste. Compléter le tableau réalisé e 1. a., e y ajoutat à la lige 3, les restes C() correspodat à chaque code de la lige. Le tableau ci-dessous doe le début de la phrase et du codage à obteir : A B C D E F G H I J K L M N 1 message D a s l a r i t h m 3 codage ASCII message codé Décryptage à l aide de la clef secrète La fi de la citatio de Migo McLaughli est cryptée par : Pour décrypter la fi de cette citatio, o ote D la foctio de décryptage qui, à tout etier k apparteat à [0 ; 55], associe le reste de la divisio de 183k par 56. Etrer e lige les ombres cryptés ci-dessus, puis sur ue ouvelle lige, utiliser la foctio D pour lire la fi de la citatio de Migo McLaughli. Epreuve pratique Maths iformatique 3 Termiale S

24 II- Justificatios Appeler l examiateur 1. Justificatio du codage : pour le codage ASCII, deux lettres de l alphabet sot codées par deux ombres disticts. Il faut s assurer que le cryptage choisi au I- 1. b. code deux ombres et p disticts, compris etre 0 et 55, par deux ombres disticts. a. Motrer que, si C() = C(p) alors p 7 0 modulo 56. b. E déduire que = p. Justifier alors que le codage est valide.. Explicatio du décodage et e déduire que a. Vérifier que modulo modulo 56. b. Expliquer pourquoi la foctio D, qui associe à k le reste de la divisio de 183k par 56, assure le décryptage attedu. 1. Partie I : Ecrire le message codé de la première partie de la citatio et le message décodé de la fi de la citatio.. Partie II : Rédactio des justificatios demadées. Exercice : Sujet 01 : Equatio différetielle et méthode d Euler Soit l équatio différetielle : y = y. O admet que la foctio f solutio de cette équatio, défiie sur et vérifiat f(0) = 1 est la foctio f telle que f(x) = exp( x). O cherche à comparer f(1) aux valeurs approchées obteues e utilisat la méthode d Euler avec différets pas. O se place sur l itervalle [0, 1] e preat u pas h égal à 1, où est u etier supérieur à. O obtiet aisi, das le pla mui d u repère, ue suite de poits otés M k, d abscisse x k et d ordoée y k telles que : 1 x 0 = 0, y 0 = 1, et pour tout etier k tel que 0 k 1, xk1 xk et yk 1 1 yk. Pour tout etier k compris etre 0 et, y k est ue valeur approchée de f(x k ). 1. Détermier l expressio de y k e foctio de k ( état ue valeur doée). Appeler l examiateur pour faire vérifier l expressio obteue pour y k. A l aide d u tableur, reproduire à l écra et compléter le tableau suivat : Valeur de égale à k x k y k Pas égal à 0,1 1 0,1 0,8 0, Epreuve pratique Maths iformatique 4 Termiale S

25 E déduire ue valeur approchée de f(1). Appeler l examiateur et lui préseter le tableau de valeurs costruit avec = 10 Lui expliquer commet modifier le tableau lorsque = 0 ou = Réitérer la méthode das les cas = 0 puis = 30 et doer les valeurs approchées de f(1) aisi obteues. Sur la copie, recopier et compléter le tableau suivat : Valeur de égale à Valeur approchée de e Valeur approchée de y 5.A l aide du tableur, représeter graphiquemet das u repère du pla la suite des poits M k obteue à la questio 4., das le cas où est égal à 30, aisi que la foctio solutio. Appeler l examiateur et lui préseter la représetatio graphique réalisée. Calcul de y k e foctio de k. Réalisatio et visualisatio à l écra de tableaux de valeurs obteus à l aide d u tableur. Détermiatio de valeurs approchées de f(1) (tableau rempli). Visualisatio à l écra et si possible impressio de la représetatio graphique. Exercice : Sujet 05 : Suite défiie par récurrece 1. O défiit la suite u pour tout etier, > 1 par u k k1 k 1 1. a. A l aide d u tableur, afficher les 30 premiers termes de cette suite puis afficher ue représetatio graphique de ces valeurs. b. Quelle est l allure du uage de poits obteu? Quelle cojecture peut-o faire? Appeler l examiateur pour vérificatio. a. A l aide du tableur, afficher les 5 premiers termes et ue représetatio graphique de v 3u. b. Proposer ue expressio de v e foctio de et e déduire ue expressio de u e foctio de. Appeler l examiateur pour vérificatio c. Démotrer par récurrece que l expressio de u trouvée e. b. est valable pour tout *. Productio attedue Répose écrite aux questios 1. b.,. b. et. c. Affichage à l écra des valeurs et représetatios graphiques correspodates avec cotrôle par l examiateur. Exercice : Sujet 06 : Barycetre O cosidère A, B et C trois poits du pla et k u réel de l itervalle [ 1 ; 1]. O ote G k le barycetre du système de poits podérés : {(A, k + 1) ; (B, k) ; (C, k)}. Le but de cet exercice est de détermier le lieu des poits G k lorsque k décrit l itervalle [ 1 ; 1]. 1. Visualisatio à l aide d u logiciel de géométrie : a. Costruire les poits A, B, C, G 1 et G 1. b. Costruire le poit G k puis visualiser l esemble des poits G k lorsque k décrit [ 1 ; 1]. Epreuve pratique Maths iformatique 5 Termiale S

26 c. Quelle est la ature de l esemble précédet?. Justificatio mathématique : a. Justifier, pour tout réel k de [ 1 ; 1] l existece du poit G k. k b. Démotrer que pour tout réel de l itervalle [ 1 ; 1], o a : AGk BC. k 1 Appeler l examiateur pour vérificatio c. Démotrer la cojecture faite avec le logiciel. O pourra utiliser les variatios de la foctio f défiie sur x [ 1 ; 1] par f x x 1. Productio attedue Réposes écrites aux questios 1. c. et. a. et b. Obtetio à l écra de la figure demadée à la questio 1. Exercice 1. 4 : Sujet 07 : Triagle d aire maximale O cosidère u triagle isocèle de périmètre fixé, égal à 15. Le but de cet exercice est de détermier parmi tous les triagles possibles celui dot l aire est maximale. 1. Expérimetatio à l aide d u logiciel de géométrie : a. A l aide d u logiciel de géométrie, costruire u triagle ABC isocèle e A, dot le périmètre est fixé et exactemet égal à 15. Appeler l examiateur pour vérificatio b. Parmi tous les triagles possibles, quelle semble être la ature du triagle d aire maximale?. Démostratio : o ote x la logueur BC et A(x) l aire de ABC. a. Das quel itervalle le réel x peut il predre ses valeurs? Appeler l examiateur pour vérificatio x A x. 4 b. Soit H le milieu de [BC], exprimer AH e foctio de x et e déduire que x 5 30 c. Résoudre le problème posé. Productio attedue Réposes écrites aux questios 1. b. et. a., b. et c. Obtetio à l écra de la figure correspodat aux hypothèses au 1. a. avec évetuellemet impressio. Exercice : Sujet 09 : Spécialité, PGCD Pour tout etier aturel, o défiit deux etiers a et b e posat : a = et b = O s itéresse aux valeurs du PGCD de a et de b e foctio de. 1. Cojecture avec u logiciel ou ue calculatrice : a. Sur u tableur, créer trois coloes doat les valeurs de, a et b pour variat de 0 à 100. b. Remplir la quatrième coloe avec les valeurs du PGCD de a et de b. c. Quelles semblet être les valeurs possibles de PGCD(a, b)? Appeler l examiateur pour vérificatio d. E observat les résultats obteus sur le tableur, commet pesez vous pouvoir caractériser les valeurs de telles que PGCD(a, b) = 7?. Démostratios : a. Démotrer la cojecture faite au 1. c. Appeler l examiateur pour vérificatio Epreuve pratique Maths iformatique 6 Termiale S

27 b. E raisoat par disjoctio des cas, détermier les valeurs de telles que PGCD(a, b) = 7. Productio attedue Réposes écrites aux questios 1. c. et d. et. a. et b. Obtetio à l écra des valeurs demadées avec évetuellemet impressio. Exercice : Sujet 030 : Spécialité, famille de cercles Das le pla, o cosidère u triagle OAB rectagle e O, de ses direct, et ue droite (d) passat par O. O ote A le projeté orthogoal de A sur (d), B le projeté orthogoal de B sur (d) et (C) le cercle de diamètre [A B ]. Efi I est le pied de la hauteur issue de O das OAB. 1. a. Faire ue figure à l aide d u logiciel de géométrie. b. Quelle cojecture peut-o faire cocerat les différets cercles (C) lorsque la droite (d) toure autour de O?. O cosidère la similitude directe S de cetre I qui trasforme A e O. a. Quel est l agle de cette similitude? Justifier que l image de O par S est B. b. Détermier les images par S des droites (AA ) et (d), puis celle du poit A. c. Démotrer la cojecture faite au 1. Productio attedue Obtetio de la figure à l écra avec cotrôle par l examiateur au 1. Réposes écrites aux questios 1. b. et. a., b. et c. Exercice : Sujet 031 : Tagetes à ue parabole Appeler l examiateur pour vérificatio 1 Le pla est rapporté à u repère orthoormal. O cosidère la parabole P d équatio y x. Etat doé u réel t o ul, o se propose de mettre e évidece, puis de démotrer ue propriété du poit 1 d itersectio des tagetes à la parabole P aux poits M et M d abscisses respectives t et t'. t 1. a. à l aide d u logiciel adapté, tracer la parabole P. b. O se doe u réel t. Placer le poit M d abscisse t sur la courbe P. c. Tracer la droite D tagete à P au poit M. Idicatio : Si le logiciel utilisé le écessite, calculer d abord le coefficiet directeur de cette tagete. Appeler l examiateur pour qu il vérifie la costructio de P, M et D 1 d. Placer le poit M d abscisse t' sur la courbe P. Tracer la droite D tagete à P e M. Placer le t poit d itersectio P des droites D et D. e. Lorsque t varie das *, à quel esemble le poit P semble-t-il apparteir?. Démostratio : Appeler l examiateur pour lui préseter la figure costruite et lui proposer ue cojecture a. Doer les équatios des droites D et D. b. Calculer les coordoées du poit P et coclure sur la propriété cojecturée. Questio 1 Visualisatio à l écra et si possible impressio de la figure réalisée avec le logiciel. Rédiger la cojecture relative au poit P. Questio Epreuve pratique Maths iformatique 7 Termiale S

28 Calcul des équatios des droites D et D. Calcul des coordoées du poit P et coclusio. Exercice : Sujet 035 : Demi-vie O admiistre à u patiet u médicamet par ijectio itraveieuse (de courte durée). La cocetratio du médicamet das le sag est immédiatemet maximale, puis elle dimiue e foctio du temps. O fait l hypothèse (H) suivate : La dimiutio de la cocetratio etre deux istats t 0 et t 1 est proportioelle à la fois à la durée t 1 t 0 et à la cocetratio à l istat t 0. O ote C 0 la cocetratio iitiale et C la cocetratio au bout de miutes. (O predra pour uité de temps la miute et C 0 = 1 pour uité de cocetratio iitiale à la fi de l ijectio). 1. O admet que l hypothèse (H) coduit à la relatio : C1 C kc où k est ue costate positive. a. Expliciter, pour > 0, C +1 e foctio de C. b. Quelle est la ature de la suite (C )? c. Exprimer C e foctio de.. O choisit k = 0, 035. Appeler l examiateur pour cotrôler le résultat obteu a. A l aide d u tableur calculer la valeur de C pour allat de 1 à 300. Préseter les résultats das u tableau comme ci-dessous : A B C 1 C ,965 4 b. Tracer le uage de poits ( ; C ) représetat l évolutio de la cocetratio sur 5 heures. Appeler l examiateur pour préseter le graphique 3. Etude de la demi-vie, c est-à-dire la période au bout de laquelle la cocetratio du médicamet das le sag dimiue de moitié. a. Observatios : Au bout de combie de miutes la cocetratio iitiale aura-t-elle été divisée par deux? Doer le résultat sous la forme d u ecadremet de deux etiers cosécutifs. Quelle est la cocetratio au bout de 30 miutes? Doer la valeur approchée à 10 près. Au bout de combie de miutes, cette derière cocetratio aura-t-elle été divisée par deux? Doer le résultat sous la forme d u ecadremet de deux etiers cosécutifs. Que peut-o cojecturer? Tester cette cojecture sur d autres durées. b. Justificatio : Vérifier que pour tout etier aturel, o a C0 0,5C C19. Valider la cojecture émise à la questio 3. a. Réposes écrites pour les questios 1 et 3. b. Exercice : Sujet 043 : Etude d ue courbe Appeler l examiateur pour valider la cojecture O cosidère, das le pla rapporté à u repère orthoormé, l esemble des poits défii par Epreuve pratique Maths iformatique 8 Termiale S

29 C M x ; y / x 0, y 0 et x y A l aide d u logiciel ou d ue calculatrice graphique, doer ue représetatio graphique de l esemble C. Idicatio : o pourra exprimer y e foctio de x. O costate que cette représetatio graphique est ue courbe qui ressemble à u quart de cercle. O admet de plus que C est ue courbe tagete aux axes de coordoées. Appeler le professeur, lui motrer la figure et lui idiquer commet elle a été obteue O se propose de répodre à la questio (Q) : C est-il u quart de cercle?. Détermier ue équatio du cercle taget aux axes de coordoées aux mêmes poits que C. Le tracer sur la même figure. Quelle répose à la questio (Q) peut-o cojecturer? Appeler le professeur, lui motrer la figure complète, lui idiquer la répose cojecturée à la questio (Q) aisi que les stratégies prévues pour la démostratio 3. Démotrer la cojecture trouvée et répodre à la questio (Q). Recopie d écra ou impressio d écra doat C et mettat e évidece la cojecture. Démostratio de la répose à la questio (Q). Exercice : Sujet 044 : Somme de termes d ue suite O cosidère la suite u défiie pour tout etier aturel par 3 u et la somme de ses premiers termes S u u... u k. 0 1 k Doer la somme V des + 1 premiers termes de la suite arithmétique des etiers aturels, soit V Avec u tableur ou ue calculatrice programmable, calculer la valeur de S pour allat de 1 à 30. Appeler le professeur, lui motrer les calculs des termes S 1, S,, S 30 et lui idiquer la formule doat V 3. Avec u tableur ou ue calculatrice programmable, calculer la valeur de particuliers. Que costate-t-o? V das les mêmes cas Appeler le professeur, lui motrer les calculs, lui idiquer la formule cojecturée et la méthode reteue pour la démostratio 4. A partir du costat ci-dessus, cojecturer ue formule doat la valeur de S e foctio de, puis la démotrer. (O suggère ue démostratio par récurrece.) Formule doée sas démostratio exprimat V e foctio de. Tableau des valeurs exactes des suites S et feuille de calcul). V pour de 1 à 30 (par exemple e imprimat la Formule, doat S e foctio de, cojecturée à partir du tableau précédet. Démostratio de la formule doat S e foctio de. Exercice : Sujet 047 : Partage d u triagle Das le pla o défiit u triagle ABC o isocèle e A et dot les agles e B et e C sot aigus. O ote a so aire. O appelle H le pied de la hauteur issue de A das le triagle ABC et l o se place das le cas où CH > BH. O se propose de démotrer qu il existe ue droite et ue seule perpediculaire au côté [BC], e u poit M, qui partage le triagle ABC e deux polygoes de même aire. Epreuve pratique Maths iformatique 9 Termiale S

30 1. Costruire la figure demadée e utilisat u logiciel de géométrie dyamique. Détermier, à l aide du logiciel, la positio de M e lequel la droite recherchée doit couper le segmet [CH] pour répodre au problème posé.. Etudier le cas où le poit M est sur le segmet [BH]. Appeler l examiateur pour ue vérificatio de la figure costruite Appeler l examiateur afi qu il vérifie la formulatio de votre coclusio 3. O suppose que le poit M est situé sur le segmet [CH] et o pose CM = x. O appelle N le poit d itersectio du segmet [AC] avec la droite perpediculaire à (BC) passat par M. O ote L la logueur du segmet [CH]. O admet que la foctio f qui, à tout x de [0 ; L], associe l aire du triagle CMN est cotiue. O e cherchera pas à expliciter f(x). a. Que traduit l égalité a f x? b. Préciser les variatios de f à l aide du logiciel. Détermier la valeur de f(0). c. Comparer f(x) et a quad M est e H. d. E déduire la répose au problème posé. Figure réalisée avec emplacemet du poit M répodat au problème. Iterprétatio de l égalité 3. a. Utilisatio d u théorème d aalyse. Exercice : Sujet 05 : Suite de Syracuse A tout etier aturel ( > 1), o applique l algorithme suivat : si = 1 le processus s arrête, sio : si est pair, o le trasforme e, si est impair, o le trasforme e O ote à ouveau le résultat obteu et o ré-applique l algorithme à ce. Lorsque, pour l etier, l algorithme aboutit à 1, o appelle «suite de Syracuse associée à» la suite (fiie) des etiers recotrés pour passer de à 1. O ote L() le ombre d etiers de cette suite fiie. L() est la logueur de la suite de Syracuse associée à. Exemple : pour = 5 o obtiet successivemet les ombres et doc L(5) = a. A l aide d u tableur, appliquer cet algorithme aux etiers compris etre 1 et 10. b. Compléter alors la feuille de calcul e doat les suites de Syracuse des 100 premiers etiers. c. Préciser les valeurs de L(6) et L(7). Appeler l examiateur pour vérificatio du tableau costruit. Etude de quelques résultats particuliers relatifs aux logueurs des suites L() pour etier aturel. a. Quelle est la logueur des suites de Syracuse associées aux ombres de la forme p pour p etier aturel o ul? b. Que remarque-t-o quat aux suites de Syracuse associées aux ombres de la forme 8k + 4 et 8k + 5 pour k *. c. Démotrer la cojecture émise e. b. Appeler l examiateur pour vérificatio des cojectures émises Epreuve pratique Maths iformatique 30 Termiale S

31 3. Démotrer que si le reste de la divisio euclidiee de par 4 est 0, 1 ou alors l algorithme amèe écessairemet, au bout d u certai ombre d étapes, à u etier strictemet iférieur à. La cojecture de Syracuse affirme que pour tout etier o ul le processus aboutit à 1. La logueur de la suite quat à elle est pas, à l heure actuelle prévisible, e toute gééralité. Costructio du tableau des suites de Syracuse pour les 10 premiers etiers. Le tableau pour les 100 etiers sera simplemet visé par l examiateur. Eocé des cojectures du. Preuve de. b. et de Autres sujets Exercice : Les courbes de Pierre Bézier Mosieur Bézier était u igéieur de Reault qui se trouva cofroté à u problème mathématique lié à l'apparitio des machies à commade umérique das l'idustrie au cours des aées Pour evoyer des commades stadard, il fallait que les machies puisset reproduire les formes demadées exactemet comme elles leur avaiet été fouries. O peut bie sûr mesurer u certai ombre de poits das l'espace et doer les coordoées puis joidre les poits avec des segmets mais ce 'est pas vraimet satisfaisat quad o veut quelque chose qui e ressemble pas à u véhicule extra-terrestre : c'est ce qu'o fait d'ailleurs das les jeux vidéo. L'idée est doc avec u certai ombre de poits de cotrôle M de costruire ue courbe e dépedat que de ces poits. i Nous ous plaços ici das le pla, la gééralisatio à l espace état immédiate. x f() t O appelle courbe paramétrée l esemble des poits M(x, y) du pla tels que, ti où I est u y g() t sous-esemble de. 1. O se doe deux poits A, B aisi que la droite (AB). a. Doer les équatios paramétriques de (AB). b. Tracer cette droite, soit avec u tableur e la cosidérat comme ue courbe paramétrique (c est la même chose que das l espace), soit avec u logiciel de géométrie e la cosidérat comme u lieu de poits. Doréavat vous travaillerez soit avec u tableur, soit avec u logiciel de géométrie. Costruire l esemble des barycetres M 1 de {(A, u), (B, 1 u)} où u varie de 0 à 1. Quel est cet esemble de poits? 3. O se doe u troisième poit C. a. Costruire l esemble des barycetres M de {(B, u), (C, 1 u)} où u varie de 0 à 1. Quel est cet esemble de poits? b. Costruire l esemble des barycetres P 1 de {(M 1, u), (M, 1 u)} où u varie de 0 à 1. c. Motrer que P 1 est le barycetre de {(A, u ), (B, u(1 u), (C, (1 u) }. d. Vérifiez que la somme des coefficiets vaut 1. e. Quelle est la ature de l esemble des poits P 1? 4. O se doe u quatrième poit D. a. Costruire l esemble des poits M 3, barycetres de {(C, u), (D, 1 u)}. b. Costruire l esemble des poits P, barycetres de {(M, u), (M 3, 1 u)}. c. Costruire l esemble des poits Q 1, barycetres de {(P 1, u), (P, 1 u)}. d. Exprimer Q 1 comme barycetre de A, B, C et D. e. Que vaut la somme des coefficiets? Prouvez-le. 5. Que se passe-t-il sur lorsqu o déplace u poit? Epreuve pratique Maths iformatique 31 Termiale S

32 6. Que peut-o dire de (AB) et de (CD) par rapport à? 7. O veut faire passer ue courbe exactemet par les poits A, B, C et D. Pesez-vous que ce soit faisable avec cette méthode? 8. Commet gééraliser à davatage de poits? Exercice 1. 5 : La méthode d Euler : lacer d u projectile Le modèle est celui du cao : u obus est tiré das l axe du cao, suivat u agle avec l horizotale. L obus sort de la bouche du cao avec ue vitesse iitiale v 0 et suivat la tagete à la trajectoire. A u momet doé, les forces agissat sur l obus sot la résistace de l air R, proportioelle au carré de la vitesse, dirigée à l opposé de cette derière (la vitesse est u y v vecteur représeté par la tagete à la trajectoire) et le poids 0 P orieté vers le bas. Nous regardos tout d abord ce qui se passe lorsqu o e tiet pas compte des frottemets. O x O a das le repère orthoormal ( O; i, j) les coordoées (x(t) ; y(t)) du cetre de gravité M de l obus, la vitesse v( x'( t); y'( t)) et l accélératio a( x''( t); y''( t)). Les coditios iitiales sot M0 O( x(0); y(0)) 0 et v0 ( x'(0); y'(0)) ( v0 cos ; v0 si ). v Les équatios du mouvemet sot e suivat les lois de Newto : M x''( t) 0 ma R P ma mg a g (1). y''( t) g R P Toutes les représetatios se ferot avec u agle de 60 et ue vitesse v 0 de 100 m.s 1. Ces valeurs serot stockées das les cellules B1 et B du tableur de maière à pouvoir être modifiées. 1. O pose X( t) x'( t) et Y( t) y'( t). a. Vérifier que l approximatio affie du système (1) est b. Quelles coditios iitiales doeriez-vous? X( th) X( t) (). Y( t h) Y( t) gh c. Représetez les solutios X(t) et Y(t) à l aide du tableur (500 valeurs). Quelle est l iterprétatio physique de ces solutios? d. Calculez pour toutes les valeurs précédemmet obteues la quatité les résultats physiquemet. X'( t) 0. a. Doez la solutio exacte du système avec les coditios iitiales Y'( t) g vaut la quatité? ( t) X ( t) Y ( t). Iterprétez X(0) v0 cos. Que Y(0) v0 si b. Evaluez l écart etre les solutios exactes et celles obteues par la méthode d Euler. Que pesez-vous du résultat? 3. O cherche la trajectoire de l obus. a. Motrez que le problème reviet à résoudre précédemmet. b. Vérifiez que l approximatio affie du système est iitiales? x'( t) X( t) (3) où X et Y sot les solutios trouvées y'( t) Y( t) x( t h) x( t) hx( t). Quelles sot les coditios y( t h) y( t) hy( t) Epreuve pratique Maths iformatique 3 Termiale S

33 c. Représetez les solutios x(t) et y(t) à l aide du tableur (500 valeurs). Quel est le type de courbe obteue? d. O veut atteidre avec l obus ue cible située à 1 km de distace. Quelle doit-être l icliaiso du cao? 4. Vérificatio des solutios et de la trajectoire. a. Motrez que les solutios exactes du système sot b. Tracez ces solutios sur la même représetatio qu au 3. x( t) v0tcos 1. y( t) gt v0tsi c. Calculez l écart etre les solutios exactes et celles du 3. Coclusio. d. Vérifiez que la courbe décrite par l obus a pour équatio g y (1 ta ) x xta. v e. Quelle doit-être l icliaiso du cao pour atteidre avec l obus ue cible située à 1 km de distace? Exercice : Iversio 1 O cosidère l hyperbole équilatère H d équatio y, la rotatio r de cetre O, d agle x 1 trasformatio du pla complexe privé de l origie : f : z z'. z Les justificatios de votre travail peuvet être apportées par tous les moyes à votre dispositio 1. Hyperboles a. Tracer H das la feêtre 5; 5 5; 5. b. Tracer la courbe H =f(h). Motrer que si M (x, y ) est u poit de H alors costate à détermier. c. O pose pour tout t réel tel que cos t e soit pas ul,. Lemiscate Soit la courbe, esemble des poits M(x, y) du pla tels que a. Par quelle trasformatio simple passe-t-o de H à? Epreuve pratique Maths iformatique 33 Termiale S 0 et la 4 x' y' où est ue k x' cos t. Quelle est la valeur de la costate k? y' kta t 1 x cos t y ta t b. Soit N d affixe z x iy d image par f : N d affixe z' x' iy'. Vérifier que, t ;,. x x' x y. y y x y c. Tracer l image par f de. O ote L cette courbe qui est doc l image de H par ue successio de trasformatios. d. Soit T ue tagete à H e u poit quelcoque. L image de T par les trasformatios précédetes deviet-elle ue tagete à L? e. Soit ABC u triagle costitué de trois poits o aligés de, A B C so triagle image sur L. Comparer les agles de ces deux triagles. Costatatio? f. De même comparer les logueurs des côtés des deux triagles. Costatatio? 3. Aires a. O veut calculer l aire comprise etre H, l axe (OX) les droites x=1 et x=5. A l aide de ce que vous avez fait e 1. que suggérez-vous sas calculer d itégrale.

34 b. Même questio pour la logueur de la portio de H comprise etre x=1 et x=5. c. Pouvez-vous doer ue valeur approchée de la logueur totale de L? Exercice : Approximatio d ue foctio par des polyômes L objectif du TP est la recherche de polyômes P de degré qui permettet d obteir ue approximatio de la foctio f défiie sur ] 0,5 ; 0,5[ par f( x) l(1 x) au voisiage de zéro. O appelle (C) la courbe d équatio yl(1 x). O appelle (C 0 ), (C 1 ), (C ),, (C ) les courbes d équatio y P ( x ) où P est le polyôme de degré obteu. 1. Tracé de la courbe (C) : Tracer la courbe (C) das ue feêtre défiie par x [ 0,5 ; 0,5] et y [ 0,5 ; 0,5]. Sur votre feuille, doer l allure de la courbe (C).. Polyôme P 0 : 1. Quelle coditio doit vérifier P 0 pour que les courbes (C) et (C 0 ) coïcidet e O?. E déduire P 0 et tracer sur votre calculatrice ou à l aide d u tableur (C 0 ). 3. Polyôme P 1 : O cherche des réels a 0 et a 1 tels que P1 ( x) a0 a1 x. P 0 (x) =... a. Quelles coditios doit vérifier P 1 pour que les courbes (C) et (C 1 ) «coïcidet au mieux»? E déduire les valeurs de a 0 et a 1 puis le polyôme P 1. b. Tracer (C 1 ). P 1 (x) =.... c. Quelle est l erreur maximale commise e remplaçat l(1+x) par P 1 (x) sur l itervalle [ 0,5 ; 0,5]? (o pourra utiliser le tableau doé e aexe). 4. Polyôme P : O cherche le polyôme P () x a a x a x. 0 1 a. E utilisat les coditios imposées à P 1, détermier a 0 et a 1. b. Peut-o détermier le sige de a graphiquemet? c. A l aide de votre calculatrice ou à l aide d u tableur, détermier la valeur de a qui paraît le mieux coveir pour que les courbes (C) et (C ) coïcidet au mieux au voisiage de zéro. Quelle valeur de a obtiet-o? d. Tracer (C ). P (x) =... e. Quelle est l erreur maximale commise e remplaçat l(1+x) par P (x) sur l itervalle [ 0,5 ; 0,5]? 5. Polyômes P 3, P 4, P 5 : a. E poursuivat la démarche amorcée das les questios précédetes, détermier des polyômes P 3, P 4, P 5 et tracer les courbes correspodates. P 3 (x) =.... P 4 (x) =.... P 5 (x) =... b. Quelle est l erreur maximale commise e cofodat l(1+x) avec P 1 (x), P (x), P 3 (x) et P 4 (x) sur l itervalle [ 0,5 ; 0,5]? 6. Preuves : 1 3 x a. Motrer que pour tout x différet de 1 : 1 x x x 1x 1 x. 4 Epreuve pratique Maths iformatique 34 Termiale S

35 1 3 4 b. E déduire que pour tout x positif : 0 1 x x x x, puis e déduire u ecadremet de 1 x l(1+ x). c. Motrer que, pour tout réel x tel que 0 x 5.10 l ecadremet obteu est d amplitude iférieure à d. E déduire u ecadremet d amplitude iférieure à de l( 5 ). Que propose la calculatrice? 4 Aexe Qualité des approximatios obteues : x P 1 (x) P (x) P 3 (x) P 4 (x) 0,5 0,4 0,3 0,.. Epreuve pratique Maths iformatique 35 Termiale S